8.4.1平面-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第八章 立体几何初步 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1　平　面课标要求1.借助几何体的直观图认识平面. 2.了解平面的基本事实1～3(基本事实1～3也称公理)和推论.几个同学外出游玩，中午吃饭时发现没有桌子，食品无法摆在一起共享，但有一同学带着一个木质画板，说有办法支起来当作桌子，同学们都等待着.不一会儿，见他找来三根木棍，用绳子在相同的高度扎起来，再分散开放在地上，然后把画板放在上面，说：“好了，同学把好吃的往上放吧.”同学们把各自带来的食品都放在上面，共享了一顿美餐.同学们，你能说出三根木棍能支起画板且很牢固的道理吗？引入课时精练一、平面的概念、画法及表示二、基本事实及应用课堂达标内容索引平面的概念、画法及表示一探究1 生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？提示　无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等.1.平面的概念 (1)直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分. (2)抽象理解：平面是______，平面是__________的，平面没有______、没有______.知识梳理平的无限延展厚薄大小2.平面的画法与表示 (1)画法：在立体几何中，平面通常画成一个____________.当平面水平放置时，通常将平行四边形的______画成45°，且使横边长等于其邻边长的______ (如图①)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图②).(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图③.(3)如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.平行四边形锐角2倍例1√平面是无限延展的，没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的.(多选)下列说法正确的是A.平面是处处平的面 B.平面是无限延展的C.平面的形状是平行四边形 D.一个平面的厚度可以是0.001 cm√1.“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；2.“平面”无厚薄之分；3.“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据.下列说法正确的是A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面 D.一个平面可以将空间分成两部分训练1√A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；C不正确，太平洋再大也会有边际，不是一个平面；D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分.基本事实及应用二探究2 我们知道，两点确定一条直线，要确定一个平面需要几个点呢？过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？提示　不共线的三个点；无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面.探究3 如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？提示　不在；在.探究4 我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与桌面是否只有一个公共点？提示　不是.知识梳理1.三个基本事实及其表示两个点有且只有一条2.基本事实1，2的三个推论温馨提示(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示.例2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.角度1　点、线共面问题法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α，同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α，∴直线l1，l2，l3在同一平面内.法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β，同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点、线共面的常用方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.训练2因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.例3(链接教材P132T8)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.角度2　三点共线问题因为E∈AB，H∈AD，求证：B，D，O三点共线.所以E∈平面ABD，H∈平面ABD，所以EH⊂平面ABD.因为EH∩FG＝O，所以O∈平面ABD，同理O∈平面BCD.又平面BCD∩平面ABD＝BD，所以O∈BD，故点B，D，O共线.点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要证明依据是基本事实3，解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.训练3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点.设AM与平面BB1D1D的交点为O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AD1，BC1，BD1，如图，A.三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1B.三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1C.三点D1，O，B共线，且OB＝OD1D.三点D1，O，B不共线，且OB＝OD1√又C1D1∥CD∥AB，则A，B，C1，D1四点共面，且平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1.因为M为棱D1C1的中点，所以M∈平面ABC1D1，又A∈平面ABC1D1，所以AM⊂平面ABC1D1.因为O∈AM，所以O∈平面ABC1D1.因为AM与平面BB1D1D的交点为O，所以O∈平面BB1D1D，于是得O∈BD1，即D1，O，B三点共线，于是△OD1M∽△OBA，所以三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1.例4如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.求证：FE，HG，DC三线共点.角度3　线共点问题如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.又C1G＝GC，CF＝BF，∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交.设交点为K，∴K∈HG，又HG⊂平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD，∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，∴EF，HG，DC三线共点.线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，主要的证明依据也是基本事实3.证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.训练4因为在梯形ABCD中，AD∥BC，如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点.所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，且M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点.【课堂达标】1.若一直线a在平面α内，则正确的作图是√B中直线a不应超出表示平面α的平行四边形；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.√2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.A.平面MN B.平面NQPC.平面α D.平面MNPQ3.(链接教材P128练习T2)能确定一个平面的条件是 A.空间三个点 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线√A项，三个点可能共线；B项，点可能在直线上；C项，无数个点也可能在同一条直线上.4.(多选)已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的是 A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C.l⊄α，A∈l⇒A∉α D.A∈l，l⊂α⇒A∈α√利用三个基本事实知A，B，D正确，若l∩α＝A，显然有l⊄α，但是A∈α，C错误.√√【课时精练】√1.下列说法中正确的个数为①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长为100 m，宽是90 m；④平面是绝对平滑、无厚度、无限延展的抽象概念. A.0 B.1 C.2 D.3由平面的概念及几何特征，命题①②③错误，④正确.√2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则 A.l⊂α B. l⊄α C.l∩α＝M D.l∩α＝N∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α.√3.(多选)下图中图形的画法正确的是直线l在平面α外的画法为选项C中的图形，或如图所示：√√√4.在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上如图，∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.√5.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是 A.A，B，C，D四点中必有三点共线 B.A，B，C，D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.6.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为____________.A∈l，l⊄α7.空间不共线的四点可以确定平面的个数是________.若有三点共线，则这四点可以确定一个平面.1或4若任意三点均不共线，则空间四点可以确定4个平面.A1B18.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中回答下列问题：由图可知，(1)平面AB1∩平面A1C1＝A1B1；(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.AC(2)平面A1C1CA∩平面AC＝AC.9.如图，若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面α，β的交线.∵若α∩β＝l，A，B∈α，∴AB是平面ABC与α的交线.延长BA交l于D，则D∈平面ABC，∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，则对应的图示如图.10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，∴BD1⊂平面A1BCD1.同理，BD1⊂平面ABC1D1，∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1，∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.√先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.设直线C1M，CD相交于点E，直线C1N，CB相交于点F，连接EF交直线AD于点P，交直线AB于点Q，则五边形C1MPQN为所求截面图形.A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形12.已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________.当三条直线共点但不共面相交时，6这三条直线可以确定三个平面，而点P与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面.13.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：(1)E，C，D1，F四点共面；如图，连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，又∵A1B∥D1C，且A1B＝D1C，∴E，F，D1，C四点共面.(2)直线CE，D1F，DA三线共点.∵EF∥CD1，EFCD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.本课结束