2024年人教版数学八年级上册同步讲义第十四章第01讲 整式的乘除-幂的运算（2份，原卷版+解析版）

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第01讲 整式的乘法——幂的运算知识点01 同底数幂的乘法 同底数幂的概念：底数 相同 的幂叫做同底数幂。同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 。即 。（m、n都是正整数）推广： 。（m、n...p都是正整数）底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。同底数幂的乘法的逆运算： 。（m、n都是正整数）题型考点：①同底数幂的乘法计算。②利用运算法则求值。③同底数幂的逆运算。【即学即练1】1．计算（1）a2•a4（2）22×23×2（3）4×27×8（4）（﹣a）2•（﹣a）3（5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3（6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3．【解答】解：（1）a2•a4＝a2+4＝a6．（2）22×23×2＝22+3+1＝26．（3）4×27×8＝22×27×23＝22+7+3＝212．（4）（﹣a）2•（﹣a）3＝（﹣a）2+3＝（﹣a）5．（5）（x﹣2y）2（x﹣2y）3＝（x﹣2y）2+3＝（x﹣2y）5．（6）（x﹣2y）2（2y﹣x）3＝﹣（x﹣2y）2+3＝﹣（x﹣2y）5．【即学即练2】2．若2m•2n＝32，则m+n的值为（　　）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵2m•2n＝2m+n＝32＝25，∴m+n＝5，故选：B．【即学即练3】3．10x＝a，10y＝b，则10x+y+2＝（　　）A．2ab B．a+b C．a+b+2 D．100ab【解答】解：10x+y+2＝10x×10y×102＝100ab．故选：D．知识点02 幂的乘方幂的乘方的运算： 幂的乘方的运算法则，底数 不变 ，指数 相乘 。即 。（m、n都是正整数）推广： 。（m、n...p都是正整数）逆运算： = 。（m、n都是正整数） 题型考点：①幂的乘方的运算。②利用运算法则与逆运算求值。【即学即练1】4．计算：（1）（102）3； （2）﹣（a2）4； （3）（x3）5•x3； （4）[（﹣x）2]3； （5）（﹣a）2（a2）2； （6）x•x4﹣x2x3．【解答】解：（1）（102）3＝106；（2）﹣（a2）4＝﹣a8；（3）（x3）5•x3＝x15•x3＝x18；（4）[（﹣x）2]3＝x6；（5）（﹣a）2（a2）2＝a2•a4＝a6；（6）x•x4﹣x2x3＝x5﹣x5＝0．【即学即练2】5．若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝　9　．【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，∴a+3b＝2，则3a•27b＝3a×33b＝3a+3b＝32＝9．故答案为：9【即学即练3】6．若3×9m×27m＝321，则m＝　4　．【解答】解：3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m+1，故5m+1＝21，解得：m＝4．故答案为：4．【即学即练4】7．已知：am＝2，an＝5，则a3m+2n＝　200　．【解答】解：a3m+2n＝a3m•a2n＝（am）3（an）2＝8×25＝200．故答案为：200．知识点03 积的乘方轴对称与轴对称图形的性质： 积的乘方等于乘法的积。即把积中的每一个因式分别 乘方 ，再把所得的幂 相乘 。 即： 。（m为正整数） 推广： 。（m为正整数）逆运算： 。（m为正整数） 题型考点：①积的乘方的运算。②利用运算法则与逆运算求值。【即学即练1】8．计算：（1）（﹣5ab）3；（2）﹣（3x2y）2；（3）（﹣1ab2c3）3；（4）（﹣xmy3m）2．【解答】解：（1）（﹣5ab）3＝（﹣5）3a3b3＝﹣125a3b3；（2）﹣（3x2y）2＝﹣32x4y2＝﹣9x4y2；（3）（﹣1ab2c3）3＝（﹣ab2c3）3＝（﹣）3 a3b6c9＝﹣a3b6c9；（4）（﹣xmy3m）2＝（﹣1）2x2my6m＝x2my6m．【即学即练2】9．如果（am•bn•b）3＝a9b15，那么m，n的值等于（　　）A．m＝9，n＝﹣4 B．m＝3，n＝4 C．m＝4，n＝3 D．m＝9，n＝6【解答】解：∵（am•bn•b）3＝a3m•b3n•b3＝a3m•b3n+3＝a9b15，∴3m＝9，3n+3＝15，解得：m＝3，n＝4．故选：B．【即学即练3】10．若ax＝2，bx＝3，则（a2b）2x＝　144　．【解答】解：（a2b）2x＝a4x×b2x＝（ax）4×（bx）2＝16×9＝144．故答案为：144．【即学即练4】11．计算（）2017×1.52016×（﹣1）2017＝　﹣1　．【解答】解：原式＝（﹣×1.5×1）2016×（﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法运算法则： 同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。 即： 。（a≠0，m、n为正整数，且m＞n） 推广： 。（a≠0，m、n、p为正整数且m＞n+p）逆运算： 。（a≠0，m、n为正整数）。 题型考点：①同底数幂的除法运算。②运用运算法则与逆运算求值。【即学即练1】12．计算（1）a7÷a4（2）（﹣m）8÷（﹣m）3（3）（xy）7÷（xy）4（4）x2m+2÷xm+2（5）（x﹣y）5÷（y﹣x）3（6）x6÷x2•x【解答】解：（1）a7÷a4＝a3；（2）（﹣m）8÷（﹣m）3＝（﹣m）5＝﹣m5；（3）（xy）7÷（xy）4＝（xy）3＝x3y3；（4）x2m+2÷xm+2＝xm；（5）（x﹣y）5÷（y﹣x）3＝﹣（y﹣x）5÷（y﹣x）3＝﹣（y﹣x）2；（6）x6÷x2•x＝x4•x＝x5．【即学即练2】13．若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n等于（　　）A． B．6 C．21 D．20【解答】解：∵3m＝5，3n＝4，∴32m﹣n＝（3m）2÷3n＝25÷4＝．故选：A．【即学即练3】14．若3n＝2，3m＝5，则32m+3n﹣1＝　　．【解答】解：∵3n＝2，3m＝5，∴32m+3n﹣1＝（3m）2×（3n）3÷3＝25×8÷3＝．故答案为：【即学即练4】15．已知：xm＝4，xn＝2，求x3m﹣4n的值为　4　．【解答】解：∵xm＝4，xn＝2，∴x3m﹣4n＝（xm）3÷（xn）4＝43÷24＝4．故答案为：4．知识点05 0次幂与负整数指数幂0次幂的计算： 任何不等于0的数的0次幂都等于 1 。即： 1 。（a≠0）证明： = 。 ∵相等的两数（都不为0）的商等于1 ∴1 ∴=1负整数指数幂的计算：一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的 倒数 。即： 。（a≠0）证明： = 。写成分数的形式为计算：即： = = 。 ∴= 题型考点：①0次幂的计算与负整数指数幂的计算。【即学即练1】16．计算：（1）（﹣5）﹣2；（2）（﹣3）0；（3）10﹣5；（4）（﹣0.25）﹣3．【解答】解：（1）（﹣5）﹣2＝；（2）（﹣3）0＝1；（3）10﹣5＝0.00001；（4）（﹣0.25）﹣3＝（﹣4）3＝﹣64．【即学即练2】17．计算：（2023﹣π）0＝　1　．【解答】解：（2023﹣π）0＝1．故答案为：1．【即学即练3】18．如果（2x+4）0＝1，则x的取值范围是 　x≠﹣2　．【解答】解：∵（2x+4）0＝1，∴2x+4≠0，∴x≠﹣2，故答案为：x≠﹣2．【即学即练4】19．若（5﹣2x）x+1＝1，则x＝　﹣1或2或3　．【解答】解：由题意，①当5﹣2x＝1时，即x＝2时，12＝1，符合题意．②当5﹣2x≠1且5﹣2x≠0时，由题意，x+1＝0，即x＝﹣1，此时70＝1，符合题意．③当5﹣2x＝﹣1时，即x＝3，此时（﹣1）4＝1，符合题意．综上，x＝﹣1或x＝2或x＝3．故答案为：﹣1或2或3．【即学即练5】20．计算：．【解答】解：＝1+4—2＝3．【即学即练6】21．计算：．【解答】解：原式＝﹣1+1﹣2+9＝7．题型01 幂的运算【典例1】计算：（1）（﹣x）3•x2•（﹣x）4；（2）﹣（﹣a）2•（﹣a）7•（﹣a）4（3）（﹣b）4•（﹣b）2﹣（﹣b）5•（﹣b）；（4）（﹣x）7•（﹣x）2﹣（﹣x）4•x5．【解答】解：（1）（﹣x）3•x2•（﹣x）4＝﹣x3•x2•x4＝﹣x9；（2）﹣（﹣a）2•（﹣a）7•（﹣a）4＝﹣a2•（﹣a7）•a4＝a13；（3）（﹣b）4•（﹣b）2﹣（﹣b）5•（﹣b）＝b4•b2﹣（﹣b5）•（﹣b）＝b6﹣b6＝0；（4）（﹣x）7•（﹣x）2﹣（﹣x）4•x5＝（﹣x7）•x2﹣x4•x5＝﹣x9﹣x9＝﹣2x9．【典例2】计算：（1）（p﹣q）5•（q﹣p）2；（2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）（m、n是正整数）；（3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）．【解答】解：（1）原式＝（p﹣q）5•（p﹣q）2＝（p﹣q）7；（2）原式＝﹣（s﹣t）m+m+n+1＝﹣（s﹣t）2m+n+1；（3）原式＝x2n+1+x2n+1＝2x2n+1．【典例3】计算：（1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3；（2）（﹣x3）2•（﹣x2）3；（3）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4；（4）（）2023×（﹣1.25）2024．【解答】解：（1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3＝（﹣m）1+2+3＝（﹣m）6＝m6；（2）（﹣x3）2•（﹣x2）3＝x6•（﹣x6）＝﹣x12；（3）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4＝（m﹣n）•[﹣（m﹣n）3]•（m﹣n）4＝﹣（m﹣n）8；（4）（）2023×（﹣1.25）2024＝（）2023×（﹣）2023×（﹣）＝[×（﹣）]2023×（﹣）＝（﹣1）2023×（﹣）＝﹣1×（﹣）＝．【典例4】计算：（1）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2；（2）（a﹣b）2•（b﹣a）4+（b﹣a）3•（a﹣b）3．【解答】解：（1）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2＝﹣8x6+x6﹣9x6＝﹣16x6；（2）（a﹣b）2•（b﹣a）4+（b﹣a）3•（a﹣b）3＝（a﹣b）2•（a﹣b）4﹣（a﹣b）3•（a﹣b）3＝（a﹣b）6﹣（a﹣b）6＝0．【典例5】．已知n为正整数，且x2n＝3，求下列各式的值：（1）xn﹣3•x3（n+1）；（ 2）5（x3n）2﹣2（﹣x2）2n．【解答】解：（1）∵n为正整数，且x2n＝3，∴xn﹣3•x3（n+1）＝xn﹣3•x3n+3＝x4n＝（x2n）2＝32＝9；（ 2）5（x3n）2﹣2（﹣x2）2n＝5x6n﹣2x4n＝5（x2n）3﹣2（x2n）2＝5×33﹣2×32＝117．【典例6】计算：（1）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5；（2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）．【解答】解：（1）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5＝a6•a8÷（﹣a10）＝﹣a14÷a10＝﹣a4；（2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）＝（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•[﹣（s﹣t）]＝﹣（s﹣t）2m+n+1．【典例7】计算：（1）x7÷x3•x4；（2）m•m3+（﹣m2）3÷m2．【解答】解：（1）x7÷x3•x4＝x4•x4＝x8；（2）m•m3+（﹣m2）3÷m2＝m4+（﹣m6）÷m2＝m4﹣m4＝0．题型02 0次幂与负整数指数幂的计算【典例1】（π﹣2023）0＝　1　．【解答】解：（π﹣2023）0＝1．故答案为：1．【典例2】计算：（）0+|﹣1|＝　2　．【解答】解：原式＝1+1＝2．故答案为：2．【典例3】若（x﹣4）0＝1成立，则x应满足的条件是 　x≠4　．【解答】解：根据题意可得：x﹣4≠0，解得：x≠4，故答案为：x≠4．【典例4】如果（x﹣1）x+2＝1成立，那么满足它的所有整数x的值是 　﹣2、2或0　．【解答】解：当x+2＝0且x﹣1≠0时，x＝﹣2；当x﹣1＝1时，x＝2；当x﹣1＝﹣1时，x＝0．综上所述，x＝﹣2，2或0．故答案为：﹣2、2或0．【典例5】计算：＝　3　．【解答】解：，故答案为：3．【典例6】计算：20230﹣（﹣27）×3﹣3＝　2　．【解答】解：原式＝1﹣（﹣27）×＝1+1＝2．故答案为：2．【典例7】（﹣2）﹣2+（π﹣2）0＝　　．【解答】解：（﹣2）﹣2+（π﹣2）0＝+1＝，故答案为：．题型03 利用运算法则与逆运算求值【典例1】已知ax＝3，ay＝5，求：ax+y的值．【解答】解：∵ax＝3，ay＝5，∴ax+y＝ax•ay＝3×5＝15．【典例2】如果（3xmym﹣n）3＝27x12y9成立，那么整数m和n的差是多少？【解答】解：∵（3xmym﹣n）3＝27x3my3（m﹣n）＝27x12y9，∴，解得：，即：m﹣n＝4﹣1＝3．【典例3】（1）已知am＝3，an＝4，求a2m+3n的值；（2）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．【解答】解：（1）a2m+3n＝a2m•a3n＝（am）2•（an）3＝32×43＝576；（2）∵9n+1﹣32n＝72，∴9n×9﹣9n＝72，8×9n＝72，∴n＝1．【典例4】（1）已知am＝3，an＝2，求a3m+2n的值．（2）已知2x+3•3x+3＝62x﹣4，求x的值．【解答】解：（1）当am＝3，an＝2时，a3m+2n＝a3m×a2n＝（am）3×（an）2＝33×22＝27×4＝108；（2）∵2x+3•3x+3＝62x﹣4，∴（2×3）x+3＝62x﹣4，6x+3＝62x﹣4，∴x+3＝2x﹣4，解得：x＝7．【典例5】（1）若3m＝6，9n＝2，求3m﹣2n的值；（2）若x2n＝3，求（x3n）2﹣（x2）2n的值．【解答】解：（1）∵3m＝6，9n＝2，∴3m﹣2n＝3m÷32n＝3m÷（32）n＝3m÷9n＝6÷2＝3；（2）∵x2n＝3，∴（x3n）2﹣（x2）2n＝x6n﹣x4n＝（x2n）3﹣（x2n）2＝33﹣32＝27﹣9＝18．【典例6】计算（﹣1）2021×（）2023的结果等于（　　）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣【解答】解：（﹣1）2021×（）2023＝（﹣）2021×（）2021×（）2＝[（﹣）×（）]2021×（）2＝（﹣1）2021×（）2＝﹣1×＝﹣，故选：D．【典例7】（﹣0.125）2013×（﹣8）2014的值为（　　）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【解答】解：（﹣0.125）2013×（﹣8）2014＝[（﹣0.125）×（﹣8）]2013×（﹣8）＝12013×（﹣8）＝﹣8，故选：C．题型04 利用幂的运算进行大小比较【典例1】已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是（　　）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝433＝（43）11＝6411，则8111＞6411＞3211，∴b＞c＞a．故选：A．【典例2】已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（　　）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故选：A．【典例3】比较下列各题中幂的大小：（1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系；（2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系；（3）已知，，比较P，Q的大小关系．【解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，622＝（62）11＝3611，∵3211＜3611＜8111＜12511，∴255＜622＜344＜533；（2）∵a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122，∵3122＜3123＜3124，∴961＜2741＜8131，∴c＜b＜a；（3）∵，∴P＝Q．1．下列运算正确的是（　　）A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5 C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3【解答】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此选项符合题意；B．（y3）2＝y6，故此选项不合题意；C．x2•x2＝x4，故此选项不合题意；D．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意．故选：A．2．若3×32m×33m＝311，则m的值为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵3×32m×33m＝311，∴31+2m+3m＝311，∴1+2m+3m＝11，m＝2，故选：A．3．若am＝5，an＝3，则am+n的值为（　　）A．8 B．11 C．15 D．45【解答】解：∵am＝5，an＝3，∴am+n＝am×an＝5×3＝15；故选：C．4．计算0.1252023×（﹣8）2022的结果是（　　）A．﹣0.125 B．0.125 C．8 D．﹣8【解答】解：0.1252023×（﹣8）2022＝0.125×0.1252022×（﹣8）2022＝0.125×[0.125×（﹣8）]2022＝0.125；故选：B．5．计算（﹣3a2b）2的结果正确的是（　　）A．﹣6a4b2 B．6a4b2 C．﹣9a4b2 D．9a4b2【解答】解：（﹣3a2b）2＝（﹣3）2•（a2）2•b2＝9a4b2．故选：D．6．若3m+2n＝5，则8m•4n＝（　　）A．16 B．25 C．32 D．64【解答】解：8m⋅4n＝（23）m•（22）n＝23m•22n＝23m+2n＝25＝32．故选：C．7．已知2x＝5，2y＝10，则23x﹣2y的值为（　　）A． B． C． D．﹣5【解答】解：∵2x＝5，2y＝10，∴23x﹣2y＝，故选：C．8．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（　　）A．3 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵25a•52b＝56，4b÷4c＝4，∴52a•52b＝56，4b﹣c＝4，∴2a+2b＝6，b﹣c＝1，即a+b＝3，b﹣1＝c，∴a2+ab+3c＝a（a+b）+3（b﹣1）＝3a+3b﹣3＝3（a+b）﹣3＝3×3﹣3＝9﹣3＝6．故选：B．9．已知a＝2555，b＝3444，c＝6222，则a、b、c的大小关系是 　a＜c＜b　（请用字母表示，并用“＜”连接）．【解答】解：a＝2555＝（25）111＝32111，b＝3444＝（34）111＝81111，c＝6222＝（62）111＝36111．∵32＜36＜81，∴32111＜36111＜81111．∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．10．已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，那么a、b、c之间满足的等量关系是 　c＝a2b　．【解答】解：20n＝（4×5）n＝（22×5）n＝22n×5n＝（2n）2×5n＝a2b＝c，∴a、b、c之间满足的等量关系是c＝a2b．故答案为：c＝a2b．11．若（2a﹣1）0＝1成立，a的取值范围是　a≠　．【解答】解：∵（2a﹣1）0＝1成立，∴2a﹣1≠0，∴a≠，故答案为：a≠．12．计算：（﹣）﹣3+（﹣2023）0＝　﹣7　．【解答】解：（﹣）﹣3+（﹣2023）0＝﹣8+1＝﹣7，故答案为：﹣7．13．（1）已知am＝2，an＝3，求am+n的值；（2）已知9•32x•27x＝317，求x的值．【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3，am+n＝am•an＝2×3＝6；（2）∵9•32x•27x＝317，∴32×32x×（33）x＝317，32×32x×33x＝317，32+2x+3x＝317，2+2x+3x＝17，解得：x＝3．14．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4•an，所以an＝5．（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：小贤的作业计算：89×（﹣0.125）9．解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：　an•bn＝（ab）n　．②计算：52023×（﹣0.2）2022．【解答】解：（1）∵am＝2，∴a2m+n＝24，∴a2m×an＝24，（am）2×an＝24，22×an＝24，∴4an＝24，∴an＝6；（2）①逆用积的乘方，其公式为：an•bn＝（ab）n，故答案为：an•bn＝（ab）n；②52023×（﹣0.2）2022＝5×52022×（﹣0.2）2022＝5×（﹣0.2×5）2022＝5×（﹣1）2022＝5×1＝5．15．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3（1）根据上述规定，填空：（3，81）＝　4　，（4，1）＝　0　，＝　﹣2　；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的理由：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用这种方法判断（3，7）+（3，8）＝（3，56）是否成立，若成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵34＝81，∴（3，81）＝4；∵40＝1，∴（4，1）＝0；∵，∴．故答案为：4；0；﹣2．（2）成立，理由如下：设（3，7）＝x，（3，8）＝y，则3x＝7，3y＝8，∴3x+y＝3x⋅3y＝7×8＝56，∴（3，56）＝x+y，∴（3，7）+（3，8）＝（3，56）．课程标准学习目标①同底数幂的乘法与除法②幂的乘方与积的乘方③0指数幂与负整数指数幂掌握同底数幂的乘法和除法运算法则，熟练并加以应用。掌握幂的乘方与积的乘法的运算法则，熟练并加以应用。掌握0次幂与负整数指数幂的计算法则，熟练并加以应用。