2025年高考数学一轮专题复习--数列专题12（含解析）-练习

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典例1、在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知为等差数列的前n项和，若________．
（1）求；
（2）记，已知数列的前n项和，求证：
随堂练习：在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
（1）求；（2）若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
典例2、在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______?
（1）求数列的通项公式:
（2）求证：.
随堂练习：设数列的前项和为，已知，__________.
（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：①数列是以为公差的等差数列；②.
典例3、已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件：
①；②；③
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前n项和，并证明：．
随堂练习：已知等差数列与正项等比数列，满足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.若______，求数列的前项和.（注：若多选，以选①评分）
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,错位相减法求和
典例4、已知为数列的前项和,．
（1）证明:数列为等比数列;
（2）求数列的前项和．
随堂练习：已知数列中，，且满足.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
典例5、已知数列的前n项和为．
（1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．
随堂练习：已知数列中，，数列的前项和为满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
典例6、对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数．
（1）定义在R上的函数满足：对任意，，都有，且；又数列满足．
（Ⅰ）求证：是数列的母函数； （Ⅱ）求数列的前n项和．
（2）已知是数列的母函数，且．若数列的前n项和为，求证：．
随堂练习：已知数列
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前项和．
人教A版数学--数列专题十二答案
典例1、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）选择条件①：设等差数列的公差为d，
则，解得， 故；
选择条件②：，
当时，，即，
当时，，也适合上式，故；
选择条件③：设等差数列的公差为，则，
解得、或、（不合题意），故．
（2）证明：因为，所以，
故，得证.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）方法1：选①和③
，整理得，
设等差数列的公差为，则有，
整理得,，解得，
又由，可得，解得，故，所以，
方法2：选①和②
，，所以，，
设等差数列的公差为，则有，
化简得，解得，，则，
方法3：选②和③，
，可得，，
设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得，
故，所以等差数列的通项公式为：.
（2），
典例2、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）选择①
当时，， ，
两式作差得：， 整理得，
所以为常数列，因此， 所以.
选择②
得，
两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为，
当时，，又，则，
当为偶数时，，
当为奇数时，， 综合得：；
选择③
又，得. 当时，，
两式相减得：，即.
又因为，所以，故为公差为1的等差数列，
得.
（2）证明：由（1）可得
所以
因为 所以
因此.
随堂练习：答案： （1）选择①②，都有； （2）证明见解析.
解：（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为
故，故；
当时，，
当时，，满足. 故的通项公式为；
若选择②
即，整理得：
故，即数列是首项为，公差为的等差数列，
与选择①相同，故的通项公式为.
（2）根据（1）中所求可得：，则
故
又，故可得.
典例3、答案： （1）； （2）；证明见解析.
解：（1）若选择条件①：因为，
当时，， 两式相减得，
所以当时，当n＝1时符合， ∴；
若选择条件②：因为，
当时， 两式相减得，，
∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴；
若选择条件③：∵，
∴时，， 两式相减得，
当n＝1时，，可得，， ∴时成立，
∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴；
（2）由（1）可知，
则， 所以，
因为， 所以各项均为正数， 所以，
又因为， 所以．
随堂练习：答案： （1）， （2）见解析
解：（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
由已知得，则，解得，
所以，；
（2）选①，则有
即.
选②，则有，设数列的前项和为，
，，
两式相减，，
解得.
选③，则由，
即.
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明:由题知, ,
解得:故,
由, 可得,,
两式相减可得: ,,
所以,, 所以,,
所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列;
（2）由(1)得数列是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以,
故, 则,
设,其前n项和为,
则①, ②,
①-②可得: ,
所以,
所以,
综上:.
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）
解：（1），
数列是以为首项，以5为公比的等比数列.
，
（2） ，
即①， ②，
由①②得： ，
， 化简得：.
典例5、答案： （1）证明过程见解析，； （2）；n为5．
解：（1）由，得，
即，
． 即， 又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
；
（2）由（1）知．
，①
，②
①-②，得
，
， ，
因为 所以，所以是递增数列，
，
使不等式成立的最大正整数n为5．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）当时，，；
当时，，
则，
又满足，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，则，；
，
则，
，
.
典例6、答案： （1）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）； （2）证明见解析.
解：（1）（Ⅰ）由题知，
且．
是数列的母函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首项和公差均为2的等差数列，故．
①
②
两式相减得： ；
（2）由题知：，．，
，从而是以为首项，
为公比的等比数列．
又．
故当时，
．
随堂练习：答案： （1）见解析 （2）
解：（1）证明：因为，所以，即，
又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
， 则， ，
两式相减得， 所以．