初中数学北师大版（2024）七年级下册5 利用三角形全等测距离课后复习题

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册5 利用三角形全等测距离课后复习题，文件包含北师大版数学七年级下册同步讲义第四章第06讲用尺规作三角形与利用三角形全等测距离6类热点题型讲练原卷版docx、北师大版数学七年级下册同步讲义第四章第06讲用尺规作三角形与利用三角形全等测距离6类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。

1.理解角的有关概念：会用尺规按要求作三角形：已知两边及夹角作三角形,已知两角及夹边作三角形，已知三边作三角形.
2.通过尺规作图的学习，培养观察分析、类比归纳的探究能力，加深对类比与转化、分类讨论等数学思想的认识.
3.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系.
4.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达，提高分析解决问题的能力.
知识点01 利用尺规作三角形
在学习之前先要对尺规作线段和尺规作角熟练掌握并应用，根据给出的不同条件采用不同方法作出图形；有三种基本类型:
(1)已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是SAS;
(2)已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是ASA;
(3)已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是SSS.
知识点02 利用三角形全等测距离
1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造
全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量．
2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：
构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；
构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；
构造三边对应相等的两个全等三角形.
总结：利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”．
题型01 结合尺规作图的全等问题
【例题】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( )
A．， B．，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据证明三角形全等即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
【详解】解：由作图可知，，，，
在和中，
，
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键．
【详解】解：由作图得：，，
在和中，
，
∴，
∴能得到的依据是．
故选：C．
2．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）

A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．
题型02 尺规作图——作三角形
【例题】（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）．
(1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）．
(2)这样的三角形能作几个？
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（1）先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和即为所作；
（2）由作图即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，和即为所作，
；
（2）解：由图可得：这样的三角形能作个．
1．（23-24八年级上·广东广州·期中）作三角形：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，先作已知角，再作已知边，即可求得结果，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
【详解】解：如图：①作，
②在上截取，在上截取，连接，
，
则即为所求．
2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知和线段a，b，用直尺和圆规作，，（保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】本题考查了作图，作一个角等于已知角和用已知线段画三角形，先作，再在上截取，然后以C为圆心，b为半径画弧交于A和，则和满足条件．
【详解】解：这样的三角形能作2个．
如图，和为所作．
题型03 全等三角形的性质
【例题】（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，，则的长是 ．
【答案】5
【分析】本题考查三角形全等的性质，根据得到，结合，，，在同一直线上即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，在同一直线上，，，
∴，
故答案为：5．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，，点E在AB上，DE与AC交于点F，，，则 ．
【答案】/24度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可．
【详解】解：，，，
，，，
，
，
故答案为：．
2．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点E在上，，若，则的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了全等三角形的性质，能求出，的长是解此题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：1
题型04 利用全等三角形求动点问题的多解题
【例题】（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等．
【答案】4
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识．设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：于，于，
，
设运动分钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
①若，则，
，，，
；
②若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动4分钟后与全等；
故答案为：4．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，，，点P在线段上以每秒1个单位长度的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上以每秒x个单位长度的速度由点B向点D运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．当与全等时，x的值为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解．由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
与全等，，
∴分两种情况求解：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，
解得，
，即，解得；
综上所述，的值是1或，
故答案为：1或．
2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等．
【答案】2或或12
【分析】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上．
【详解】解：与全等，
斜边斜边，
分四种情况：
当点在上，点在上，如图：
，
，
，
当点、都在上时，此时、重合，如图：
，
，
，
当点到上，点在上时，如图：
，
，
，不符合题意，
当点到点，点在上时，如图：
，
，
，
综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等，
故答案为：2或或12．
题型05 利用三角形全等测距离
【例题】（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端，之间的距离，由于条件限制无法直接测得．请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．
(1)画出测量示意图；
(2)写出测量的步骤；（测量数据用字母表示）
(3)计算，之间的距离．（写出求解或推理过程，结果用字母表示）
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)设，，之间的距离为
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是构造两个全等的三角形．
（1）由于无法直接测得，故间接构造两个涉及边的全等三角形，如解析所示；
（2）在湖岸上找可以直接到达，的一点，构造，，即可；
（3）利用证明，由全等三角形的性质可得，则的长度就是的长度．
【详解】（1）解：测量示意图如下图所示；
（2）在湖岸上找可以直接到达，的一点，连接并延长到使得，连接并延长到点使得，连接，则，测量的长度，即的长度为；
（3）设，
由测量方案可知，，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．

(1)求证：；
(2)若，，求池塘的长度．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)44m．
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线的性质等．
（1）根据题意利用平行线的性质，全等三角形判定即可得到本题答案；
（2）根据题意利用第（1）问结论由全等三角形性质即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴池塘的长为．
2．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的．
(1)简单说明你设计的方案，并画出图形；
(2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的．
【答案】(1)方案见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键，
（1）根据全等三角形的性质设计图形即可；
（2）利用“”即可证明方案的可行性．
【详解】（1）解：如图所示：
过B作，过D作，取的中点C，连接并延长交于点E
测量线段的长即可．
（2）证明：∵，，
∴ ，
∵C为的中点，
∴，
∴在和中：
∴，
∴．
题型06 全等三角形的综合问题
【例题】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．
(1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）；
(2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】(1)
(2)以上结论不成立，应为，证明见详解
【分析】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）延长至点使，连接，分别证明根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；
（2）延长至G，使仿照（1）的证明方法解答．
【详解】（1）解：，
理由如下：延长至点使，连接，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：以上结论不成立，应为，
理由如下：延长至G，使
由（1）可知，，
∴
，
∴，
∵
∴
∴
∴
【变式训练】
1．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．
(1)如图1，若，请说明
(2)如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由，，可得，结合，，可证，即可求解，
（2）在上取点，使，通过证明，，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过辅助线构造全等三角形．
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
，
（2）解：在上取点，使，

，，
，
，，
，
，，
，，
，
，即，
，
，即：，
．
2．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．

(1)如图1，当 时，；
(2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．
【答案】(1)或
(2)两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或
【分析】本题考查全等三角形与动点的综合，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
（1）点运动的速度为，则，；根据，分类讨论：点在上时；点在上时，进行解答，即可；
（2）根据全等三角形的性质，分类讨论：当点在上，，，；当点在上，点在上，，，；当点在上，，，；当点在上，点在上，，，，求出对应的点的运动速度，即可．
【详解】（1）∵点运动的速度为，
点在上时，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：；

点在上时，过点作于点，
∴点的运动路程为，
∴，，
∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴当点在的中点时，，，
∴，
解得：；
故答案为：或；
（2）∵在中，，，，，
∴当点在上，，，；
∴点的速度为：；

当点在上，点在上，，，，
∴点的速度为：；

当点在上，，，，
∴点运动的距离为：，
点运动的距离为：，
∴点的速度为：；

当点在上，点在上，，，
∴点的速度为：；

综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或．
一、单选题
1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．，，B．，，
C．，D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有．
根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B、，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
故选： D．
2．（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从四个点中找出符合条件的点，则点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，由网格中点的对称性，结合全等三角形的对应边相等判断即可，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
即；；；
符合条件的点有，共有3个，
故选：C．
3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点B在线段上，，，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等解决问题，掌握全等三角形的性质的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果．
【详解】解：，，，
，．
由三角形外角的性质可得，
．
．
，，
．
故选：B．
5．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（ ）
A．③④①②B．④③②①C．③④②①D．④③①②
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图，解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程，根据尺规作等腰三角形的过程逐项判断即可解答．
【详解】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：
③在的两边上截取；
④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点；
②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；
①连接．
即为所求作的三角形．
画法正确的顺序是③④②①，
故选C．
二、填空题
6．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，若，，则 ；
【答案】7
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：7．
7．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有 个．

【答案】6/六
【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可．
【详解】解：如图所示，
以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等；
以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等；
以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等；
所以共有6个三角形和原三角形全等，
故答案为：6．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
8．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动．若经过秒后，与全等，则的值是 ．
【答案】1或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键．利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，设运动时间为秒，点的运动速度为秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设．两点的运动时间为秒，点的运动速度为秒，
则，，．
，
①当时，
，．
，
；
②当时，
，，
，
．
综上，当的值是1或时，能够使与全等．
故答案为：1或．
9．（21-22七年级下·山东烟台·期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ．
【答案】35°/35度
【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．
【详解】解：连接CD，EF
由题目中尺规作图可知：，
在和中
AH平分
故答案为：．
【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．
10．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等．
【答案】1或7
【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．
【详解】解：由题意得：，
若，
根据证得，
，即，
若，
根据证得，
，即．
当t的值为1或7秒时．与全等．
故答案为：1或7．
三、解答题
11．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，已知，点D是上一点，交于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．
（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得的长，用即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；′
（2）解：由（1）知，，
，
，
．
12．（20-21八年级上·四川南充·期末）某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A，B的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接AO并延长到点C，使AO＝CO；连接BO并延长到点D，使BO＝DO，连接CD并测出它的长度．
（1）根据题中描述，画出图形；
（2）CD的长度就是A，B两点之间的距离，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）图形如图所示：
（2）连接AB．
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD，
∴CD的长度就是A，B两点之间的距离．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用全等三角形的性质解决问题．
13．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）小明利用一根长为的竿子来测量路灯杆的高度（），方法如下：如图，在地面上选一点P，使，然后把在的延长线上左右移动，使，且，此时测得．
(1)求证：．
(2)求路灯杆的高度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的应用：
（1）根据题意求出，根据即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得路灯杆的高度．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵
∴
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
14．（22-23八年级上·江西赣州·期中）小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事：
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡．
（1）你认为他是怎样做到的？
方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．
（2）你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？
①画出相应的图形．
②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？（结合图形写出）
③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由．
【答案】①见解析；②，；③．理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据战士所用的方法，画出相应的图形是解决问题的关键．
根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：①如图，
②已知条件是，．
③战士要测的是．
理由：，
，
在与中，
，
，
．
15．（23-24八年级上·吉林·期末）（1）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m．直线m，垂足分别为D，E．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）由直角三角形的性质及平角的定义得出，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；
（2）与（1）类似，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】解：（1）∵直线m，直线m，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
（2）成立．证明如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
16．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．

(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；
(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；
(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)或14或16秒
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键，还用到了分类讨论的思想．
（1）根据于D，于E，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，于是；
（2）同（1）易证，则，，于是；
（3）只需根据点M和点N的不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵于D，于E，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：结论：；
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①当时，点M在上，点N在上，如图，

∵，
∴，
解得：，不合题意；
②当时，点M在上，点N也在上，如图，

∵，
∴点M与点N重合，
∴，
解得：；
③当时，点M在上，点N在上，如图，

∵，
∴，
解得：；
④当时，点N停在点A处，点M在上，如图，

∵，
∴，
解得：；
综上所述：当或14或16秒时，与全等．