苏科版（2024）九年级上册2.2 圆的对称性课后练习题

这是一份苏科版（2024）九年级上册2.2 圆的对称性课后练习题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦D．直径是同一圆中最长的弦
2．如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（ ）
A．1B．C．D．
4．如图，在圆中，直径，垂足为，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC=BCB．
C．D．OC=CN
5．下列命题正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．弦所对的两条弧中点的连线必过圆心
D．过圆心的直线必垂直平分弦
6．如图，在平面直角坐标系中，是以原点为圆心、半径为4的圆，已知有一条直线与有两个交点、，则弦长的最小值为（ ）

A．4B．C．8D．
7．在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（ ）
A．B．2C．2D．4
8．我国古代数学名作《九章算术》中记载了“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，现有圆柱状的木材埋在墙壁里，不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度寸的时候，锯开的宽度尺（1尺寸），问木材的直径CD的长是（ ）
A．寸B．10寸C．13寸D．26寸
9．如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）

A．B．，
C．为等腰三角形D．为等边三角形
10．如图，在⊙O中，,若∠B=75°，则∠C的度数为( )
A．15°B．30°C．75°D．．60°
11．如图，是⊙O的直径，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点，使得；②若，则；③不是直角；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．③④C．②③④D．①②④
12．如图1，浩明利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为，，，脸盆的最低点C到AB的距离为，则该脸盆的半径为（ ）cm．
A．20B．25C．30D．35
二、填空题
13．如图，在中，于点的长为，则弦的长为 ．
14．在⊙O 中，AB 是直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，若 ，则 CE=DE（只需填一个适合的条件）．
15．已知的半径为13，弦，则上到弦所在直线的距离为1的点有 个．
16．⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为 ．
17．在中，直径，垂足为C，，则 ．
三、解答题
18．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2．点P，Q分别是BC，AD边上的一个动点，连结BQ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E，连结PD．
（1）若DQ＝且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；
（2）在点P，Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．

19．如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）

(1)在图1中，画出劣弧的中点；
(2)在图2的劣弧上找一点，使．
20．如图，是一个隧道的截面，如果路面宽为8米，净高为8米，那么这个隧道所在圆的半径的长．
21．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
22．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
23．如图，等腰三角形的顶角．和底边相切于的中点D，并与两腰分别相交于四点，其中分别是两腰的中点．求证：五边形是正五边形．
24．如图，点在上，．求证：．

参考答案：
1．D
【详解】试题解析：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项错误；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C、当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直，故本选项错误；
D、直径是同一圆中最长的弦，故本选项正确，
故选D．
2．C
【详解】解：由垂径定理得：

则过E点所有弦中长度为整数的有：6（1条）,7,8,9各两条,10（1条）；共8条.故选C.
3．C
【分析】先由得出再利用∠DAB＝30°通过解直角三角形AOE求出OE的长即可得到CE的长．
【详解】解：∵
∴
又∵∠DAB＝30°
∴
由勾股定理得，
∴
∴(负值舍去)
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系和勾股定理等知识，熟练掌握树敌太多一口价解答本题的关键．
4．D
【分析】根据垂径定理判定．
【详解】根据垂径定理可知，AC＝BC，，即A、B正确；∵MN为直径，∴，即C正确；OC和CN不一定相等，
故选D
【点睛】本题考查了垂径定理，熟知圆的性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据垂径定理及其推论结合圆的相关知识利用排除法，即可求解．
【详解】根据垂径定理，
A、过弦中点的直线不一定平分弦所对的弧，故A错误；
B、平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，故B错误；
C、根据圆的轴对称性可得弦所对的两条弧中点的连线必过圆心，故C正确；
D、过圆心的直线很多条，不一定垂直平分弦；故D错误.故选C.
【点睛】此题考查垂径定理及其推论，解题关键在于结合实际熟练运用垂径定理及其推论.
6．B
【分析】设交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，连接，过点作于点，先根据垂径定理可得点为的中点，，再求出，根据直线经过定点可得当直线与直线重合时，弦的值最小，由此即可得．
【详解】解：如图，设交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，连接，过点作于点，

则点为的中点，，
，即，
又∵直线经过定点，，
∴当直线与直线重合时，弦的值最小，其值等于，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理、一次函数的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键．
7．C
【分析】连接AC，作AE⊥CD于E，根据垂径定理和勾股定理得出CE＝DE＝CD，CE＝，所以当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，由于AE的最大值为AB，利用勾股定理即可求得CE的最小值，进而求得CD的最小值．
【详解】解：如图，连接AC，作AE⊥CD于E，
∴CE＝DE＝CD，CE＝
∵AC＝2，
∴当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，
∴当E点与B重合时，AE最大，
∵A（2，﹣1），B（1，0），
∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，
∴CE的最小值为：＝＝，
∴CD的最小值为2，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短以及坐标与图形性质，明确E点与B重合时，AE最大是解题的关键．
8．D
【分析】连接，设寸．利用勾股定理构建方程解题即可．
【详解】解：连接，设寸．
∵是直径，，
∴寸，
在中，，
∴，
∴，
∴寸，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
9．D
【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A．
根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B．
根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，A正确
∵，
∴，，B正确
∵，，，
∴，
∴为等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴C正确，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定．
10．C
【分析】由可得AB=AC，再由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=75°.
【详解】∵，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=75°.
故选C.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关键，根据得到AB=AC时解决问题的关键.
11．B
【分析】根据圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90°，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，即可得出．
【详解】①因为直径是圆中最长的弦,故①错误，
②若 则 PB＜2PA ，故②错误，
③ 因为直径所对的圆周角是90°，∠APB=90°，所以∠PAB不可能是90°，故③正确，
④ 连接PA，PO，如图
∵∠POB=∠PAO+∠APO
又∠PAO=∠APO
∴∠POB=2∠OPA
故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了与圆有关的性质，圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90°，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，解题的关键是掌握圆的有关的性质，直径，半径，圆周角，圆心角，弧，等知识是解题的关键．
12．B
【分析】设圆的圆心为，连接，，与交于点，设半径为，在中利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：设圆的圆心为，连接，，与交于点，设半径为，
∵，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用勾股定理列方程解决问题，属于中考常考题型．
13．/6厘米
【分析】本题考查了垂径定理．根据垂径定理即可求解．
【详解】解：∵于点的长为，
∴．
故答案为：．
14．CD⊥AB
【分析】根据垂径定理及其推论进行解答.
【详解】
如图，连接OC和OD，当AB⊥CD时，∠OEC=∠OED，可证明△OEC≌△OED，所以CE=DE.所以答案是CD⊥AB.
【点睛】本题的解题关键是掌握垂径定理及其推论.
15．3
【分析】过作半径于，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，即可得到上到弦所在直线的距离为1的点有3个．本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理，勾股定理求出的长．
【详解】解：如图，中，弦，
过作半径于，连接，
，
，
，
，
在上只有点到弦所在直线的距离为1，
，
在有两个点到弦所在直线的距离为1，
上到弦所在直线的距离为1的点有3个．
故答案为：3．
16．3或1
【分析】根据垂径定理推论，得AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可
【详解】如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，
∴，
∴AO⊥BC，
∴BD=BC=，
在Rt△OBD中，
∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为1或3．

【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
17．8或2
【分析】分两种情况：第一：，第二：；连接，根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①当时，如图1，
连接，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图2，
连接，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8或2．
【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．注意方程思想在解题中的作用．
18．（1）；（2）BE＝；菱形与圆重叠部分的面积为．
【分析】（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：（1）如图：

过点P作PT⊥BQ于点T，
∵AB＝2，AD＝BC＝2，DQ＝，
∴AQ＝，
在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ＝．
又∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP＝DQ＝，
∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，
∴△AQB∽△TBP，
∴
∴BT=，
∴BE＝2BT＝．
（2）设菱形BPDQ的边长为x，
则AQ＝2﹣x，
在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得
AB2+AQ2＝BQ2，
即4+（2﹣x）2＝x2，
解得x＝.
∵四边形BPDQ为菱形，∴BP=DP=,
又CP=BC-BP=,即DP=2CP,
∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，
∴连接PQ,易得△BPQ为等边三角形，
∴PQ=BP,
∴点Q也在圆P上，圆P经过点B,D,Q,如图.

∴点E、Q重合，
∴BE＝.
∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，
∴S菱形＝．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键．
（1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求；
（2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．

（2）如图，点即为所求．

20．5米
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．先根据垂径定理可得经过圆心点，，再设这个隧道所在圆的半径的长为米，则米，米，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意得：经过圆心点，，
米，
设这个隧道所在圆的半径的长为米，则米，
米，
米，
在中，，即，
解得，
答：这个隧道所在圆的半径的长为5米．
21．
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，先设拱桥半径为R，在直角三角形中，根据勾股定理可得到有关R的方程，求解即可得到结果，解题的关键是方程思想的应用．
【详解】解：∵，，
∴，
设拱桥半径为R，即，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴这座石拱桥主桥拱的半径为．
22．(1)图见解析，
(2)
【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案；
（2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案．
【详解】（1）解：，
如图，连接，
为圆心，，，
，
，
，
在中， ，
，
的长为；
（2）过作，连接，
由题得，，
在中，，
，
，
水面截线减少了．
23．见解析
【分析】连接DG，DF，AD,依题意根据三角形中位线性质可得DG＝AC，DF＝AB，进而可得四边形AGDF为平行四边形，根据等腰三角形的性质，进而证明四边形AGDF为菱形，结合已知条件，可得、、所对圆心角的度数均为72°，进而证明，可得＝，且所对圆心角的度数均为72°，＝＝＝＝，进而得证．
【详解】证明：连接DG，DF，,
∵D，G，F分别为，的中点，
∴DG∥AC，DF∥AB， DG＝AC，DF＝AB ，
∴∠DFE＝∠A＝∠GDF，∠BGD＝∠A，四边形AGDF为平行四边形，
,分别为的中点，
四边形AGDF为菱形，
,
∴、、所对圆心角的度数均为72°，
从而与所对圆心角的度数之和为，
，
又
∴＝，且所对圆心角的度数均为72°，
∴＝＝＝＝，
∴五边形DEFGH是正五边形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，菱形的性质与判定，弧、弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，证明＝，且所对圆心角的度数均为72°是解题的关键．
24．见解析
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，进而可得，即可得证．
【详解】证明：，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
D
C
B
C
D
D
C
题号
11
12








答案
B
B