(人教A版必修第一册)高一数学同步讲义高一数学上学期期末考试必刷密卷(培优B卷)(原卷版+解析)

这是一份(人教A版必修第一册)高一数学同步讲义高一数学上学期期末考试必刷密卷(培优B卷)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了已知全集，集合，，则，命题，若，则下列不等式一定成立的是，已知，若，则，已知函数满足条件，下列函数与的值域相同的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题：，.命题：每个大于2的质数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．是假命题B．：，
C．是假命题D．：存在一个大于2的质数不是奇数
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
5．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数在上具有性质，那么，下列函数：
①； ②； ③； ④
具有性质的函数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数满足条件：对于任意的，存在唯一的，使得，当成立时，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列函数与的值域相同的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．图象关于点成中心对称
C．的最大值为
D．幂函数在上为减函数，则的值为1
11．下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图像的一条对称轴
B．函数的图像关于点对称
C．函数的单调递增区间为
D．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则______.
14．1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，高斯墓碑上刻着如图所示的图案．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则的值为__________．
15．已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则____.
16．已知函数，，若存在2个零点，则a的取值范围是________
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，．
(1)在①，②，③，这三个条件中选择一个条件，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．设函数．
(1)若，求的最大值；
(2)解关于的不等式：．
19．设函数，
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并证明.
20．已知函数．
(1)求函数的对称中心及最小正周期；
(2)若，，求的值．
21．已知函数f(x)对任意，总有成立，且对任意实数，总有．
(1)求，并分析判断f(x)在R上的单调性；
(2)若，不等式总有解，求实数a的取值范围．
22．已知函数.
(1)求函数在区间上的单调减区间；
(2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围.
高中数学人教A版（2019）必修第一册
综合检测卷（培优B卷）
单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用补集和交集的定义即可求解.
【详解】因为，，
所以，
所以．
故选：D.
2．命题：，.命题：每个大于2的质数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．是假命题B．：，
C．是假命题D．：存在一个大于2的质数不是奇数
【答案】D
【分析】首先判断出的真假，然后写出它们的否定，即可选出答案.
【详解】若，则，所以是真命题，故A错误；
：，，故B错误；
是真命题，故C错误；
：存在一个大于2的质数不是奇数，故D正确；
故选：D
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用作差比较法及不等式的性质逐项判断即可求解.
【详解】对于A，，因为，所以，
所以，即，于是有故A错误；
对于B，因为，
因为，所以，但与的大小不确定，故不一定成立，故B错误；
对于C，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故C正确；
对于D，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故D错误.
故选：C.
4．已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由定义证为奇函数，由常数分离可得为增函数，
即可将，结合奇偶性及单调性可得，即可求解
【详解】令，由得为奇函数，又为增函数，
由，即，解得.
故选：B
5．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数在上具有性质，那么，下列函数：
①； ②； ③； ④
具有性质的函数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据性质的定义，验证各函数或利用特殊值求解即可.
【详解】任取两个不等实数，
①，，
对任意有，①正确；
②当均不为0且时，，，
即存在有，正确；
③，，
令解得与题目矛盾，错误；
④当时，，
不妨令可得，故存在不等有，正确；
综上①②④正确，
故选：D.
6．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，利用同角三角函数的平方式以及二倍角公式，化简等式，联立平方式，求得正弦与余弦的值，利用二倍角公式，化简代入，可得答案.
【详解】，由，得，，所以，即，
联立，解得，，
所以.
故选：D.
7．已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】令，转化为，令，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据奇偶性，可得在最大值与最小值之和为0，分析即可得答案.
【详解】由
令，
因为，所以；
那么转化为，，
令，，
则，
所以是奇函数
可得的最大值与最小值之和为0，
那么的最大值与最小值之和为2．
故选：B．
8．已知函数满足条件：对于任意的，存在唯一的，使得，当成立时，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可知时与时函数值域相等，据此可得，从而可根据求得，进而求得.
【详解】设当时，的值域为A，当时，的值域为B.
则根据题意可得，
当时，在上单调递增，
则，即，
则，∵，
即且，
则，
故选：C.
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列函数与的值域相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】求得题设中函数的值域，再求每个选项中函数的值域，即可判断和选择.
【详解】，故其值域为；
对A：当时，，其值域为，故A正确；
对B：，故，其值域为，故B错误；
对C：，当且仅当时取得等号，其值域为，故C正确；
对D：令，故的值域即的值域；
又在单调递减，在单调递增，故，故D错误.
故选：AC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．图象关于点成中心对称
C．的最大值为
D．幂函数在上为减函数，则的值为1
【答案】BD
【分析】根据函数的定义域、对称性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，函数的定义域为，
所以对于函数，有，即的定义域是，A选项错误.
B选项，，所以图象关于点成中心对称，B选项正确.
C选项，，所以，
即的最小值为，C选项错误.
D选项，是幂函数，
所以，解得或，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
所以D选项正确.
故选：BD
11．下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】A.利用指数函数的单调性判断得解；B. 利用对数函数的单调性判断得解；C.先利用对数运算化简，再利用对数函数的性质判断得解；D. 利用幂函数和指数函数的单调性判断得解.
【详解】A. 因为指数函数单调递减，，所以，所以该选项错误；
B. 因为对数函数在定义域内单调递减，，所以，所以该选项正确；
C. ，因为又，所以该选项正确；
D.由幂函数在上单调递增得，由指数函数单调递减得，所以.所以该选项正确.
故选：BCD
12．函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图像的一条对称轴
B．函数的图像关于点对称
C．函数的单调递增区间为
D．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
【答案】BCD
【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答.
【详解】观察图象知，，函数的周期，有，
由得：，而，则，，
对于A，因，则直线不是函数图象的对称轴，A不正确；
对于B，由得：，则函数的图象关于点对称，B正确；
对于C，由得：，
则函数的单调递增区间为，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则______.
【答案】
【分析】由奇偶性和单调性即可确定.
【详解】由题知幂函数是奇函数，故或或，
又在上单调递减，则，故，
即，所以.
故答案为：.
14．1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，高斯墓碑上刻着如图所示的图案．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则的值为__________．
【答案】
【分析】利用正弦二倍角公式化简得到，代入，结合诱导公式求出答案.
【详解】，
因为，
所以．
故答案为：
15．已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则____.
【答案】4
【分析】先由对称性和奇偶性求得函数的周期，再利用函数的周期结合函数在上的解析式求值即可.
【详解】∵的图象关于直线对称，∴，又为奇函数，∴，故，
则，∴函数的周期，又∵，∴.
故答案为：4.
16．已知函数，，若存在2个零点，则a的取值范围是________
【答案】
【分析】存在2个零点可转化为有2根，函数与有2个交点即可.
【详解】令，
得，
作出函数与的图象如下，
由图象可知，
当时，图象有2个交点，即存在2个零点.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，．
(1)在①，②，③，这三个条件中选择一个条件，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)选①，；选②，；选③，； (2)
【分析】(1)将的值代入集合中，然后通过并集的相关性质即可得出结果；
(2)先通过集合求出，然后“”是“”的充分不必要条件得出集合A是集合的真子集，根据集合的包含关系，列出不等式计算即可.
【详解】（1）选择①：当时，，因为，
所以．
选择②：当时，，因为，所以．
选择③：当时，，因为，所以．
（2）因为，所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合A是集合的真子集，
若集合是空集，则，解得：，
若集合不是空集，则，解得：，
要使条件成立，则有或，解得或，
所以或，
综上所述，实数a的取值范围为．
18．设函数．
(1)若，求的最大值；
(2)解关于的不等式：．
【答案】(1)；(2)或
【分析】(1)使用基本不等式求的最小值；
(2)当时去分母转化为二次不等式求解，当时恒成立.
【详解】（1）∵，∴，
当且仅当即时取得最大值，
所以的最大值为；
（2）①若，且，∴，
∴，即，∴，解得；
②若，恒成立，即的解集为；
综合①②得不等式的解集为或.
19．设函数，
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并证明.
【答案】(1)；(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据对数中真数大于0即可求解定义域，
（2）根据的关系即可判断其奇偶性.
【详解】（1）函数，
，，
即函数的定义域，
（2）是奇函数，
证明：，定义域关于原点对称，
，
即的奇函数，
20．已知函数．
(1)求函数的对称中心及最小正周期；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)函数的对称中心为，，函数的最小正周期为；(2).
【分析】(1)根据三角恒等变换公式化简函数的解析式，结合正弦函数性质求函数的对称中心及最小正周期；(2)由(1)可得，结合两角差正弦函数，二倍角公式，同角关系化简可求.
【详解】（1）

，
，
，
令，，可得，，
又，
所以函数的对称中心为，，
函数的最小正周期；
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
故，
所以，
所以或，
又，故.
21．已知函数f(x)对任意，总有成立，且对任意实数，总有．
(1)求，并分析判断f(x)在R上的单调性；
(2)若，不等式总有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，f(x)在R上单调递增；(2).
【分析】（1）根据题意令求，令结合单调性的定义证明函数单调性；
（2）令结合奇偶性的定义可证f(x)在R上为奇函数，根据奇函数和单调性整理可得当成立，根据能成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）∵，
令，则，可得，
函数在R上递增，证明如下：
令，且，
则，即，
∵，即，则，
∴，即，
故f(x)在R上单调递增.
（2）∵，
令，则，即，
∴故f(x)在R上为奇函数，
∵，则，
又∵f(x)在R上单调递增，则，
即当成立，
，
当且仅当，即时等号成立，
∴，
故实数a的取值范围为.
22．已知函数.
(1)求函数在区间上的单调减区间；
(2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的性质即可得到答案；
（2）先利用题意的图象变换得到，再根据的性质得到不等式即可求解
【详解】（1）依题意可得
，
当时，，则由得，
即在上单调递减，
所以函数在区间上的单调递减区间是；
（2）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为，
于是得，
因为，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为，
故，解得，所以.
所以的取值范围.