人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.会用图形表示两条直线异面，理解并掌握异面直线所成角的定义，熟记异面直线所成角的范围.
2.会用平移转换法求异面直线所成的角，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力，学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想.

二、教学重难点
重点：异面直线的判定与异面直线所成的角的概念．
难点：求两异面直线所成的角．

三、教学过程
（一）创设情境
观看视频，你能举例出生活中可以抽象成异面直线的例子吗？(学生举例)
想一想：如何刻画两条直线的位置关系呢？
师生活动：教师展示生活中给我们异面直线的实例，让学生也例举生活中的实例. 之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：请用结构图梳理空间中两直线的位置关系.
合作探究：1.先独立梳理结构图2分钟
2.小组内交流讨论补全完善自己的结构图
3.以小组为单位进行展示汇报
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
任务2：探究异面直线所成的角的定义
探究：在正方体ABCD−A′B′C′D′中，E为BC的中点，直线A′C′、A′D′、C′E与直线AB的位置关系分别是什么？直线A′C′、A′D′、C′E相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢?
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：观察图形，不难判断：直线A'C'、A'D'、C'E与直线AB均异面．
虽然直线A'C'、A'D'、C'E都与直线AB异面，但它们各自与直线AB的相对位置不同，这说明，仅用“异面”不足以描述异面直线的相对位置．
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系．
说一说：类比两相交直线所成的角，你能给出异面直线所成角的定义吗？如何用图形语言来表示异面直线所成的角？
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
思考：直线a，b所成角的大小与点O的位置有关吗？
答：无关，因为平移不改变两条直线所成的角．因此，求异面直线a，b所成的角时，为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．例如：取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，那么直线a'与b所成的角就是异面直线a与b所成的角．
思考：两条异面直线a与b所成角的范围是多少？异面直线所成的角有哪些特殊的角？空间任意两条直线a，b所成的角的范围是多少？
答：由异面直线的定义可得，异面直线a，b所成角的范围是0°，90°]．90°.
若两条异面直线a，b所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．记作：a⊥b．空间任意两条直线a，b的位置关系有：平行，相交，异面．当直线a，b平行时，我们规定它们所成的角为0°；当直线a，b相交或异面时，它们所成的角的范围均为0°，90°]．
综上可得，空间任意两条直线a，b所成的角的范围是[0°，90°]．
设计意图：以长方体为例，得出异面直线的判定定理，进一步探究异面直线所成的角，培养学生几何直观、数学抽象素养．
（三）应用举例
例1 如图，已知正方体ABCD−A'B'C'D'．
（1）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？
（2）求直线BA'与CC'所成的角的大小．
（3）求直线BA'与AC所成的角的大小．
解：（1）棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'，D'A'所在的直线分别与直线AA'垂直．
思考：空间两条直线垂直，一定相交吗？
答：不一定，也可能是异面垂直.
空间中，两条直线垂直包括：相交垂直（共面），异面垂直，都记作a⊥b．
（2）因为ABCD−A'B'C'D'是正方体，所以BB'//CC'，因此∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角．又因为∠A'BB'=45°，所以直线BA'与CC'所成的角等于45°．
（3）如图，连接A'C'．因为ABCD−A'B'C'D'是正方体，所以AA'//CC'，AA'=CC'，从而四边形AA'C'C是平行四边形，所以AC//A'C'．于是∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角．连接BC'，易知△A'BC'是等边三角形，所以∠BA'C'=60°．从而异面直线BA'与AC所成的角等于60°．
【总结】异面直线所成角
求法：平移法
步骤：❶平移作角,❷求角
若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；
若求出的角是钝角，则它的补角是所求异面直线所成的角．
例2 如图（1），在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．
求证AO1⊥BD．
提示：如何证明两条异面直线垂直？要证两条异面直线垂直即证所成的角为直角.
证明：如图（2），连接B1D1．
∵ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴BB1//DD1．∴四边形BB1D1D是平行四边形．
∴B1D1//BD．所以直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
连接AB1，AD1，易证AB1=AD1．
又O1为底面A1B1C1D1的中心，∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD．
例3已知三棱锥S−ABC中，SC=2 3，AB=2，E，F分别是SA，BC的中点，EF=1，则EF与AB所成的角大小为
解：取AC中点D，连接DE、DF，
因为E，F分别是SA，BC的中点，
所以DESC，DFAB，
所以EF与AB所成的角的平面角为∠EFD(或其补角)，
由SC=2 3，AB=2，得DE= 3，DF=1，
又EF=1，
则cs∠EFD=DF2+EF2−DE22×DF×EF=1+1−32×1×1=−12，
所以∠EFD=2π3，
所以EF与AB所成的角大小为π3.
【总结】求两条异面直线所成的角的一般步骤：
（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角．
（2）证明：证明作出的角就是要求的角．
（3）计算：求角度，常放在三角形内求解．
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
总结：研究异面直线所成的角，就是通过平移，使得空间几何问题转化为平面几何问题．这种解决问题的思想方法在后面解决问题中很常用．
设计意图：通过例题，熟悉异面直线的相关解题方法，并体会将空间问题转化为平面问题的思想．
（四）课堂练习
1.若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下面结论正确的是( )
A. l1⊥l4B. l1//l4
C. l1，l4既不垂直也不平行D. l1，l4的位置关系不确定
解：构造如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1，
取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1，
当取l4为B1C1时，l1//l4，
当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C．
故选D．
2.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A. 30∘B. 45∘
C. 60∘D. 90∘
解：如图，连接DB，A1B，A1D，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴DB//EF，
又A1D//B1C，
∴∠A1DB(或其补角)是异面直线B1C与EF所成的角，
∵△A1DB是等边三角形，
∴∠A1DB=60∘．
故选：C ．
3.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为( )
A. 33B. 55
C. 1010D. 3010
解：设AB=2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，
则DF//B1E，∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角(或补角)．
易求DF=B1E= 5，C1F= 5，C1D= 6，
所以cs∠C1DF=12C1DDF= 62 5= 3010．
故选D．
4.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A. 1010B. 35
C. 105D. 45
解：连接 A1B ， BC1 ， A1C1 ，
在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，易知 AD1//BC1 ，
所以 ∠A1BC1 为异面直线 A1B 与 AD1 所成角或其补角，
又在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AA1=2AB=2BC=2 ，
所以 A1B=BC1=5 ， A1C1=2 ，
在 △A1BC1 中，由余弦定理得 cs∠A1BC1=5+5−22×5×5=45 ．
因为异面直线所成的角的取值范围是 0,π2 ，
所以异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 45 ．
故选：D．
5.正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=4，E，F为棱PB，PD的中点，则异面直线AE，BF所成角的余弦值为 ．
解：设M为线段PF的中点，故EM//BF，
故异面直线AE，BF所成角为∠AEM或其补角，
在△AEM中，AE=2 3,ME= 5,AM= 13，
则cs∠AEM=AE2+ME2−AM22AE⋅ME= 1515．
所以异面直线AE，BF所成角的余弦值为 1515．
故答案为： 1515．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题，体会了转化与化归的思想．
2.类比平面内两条相交直线所成的角的定义，对空间中两条异面直线所成的角进行定义，进而得出空间两条直线所成的角，理解了知识之间的相互联系．
3.引入异面直线所成的角的概念后，空间中两条直线垂直又可分为相交垂直、异面垂直．
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.