数学苏科版（2024）2.3 设计轴对称图案精练

这是一份数学苏科版（2024）2.3 设计轴对称图案精练，文件包含苏科版数学八上同步讲练专题25轴对称中最短路径问题四大模型原卷版doc、苏科版数学八上同步讲练专题25轴对称中最短路径问题四大模型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
1、理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。
2、能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。
【教学重难点】
1、将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题；
2、确定出最短路径的方法。
3、探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。
【知识亮解】
知识点 最短路径问题四大模型
一 两定点在直线的异侧
二 两定点在直线的同侧
三 两动点一定点问题
四 造桥选址问题
【典例1】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A．750米B．1000米C．1500米D．2000米
【典例2】如图所示，，点为内一点，点关于对称的对称点分别为点，连接，分别与交于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝8，△ABC的面积为40，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 _____．
【典例4】如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________．
【典例5】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____．
【典例6】如图，点 P 是∠AOB 内部一定点
（1）若∠AOB＝50°，作点 P 关于 OA 的对称点 P1，作点 P 关于 OB 的对称点 P2，连 OP1、OP2，则∠P1OP2＝___.
（2）若∠AOB＝α，点 C、D 分别在射线 OA、OB 上移动，当△PCD 的周长最小时，则∠CPD＝___（用 α 的代数式表示）.
【亮点训练】
1、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
2、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？
3、如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2 ， 腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为________ cm．

4、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
5、如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是( )
12 B. 15C. 16 D. 18
6、如图，是等边三角形，，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数是______.

7、如图，在△ABC中，已知AB＝AC,AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB.
（1）若∠ABC＝70º，则∠NMA的度数是 度；
（2）若AB＝8，△MBC的周长是14.
① 求BC的长度； ② 若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值。
8、如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( )

(BM垂直于a) B．(AM不平行BN)
C．(AN垂直于b) D．(AM平行BN)
9、五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，如图表示小河甲，表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门。为方便人员往来，要在两条小河上各建一条桥，桥面垂直于河岸。图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河的垂直距离为40米，B到乙河的垂直距离为20米，两河相距100米，A、B两点的水平距离（与小河平行的方向）为120米。为使A、B两点间来往的路程最短，两条桥都按这个目标而建，那么此时A、B两点来往的路程是多少米？

【培优检测】
1．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．如图，等边，是边上的高，若，点M，P分别是线段上的动点，则最小值为（ ）
A．4B．C．2D．
3．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
4．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______．
5．如图，在四边形ABCD中，，，在边AB，BC上分别找一点E，F使周长最小，此时______．
6．如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD、CE分别是△ABC的两条中线，CE=6，P是AD上一动点，则BP + EP的最小值是____．
7．如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为_____．
8．要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为同侧的A，B两个居民小区发送快件．
（1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图中，画出点P的大致位置；
（2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请在如图中画出点M的大致位置；
（3）如图，D是内一点，连接．延长交于点E．
∵在中，①，
在中，②；
∴①＋②得；
∴．
如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域．请同学们用以上这个结论，在图中画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短．
9．如图，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点，使△的周长最小．（要求写作法）
10．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
11．如图，在所给的方格图中，完成下列各题（用直尺画图，保留作图痕迹）
（1）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在DE上面出点P，使PA+PC最小．
12．如图所示，在直线的同侧，在直线上求一点，使的周长最小、
13．如图，若∠AOB=30°，点P在∠AOB内，且OP=2㎝，分别在 OA、OB上找一点E，F使△PEF的周长最小，并求△PEF的周长最小值.
问题1
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
连接AB，与直线l的交点P即为所求。
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。
问题2：将军饮马
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。
化折为直；
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。
问题3：两个动点
作法
图形
原理
点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB
边上找一点D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。
两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。
问题4：造桥选址
作法
图形
原理
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。
将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。
两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。