2025年高考数学一轮专题复习--数列专题10（含解析）-练习

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典例1、记为数列的前项和，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，记，求数列的前项和．
随堂练习：已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
典例2、已知等差数列是单调递增数列，，且，，成等比数列，是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求.
随堂练习：已知数列的前项和为，，，．
（1）求；
（2）设是数列的前项和，求．
典例3、已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
随堂练习：已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,由递推关系证明等比数列,裂项相消法求和
典例4、已知数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若__________，求数列的前项和.
（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）
随堂练习：已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.
①，；②；③. 从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：
（1）求； （2）求数列的前项和.
典例5、在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．
问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
（1）求； （2）若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
随堂练习：设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足______________．
条件①：；条件②：；条件③：．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列的前n项和．
参考公式：．
典例6、在①数列的前n项和；②且，，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列满足__________，求的通项公式；
（2）已知正项等比数列满足，，求数列的前n项和．
随堂练习：已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：
（1）求； （2）若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
人教A版数学--数列专题十答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）当且时，，
整理可得：，，
数列是公差为的等差数列.
（2）由（1）得：，
，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为，则，解得：，
.
（2）由（1）得：，
典例2、答案： （1）； （2）.
解：（1）设的公差为，则
∴，∵，∴，
∴的通项公式为.
（2）由（1）得，
.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）由题，可得，
又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，即．
（2）由（1）可得，
∴．
典例3、答案： （1）， （2）
解：（1）由题意，当时，，
当时，由， 可得，
两式相减， 可得，
化简整理，得， 也满足上式，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
，．
（2）由（1），可得，
则
．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）∵，，成等差数列，
∴， ∴，
设数列的公差为， ∴， ∴，
∵，解得：，
∵， ∴，，
∴；
（2）∵，
∴数列的前n项和为．
典例4、答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）∵，则，即
故数列是首项和公差都为2的等差数列， ∴，即
（2）选①：
∵，
∴.
选②：
∵，则有：
当时，；
当时，； ∴.
选③：
∵，
∴.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）选①
因为，所以当为奇数时，；
同理，当为偶数时，. 所以.
选②
因为，（*）所以当时，，（**）
（*）-（**），得，即，
所以数列是首项为1的常数列， 所以.
选③
因为，所以，
所以数列是首项为的常数列，
所以，所以当时，.
当时，也符合上式.所以.
（2）由（1）得，，
所以
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）方法1：选①和③
，整理得，
设等差数列的公差为， 则有：，
整理得,，解得，
又由，可得，解得，故，所以，
方法2：选①和②
，，所以，，
设等差数列的公差为，则有，
化简得，解得，，则，
方法3：选②和③，
，可得，，
设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得，
故，所以等差数列的通项公式为：.
（2），
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）若选择条件①：因为，所以，又，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．
所以，所以．
若选择条件②：因为，所以．
当时，，整理得，，
所以， 累乘得，，
当时，，符合上式， 所以．
若选择条件③：因为，所以，即，
所以，所以数列为常数列，
又，所以，即．
（2）由（1）知：，结合参考公式
可得
所以
所以
.
典例6、答案： （1）； （2）.
解：（1）若选①：数列的前n项和.
当时，，
当时，，上式仍成立， ∴的通项公式为．
若选②：且，.
由可得，所以是和的等差中项，
所以是等差数列.
设公差为，则由，可得，所以.
所以的通项公式为．
（2）设的公比为. 由（1）知，
又，所以， 即，又，所以，
所以，的通项公式为.
则，
所以
．
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为
选择①：由题意得，
故，解得， 所以.
选择②：由题意得，即
解得， 所以.
选择③：由题意得，
故，解得， 所以.
（2）由当为奇数时，，得数列的前项中奇数项的和为
，
由当为偶数时，，
得数列的前项中偶数项的和为：
，
故.