2025年高考数学一轮专题复习--数列专题4（含解析）-练习

这是一份2025年高考数学一轮专题复习--数列专题4（含解析）-练习，共18页。
典例1、对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．
（1）已知，，且，若数列和满足：，且，；
①若，求的取值范围；
②求证：数列是“拟等比数列”；
（2）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．
随堂练习：已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”．
（1）若，求数列的前项和；
（2）设数列的“生成数列”为，求证：；
（3）若是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列．
典例2、已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.
（1）若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；
（2）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；
（3）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.
随堂练习：已知无穷数列满足：①；②（；
；）.设为所能取到的最大值，并记数列.
（1）若，写出一个符合条件的数列A的通项公式；
（2）若，求的值；
（3）若，求数列的前100项和.
典例3、对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作．
（1）若序列为1，2，3，求；
（2）若序列为1，2，…，n，求；
（3）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由．
随堂练习：若数列满足，则称为E数列.记
.
（1）写出一个满足，且的E数列；
（2）若，，证明E数列是递减数列的充要条件是；
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,等差数列前n项和的基本量计算,等比中项的应用,
数列不等式能成立（有解）问题
典例4、设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
随堂练习：已知数列的前项和为，且满足．设
，数列的前项和为．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
典例5、设首项为a的等比数列的前项和为，若等差数列的前三项恰为，，.
（1）求数列，的通项公式；（用字母a表示）
（2）令，若对恒成立，求实数a的取值范围.
随堂练习：已知数列和，记，分别为和的前项和，为的前项积，且满
足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
典例6、若数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
随堂练习：已知数列的前项和为，，数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
人教A版数学--数列专题四答案
典例1、答案：（1）①；②证明见解析 （2）
解：（1）①因为，，且，，，所以，的取值范围是；
②由题意可得， 则，即，
假设当时，，
则当时，，即，
所以，对任意的，，
所以，，，
即存在，使得， 所以，数列是“拟等比数列”.
（2）因为，，，
即，所以，
即，且有，
因为，则，所以，，
又因为数列是“拟等比数列”，故存在，使得，且数列为单调递减数列.
①当时，此时， 所以，，
因为，则，
因为数列在时单调递减，故， 而；
②当时，，则，
由，则，
因为数列在时单调递减，故.
由①②可得，即的取值范围是.
随堂练习：答案：（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析.
解：（1）因为，所以． 所以，
所以， ， 所以，
因为， 所以数列是等比数列， 所以数列的前项和为：；
（2）由题意可知，， 所以，
所以．所以 ， 所以，
由“生成数列”的定义可得， 所以．
累加可得.
（3）由题意知．由（2）可知．
① 当时，得，即， 所以， 所以.
即为公比等于1的等比数列，
②当时，令，则.
当时，显然．
若，则，与矛盾, 所以，即.
取，当时， ，显然是等比数列,
综上，存在正整数，使得时，是等比数列.
典例2、答案： （1），； （2）； （3）所有可能值为.
解：（1）由题设，，，，则，
，，，则， 所以，.
（2）若数列任意两项均不相等，
当时； 当且时，，
又，， 此时；
综上，，故，不合要求；
要使，即存在且使，即，
又，则， 当，则，不合要求；
当，则，满足题设； 综上，.
（3）由题设数列单调递增且，
由（2）知：，
根据题设定义，存在且，，
则，
由比数列中个项大，，同理， 所以；
又至少比数列中一项小，，同理，
所以；
综上，.
令数列，下证各值均可取到，
ⅰ、当，而数列递增，
，且，
此时，，，
则；
ⅱ、当时，，则，
当且时，令，则，
所以，，
此时；
ⅲ、给定，
令()且()，
则()，()，
又数列递增，，
()，()，
所以，
此时且，
故， 综上，.
随堂练习：答案： （1）； （2）； （3）.
解：（1）；
（2） 因为，所以，所以或. 因此.
当时， 且同时成立，此时.
当时，
且同时成立，此时矛盾. 综上，.
（3）因为， 所以. 所以.
由知，. 事实上，当时，
与同时成立， 所以，从而.
猜想数列：1，2，4，5，7，8，，
即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数A：的两条性质.
下面用数学归纳法证明.
①当时结论成立. ②假设时结论成立，则当时，
当时，此时，
由于； ；
上面各式均成立，此时有.
当时，此时， 由于；
；
上面各式均成立，此时有.
综上，数列是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成.
数列的前100项和为：.
典例3、答案： （1） （2） （3）充分不必要条件
解：（1）序列为1，2，3，，，，即8，．
（2）时，
时，．
时，，
时，，，
取时，，
取时，①，
则②，
①②得，
所以． 由序列为1，2，，，可得．
（3）序列为序列，2，，的一个排列，．而反之不成立．
例如取序列为：，，，2，1，满足．
因此是的充分不必要条件．
随堂练习：答案：（1）0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0）（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.
解：（1）（或 ）
（2）必要性：因为数列是递减数列， 所以 ，
所以是首项为，公差为的等差数列， 所以；
充分性：由于，，…，，
所以，即，
因为，所以， 所以数列是递减数列.
综上，结论得证． 令， 则．
（3）因为，，……,，
所以
因为，所以为偶数，
所以为偶数．
所以要使，必须使为偶数，即整除，亦即或．
当时， 数列的项满足，，时，
有，； 当时，
数列的项满足，，，时，
有，． 当，时，不能被整除，
所以对任意给定的整数,不存在数列使得，．
典例4、答案： （1）， （2）
解：（1）设等差数列的首项为，公差为则
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，所以，
①
②
②-①得： 化简得：，
又因为，即
即，
（i）当时，，所以；
（ii）当时，，
令，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
当时，取得最小值为
，即, 所以的取值范围是.
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）.
解：（1）因为，① 所以，②
②-①得，． 所以，
又， 即．
在①中，令得，，
又，所以． 所以，即．
所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，， 所以，
所以时，．
当时，适合上式， 所以．
所以， 所以．
令，得，即恒成立．
令，则．
当时，， 所以，解得， 故实数的取值范围为．
典例5、答案： （1）， （2）
解：（1）设等比数列的公比为，依题意有，故，
所以，即，解得， 所以，
又，所以公差， 所以；
（2）， 令，则，
，
所以， 所以，
由题意，对都有，即恒成立，
令，则时，
故时，数列递减，又，故，
所以，即的取值范围为.
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）时，①，②， ①-②得，
当时，③，④， ③÷④得.
由上可得，即，化简得.
当时，，，两式相等得，.
故，因此且，故. 综上，.
（2）， ⑤ ⑥
⑤－⑥得：，，
将代入得， 化简得，
因在单调递增，故的最小值为－4，故.
典例6、答案： （1）；（2）.
解：（1）因为，所以， 当，时，
所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为2，
所以，则；
（2）因为，所以，
由（1）， 所以恒成立，
当n为偶数时，恒成立，所以，
设，由于，
所以，当时，， 所以，
当n为奇数时，，若n=1，则有，
若，则有， 令，由于，
所以，综上，.
随堂练习：答案：（1），；（2）.
解:（1）当时，，∴，
当时，由
得，即，
∴数列是公差为2的等差数列， ∵，∴.
由条件得，， ∴，即数列是公比为2的等比数列， ∴.
（2），设数列的前项和为，则，
∴， ∴，，
∴， 由得， 累加得，
即， ∴， ∴，
令，则，
∴， ∴， ∴.