初中数学苏科版（2024）八年级上册2.4 线段、角的轴对称性获奖课件ppt

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册2.4 线段、角的轴对称性获奖课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了几何语言，特别提醒，∠C的平分线过点P，全等图形等内容，欢迎下载使用。

如图2－23，OC是∠AOB 的平分线，如果把∠1沿 OC 翻折，因为 ∠1＝∠2，所以射线 OA 与射线OB 重合.
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
在∠AOB 的平分线上任意取一点 P，分别画点 P到OA 和OB 的垂线段PC和PD(如图2－24)，PC与PD 相等吗?
我们可以运用图形运动的方法，利用角的轴对称性，证明 PC＝PD .
把图2－24 中的△POC 沿OP 翻折(如图 2－25)，因为∠AOP＝∠BOP，所以OA与OB 重合，因为 PC⊥OA，PD⊥OB，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知 PC 与 PD 重合，所以 PC＝PD.
于是，我们得到如下定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等； 反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗?
如图 2－26，点Q在∠AOB 内且QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为 C、D，QC＝QD，作射线 OQ. 因为∠QCO＝∠QDO＝90°，QC ＝QD，OQ＝OQ，所以 Rt△QCO ≌ Rt△QDO. 于是∠AOQ＝∠BOQ，即点Q在∠AOB 的平分线上.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
如图，∵ OP 平分∠ AOB， PD⊥OA 于点D， PE⊥OB 于点E，∴ PD＝PE.
线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较
相同点：两者都可以直接得到两条线段相等；不同点：前者指的是点到点的距离，后者指的是点 到线的距离.
1. 角平分线的性质是由两个条件(角平分线、垂线)得到一个结论(线段相等). 2. 利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点D. 若CD＝6，则点D 到 AB 的距离为___________．
运用角平分线的性质解决问题时， 条件中必须有角平分线的性质的模型(即角平分线＋两垂直)， 若缺少某个部分， 则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题.
解：如图，过点D 作DE ⊥ AB，垂足为E． ∵∠C＝90°， ∴ DC ⊥ BC. 又∵ BD 平分∠ ABC， ∴ DE＝CD＝6， 即点D 到AB 的距离为6．
利用网格画图：(1) 在 BC 上找一点P，使点 P 到 AB 和 AC 的距离相等；(2) 在射线 AP 上找一点Q，使 QB＝QC.
解：如图所示(1)画出∠BAC 的角平分线交线段 BC 于点P，即为所求. (2) 画线段 BC的垂直平分线交射线AP于点Q即为所求.
在△ABC 中，用直尺和圆规分别作角平分线 AD、BE，AD、BE 相交于点P，再作∠C的平分线，你有什么发现?
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
如图，∵ P 为∠AOB 内一点，PD ⊥ OA， PE⊥OB，垂足分别为D、E， 且PD＝PE，∴点P 在∠AOB 的平分线OC 上.
角平分线的判定定理与性质定理的关系
三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等.
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
例2 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P . 求证：点P在∠C的平分线上.
证明： 过点 P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC， 垂足分别为 F、M、N.
∵AD平分∠BAC，点P在AD上. ∴ PF＝PN (角平分线上的点到角两边的距离相等).同理 PF＝PM. ∴ PM＝PN. ∴点P在∠C的平分线上 (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
例3 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E、F. 求证：AD垂直平分EF.
证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2， ∴ ∠3＝∠4， ∴ DE＝DF，AE＝AF (角平分线上的点到角两边的距离相等). ∴ 点 D、A在 EF 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线 段的垂直平分线上).∴ AD 垂直平分 EF.
如图，BE＝CF，BF ⊥ AC 于点F，CE ⊥ AB 于点E，BF 和CE 交于点D，连接AD. 求证：AD平分∠ BAC.
证明角平分线的方法: 1. 从数量上证明被要证的线分成的两个角相等. 2. 从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想.
证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠DEB＝∠DFC＝90° . 在△BDE 和△CDF 中，∠BDE＝∠CDF， ∠DEB＝∠DFC，BE＝CF， ∴△BDE ≌△CDF. ∴ DE＝DF.又∵ DF⊥AC，DE⊥AB， ∴点D在∠BAC 的平分线上，即AD平分∠BAC.
在一张纸上画△ABC 及其两个外角(如图). (1) 用折纸的方法分别折出∠BAD 和∠ABE 的平分线，设两条折痕的交点为 O；
(2) 用直尺和圆规作∠ACB 的平分线CF. 点O在射线 CF 上吗?证明你的结论.
证明如下：分别过点O作OM⊥CD，OP⊥AB，ON⊥CE，垂足分别为 M，P，N. ∵ AO是∠BAD的平分线，OM⊥CD，OP⊥AB，
∴ OM＝OP (角平分线上的点到角两边的距离相等)同理，可得ON＝OP，∴OM＝ON，∴CO是∠DCE 的平分线 (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上).又∵CF 是∠DCE 的平分线，∴点O，C，F 共线，即点O在射线CF上.