初中1.1 二次函数教学设计

导入新课

一、创设情景，引出课题

想一想：我们学过哪些函数？

  一次函数、正比例函数、反比例函数

合作学习

1、圆的面积y (cm2)与圆的半径x (cm).

2、王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年利率为x，两年后王先生共得本息y万元.

3、拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2).

思考：上述函数解析式具有哪些共同的特征?

经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.

(a,b,c是常数,  且a≠0)

思考

自议

(1)形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数是二次函数；(2)易错点为忽视二次项系数不为0的条件．

紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②ax2＋bx＋c是整式(最高次必须为二次)．

(3)定义是关于x的二次整式，切不可把“y＝x2＋＋3”也当成二次函数．

讲授新课

二、提炼概念

   一般的，我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数.

其中：ax²称为二次项，a称为二次项系数；

bx称为一次项，b称为一次项系数；

C称为常数项.

做一做 ：

下列函数中，哪些是二次函数？

（1）是（2）不是（3）是（4）是（5）不是

注意：

判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．

2.填表：写出下列二次函数的二次项系数、一次 项系数和常数项.

三、典例精讲

例1.如图 1-2，一 张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分） ,设AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2） .

（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.

（2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5， 1.75 时，求对应的四边形EFGH的面积， 并列表表示.

解：（1）

y=2x2-4x+4         (0<x<2)

（2）

 例2:已知二次函数y=x²+bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.

解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分别代入函数y=

解得，b=-12，c=15

∴所求的二次函数是y=

  几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段用含x的代数式表示出来．

用待定系数法确定二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c，通过代入已知三对x，y的值，建立关于a，b，c的方程组，从而确定系数a，b，c，体现了函数与方程之间的联系．

课堂检测

四、巩固训练

1.函数是二次函数的有 (　   　)

A．y＝8x2＋1

B．y＝2x－3

C．y＝3x2＋

D．y＝(x＋2)2－(x＋2)(x－2)

A

2．写出下列二次函数的二次项系数a，一次项系数b和常数项c.

(1)在y＝5x2＋2x中，a＝______，b＝_____，c＝______．

(2)在y＝2(x－3)2＋4中，a＝______，b＝_________，c＝_________．

（1）5  2  0

（2）2  -12  22

3.如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．

    (1)写出y与x的函数关系式；

    (2)自变量x的取值范围是什么?

解：(1)根据长方形的面积公式，得

y＝(5－x )·(4－x)＝x2－9x＋20，

所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．  

(2)自变量x的取值范围是0＜x＜4．

4.已知函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=0时，y=-5；当x=1时，y=-8；当x=-1时，y=0，求函数解析式.

解：根据题意，列出方程组，解得

二次函数解析式是y=x2-4x-5.

课堂小结

1．二次函数的概念

定义：形如_________________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a为_________，b为__________，c为__________．

y＝ax2＋bx＋c

二次项系数  一次项系数  常数项

2．用待定系数法确定二次函数的表达式

步骤：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c；

   (2)已知三对x，y的值，代入表达式，得到关于a，b，c的方程组；

   (3)通过解方程组确定二次函数的系数．