2025年高考数学一轮专题复习--数列专题11（含解析）-练习

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典例1、已知数列，，为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列，并求数列的前项和.
随堂练习：已知数列满足，，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记在区间上，的项数为，求数列的前m项和.
典例2、设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前n项和．
随堂练习：设数列满足，且.
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
典例3、已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
（1）求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
随堂练习：已知数列，，且对任意，都有.
（1）设，判断数是否为等差数列或等比数列；
（2）若，，求数列的前项的和.
知识点一 累加法求数列通项,含绝对值的等差数列前n项和,由递推关系证明等比数列
典例4、已知在前n项和为的等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前20项和．
随堂练习：已知等差数列的前项和为，，，．
（1）求的通项公式
（2）设，求数列的前项之和．
典例5、已知是数列的前项和，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
随堂练习：已知等差数列的公差为，数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）请直接写出的结果.
典例6、在等比数列中，，公比，且，又有4是和的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前21项和．
随堂练习：在数列中，，，且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）设是数列的前项和，求.
人教A版数学--数列专题十一答案
典例1、答案： （1） （2）证明见解析，
解：（1）当， 所以，
当， 即，
所以 所以；
（2）当， 所以，
因为， 所以，
所以是， 所以， 所以，
令，
则=-1+，
，
.
随堂练习：答案： （1），； （2）前m项和为，.
解：（1）由题意知：为等差数列，设其公差为d，
由，得，又，
∴，则.
（2）由题及（1）得，，
∴.
典例2、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：当时，，，所以.
当时，有，，
两式相减得，
所以，则，
两式相减得，即，
因为数列各项均为正数，所以有，
又时，则，即，整理可得，
解得或（舍去），
所以，满足.
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，，所以.
所以，当为偶数时，.
当为偶数时，
；
当为奇数时，.
综上所述，.
随堂练习：答案： （1）证明见解析，; （2） .
解：（1）由已知得， 即，
是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.
，
当时，,
当时，也满足上式，所以;
（2）,
当为偶数时，
当为奇数时，
,
所以 .
典例3、答案：（1），证明见解析； （2）．
解：（1）①，，
当时，，∴或(舍)，
当时，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，，
∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴．
（2）∵，
∴，，成等差数列； ，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上可知．
随堂练习：答案：（1）答案见解析；（2）.
解:（1）由，得，，
所以，数列是等差数列.
当的公差为零时，，数列是等差数列，不是等比数列；
当的公差不为零时，，数列既是等差数列也是等比数列；
（2）若，由（1）知，
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，.
则，.
.
典例4、答案： （1）； （2）.
解：（1）由，则，
由，则，
所以，即，故， 则.
（2）由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为，
则由已知可得：，解得，
所以.
（2）因为，，
所以.
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）
当时，，
当时，，
也符合上式，所以，
（2）因为，所以时，；时，，
当时，，
当时，
.
综上：
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）为等差数列，，
得到公差，进而得到，
（2），
所以
令，得，又，
，整理得，
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）因为，可得，即，
又因为，所以，
因为4是和的等比中项，所以，
即与是方程的两个根，且，
所以，即，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由，可得，则，
则数列的前项和为，
当时，，所以；
当时，，
所以.
随堂练习：答案：（1）； （2）.
解：（1）由可得是等差数列，且公差，
所以.
（2）由，可得的前项和，
当时，，
，
当时，，此时，
所以
，
综上所述：