初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.3 相反数学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.3 相反数学案，共10页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，知识点一，知识点二，知识点三，知识点四等内容，欢迎下载使用。
1．理解相反数的概念；
2．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
3. 掌握多重符号的化简;
4.通过数形结合思想数轴上表示一个数的相反数.
【要点梳理】
要点一、相反数概念
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.（或若两个有理数a、b的和为0，则这两个数互为相反数，即a+b=0,则a、b互为相反数）。
特别说明：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
特别说明：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.
【典型例题】
【知识点一】相反数的定义
1．判断下列说法是否正确：
（1）是相反数； （2）是相反数；
（3）3是的相反数； （4）与互为相反数．
【答案】（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确．
【分析】
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可判断．
解：相反数是针对两个数来定义的，故(1)、(2)均错误；
3是-3的相反数，(3)正确；
-3与+3互为相反数，(4)正确；
故答案为：(1)不正确；(2)不正确；(3)正确；(4)正确．
【点拨】本题考查相反数的定义，属于基本概念题，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．
举一反三.
【变式1】求出下列各数，并在数轴上把它们表示出来：
（1） 的相反数；
（2） 的相反数；
（3） 的相反数的相反数；
（4） 的相反数．
【答案】（1），在数轴上表示见分析；（2），在数轴上表示见分析；（3），在数轴上表示见分析；（4），在数轴上表示见分析．
【分析】
各小题先根据相反数的概念分别求出相反数，再画出数轴．
解：（1）3的相反数为-3；数-3在数轴上表示为：
（2）-2的相反数为2；数2在数轴上表示为：
（3）的相反数的相反数为，；数在数轴上表示为：
（4）0的相反数为0；数0在数轴上表示为：
【点评】
本题考查了相反数的概念和数轴，熟记相反数的概念是解题的关键．
【变式2】如图所示，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示－4，点G表示8
(1)点D表示的有理数是______；表示原点的是点_______．
(2)与点B表示的有理数互为相反数的点是________．
(3)图中的数轴上另有点M到点A、点G距离之和为14，则这样的点M表示的有理数是_______．
【答案】(1)2，C； (2)D； (3)-5或9．
【分析】
（1）求出数轴上两点的距离，再根据相邻两点之间的距离都相等，且A与G之间间隔为6段，即可求出每段的长度，由此即可求出D点表示的有理数和表示原点的点；
（2）由B点与A点间隔为1段，即可求出B点表示的有理数，从而可求出它的相反数的值，进而即可得到与点B表示的有理数互为相反数的点；
（3）设M表示的数是x，则分类讨论①当M在A的左边时；②由，M不可能在A、G之间；③当M在G的右侧时，再根据数轴上两点的距离的求法，可列出关于x的等式，求出x即可．
解：(1)∵A表示－4，点G表示8，
∴．
∵相邻两点之间的距离都相等，A与G之间间隔为6段，
∴相邻两点之间的距离为．
∵D点与A点间隔为3段，
∴D点表示的有理数是．
∵，
∴表示原点的点与A点间隔为2段，
∴表示原点的是点C；
故答案为：2，C．
∵B点与A点间隔为1段，
∴B点表示的有理数是．
∵-2的相反数是2，
又∵，
∴与点B表示的有理数互为相反数的点与A点的间隔为3段，
∴与点B表示的有理数互为相反数的点为D点；
故答案为：D．
设M表示的数是x，
分类讨论①当M在A的左边时，有，
解得：；
②∵，
∴M不可能在A、G之间．
③当M在G的右侧时，有，
解得：；
综上，可知M点表示-5或9．
故答案为：-5或9．
【点拨】本题考查了数轴上的点与有理数的关系问题，相反数．建立分类讨论的数学思想是解题关键．
【知识点二】判断是否互为相反数
2.有理数：，，，
（1）将上面各数在数轴上表示出来，并把这些数用“＜“连接．
（2）在上面的数中是否有相反数？若有，请写出来．
【答案】（1）作图见分析，；（2）有相反数，、互为相反数
【分析】
（1）根据数轴的性质作图，即可得到答案；
（2）根据数轴和相反数的性质分析，即可得到答案．
解：（1）数轴表示如下：
；
（2）根据（1）的结论，得、到原点的距离相等，符号相反
∴、互为相反数．
【点拨】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、有理数大小比较、相反数的性质，从而完成求解．
举一反三.
【变式1】用尺子画出数轴并回答：
（1）把下列各数表示在数轴上：；
（2）上述数中互为相反数的一组数是 ，它们之间有 个单位长度，它们关于 对称．
【答案】（1）见分析；（2）与2.5；5；原点
【分析】
（1）先画出数轴，注意数轴的三要素，再根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数即可；
（2）根据相反数的定义，绝对值相同，符号不同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数到原点的距离相等，再利用数轴上两点之间的距离，求出两数之间的距离即可．
解：（1）如图所示，
；
（2）结合数轴，根据相反数的定义可知，数与数2.5互为相反数；两点之间的距离为5；它们关于原点对称，
故答案为：与2.5；5；原点．
【点拨】本题考查了在数轴上表示数的方法，数轴的特征，相反数的定义等知识，此为基础知识，要熟练掌握．
【变式2】在数轴上把下列各数表示出来：|－3.5|、－3.5、0、2、－0.5、－2、、，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来，再找出哪些数互为相反数．
【答案】见分析，－3.5＜－2＜－0.5＜0＜＜2＜＜|－3.5|
【分析】
首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来；最后找出哪些数互为相反数即可．
解：|－3.5|=3.5，
﹣3.5＜﹣2＜﹣0.5＜0＜＜2＜＜3.5，
﹣3.5与3.5，﹣0.5与互为相反数．
【点拨】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
【知识点三】化简多重符号
3.填空：
①+（﹣2）＝_____； ②﹣（﹣3）＝_____；
③﹣（+4.3）＝_____； ④+（+5.2）＝_____；
⑤﹣[﹣（﹣2）]＝_____； ⑥﹣[﹣（+1）]＝_____．
观察以上结果，总结以下规律：正数的相反数是_____，负数的相反数是_____，一个数的相反数的相反数是_____．
【答案】①-2；②；③-4.3；④5.2；⑤；⑥1；负数；正数；这个数．
【分析】根据相反数多重符号化简规则进行化简即可
解：①+（﹣2）＝__-2___；
②﹣（﹣3）＝_____；
③﹣（+4.3）＝_-4.3____；
④+（+5.2）＝__5.2___；
⑤﹣[﹣（﹣2）]＝_____；
⑥﹣[﹣（+1）]＝_1____．
观察以上结果，总结以下规律：正数的相反数是__负数___，负数的相反数是__正数___，一个数的相反数的相反数是__这个数___．
故答案为：①-2；②；③-4.3；④5.2；⑤；⑥1；负数；正数；这个数．
【点拨】本题考查相反数的多重符号化简，掌握相反数的多重符号化简规则，一个数前面有多重符号，正号直接省略，负号看个数，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正是解题关键．
举一反三.
【变式1】﹣{﹣[+（﹣）]}．
【答案】﹣．
【分析】根据相反数符号化简即可得解．
解：﹣{﹣[+（﹣）]}．
=+（﹣），
=﹣．
【点拨】本题考查相反数符号化简，掌握相反数的符号法则是解题关键．
【变式2】若，化简，再确定它的符号．
【答案】，符号为正
【分析】直接利用去括号法则进而化简得出答案．
解：，因为，则，即它的符号为正．
【点拨】此题主要考查了相反数，正确掌握去括号法则是解题关键．
【知识点四】相反数的应用
3.如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．
【答案】（1）B；（2）C；（3）见分析
【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点；（3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可．
解：（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；
（3）如图所示：

故答案为：B；C．
举一反三.
【变式1】已知与互为相反数，求的值.
【答案】5
【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，得出方程，解出即可.
解：由题意得
化简得
解得
所以的值为5.
【点拨】本题考查相反数的性质，根据性质列出方程是关键.
【变式2】已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；
（2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？
（3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？
【答案】（1）数轴见分析，；（2）-8；（3）4
【分析】
（1）根据相反数的定义作图，再根据数轴右边的数大于左边的数排列即可；
（2）先得到b表示的点到原点的距离为8，然后根据数轴表示数的方法即可确定b表示的数；
（3）先得到-b表示的点到原点的距离为8，再利用数a表示的点与数的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的点到原点的距离为4，然后根据数轴表示数的方法确定a表示的数．
解：（1）a，b的相反数的位置表示如图：
∴；
（2）∵数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的点到原点的距离为8
∴b表示的数是-8；
（3）∵-b表示的点到原点的距离为8，而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距4个单位长度
∴a表示的点到原点的距离为8-4=4
∴a表示的数是4．
【点拨】本题考查了相反数和数轴的应用，灵活应用相反数的定义和数形结合思想是解答本题的关键．