初中数学浙教版（2024）九年级上册第1章 二次函数1.1 二次函数课时训练

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册第1章 二次函数1.1 二次函数课时训练，共43页。

一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
【考点剖析】
题型一、二次函数的图象与性质
例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【变式】把一般式化为顶点式．
（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；
（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.
例2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
例3. 抛物线与y轴交于(0，3)点：
(1)求出m的值并画出这条抛物线；
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方？
(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【变式】某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
-11 B. -2 C. 1 D. -5
题型二、二次函数的最值
例4．求二次函数的最小值.
【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，矩形场地的面积S最大？
例5. 分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
题型三、二次函数性质的综合应用
例6．已知二次函数的图象过点P(2，1)．
（1）求证：； （2）求bc的最大值．
【变式】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
1个 B.2个 C.3个 D.4个
例7.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
例8. 一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1．
（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【变式】已知二次函数（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个
在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考二模）将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023春·浙江·九年级阶段练习）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江温州·统考二模）若把二次函数（）的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，此二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知抛物线（是常数，且）过点如果当时，则；若时，则；则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ （的实数）其中正确结论有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
6．（2023·浙江杭州·统考二模）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当m≠0时，函数图象总过定点：
③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
二、填空题
7．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______．
8．（2019秋·浙江·九年级统考阶段练习）抛物线的图象如图，当x____________时，y0．
9．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）若将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数表达式为，则h=______；k=______．
10．（2023秋·浙江·九年级期末）二次函数，当x满足时，函数的最大值为，则m的值为__________.
11．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市锦绣中学校考期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是____．
12．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是_______．
13．（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数的最大值是___________，最小值是___________．
14．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图， 抛物线与轴交于点， 顶点坐标为， 与轴的交点在之间 （包含端点）， 则的取值范围为___________．
三、解答题
15．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）抛物线与y轴交点坐标是．
(1)求出m的值并画出这条抛物线；
(2)求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
16．（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线解析式及对称轴．
(2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围．
17．（2022·模拟预测）已知二次函数．
(1)用配方法将此函数化为的形式，并直接写出该函数图象的顶点坐标；
(2)画出此函数的图象，并结合图象直接写出时的取值范围．
18．（2023·浙江嘉兴·统考一模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该函数解析式．
(2)将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，经过点，求n的值．
(3)若点在该函数图象上，当时，函数的最小值大于，请求出m的取值范围．
19．（2023·浙江丽水·统考一模）已知抛物线的图像过点，．
(1)请用含b的关系式表示a；
(2)当时，．
①求b的取值范围；
②若点，在抛物线的图像上，且，求证：．
20．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为.
(1)求二次函数的表达式.
(2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点.
①若点在二次函数的图像上，求的最大值.
②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围.
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
第03讲 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质
【知识梳理】
一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
【考点剖析】
题型一、二次函数的图象与性质
例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案与解析】
解法1（配方法）：

．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
解法2（公式法）：∵ ，，，∴ ，
．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
解法3（代入法）：∵ ，，，
∴ ．
将代入解析式中得，．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
【变式】把一般式化为顶点式．
（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；
（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.
【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).
（2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.
例2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．
【答案】A．
【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．
故选A．
【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可
以判断a、b的取值范围．
例3. 抛物线与y轴交于(0，3)点：
(1)求出m的值并画出这条抛物线；
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方？
(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案与解析】
(1)由抛物线与y轴交于(0，3)可得m＝3．
∴ 抛物线解析式为，如图所示．
(2)由得，．
∴ 抛物线与x轴的交点为(-1，0)、(3，0)．
∵ ，
∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．
(3)由图象可知：当-1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
(4)由图象可知：当x≥1时，y的值随x值的增大而减小．
【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁．
(1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线；
(2)令y＝0可求抛物线与x轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标；
(3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，
【变式】某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
-11 B. -2 C. 1 D. -5
【答案】D.
提示：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，故选：D．
题型二、二次函数的最值
例4．求二次函数的最小值.
【答案与解析】
解法1(配方法)：∵
，
∴ 当x＝-3时，．
解法2(公式法)：∵ ，b＝3，
∴ 当时，
．
解法3(判别式法)：∵ ，∴ ．
∵ x是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y≥-4．
∴ y有最小值-4，此时，即x＝-3．
【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度
灵活去选择．
【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，矩形场地的面积S最大？
【答案】
（0（m）时，场地的面积S最大，为225m2．
例5. 分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
【答案与解析】
∵ ，
∴ 顶点坐标为(1，-4)．
(1)∵ x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴ 当x＝1时y有最小值，．
∵ x＝1是0＜x＜2范围的中点，在x＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
(2)∵ x＝1不在2≤x≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x≤3)的图象是
抛物线的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴ 当x＝3时，；当x＝2时，．

【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取
值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线
部分，易看出x＝3时，；x＝2时，．
题型三、二次函数性质的综合应用
例6．已知二次函数的图象过点P(2，1)．
（1）求证：； （2）求bc的最大值．
【答案与解析】
（1）∵ 的图象过点P(2，1)，
∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．
（2）．
∴ 当时，bc有最大值．最大值为2．
【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b、c的关系即可．
（2）利用（1）中b与c的关系，用b表示bc，利用函数性质求解．
【变式】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B.
提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
例7.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【答案】D．
【解析】
解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
例8. 一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1．
（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【答案与解析】
(1)由已知可得抛物线的对称轴是．
∴ 最高点C的坐标为(4，1)．
则 解得
∴ 所求抛物线的解析式为．
列表：
描点、连线，如图所示：
（2）取点（-2，-8）为所要找的点P，如图所示，运用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，
观察图象知AD＝2，CD＝1，点E、P、A、C到直线y＝2的距离分别是5、10、2、1．
（3）抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y＝2的距离．
【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．
(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得．
【变式】已知二次函数（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个
在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C.
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考二模）将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，再代入坐标求解即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移m个单位后的函数解析式为，
∵平移后的图象经过点，，，
∴，解得或（舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象平移，解一元二次方程，熟练掌握图象平移规则是解答的关键．
2．（2023春·浙江·九年级阶段练习）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对的符号分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】当时，一次函数经过一、二、三象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的负半轴，B不符合，C符合要求；
当时，一次函数经过一、二、四象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的正半轴，A、D选项均不符合；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象的知识，解题的关键是能够对系数的符号进行分类讨论，难度较小．
3．（2023·浙江温州·统考二模）若把二次函数（）的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，此二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】D
【分析】先将一般式化成顶点式，然后分别求出平移后的函数解析式为，，将代入整理得，，得，解得，进而可得对称轴．
【详解】解：，
向左平移4个单位的函数解析式为，
将代入整理得，
向右平移１个单位的函数解析式为，
将代入整理得，
得，解得，
∴，
∴二次函数图象的对称轴为直线 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的对称轴．解题的关键在于写出二次函数图象平移后的函数解析式．
4．（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知抛物线（是常数，且）过点如果当时，则；若时，则；则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质即可得到正确的选项．
【详解】解：∵抛物线（是常数，且），当时，则，当时，则，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴，
∵当时，则，
∴二次函数的最大值为：，
∵抛物线（是常数，且）过点，
∴抛物线的解析式为：，
∵当时，则，
∴抛物线（是常数，且）过点，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，明确题意是解题的关键．
5．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ （的实数）其中正确结论有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①；根据图象判断时，函数值的符号，判断②；根据对称性，判断时，函数值的符号，判断③；结合对称轴和特殊点判断④；根据二次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，，，
∴，
∴；故①错误；
由图象可知：当时，对应的函数值小于0，
即：，
∴；故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴和的函数值相同，即：，
∵，
∴；故③正确；
∵，，
∴，
∴，即：；故④错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，函数取得最大值为，
∴，
∴；故⑤正确；
综上：正确的有个；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象与二次函数解析式的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
6．（2023·浙江杭州·统考二模）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当m≠0时，函数图象总过定点：
③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【答案】A
【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④．
【详解】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确；
当m≠0时，二次函数，
当时，y的值与m无关，
此时，，
当时，，当时，，
∴函数图象总过定点，：故②正确；
当时，，
∵，
∵，
∴，
∴当时，
∴，
∴函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；故③正确；
函数图象上任取不同的两点、，则
当时，抛物线的对称轴为，
∴抛物线开口向下，
当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，故④错误，
综上可知，正确的是①②③，
故选：A
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．
二、填空题
7．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______．
【答案】对称轴都为（答案不唯一）
【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可．
【详解】如图所示，
由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为，
故答案为：对称轴都为（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
8．（2019秋·浙江·九年级统考阶段练习）抛物线的图象如图，当x____________时，y0．
【答案】
【分析】由图观察得出y=0时所对的x的值，再根据开口方向，从而确定y0时，x的取值范围.
【详解】由图观察得出y=0时，x=1或x=3，又知开口向上，则 y0时，.
【点睛】本题是对二次函数图像的考查，准确找到而从函数零点位置是解决本题的关键，难度较小.
9．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）若将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数表达式为，则h=______；k=______．
【答案】 1 3
【分析】根据函数图象的平移规则：左加右减、上加下减，即可得到答案．
【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数表达式为，
，
故答案为：1，3．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规则：左加右减、上加下减是解题的关键．
10．（2023秋·浙江·九年级期末）二次函数，当x满足时，函数的最大值为，则m的值为__________.
【答案】或3
【分析】分x在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可．
【详解】由二次函数得：，
抛物线开口向下，对称轴是，如下图所示，
当时，有，
解得或，
当时，y随x的增大而增大，
时，y有最大值，
，
当时，y随x的增大而减小，
时，y有最大值，
或．
故答案为或3．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题关键．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市锦绣中学校考期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是____．
【答案】
【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，
∴不等式的解集是．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图像的理解，谁大谁的图象在上面．
12．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是_______．
【答案】
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
将代入得，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数与不等式的关系．
13．（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数的最大值是___________，最小值是___________．
【答案】 5 1
【分析】先把解析式配成顶点式得到，由于，根据二次函数的性质得时，y的值最大；当时，y有最小值，然后分别计算对应的函数值．
【详解】解：，
当时，y有最小值1，
∵，
∴时，y的值最大，最大值为5；当时，y有最小值1，
故答案为：5；1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，根据顶点式求出最小值．
14．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图， 抛物线与轴交于点， 顶点坐标为， 与轴的交点在之间 （包含端点）， 则的取值范围为___________．
【答案】/
【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到，利用c的取值范围可以求得a的取值范围．
【详解】∵抛物线与轴交于点，对称轴，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标分别是，
∴，
∴，则．
∵轴的交点在之间 （包含端点），
∴，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点坐标与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
15．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）抛物线与y轴交点坐标是．
(1)求出m的值并画出这条抛物线；
(2)求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案】(1)，见解析
(2)抛物线与x轴的交点为，顶点坐标为
(3)当时，y的值随x值的增大而减小
【分析】（1）把代入解析式，可求出m的值，再画出抛物线解析式，即可求解；
（2）直接观察抛物线图象，即可求解；
（3）直接观察抛物线图象，即可求解．
【详解】（1）解：∵与y轴交点坐标是，
∴，
∴抛物线的解析式为．
列表如下：
函数图象如图∶
（2）解：由函数图象得，抛物线与x轴的交点为，顶点坐标为；
（3）解：由函数图象可知，当时，y的值随x值的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16．（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线解析式及对称轴．
(2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围．
【答案】(1)抛物线解析式为，对称轴为；
(2)
【分析】（1）把点，，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意画出图象，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入抛物线，得
，
得，
∴抛物线解析式为，
对称轴为：；
（2）解：如图，由抛物线的对称性可画出草图，

由图象可知：当时，y的最小值为，最小值为1，
∴当时，对应的函数的的最小值为，最小值为1，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
17．（2022·模拟预测）已知二次函数．
(1)用配方法将此函数化为的形式，并直接写出该函数图象的顶点坐标；
(2)画出此函数的图象，并结合图象直接写出时的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)图象见解析，
【分析】（1）根据题意，化为顶点式即可求解；
（2）根据顶点以及轴的交点，利用函数对称性画出函数图象，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：
即
∴顶点坐标为
（2）令，，解得：
令，解得：
如图所示，
根据函数图象可知，当时，．
【点睛】本题考查了画二次函数图象，顶点式，根据图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2023·浙江嘉兴·统考一模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该函数解析式．
(2)将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，经过点，求n的值．
(3)若点在该函数图象上，当时，函数的最小值大于，请求出m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用平移的性质得到平移后的函数解析式为，再代入，解方程即可求解；
（3）把点代入，求得a的值，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴该函数解析式为；
（2）解：，
将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，
函数解析式为，
把点代入得，
整理得，
解得或；
（3）解：对于，对称轴为，当时，函数的最小值为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得或，
当，即时，函数的最小值为，
此时，解得；
当，即时，函数的最小值为，
此时，解得；
综上，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移变换，待定系数法求函数解析式，能结合题意确定m的取值范围是解题的关键．
19．（2023·浙江丽水·统考一模）已知抛物线的图像过点，．
(1)请用含b的关系式表示a；
(2)当时，．
①求b的取值范围；
②若点，在抛物线的图像上，且，求证：．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
【分析】（1）将，两点代入抛物线中，进而得出答案；
（2）①根据时，，可得，结合（1）中的结论可得答案；
②表示二次函数的对称轴，然后根据二次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）解：将和代入，
得①，②，
将②代入①得，；
（2）①解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，；
②证明：∵，
∴抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵，
∴Q点在P点的右侧，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的基本性质是解本题的关键．
20．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为.
(1)求二次函数的表达式.
(2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点.
①若点在二次函数的图像上，求的最大值.
②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①，②或
【分析】（1）待定系数法计算即可．
（2）①设点的坐标为，则点的坐标为，
把代入构造h为函数的二次函数计算即可．
②当，点的坐标为代入解析式，确定m的值，结合图像计算即可．
【详解】（1）把，代入得：
，
解得，，
∴．
（2）①设点的坐标为，则点的坐标为．
把代入，得：
，
，
∵，当时，且满足，
∴．
②设点的坐标为，则点的坐标为.
当，点的坐标为，
把代入得：，
∴或．
∴或．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，最值，点的平移，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-3
0
1
0
-3
-8
x
0
1
3
y
0
3
4
0