2025年高考数学一轮专题复习--数列专题13（含解析）-练习

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分组（并项）法求和
典例1、在数列中，，数列的前项和为．
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求．
随堂练习：已知数列各项均为正数，且
（1）求的通项公式；
（2）设，求．
典例2、已知数列的前n项和分别是，若
（1）求的通项公式；
（2）定义，记，求数列的前n项和．
随堂练习：已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，求数列的前n项和为．
典例3、数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前20项和．
随堂练习：已知数列满足，
（1）令，求，及的通项公式；
（2）求数列的前2n项和.
知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式能成立（有解）
典例4、已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求使不等式成立的所有正整数n组成的集合．
随堂练习：已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
典例5、已知数列的首项，且满足N*）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若＜100，求满足条件的最大正整数n．
随堂练习：已知数列和满足，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值.
典例6、已知等差数列的公差为，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式和；
（2）若数列的通项公式为，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．
随堂练习：已知是公差不为0的等差数列，为其前n项和，，.
（1）数列的通项公式；
（2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项.
人教A版数学--数列专题十三答案
典例1、答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）因为，所以
即数列是以首项为，公比为的等比数列
故，即
（2）
随堂练习：答案： （1）； （2）20.
解：（1）由得：，而，
因此，即数列是首项，
公差的等差数列，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，则有，
所以.
典例2、答案：（1）， （2）
解：（1）由，可得
所以是以为首项，以为公比的等比数列
所以，即
又，所以
所以
（2）满足上式，所以
由
当时，；当时，
所以，所以
当时，
当时，
综上，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）当时，，则，令，则，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，从而；
（2）因为，
所以
．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1），两式相除得：，
当时，
，
当时，
，
综上所述，的通项公式为：
（2）由（1）知：
数列的前20项和：


随堂练习：答案： （1），， （2）
解：（1）由题意得，，，，，
，，，
当时，，
又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）知，所以，
所以
.
典例4、答案： （1）, （2）
解：（1）因为数列的前n项和为， 所以当时，；
当时，，
满足上式，故.
所以，从而,化为，
又因为数列为正项等比数列且，设公比为，且，
又，解得或（舍），从而.
（2）不等式转化为，即，
记，，
当时，，从而单调递减，所以.
因此使不等式成立的所有正整数组成的集合为.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）因为， 所以，
所以，又， 所以， 所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
， ，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又 所以
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）， ，
又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，
，
若，则，
令，所以在上单调递增，
且， 所以满足条件的最大正整数．
随堂练习：答案： （1），；（2）或.
详解:（1）对任意的，，则，且，
所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，
故，，
因为，
所以，；
（2）设数列的前项和为，
则，
所以，，
上式下式，得，
所以，，
，
则，
由可得，
整理可得，解得， 因为，故或.
典例6、答案： （1）， （2）
解：（1）为等差数列，且，，即，
又公差，．，
所以，．
（2），，
，①
，②
①②得
，
，， ，
，且， 时，，
又，时，，
存在，使得对任意，总有成立．
，， 实数的取值范围为.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）由题设，，可得，
所以.
（2）由（1）知：，
若使为数列中的项，则必须为整数且m为正整数，
因此得或，
当时，，而是数列的最小项，故不符合题意，舍去；
当时，，符合题意， 所以.