人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数练习题，共16页。试卷主要包含了已知函数，若，则＝，已知函数，若，则，函数的单调增区间为，若函数的最大值是2，则，已知当时，等内容，欢迎下载使用。
单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知函数，若，则＝（ ）
A．12B．14C．16D．20
2．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）.
A．-50B．C．2D．50
3．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．1
4．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（ ）
A．17B．－1C．17或－1D．－17或1
6．函数的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的最大值是2，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，.若，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
10．已知当时，．根据上述结论，若，，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则在内至少有一个零点
B．若，则在内没有零点
C．若在内没有零点，则必有
D．若在内有唯一零点，，则在上是单调函数
12．已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数（，且）是指数函数，则________．
14．若，则______
15．函数的定义域_____________
16．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：．
18．求函数的单调区间和值域．
19．已知（且），且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的值域.
20．已知函数f（x）=2x-4x-m，x∈[-1，1].
（1）当m=-2时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[-1，1]上有零点，求实数m的取值范围.
21．上世纪30年代，查尔斯•里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为:，其中，是被测地震的最大振幅，是一个常数（本题中取）.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震的最大振幅是40，请计算这次地震的震级;（结果精确到0.1）
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?（结果精确到0.1）
22．函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章综合检测卷（基础A卷）
单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知函数，若，则＝（ ）
A．12B．14C．16D．20
【答案】B
【分析】根据指数式的运算即可求解.
【详解】因为，所以，则，
故选:B．
2．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）.
A．-50B．C．2D．50
【答案】B
【分析】由奇函数性质确定值，再由已知确定函数的周期性，然后由周期性、奇函数性质求值．
【详解】是奇函数，∴，，
，即，
，是周期函数，周期是5，
又是奇函数，
∴．
故选：B．
3．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由即可求出，则可求出的值.
【详解】当时，，无解，
当时，，
所以，
故选：B.
4．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为，值域为，所以，的值域应包含，所以判断出函数的单调性和的正负，从而求出实数的取值范围
【详解】当时，，其值域为，
当时，的值域应包含，所以为减函数，
所以，且，解得.
故选：A
5．已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（ ）
A．17B．－1C．17或－1D．－17或1
【答案】B
【分析】根据题意设出方程的两个实根分别为，用韦达定理表示出，结合方程有两实根条件，把问题转化为含参数的方程来解即可.
【详解】设方程的两个实根分别为，则.
由方程的这两个实数根的平方和比两个根的积大21得：，
，
解得：或，
又方程有两个实数根，
，得，.
故选：B
6．函数的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数复合函数的单调性判断增区间即可.
【详解】令，且对称轴为，
所以在上递减，在上递增，又在定义域内递减，
所以的单调增区间为.
故选：A
7．若函数的最大值是2，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据有最大值及指数复合函数的单调性，可得在定义域上先减后增，再由二次函数性质求参数即可.
【详解】由在定义域上递减，
要使有最大值，则在定义域上先减后增，
当，则的最小值为，
所以，可得.
故选：A
8．已知集合，.若，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，所以，将问题转化为二次函数的两根在和之内，由二次函数图象性质及零点存在性定理求解即可.
【详解】解：由，得；
因为，
所以，
令，结合二次函数图象性质及零点存在性定理，
得，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选:D.
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由分段函数单调性可直接构造不等式组求得结果.
【详解】在上单调递增，，解得：，
的取值可以为选项中的或.
故选：AD.
10．已知当时，．根据上述结论，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由对数函数的性质和运算法则，分析各选项即可.
【详解】由，，得，，
选项A：，正确；
选项BD：，因为，所以，B错误，D正确.
选项C：，正确.
故选ACD．
11．已知函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则在内至少有一个零点
B．若，则在内没有零点
C．若在内没有零点，则必有
D．若在内有唯一零点，，则在上是单调函数
【答案】AC
【分析】根据零点存在定理逐一判断即可．
【详解】因为在，上连续，
．（1），由零点存在定理可知，在内至少有一个零点，故正确；
．当时，满足（1），但在内有一个零点，故错误；
．在内没有零点，则必有（1）等价于（1），则在内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；
．在内有唯一零点，（1），但在上不一定是单调函数，比如，故错误．
故选：．
12．已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】由题意得关系后对选项逐一判断
【详解】由题意得，且，则，
故，故A错误，
对于B，，而，故，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确，
故选：CD
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数（，且）是指数函数，则________．
【答案】8
【分析】根据指函数的定义求解即可.
【详解】解：因为函数是指数函数，
所以，所以．
故答案为：8.
14．若，则______
【答案】
【分析】将化为以2为底的对数，代入式子即可得到答案.
【详解】因为,所以.
故答案为：.
15．函数的定义域_____________
【答案】
【分析】由对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，
需满足，即，解得
故函数定义域为
故答案为：
16．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】函数在区间上有零点，即在有方程根，按和两种情况讨论，可解出的取值范围．
【详解】函数在区间上有零点，即在有方程根，
当时，，
若，，在区间上没有零点，
若，，在区间上有零点，故满足题意；
当，即或时，在区间上有零点，
即在有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，
应有，即，解得，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：．
【答案】.
【分析】根据给定条件利用根式及指数运算法则计算作答.
【详解】原式=.
18．求函数的单调区间和值域．
【答案】在上为增函数，在上为减函数；值域为．
【分析】令，先算出二次函数的单调区间，在上为减函数，根据复合函数单调性即可判断出的单调区间，取得最小值时取得最大值，即可求出的值域.
【详解】函数的定义域为．
令，对称轴为，在上是减函数，在上是增函数，而在上为减函数．所以由复合函数的单调性可知，在上为增函数，在上为减函数．
又在时，，
在时，取得最大值．
所求函数的值域为.
19．已知（且），且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根据求出参数的值，即可得到函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，即可求出函数的定义域；
（2）由（1）可得，设，，根据二次函数的性质求出的取值范围，从而求出的值域.
【详解】（1）解：由得，即，所以，解得，
所以，
由，解得，故的定义域为；
（2）解：由（1）及条件知，
设，，则当时，，
当时，；当时，，
所以当时，，即，
所以，，
所以在的值域为.
20．已知函数f（x）=2x-4x-m，x∈[-1，1].
（1）当m=-2时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[-1，1]上有零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）．（2），．
【分析】（1）通过解方程求解即可．
（2）函数f（x）有零点转化于方程有解，设，求出，，利用二次函数的性质求解最值，再求解的取值范围．
【详解】（1）当时，，得：．
或舍去，解得．
函数的零点为．
（2），
令，
函数f（x）有零点等价于方程有解，等价于在的值域内，
设，，，，，
则，时，，时，．
的值域：，．
的取值范围为，．
21．上世纪30年代，查尔斯•里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为:，其中，是被测地震的最大振幅，是一个常数（本题中取）.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震的最大振幅是40，请计算这次地震的震级;（结果精确到0.1）
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?（结果精确到0.1）
【答案】(1)4.6级；(2)倍
【分析】（1）将最大振幅和常数代入 即可求得．
（2）将里氏震级和 分别代入后，两式相减变形即可求得．
【详解】（1）解：由题可得，则．
即这次地震的震级为4.6级．
（2）解：由题可得：，因为，则，所以，
所以，则，
即7.9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍．
22．函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）令，代入等式，可求得；
（2）令，代入等式，结合，可得到，从而可知是奇函数，然后用定义法可证明在上为增函数；
（3）原不等式可化为，结合函数的单调性，可得出，解不等式即可.
【详解】（1）证明：令，则，∴.
（2）证明：令，则，
∴，∴，
∴对任意的，都有，即是奇函数．
在上任取，，且，则，
∴，即，
∴函数在上为增函数.
（3）原不等式可化为，
由（2）知在上为增函数，可得，即，
∵，∴，解得，
故原不等式的解集为.