高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时巩固练习

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1．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A．(0，0)，(2，0) B.(－2，0)，(0，0)，(2，0)
C．－2，0，2 D．0，2
解析：选C.令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
2．函数f(x)＝(x2－1)eq \r(x2－4)的零点个数是( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，
即x2≥4，x≥2或x≤－2.
由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)．
即x＝2或x＝－2，
所以函数的零点个数为2个．故选B.
3．(多选)下列说法中正确的是( )
A．f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)
B．f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1
C．y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点
D．y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标
解析：选BD.根据函数零点的定义，知f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．因此，只有说法B，D正确．
4．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝|x| B.y＝2x2－3
C．y＝x3－x D．y＝eq \f(3,x)
解析：选C.对于选项A，y＝|x|是偶函数，与题意不符；对于选项B，y＝2x2－3是偶函数，与题意不符；对于选项C，y＝x3－x是奇函数，且存在零点x＝－1，0，1，与题意相符；对于选项D，y＝eq \f(3,x)是奇函数，但不存在零点，与题意不符．故选C.
5．不等式x2＋ax＋40(舍)．
从而g(x)的零点的集合为{－2－eq \r(7)，1，3}，故选D.
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x＜0.))若f(a)≤3，则a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
15．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜eq \f(4,3)；
由Δ＝0，可解得m＝eq \f(4,3)；
由Δ＜0，可解得m＞eq \f(4,3).
故当m＜eq \f(4,3)时，函数有两个零点；
当m＝eq \f(4,3)时，函数有一个零点；
当m＞eq \f(4,3)时，函数无零点．
(2)由已知得，0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
[C 拓展探究]
16．已知函数f(x)＝x2－2x－3.
(1)利用函数求不等式f(x)≥0的解集．
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？
解：(1)由x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)＝0，得x＝－1或x＝3，
所以函数f(x)有两个零点－1，3.
作出函数y＝f(x)的示意图如图所示，所以所求的不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(2)因为函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点，
所以方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两个不相等的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图像有两个交点．由图可知，－4