人教版八年级上册第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第2课时教案

这是一份人教版八年级上册第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第2课时教案，共5页。


解题大招一 与分式乘方、乘除混合运算有关的化简求值的解法
先算乘方再算乘除，将原式化为最简分式，再将值代入计算即可．
例1 化简求值：(eq \f(2xy2,x＋y))3÷(eq \f(xy3,x2－y2))2·[eq \f(1,2（x－y）)]2，其中x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3).
解：原式＝eq \f(8x3y6,（x＋y）3)·eq \f(（x＋y）2（x－y）2,x2y6)·eq \f(1,4（x－y）2)＝eq \f(2x,x＋y).
将x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3)代入，得原式＝－6.
解题大招二 与分式乘除有关的无关型问题的解法
解这类无关型问题，一般是先将原式化简，所得的结果应该是与抄错的那个量无关，所以即使抄错也对结果没影响．
例2 有这样一道题：“计算eq \f(x2－2x＋1,x2－1)÷eq \f(x－1,x2＋x)·eq \f(1,x)的值，其中x＝2 040.”甲同学把“x＝2 040”错抄成“x＝2 004”，但他的计算结果也正确，请你说说这是怎么回事？
解：原式＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)·eq \f(x（x＋1）,x－1)·eq \f(1,x)＝1，故计算结果是定值1，所以与x的取值无关．
培优点一 分式乘方的求值问题
例1 已知eq \f(b,a)＝eq \f(4,5)，求(eq \f(a－b,a))1 000·(eq \f(a,b－a))1 001的值．
分析：观察已知式，把所求式向已知式靠拢，故取(eq \f(a,b－a))1 001的倒数将乘法改为除法(乘一个数等于除以这个数的倒数)，即可把原式化为(eq \f(a－b,a))1 000÷(eq \f(b－a,a))1 001.
解：原式＝(eq \f(a－b,a))1 000÷(eq \f(b－a,a))1 001＝(1－eq \f(b,a))1 000÷(eq \f(b,a)－1)1 001.
把eq \f(b,a)＝eq \f(4,5)代入上式，得原式＝(1－eq \f(4,5))1 000÷(eq \f(4,5)－1)1 001＝(eq \f(1,5))1 000÷(－eq \f(1,5))1 001＝－(eq \f(1,5))1 000÷(eq \f(1,5))1 001＝－5.
培优点二 与x±eq \f(1,x)有关的核心素养类探究题
例2 同学们，在学习中，你会发现“x＋eq \f(1,x)”与“x－eq \f(1,x)”有着紧密的联系．请你认真观察等式：(x＋eq \f(1,x))2＝x2＋2＋eq \f(1,x2)，(x－eq \f(1,x))2＝x2－2＋eq \f(1,x2)，解决如下问题：
(1)填空：(a＋eq \f(1,a))2－(a－eq \f(1,a))2＝4.
(2)①若(a＋eq \f(1,a))2＝20，求a－eq \f(1,a)的值；②若a2＋a－1＝0，求a＋eq \f(1,a)的值；③已知|eq \f(1,a)|－a＝1，求|eq \f(1,a)|＋a的值．
分析：(1)利用完全平方公式进行计算，即可解答．(2)①利用(1)的结论进行计算，即可解答；②根据已知易得a－eq \f(1,a)＝－1，然后利用(1)的结论进行计算，即可解答；③分两种情况即eq \f(1,a)>0和eq \f(1,a)<0，然后分别进行计算即可解答．
解：(1) 解析：(a＋eq \f(1,a))2－(a－eq \f(1,a))2＝a2＋2＋eq \f(1,a2)－(a2－2＋eq \f(1,a2))＝a2＋2＋eq \f(1,a2)－a2＋2－eq \f(1,a2)＝4.
(2)①∵(a－eq \f(1,a))2＝(a＋eq \f(1,a))2－4＝20－4＝16，∴a－eq \f(1,a)＝±4.
②∵a2＋a－1＝0，∴a＋1－eq \f(1,a)＝0，∴a－eq \f(1,a)＝－1，∴(a＋eq \f(1,a))2＝(a－eq \f(1,a))2＋4＝(－1)2＋4＝5，∴a＋eq \f(1,a)＝±eq \r(5).
③当eq \f(1,a)>0时，此时a>0，则|eq \f(1,a)|－a＝eq \f(1,a)－a＝1，∴a－eq \f(1,a)＝－1.
∵(a＋eq \f(1,a))2＝(a－eq \f(1,a))2＋4＝(－1)2＋4＝5，∴a＋eq \f(1,a)＝±eq \r(5).
∵a>0，∴a＋eq \f(1,a)＝eq \r(5)，∴|eq \f(1,a)|＋a＝eq \f(1,a)＋a＝eq \r(5)；
当eq \f(1,a)<0时，此时a<0，则|eq \f(1,a)|－a＝－eq \f(1,a)－a＝1，∴a＋eq \f(1,a)＝－1.
∵(a－eq \f(1,a))2＝(a＋eq \f(1,a))2－4＝(－1)2－4＝－3<0，∴此种情况不成立，应舍去．
综上所述，|eq \f(1,a)|＋a的值为eq \r(5).教学目标
课题
15.2.1 第2课时 分式的乘方
授课人
素养目标
1.进一步熟练分式的乘除法法则，能进行分式的乘除法混合运算.
2.理解分式乘方的原理，掌握乘方的法则，并能运用乘方法则进行分式的乘方运算.
3.经历探索分式的乘方运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性.
教学重点
分式的乘方运算，分式的乘方与乘除法混合运算．
教学难点
分式的乘方与乘除法混合运算，分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：知识回顾，导入新课
设计意图
通过回忆上节课的旧知和师生互动，引出本课新知，让学生体会到新知是在旧知的基础上生成的.
【复习导入】
上节课我们学习了分式乘除，我们来看看下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改正？
(1)eq \f(－x,2b)·eq \f(6b,x2)＝eq \f(3b,x)； 不对，改正：原式＝－eq \f(3,x)；
(2)eq \f(4x,3a)÷eq \f(a,2x)＝eq \f(2,3). 不对，改正：原式＝eq \f(4x,3a)·eq \f(2x,a)＝eq \f(8x2,3a2).
借这个题我们回忆一下分式乘除法的法则.
分式的乘法法则：eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(a·c,b·d).
分式的除法法则：eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝eq \f(a·d,b·c)
那么你会计算eq \f(x,y)÷eq \f(y,x)·eq \f(x,y)吗？就让我们一起进入今天这节课的学习吧！
【教学建议】
教师出示题目后，可请学生上去板书，其他同学在下面做，待板书同学完成后讲解和总结，并引出分式乘除混合运算的题.
活动二：合作交流，探究新知
设计意图
通过学生合作探究完成活动一的问题，提升学生自主探究的能力，再通过例题和练习巩固教师总结的内容.
探究点1 分式的乘除混合运算
大家小组讨论一下eq \f(x,y)÷eq \f(y,x)·eq \f(x,y)如何计算，然后请一位同学回答.
eq \f(x,y)÷eq \f(y,x)·eq \f(x,y)＝eq \f(x,y)·eq \f(x,y)·eq \f(x,y)＝eq \f(x3,y3).
教师总结：分式的乘除混合运算，乘除是同一级运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，应按从左到右的顺序进行计算．一般地，乘除混合运算可以统一成乘法运算.
例 (教材P138例4)计算eq \f(2x,5x－3)÷eq \f(3,25x2－9)·eq \f(x,5x＋3).
解： eq \f(2x,5x－3)÷eq \f(3,25x2－9)·eq \f(x,5x＋3)＝eq \f(2x,5x－3)·eq \f(25x2－9,3)·eq \f(x,5x＋3)＝eq \f(2x2,3).
【对应训练】
教材P139练习第1题．
【教学建议】
教师需强调易错点，即有学生可能会错误地以为先算eq \f(y,x)·eq \f(x,y)＝1，再用eq \f(x,y)÷1＝eq \f(x,y)..这是不符合同级运算从左到右的运算顺序的.
教学步骤
师生活动
设计意图
通过提取旧知以及观察若干特例后，再归纳出分式乘方的运算法则．在这个过程中，让学生通过比较、联想、探索，从直观中归纳出理性的规律，培养学生用从特殊到一般的思维方法认识事物.
探究点2 分式的乘方与乘除混合运算
问题1 an表示的意义是什么？其中a表示什么？n表示什么？
an中的a可以是数，也可以是整式，那a可不可以是一个分式呢？
思考
根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：

一般地，当n是正整数时，
这就是说，分式的乘方要把分子、分母分别乘方．
例1 [教材P139例5(1)]计算：
解：
运算依据：步骤①分式的乘方；步骤②积的乘方．
问题2 我们学过了有理数的混合运算，大家说说是先乘方还是先乘除呢？(先乘方，再乘除．)那么分式呢？
(式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除．)
例2 [教材P139例5(2)]计算：
【对应训练】计算：(1)教材P139练习第2(1)题．(2)教材P139练习第2(2)题．
(3)
【教学建议】
教师需展开讲一下乘方结果的符号问题：,分式乘方时，先确定乘方结果的符号，这与实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．
【教学建议】
分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把
写成；分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．
【教学建议】
对于例题，教师需强调一个易错点，即系数和符号不能漏乘.
【教学建议】
教师可提示学生在做混合运算时先确定结果的符号，再观察各个式子的特征，看看它们分别包含哪些运算，然后确定运算法则与运算顺序，最后进行计算．
教学步骤
师生活动
活动三：知识升华，巩固提升
设计意图
此例题在上面一个例题的基础上加大了难度，也是知识的补充，意在强化学生的运算能力.
例 计算：(eq \f(y－x,x＋y))2÷(x－y)3·eq \f(x2＋2xy＋y2,x－y).
解：原式＝eq \f(（x－y）2,（x＋y）2)·eq \f(1,（x－y）3)·eq \f(（x＋y）2,x－y)＝eq \f(1,（x－y）2).
【对应训练】
(eq \f(2x－4y,x＋2y))3·eq \f(x2－4xy＋4y2,x2－4y2)÷(eq \f(2y－x,x＋2y))2.
解：(eq \f(2x－4y,x＋2y))3·eq \f(x2－4xy＋4y2,x2－4y2)÷(eq \f(2y－x,x＋2y))2
＝eq \f(8（x－2y）3,（x＋2y）3)·eq \f(（x－2y）2,（x＋2y）（x－2y）)·eq \f(（x＋2y）2,（x－2y）2)＝eq \f(8（x－2y）2,（x＋2y）2).
【教学建议】
教师应告诉学生含整式的分式混合运算，可以把整式看作分母是1的“分式”，然后依照分式乘除法法则进行运算.
在观察式子的时候，如果将能因式分解的多项式先因式分解，这样能更快地发现公因式进行约分.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.分式的乘除混合运算的运算顺序是什么样的？
2.分式乘方的原理是什么？法则是什么？
3.分式乘方、乘除混合运算的运算顺序是什么样的？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P146习题15.2第3题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
板书设计
第2课时 分式的乘方
1.分式乘除混合运算：按从左到右的顺序进行计算
2.分式的乘方法则：(eq \f(a,b))n＝eq \f(an,bn)
3.分式的乘方、乘除混合运算：先乘方，再乘除
教学反思
本节课先复习分式的乘除法，引入分式乘除混合运算．在分式乘方的教学中，通过回忆乘方的定义，让学生利用乘方的定义和分式的乘法法则进行具体的计算，进而归纳出分式的乘方法则，再通过一组练习强化对乘方法则的理解和应用．本节课知识点较多，对运算法则的推理过程占了相当多的时间，因此，对基本法则的理解和熟练运用还有待在后续的练习中予以加强.