初中数学人教版（2024）八年级上册14.2 乘法公式综合与测试当堂检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册14.2 乘法公式综合与测试当堂检测题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算中，正确的是( )
A. a2+a4=a6B. 3a3⋅4a2=12a6
C. (2a+b)2=4a2+b2D. (-2ab2)3=-8a3b6
2.下列运算结果正确的是( )
A. x3⋅x3=x9B. 2x3+3x3=5x6
C. (2x2)3=6x6D. (2+3x)(2-3x)=4-9x2
3.下列运算正确的是( )
A. (m-1)2=m2-1B. (2m)3=6m3
C. m7÷m3=m4D. m2+m5=m7
4.下列运算正确的是( )
A. 3a+4b=7abB. (ab3)3=ab6
C. (a+2)2=a2+4D. a12÷a6=a6
5.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)n展开式的系数规律．

当代数式x4-12x3+54x2-108x+81的值为1时，则x的值为( )
A. 2B. -4C. 2或4D. 2或-4
6.下列运算正确的是( )
A. (-2a)2=-4a2B. (a-b)2=a2-b2
C. (-m+2)(-m-2)=m2-4D. (a5)2=a7
7.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式.给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：
8.已知a2-b2=12，且a-b=-2，则a+b= ．
9.化简：(a+1)2-a2= ．
10.若a+b=2，a-b=1，则a2-b2的值为______．
11.若实数m满足(m-2023)2+(2024-m)2=2025，则(m-2023)(2024-m)= ______．
12.已知y2-my+1是完全平方式，则m的值是______．
三、解答题：
13.计算：(x+2y)(x-2y)-y(3-4y)．
14.计算：(1)(1+38)0+|-2|- 9．
(2)(a+3)(a-3)+a(1-a)．
15.数学课上，老师给出一个整式(ax2+bx)-(x+1)(x-1)(其中a、b为常数，且表示为系数)，然后让同学给a、b赋予不同的数值进行探究．
(1)甲同学给出一组数据，最后计算结果为(x+1)2，请分别求出甲同学给出的a、b的值；
(2)乙同学给出了a=5，b=-4，请按照乙同学给出的数值说明该整式的结果为非负数．
16.已知x+1x=3，求下列各式的值：
(1)(x-1x)2；
(2)x4+1x4．
17.已知多项式A=(x+2)2+(x+2)(1-x)-3．
(1)化简多项式A；
(2)若(x+1)2=5，求A的值．
18.观察下面的等式：42-22=4×3，62-42=4×5，82-62=4×7，102-82=4×9⋯
(1)根据题目中规律的格式，写出202-182的结果为202-182= ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
19.阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
(1)应用规律：
①直接写出(a+b)4的展开式，(a+b)4= ______；
②(a+b)6的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；
(2)代数推理：
已知m为整数，求证：(m+3)3-(m-3)3能被18整除．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a2与a4不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、3a3⋅4a2=12a5，不符合题意；
C、(2a+b)2=4a2+4ab+b2，不符合题意；
D、(-2ab2)3=-8a3b6，符合题意．
故选：D．
根据合并同类项法则，同底数幂的计算法则，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的计算法则，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：A.x3⋅x3=x6，
则A不符合题意；
B.2x3+3x3=5x3，
则B不符合题意；
C.(2x2)3=8x6，
则C不符合题意；
D.(2+3x)(2-3x)
=22-(3x)2
=4-9x2，
则D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方法则以及平方差公式将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】C
【解析】解：由题意，对于A选项，(m-1)2=m2-2m+1≠m2-1，
∴A选项错误，不符合题意．
对于B选项，(2m)3=8m3≠6m3，
∴B选项错误，不符合题意．
对于C选项，m7÷m3=m4，
∴C选项正确，符合题意．
对于D选项，m2与m5不是同类项不能合并，
∴D选项错误，不符合题意．
故选：C．
依据题意，由完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项逐项判断可以得解．
本题主要考查了完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，解题时要能熟练掌握并理解．
4.【答案】D
【解析】解：3a与4b不是同类项，不能合并，所以A不正确，
因为(ab3)3=a3b9，所以B不正确，
因为(a+2)2=a2+4a+4，所以C不正确，
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可得D正确．
故选：D．
分别对四个选项进行计算即可．
本题主要考查了合并同类项的知识、幂的乘方的知识、完全平方公式的知识、同底数幂的除法的知识，难度不大．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意得：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴x4-12x3+54x2-108x+81
=x4+4x3⋅(-3)+6x2⋅(-3)2+4x⋅(-3)3+(-3)4
=(x-3)4，
∴(x-3)4=1，
开四次方得：x-3=1或x-3=-1，
解得：x=2或4．
故选：C．
观察题中的图表，表示出(a+b)4，根据已知代数式的值为1，确定出x的值即可．
此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：(-2a)2=4a2，所以A错误；
(a-b)2=a2-2ab+b2，所以B错误；
(-m+2)(-m-2)=m2-4，所以C正确；
(a5)2=a10，所以D错误．
故选：C．
分别对四个选项进行分析．
本题主要考查了整式乘法的知识、积的乘方的知识、幂的乘方的知识、平方差公式、完全平方公式，难度不大．
7.【答案】D
【解析】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
即图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有4个．
故选：D．
观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
8.【答案】-6
【解析】解：∵a2-b2=12，
∴(a+b)(a-b)=12，
∵a-b=-2，
∴a+b=-6，
故答案为：-6．
利用平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)计算即可．
本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9.【答案】2a+1
【解析】【分析】
原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键．
【解答】
解：(a+1)2-a2=a2+2a+1-a2=2a+1，
故答案为2a+1．
10.【答案】2
【解析】解：∵a+b=2，a-b=1，
∴a2-b2=(a+b)(a-b)=2×1=2．
故答案为：2．
根据平方差公式得a2-b2=(a+b)(a-b)，再将已知代入即可．
本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
11.【答案】-1012
【解析】【分析】
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式的变形是解题关键．根据a2+b2=(a+b)2-2ab即可得答案．
【解答】
解：(m-2023)2+(2024-m)2=2025，
[(m-2023)+(2024-m)]2-2(m-2023)(2024-m)=2025，
1-2(m-2023)(2024-m)=2025，
1-2025=2(m-2023)(2024-m)，
(m-2023)(2024-m)=-1012，
故答案为-1012．
12.【答案】±2
【解析】解：∵y2-my+1是完全平方式，y2-2y+1=(y-1)2，y2-(-2)y+1=(y+1)2，
∴-m=-2或-m=2，
∴m=±2．
故答案为：±2．
利用完全平方公式的意义解答即可．
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
13.【答案】解：原式=x2-4y2-(3y-4y2)
=x2-4y2-3y+4y2
=x2-3y．
【解析】利用平方差公式及单项式乘多项式法则进行计算即可．
本题考查整式的混合运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】解：(1)(1+38)0+|-2|- 9
=1+2-3
=0;
(2) (a+3)(a-3)+a(1-a)
=a2-9+a-a2
=a-9．
【解析】(1)根据零指数幂运算、去绝对值运算和算术平方根运算分别求解，再利用有理数加减运算求解即可得到答案;
(2)根据平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，合并同类项即可得到答案．
本题考查实数混合运算及整式混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
15.【答案】解：(1)由题意得：(ax2+bx)-(x+1)(x-1)=(x+1)2，
ax2+bx-(x2-1)=x2+2x+1，
ax2+bx-x2+1=x2+2x+1，
(a-1)x2+bx+1=x2+2x+1，
∴a-1=1，b=2，
∴a=2，b=2；
(2)当a=5，b=-4时，
(ax2+bx)-(x+1)(x-1)
=ax2+bx-(x2-1)
=5x2-4x-x2+1
=4x2-4x+1
=(2x-1)2≥0，
∴当a=5，b=-4时，(ax2+bx)-(x+1)(x-1)的结果为非负数．
【解析】(1)根据题意可得：(ax2+bx)-(x+1)(x-1)=(x+1)2，然后进行计算可得：(a-1)x2+bx+1=x2+2x+1，从而可得a-1=1，b=2，最后进行计算即可解答；
(2)把a，b的值代入式子中进行计算，然后利用完全平方公式进行分解计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2
∴(x-1x)2=x2-2⋅x⋅1x+1x2
=x2+2x⋅1x+1x2-4x⋅1x
=(x+1x)2-4x⋅1x
=32-4
=5；
(2)∵(x-1x)2=x2-2+1x2，
∴x2+1x2
=(x-1x)2+2
=5+2
=7，
∵(x2+1x2)2=x4+2+1x4，
∴x4+1x4
=(x2+1x2)2-2
=49-2
=47．
【解析】(1)利用完全平方公式的特征得到：(a-b)2=(a+b)2-4ab，用上述关系式解答即可；
(2)将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征将所求的式子进行适当变形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)A=x2+4x+4+x+2-x2-2x-3=3x+3；
(2)∵(x+1)2=5，
∴x+1=± 5，
则A=3x+3=3(x+1)=±3 5．
【解析】(1)根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并即可得；
(2)由(x+1)2=5得x+1=± 5，代入A=3x+3=3(x+1)可得．
本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式与项式乘多项式法则．
18.【答案】【小题1】
解：202-182=4×19，
故答案为：4×19．
【小题2】
解：根据上述等式，可得一般规律：第n个等式为(2n+2)2-(2n)2=4(2n+1)；
【小题3】
解：推理如下：
等式左边=(2n+2)2-(2n)2
=4n2+8n+4-4n2
=8n+4
=4(2n+1)
=等式右边，
故等式成立．

【解析】1.
本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
根据前4个等式，写出结果即可；
2.
根据上述等式，可得一般规律：第n个等式为(2n+2)2-(2n)2=4(2n+1)；
3.
证明等式左边=等式右边即可．
19.【答案】(1)①a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，②7，64；
(2)证明：∵(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，
∴(m+3)3-(m-3)3
=(m3+9m2+27m+27)-(m3-9m2+27m-27)
=m3+9m2+27m+27-m3+9m2-27m+27
=18m2+54
=18(m2+3)，
∴(m+3)3-(m-3)3能被18整除．
【解析】【分析】
(1)直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；
(2)直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．
本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
【解答】
(1)解：根据规律得：
①(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
②∵(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
∴(a+b)6的展开式中共有7项，所有项的系数和为1+6+15+20+15+6+1=64；
故答案为：①a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，②7，64；
杨辉三角
如果将(a+b)n(n为非负整数)的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
(a+b)0=1，它只有一项，系数为1；
(a+b)1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写．
该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡(B.Pascal,1623——1662)是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．