北师大版数学七年级下册同步讲义第四章第03讲 探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第03讲 探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.知识点01 全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）.特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点02 全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．知识点03 全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．题型01 三角形的稳定性及应用【例题】（2024上·广西南宁·八年级统考期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ）A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于【变式训练】1．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（   ）A．B．C． D．2．（2024上·福建厦门·八年级统考期末）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（    ）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线C．三角形具有稳定性 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．（2024上·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是 ．题型02 用SSS证明两三角形全等【例题】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．  【变式训练】1．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．  2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，点分别在上，，．(1)求证：；(2)求证：．题型03 用ASA证明两三角形全等【例题】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，点，点在上，，求证：．  【变式训练】1．（2023·校联考一模）如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在和中，，点B为中点，．(1)求证：．(2)若，求的长．题型04 用AAS证明两三角形全等【例题】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E在边上，，，．求证：【变式训练】1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，，，．  (1)求证：．(2)当，时，求的度数．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点是线段上一点，，．(1)求证：；(2)求证：．题型05 用SAS证明两三角形全等【例题】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知，，．求证：．  【变式训练】1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，．求证：．2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．  题型06 添加条件使两三角形全等【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．  【变式训练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点在一条直线上，已知，请你添加一个适当的条件_________使得．（要求不添加任何线段）  2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点，，，在一条直线上，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________．一、单选题1．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）巴东长江大桥全长公里，位于长江水道之上，是连接巴东县南北两岸的重要通道．如图，这是大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是（    ）A．三角形的内角和为 B．三角形的稳定性C．两点之间线段最短 D．垂线段最短2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（    ）A． B． C． D．3．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）在下列条件中，不能作为判断的条件是（   ）A． B． C． D． 4．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图，中，，于点D，于点E，若，则的长为（    ）A．2 B．3 C．4 D．75．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为（    ）  A． B． C． D．二、填空题6．（2022上·新疆喀什·八年级校考期中）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是 7．（2024上·河南新乡·八年级统考期末）如图，，，若要证明，需要补充的个条件是 ．（写出一个即可）8．（2024上·山东滨州·八年级统考期末）如图，将两根长度相等的钢条，的中点固定在点，使，可以绕着点转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽，原因是和全等，那么判定和全等的依据为 ．  9．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度，如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点和、，使点、、共线且河岸平行，、分别与河岸垂直且A、、三点共线，他们已测得，河宽的长为 ．10．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过 s后，与全等．三、解答题11．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．  (1)求证：．(2)若，求的度数．12．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O．(1)求证：；(2)若，，求的长．13．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．(1)求证：；(2)若，求的长．14．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，．   (1)求证：；(2)若，，求的度数．15．（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．16．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．  (1)求证：；(2)若，，求的度数．17．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．  (1)求证：；(2)若，，求池塘的长度．18．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，．  (1)求证：；(2)若，，求四边形的面积；(3)猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想．