(人教A版必修第一册)高一数学同步讲义第五章《三角函数》综合检测卷(拔尖C卷)(原卷版+解析)

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高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章综合检测卷（拔尖C卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．命题，命题，则是的（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知，则（     ）A． B． C． D．23．当时，函数的最小值为（     ）A．2 B． C．4 D．4．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（     ）A．， B．， C．， D．，5．函数零点的个数为（     ）A．4 B．3 C．2 D．06．已知函数是偶函数，且在区间上恰有6个零点，则的最大整数值为（     ）A．10 B．9 C．8 D．77．函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（     ）A．函数的解析式为B．函数的单调递增区间为C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度D．函数的图象关于点对称8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（     ）A． B． C． D．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知，，则下列结论正确的是（     ）A． B． C． D．10．给出下列四个命题，其中正确的命题有（     ）A．函数的图象关于点对称B．函数是最小正周期为的周期函数C．为第二象限的角，且，则D．函数的最小值为11．已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（     ）A．函数的最小正周期为B．将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上有67个零点12．已知函数，则（     ）A．的最大值为2 B．是的图象的一条对称轴C．在上单调递减 D．的图象关于对称填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有下列命题中：①在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170°；②若角的终边过点，则﹔③已知是第二象限角﹐则；④若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为.正确命题的序号是____________.（写出所有正确的序号）14．已知，且，则的值为_______．15．将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，则的一个可能取值是______.16．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知.(1)求的值；(2)若是第二象限角，且，求的值.18．函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在上的值域.19．已知函数为奇函数，且，其中，．函数．(1)求a，的值；(2)求函数的单调递减区间．20．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.（1）求的解析式，并求其在上的增区间；（2）若在上有两解，求实数的取值范围.21．已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式及对称中心；(2)先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，再将图象右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.22．已知函数（其中，），其图象经过，且函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求解析式；(2)是否存在正实数，使图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章综合检测卷（拔尖C卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．命题，命题，则是的（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】判断，能否成立即可得到答案.【详解】由，得，，则，故，是的不充分条件；由，得，，则，故，是的不必要条件.所以是的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，是一道基础题，按照充分条件、必要条件的定义判断即可.涉及由三角函数值求角的问题，考虑问题一定要全面.2．已知，则（     ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据三角恒等式化简求值即可．【详解】解：依题意得，，故选：B．3．当时，函数的最小值为（     ）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】将函数化为，再运用基本不等式求解.【详解】，，，当且仅当时取等号，故函数的最小值为.故选：C.4．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（     ）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解.【详解】由题意可知，A＝，32＋2＝52，则T＝8，ω＝＝， y＝sin.由sin φ＝，得sin φ＝.∵|φ|＜， ∴φ＝.因此频率是，初相为.故选：C5．函数零点的个数为（     ）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】A【分析】由，得，则将函数零点的个数转化为图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可【详解】由，得，所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，函数的图象如图所示，由图象可知两函数图象有4个交点，所以有4个零点，故选：A6．已知函数是偶函数，且在区间上恰有6个零点，则的最大整数值为（     ）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】先把函数化为（或）.利用换元法转化为（或）在上恰有6个零点，利用余弦函数的图像和性质列不等式即可求出的范围，进而求出的最大整数值.【详解】因为函数是偶函数，所以,所以（或）.令，当时，，即（或）.要使函数在区间上恰有6个零点，只需（或）在上恰有6个零点，只需，解得：.故的最大整数值为10.故选：A7．函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（     ）A．函数的解析式为B．函数的单调递增区间为C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度D．函数的图象关于点对称【答案】D【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BD；由三角函数的平移变换可判断C.【详解】对于A选项，不妨设，则，，由，则，两式相减得，所以①，设函数的最小正周期为，因为，所以，结合①，，因为，所以，可得，因为，所以，，所以，故A正确；对于B，由，解得：，故B正确；对于C，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故C正确；对于D，令，解得：，函数的图象关于点对称，所以D不正确；故选：D.8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数由函数在上没有零点，则，则由，可得假设函数在上有零点，则，则由，可得又，则则由函数在上没有零点，且，可得故选：A多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知，，则下列结论正确的是（     ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】将原式平方求出，进而确定出的范围及的符号，求出，然后解出，最后判断答案.【详解】由题意，，因为，所以，则，且.于是，联立解得：.故选：ACD.10．给出下列四个命题，其中正确的命题有（     ）A．函数的图象关于点对称B．函数是最小正周期为的周期函数C．为第二象限的角，且，则D．函数的最小值为【答案】AD【分析】利用正切函数的对称性可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项.【详解】对于A选项，函数的图象关于点对称，A对；对于B选项，，故函数不是最小正周期为的周期函数，B错；对于C选项，为第二象限的角，则，由，即，所以，，C错；对于D选项，，，D对.故选：AD.11．已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（     ）A．函数的最小正周期为B．将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上有67个零点【答案】ACD【分析】由对称轴为，且求出函数解析式，再用三角函数图象与性质分别求解即可得答案.【详解】由函数的图象的一条对称轴为，得，因为，所以，则，所以周期，A项正确；将函数的图象向左平移，得，显然的图象不关于原点对称，B项错误；由，取，得，即，是函数的一个单调递增区间，又，所以函数在区间上单调递增，C项正确；由，得，解得，由，得，因为，所以，所以函数在区间上有67个零点，D项正确.故选：ACD.12．已知函数，则（     ）A．的最大值为2 B．是的图象的一条对称轴C．在上单调递减 D．的图象关于对称【答案】AB【分析】先化简整理得，观察可得判断A，将代入可判断B，通过，得到，进而可判断单调性，可判断C，将代入可判断D.【详解】即A.明显的最大值为2，当，即时取最大值，A正确;B.当时，，故是的图象的一条对称轴，B正确；Ｃ.当时，，函数在上单调递增，在上单调递增，C错误；D.当时，，的图象不关于对称，D错误.故选：AB.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有下列命题中：①在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170°；②若角的终边过点，则﹔③已知是第二象限角﹐则；④若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为.正确命题的序号是____________.（写出所有正确的序号）【答案】①②④【分析】①由任意角的定义表示终边相同的角，进而确定最小的正角；②根据角终边上的点，利用三角函数的定义求；③根据角所在象限与对应函数值的符号判断目标函数式的符号；④首先求扇形半径，再利用扇形的面积公式求面积即可【详解】①，由且，可得，故所求的最小正角，正确；②，由三角函数的定义可得，正确；③，∵是第二象限角，∴，，∴，，∴，错误﹔④，弧长为2，圆心角为90°，则扇形的半径为，所以扇形面积为，正确.正确命题的序号是①②④.故答案为：①②④.14．已知，且，则的值为_______．【答案】【分析】先利用算出，再结合的范围算出，通过化简即可求出答案【详解】解：∵，即，∴，即，∵，∴，∴，即，所以，故答案为：．15．将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，则的一个可能取值是______.【答案】（答案不唯一）【分析】根据辅助角公式，结合平移变换得，，进而可得答案.【详解】解：函数的图像先向右平移个单位，得到的图像，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，所以，，解得，所以，的一个可能取值为.故答案为：16．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】令，解得，然后根据在上有且只有2个零点列不等式，解不等式即可.【详解】令，则，解得，因为在上有且只有2个零点，所以，解得.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知.(1)求的值；(2)若是第二象限角，且，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据诱导公式化简后求值即可；（2）根据同角三角函数的基本关系求解.【详解】(1)由已知，∴.(2)∵，即①，平方可得，∴，因为第二象限角，∴②.由①②求得，，.18．函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在上的值域.【答案】(1)，；(2)【分析】（2）由已知，根据题意，对原函数化简，得到函数，，然后根据余弦函数单调区间，解不等式，即可完成求解；（2）由已知，可令，根据x的范围，求解出t的范围，先求解出，然后再求解函数的值域.【详解】（1），，，；∴的单调增区间为，；（2）因为，令，所以，∴，所以，∴.19．已知函数为奇函数，且，其中，．函数．(1)求a，的值；(2)求函数的单调递减区间．【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）法一：根据函数的奇偶性求得，根据求得.法二：根据的奇偶性以及列方程组，由此解得.（2）化简的表达式，利用换元法求得的单调递减区间.【详解】（1）法一：因为是奇函数，而为偶函数，所以为奇函数，又，得．所以，由，得，即．法二：由题意可得，因为，所以，可解得，，此时为奇函数，符合题意，所以，．（2），令，则的单调递减区间为，，由解得，，所以的单调递减区间为，．20．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.（1）求的解析式，并求其在上的增区间；（2）若在上有两解，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据平移变换得到图像，再结合函数的性质可得的解析式，令，可得结果（2）令，问题等价于在上有两解，数形结合得到结果.【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，函数的图像关于原点对称，，所以（1）由， 得，令得，得在增区间是；令，则所以若有两解，即在上有两解，由的图象可得，，即的取值范围是21．已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式及对称中心；(2)先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，再将图象右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.【答案】(1);. (2).【分析】（1）根据函数图象确定A以及周期，进而确定，将点代入解析式求得，即得函数的解析式，结合正弦函数性质即可求得其对称中心；（2）根据三角函数图象的变换规律可求得的解析式，结合余弦函数的性质即可求得答案.【详解】（1）由函数图象知，，最小正周期，所以 ，所以，将点 代入中，有 ，所以 ， ，因为，所以 ,所以 ,令 ,，则，即的对称中心为 ．（2）先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，即，再将图象右平移个单位后得到的图象，即，令，，则，，因为 ，所以，即函数在上的单调减区间为 .22．已知函数（其中，），其图象经过，且函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求解析式；(2)是否存在正实数，使图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，【分析】（1）根据点坐标以及相邻两条对称轴间的距离求得的解析式.（2）求得平移后的函数解析式，结合偶函数的知识求得的最小值.【详解】（1）∵图象经过，∴，，∴，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的的距离为，∴，∴，则.（2）设，∵是偶函数，∴，∴，∵为正实数，∴.