人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念导学案

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① 数列的相关概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一个位置上的数叫作这个数列的第1项（通常也叫作首项），排在第二个位置上的数叫作这个数列的第2项······排在第n个位置上的数叫作这个数列的第n项。所以，数列的一般形式是a1,a2, ,an,⋯,简记为{an}。
概念辨析
数列与集合的区别
② 数列的分类
（1）按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。
（2）按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
【拓展】按照数列任何一项的绝对值是否小于某一正数，可将数列分为有界数列和无界数列。
例1-1（2022·北京朝阳区高一期中）（多选）下列说法不正确的是（ ）。
A．数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7｝
B．数列1,0，-1，-2与数列-2，-1,0,1是相同的数列
C.数列{n+1n}的第k项是1+1k
D.数列2, ,12,⋯,110是无穷数列
解：数列与数集是不同的，故选项A错误；由数列的有序性知选项B错误；由数列的概念知，当n=k时为第k项，故选项C正确；数列2,6,12,⋯,110是有穷数列，故选项D错误。故选ABD。
例1-2（2022·山东高青一中开学考）（多选）下列四个数列中的递增数列是（ ）。
A.1,12,13,14,⋯,1n,⋯
B.sin⁡π7,sin⁡2π7,sin⁡3π7,⋯,sin⁡nπ7,⋯
C.−1,−12,−14,−18,⋯,−12n−1,⋯
D.1,2,3,⋯,21
解：对于A，数列1，,12,13,14,⋯,1n,⋯·为递减数列，故不符合题意；对于B，数列sin⁡π7sin⁡2π7,sin⁡3π7,⋯,sin⁡nπ7,⋯为周期数列，且sin⁡π7>sin⁡8π7，故不符合题意；对于C，数列,−18,−,⋯,−12n−1, ·为递增数列，故符合题意；对于D，数列1,2,3,⋯,21为递增数列，故符合题意。故选CD。
知识点2 数列的通项公式
① 数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N＊（或它的有限子集{1,2,⋯,n} 为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x)，如果f(n)(n=1,2,⋯)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),⋯,f(n),⋯。
（1）数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题。
（2）要注意数列的特殊性（离散型）。因为数列的定义域是N＊（或它的有限子集｛1,2，···，n})），所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合。
②数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式。
概念辨析
（1）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式，即an=f(n)。数列的通项公式必须适合数列中的任何一项。
（2）已知通项公式an=f(n)，那么只需依次用1,2，···代替公式中的 n就可以求出这个数列的各项。
（3）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an=(−1)n可以写成an=(−1)n+2还可以写成an={−1,n=2k−1,1,n=2k(k∈N∗)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一个数列。
（4）并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样。
例2-1（2022·湖北黄冈中学高二月考）若数列{an}的通项公式为an=4n−5，则关于此数列的图像叙述不正确的是（ ）。
A.此数列不能用图像表示
B.此数列的图像仅在第一象限
C.此数列的图像为直线y=4x-5
D.此数列的图像为直线y=4x-5上满足xE N＊的一系列孤立的点
解：{an}的通项公式为an=4n−5，它的图像就是直线y=4x-5上满足x∈N∗的一系列孤立的点。故选D
例2-2（2022·广东佛山九江中学高二阶段练习）（多选）下列数中，是数列{n(n+1)}中的一项的是（ ）。
A.90 B.29 C.30 D.23
解：因为n(n+1)必为偶数，故排除B与D。令90=n(n+1)，即n2+n−90=0，解得n=9或n=-10(舍去），所以90是{n(n+1)}的第9项，故A正确。令30=n(n+1)，即n2+n-30=0，解得n=5或n=-6（舍去），所以30是{n(n+1)}的第5项，故C正确。故选AC。
知识点3 数列的其他表示方法
因为数列是特殊的函数，所以与函数一样，数列可以用公式来表示，也可以通过表格和图像来表示。
① 列表法
列表法就是通过列出表格来表示项的序号与项的关系。即
② 图像法
由于数列的定义域为正整数集N＊（或它的有限子集｛1，2,⋯,n})，因此，数列的图像是以(n,an)
为坐标的无限（或有限）个孤立的点。如图4-1-1。
说明：在画图时，为方便起见，平面直角坐标系中两条坐标轴上的单位长度可以不同。
③ 递推公式法
（1）递推公式的定义
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式。
注意：类似bn=an·an+1的式子不是递推公式，它只是说明数列{bn}中的项bn是由数列{an}中的项an与an+1的积构成的。
（2）数列的递推公式的注意点
①与“不一定所有的数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式。
②用递推公式给出一个数列，必须给出：
a.“基础”-数列{an}的第1项（或前n项）；
b.递推关系-数列{an}的相邻两项或多项之间的关系，并且这个关系可以用一个式子来表示。
数列的通项公式与递推公式的异同点
例3-1一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括A地、B地）共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个。试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所组成的数列，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性。
解：将从A地到B地的所有站按序号1,2，3,4,5,6,7,8编号。通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15，16,15,12,7,0，如下表：
该数列的图像如图4-1-2所示。它在｛1，2,3,4｝上是递增的，在｛4,5,6,7,8｝上是递减的。
点评，数列的图像只能在纵轴右侧，因为n∈N∗ 。
例3-2（2022·广东顺德李兆基中学高二阶段练习）已知数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N∗
都有 an+1=an+n+1，则a10=()。
A.36 B.45 C.55 D.66
解：由an+1=an+n+1，得an+1−an=n+1,∴an−an−1=n,an−1−an−2=n−1,an−2−an−3=n−2,⋯,a2−a1=2,各式作和得an−a1=2+3+⋯+n=(n−1)(n+2)2,∴an=1+(n−1)(n+2)2, .a10=1+9×122=55。故选C。
知识点4 数列的前n项和Sn
① 数列的前n项和的概念
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即Sn=a1+a2+⋯+an。
② 前n项和Sn与通项an的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则a1=S1。
当n≥2(n∈N∗)时，
Sn=a1+a2+a3+⋯+an−1+an, ①
Sn−1=a1+a2+a3+⋯+an−1。 ②
①-②得Sn−Sn−1=an。
因此an与Sn的关系式为an={S1, n=1,Sn−Sn−1, n≥2。
特别提醒
（1）对于由an=Sn−Sn−1(n≥2)求得的an的表达式，若令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1相同，则说明an=Sn−Sn−1(n≥2)也适合n=1的情况，数列的通项公式可用an=Sn−Sn−1表示。
（2）对于由an=Sn−Sn−1(n≥2)求得的an的表达式，若令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同，则说明an=Sn−Sn−1(n≥2)不适合n=1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an={S1, n=1,Sn−Sn−1,n≥2。
例4-1（2022·陕西西安模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足 Sn=2n+2−3,，则an= 。
解：当n≥2时，有an=Sn−Sn−1=(2n+2−3)−(2n+1−3)=2n+1；当n=1时，有a1=S1=8−3=5，不符合an=2n+1。 故an={5,n=1,2n+1,n≥2。
例4-2数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3,a1+a2+a3+⋯+an=100，则n的最大值为（ ）。
A.9 B.10 C.11 D.12
解：因为数列{an}满足三个特征，整数数列，递增，前n项和为100，所以欲求n的最大值，需要保证ak+1−ak(k≤n−1)的值取最小的正整数。又a1≥3，故可取a1=3,ak+1−ak=1，则数列{an}的前10项为3,4,5,6,7,8,9,10，11,12，第11项a11=100−(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)=25，满足题意；取数列{an}的前11项为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，13，则第12项a12=100−(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)=12，不满足题意。故n的最大值为11。
基础达标
1．（2022·湖北黄冈中学高二专题练习·知识点1）下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）。
A.12,14,18,116,⋯,12n,⋯
B.sin⁡π5,sin⁡2π5,sin⁡3π5,⋯,sin⁡nπ5,⋯
C−12,−14,−18,−116,⋯,−12n,⋯
D.1,2,3,⋯,21
2.(2022·浙江平湖当湖高级中学高二阶段练习·知识点1,2）（多选）下列四个选项中，正确的是（ ）。
A.数列的图像是一群孤立的点
B．数列1，-1,1，-1，···与数列-1,1，-1,1，···是同一数列
C.数列23,34,45,56，···的一个通项公式是an=nn+1(n∈N∗)
D.数列12,14,⋅ ,12n是递减数列
3．（2022·四川巴中高二期末·知识点3·能力点4）若数列{an}满足an+1=11−an,a1=2,a2023=()。
A.-1 B.1 C.2 D.⋅12
4．（2022·广东佛山高二期末·知识点3）已知数列{an}满足a1=1,an=an−1+2n−1(n≥2,n∈ N＊），则a6= 。
5．（2022·四川凉山高二期末·知识点4·能力点5）已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1−2。
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=lg2⁡an，求数列{bn}的前n项和Tn。
高考提升
6．（2022·湖北团风中学高二月考·能力点1）（多选）已知n∈N∗，给出下列四个表达式，其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，···的通项公式的是（ ）。
A.an={0,n1,n为偶数为奇数，B.an=1+(−1)n2
C.an=1+cs⁡nπ2 D.an=|sin⁡nπ2| ∵
7．（2022·辽宁高二期末·能力点2）若数列
{an}满足 n+1={2an,0≤an≤12,2an−1,12