初中数学浙教版（2024）九年级上册第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积练习题

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积练习题，共65页。

一．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
二．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【考点剖析】
一．弧长的计算（共10小题）
1．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 ．
2．（2023•拱墅区校级模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （ ）
A．B．πC．2πD．3π
3．（2022秋•越城区校级期末）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．
4．（2022秋•南浔区期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，∠A＝60°，半径OD⊥BC，垂足为点E．
（1）求∠BOD的度数；
（2）若AB＝8，求的长．
5．（2023•鹿城区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧BC上一点，，连接CD．若∠ABC＝15°，则∠DCO的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
6．（2022秋•宁波期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•越城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
8．（2023•金华模拟）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以12m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲车从G口出，乙车从F口出
B．立交桥总长为252m
C．从F口出比从G口出多行驶72m
D．乙车在立交桥上共行驶16s
9．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
10．（2023•浙江二模）如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的长；
（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．
二．扇形面积的计算（共12小题）
11．（2023•浙江模拟）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）
A．14πB．7πC．D．2π
12．（2023•鹿城区校级二模）若扇形的圆心角为60°，半径为3cm，则该扇形的面积为 cm2．
13．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022秋•宁波期末）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，点D是BC中点，连接OE，OD．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的长和扇形EOD的面积．
15．（2023•南湖区二模）如图，将半径为的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．B．cm2
C．πcm2D．
16．（2023•杭州二模）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023•桐庐县一模）如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且AB＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心O到AB的距离为
B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为2
C．取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为π
D．以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为
18．（2023•义乌市校级模拟）如图是小李上学用的自行车，型号是24英寸（车轮的直径为24英寸，1英寸＝2.54厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB＝125°、∠ABC＝115°安装时向车轮外延伸2.52厘米，那么预计需要的铁皮面积约是（ ）
A．1141平方厘米B．2281平方厘米
C．3752平方厘米D．4000平方厘米
19．（2022秋•上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，的度数为60°．
（1）求证：OE＝DE；
（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．
20．（2022秋•嘉兴期末）已知：如图，弦AB，CD相交于⊙O内一点P的直径，．
（1）求证：AB＝CD．
（2）连接OP，求证：线段OP平分∠BPD．
（3）若CP：DP＝1：3，OP＝，AP＝，求阴影部分面积．
21．（2022秋•慈溪市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．
（1）求证：点D为线段BC的中点．
（2）若BC＝6，AE＝3，求⊙O的半径及阴影部分的面积．
22．（2022秋•滨江区期末）如图1，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点F．连接AC，BO．
（1）求证：∠CAE＝∠ADC．
（2）若DE＝2OE，求的值．
（3）如图2，若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，若⊙O的半径为r．求图中阴影部分的面积（结果用含r的代数式表示）．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知扇形的弧长为，圆心角为120°，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（ ）
A．20B．24C．26D．32
4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（ ）
A．B．2πC．D．
7．（2021·浙江衢州·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．B．2C．D．1
8．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（ ）
A．米B．米C．米D．米
9．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在半径为2、圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为________．
12．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）若扇形的圆心角为，半径为，则它的面积为______．
13．（2023·浙江宁波·统考一模）年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为________米．（结果保留）
14．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．

15．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）

16．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为__________．

17．（2023·浙江·一模）如图，将半径为2的扇形绕点B逆时针旋转一定角度得到扇形，使点O恰好在上，则阴影部分的面积是___________．

18．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．

三、解答题
19．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
20．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，连接、．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的长（结果保留）．
21．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，已知的半径为，四边形内接于，连结，，．

(1)求的长；
(2)求证：平分的外角．
22．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．

(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
23．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：

①为直径；②；③．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．
24．（2023·浙江·模拟预测）如图，以等腰的底边为直径作半圆，交、于点D、E．
(1)证明：；
(2)若，，求阴影部分面积．
25．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点B、C对应点分别是D、E.
(1)请在图中画出；
(2)设的外接圆圆心为点G，则点G的坐标为______；
(3)在三角形旋转过程中，外心G也随之运动，则点G经过的路径长为_______．
第11讲 弧长及扇形的面积
【知识梳理】
一．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
二．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【考点剖析】
一．弧长的计算（共10小题）
1．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 4π ．
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：由弧长公式得，
故答案为：4π．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即（l表示弧长，n是弧所对圆心角的度数，r表示半径）．
2．（2023•拱墅区校级模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （ ）
A．B．πC．2πD．3π
【分析】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OD、OE，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：＝π，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
3．（2022秋•越城区校级期末）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 2πcm ．
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：重物上升的高度为：＝2π（cm），
故答案为：2πcm．
【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
4．（2022秋•南浔区期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，∠A＝60°，半径OD⊥BC，垂足为点E．
（1）求∠BOD的度数；
（2）若AB＝8，求的长．
【分析】（1）根据圆的性质，证明OD∥AC，即可得到∠BOD＝∠A＝60°．
（2）利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
又∵OD⊥BC，
∴∠BEO＝90°，
∴∠BEO＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠BOD＝∠A＝60°．
（2）．
【点评】本题考查了弧长的计算，平行线的判定和性质，熟练掌握圆的性质和弧长公式是解题的关键．
5．（2023•鹿城区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧BC上一点，，连接CD．若∠ABC＝15°，则∠DCO的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【分析】连接OD，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝30°，求得∠COD＝150°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵∠ABC＝15°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝30°，
∴∠COD＝150°，
∵，
∴，
∴∠COD＝100°，
∵OC＝OD，
∴∠DCO＝∠CDO＝（180°﹣100°）＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．（2022秋•宁波期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由圆周角定理求出OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，再根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OC．
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，
OB＝OC＝BC＝2，
∴的长为＝π，
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算和圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键．
7．（2022秋•越城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长l＝＝．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
8．（2023•金华模拟）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以12m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲车从G口出，乙车从F口出
B．立交桥总长为252m
C．从F口出比从G口出多行驶72m
D．乙车在立交桥上共行驶16s
【分析】根据题意，根据弧长公式并结合图象问题可得．
【解答】解：根据两车运行时间，可知甲车从G口出，乙车从F口出，故A正确；
由图象可知，两车通过、、弧时每段所用时间均为3s，
通过直行道AB，CG，EF时，每段用时为4s．
所以立交桥总长为（3×3+4×3）×12＝252m，故B正确；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，
用时为6s，则多走72m，故C正确；
根据题意乙车行驶时间为：4×2+3×3＝17秒，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合．
9．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 π cm．
【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出的长．
【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3（cm），
∴的长＝＝π（cm）．
故答案为：π．
【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
10．（2023•浙江二模）如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的长；
（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．
【分析】（1）连接OB，OC，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝90°，再根据弧长公式计算即可；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠DCB＝∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠DBC，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，等量代换得到答案．
【解答】（1）解：如图，连接OB，OC，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝90°，
∴的长为＝π；
（2）证明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠DCB，
∵∠DCB+∠DAB＝180°，∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分△ABC的外角∠EAC．
【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键．
二．扇形面积的计算（共12小题）
11．（2023•浙江模拟）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）
A．14πB．7πC．D．2π
【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．
【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
＝﹣
＝
＝7π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
12．（2023•鹿城区校级二模）若扇形的圆心角为60°，半径为3cm，则该扇形的面积为 π cm2．
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：该扇形的面积为 ＝π（cm2）．
故答案为：π．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．
13．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OD，BC．
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴图中阴影部分的面积＝＝2π，
∴OC＝2或﹣2（舍去），
∴的长＝＝π，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
14．（2022秋•宁波期末）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，点D是BC中点，连接OE，OD．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的长和扇形EOD的面积．
【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O直径，得到∠ADB＝90°，继而得出AD是线段BC的中垂线，即可求解；
（2）由等边对等角及三角形外角的性质求出∠AOE，∠EOD的度数，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
又∵D是BC中点，
∴AD是线段BC的中垂线，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵∠A＝40°，OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO＝40°，
∴∠AOE＝100°，
∵AB＝6，
∴OA＝OE＝3，
∴，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠ABC＝70°＝∠ODB，
∴∠AOD＝140°，
∴∠EOD＝40°，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形面积公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．（2023•南湖区二模）如图，将半径为的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．B．cm2
C．πcm2D．
【分析】连接OF，过点F作FH⊥OB于H，设OF＝xcm，则DH＝ cm，FH＝ cm，Rt△OFH中根据勾股定理可列方程，即可求出x，进而得到FH长，从而求得∠FOH＝30°，利用S阴影＝S扇形FOB﹣S△ODF计算即可．
【解答】解：如图，连接OF，过点F作FH⊥OB于H，
设OF＝xcm，
在Rt△DFH中，∠CDB＝60°，则DH＝ cm，FH＝ cm，
根据平移的性质得：OB＝DE＝2cm，
在Rt△OFH中，（x）2+（2+）2＝（2）2，
∴x＝2（舍去负值），
∴FH＝＝，
∴∠FOH＝30°，
∴S阴影＝S扇形FOB﹣S△ODF
＝﹣
＝（）（cm2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形．
16．（2023•杭州二模）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【解答】解：连接OE，OC，BC，
由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，
∴∠EOC＝90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE＝4，
∴OE＝OC＝，
∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣××＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．
17．（2023•桐庐县一模）如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且AB＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心O到AB的距离为
B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为2
C．取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为π
D．以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为
【分析】由垂径定理，勾股定理求出OH＝1，延长HO交圆于C，即可求出△ABC的最大面积，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，即可求出C运动的路线长，以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积+△OAB的面积×3，于是可以得到答案．
【解答】解：如图①，OH⊥AB于H，
∴AH＝AB＝×2＝，
∵OA＝2，
∴OH＝＝1，
故A不符合题意；
如图①延长HO交圆于C，此时△ABC的面积最大，
∵CH＝OC+OH＝2+1＝3，AB＝2，
∴△ABC的面积＝AB•CH＝3，
故B不符合题意；
取AB的中点C，连接OC，OA，OB，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴OC＝＝＝1，
∴当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，
∴C运动的路线长是2π×1＝2π，
故C不符合题意；
如图②四边形ABNM是正方形，连接AQ，PB，作OK⊥AB于K，
∴△OAB的面积＝AB•OK＝×2×1＝，
∵OP＝OQ＝OA＝OB，
∴△OAP的面积＝△OAB的面积＝△OBQ的面积＝，
∵∠POQ＝120°，
∴扇形OPQ的面积＝＝π，
∴以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积+△OAB的面积×3＝，
故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，垂径定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
18．（2023•义乌市校级模拟）如图是小李上学用的自行车，型号是24英寸（车轮的直径为24英寸，1英寸＝2.54厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB＝125°、∠ABC＝115°安装时向车轮外延伸2.52厘米，那么预计需要的铁皮面积约是（ ）
A．1141平方厘米B．2281平方厘米
C．3752平方厘米D．4000平方厘米
【分析】求出挡水铁皮的半径，再根据四边形的内角和求出∠C+∠D的和，由扇形面积公式进行计算即可．
【解答】解：挡水铁皮的半径为2.54×+2.52＝33（厘米），
∠C+∠D＝360°﹣125°﹣115°＝120°，
∴需要铁皮的面积为×2≈2281（平方厘米），
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算，多边形的内角和，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提，求出挡水铁皮的半径及圆心角的度数是正确解答的关键．
19．（2022秋•上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，的度数为60°．
（1）求证：OE＝DE；
（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BD，证明△OBD是等边三角形，可得结论；
（2）根据S阴＝S扇形AOC+S△COE，求解即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵的度数是60°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∵OD⊥BC，
∴OE＝DE；
（2）解：连接OC．
∵OD⊥BC，OC＝OB，
∴∠COE＝∠BOE＝60°，
∴∠OCE＝30°，
∴OC＝2OE＝2，
∴CE＝＝＝，
∴S阴＝S扇形AOC+S△COE＝+××1＝+．
【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD是等边三角形是关键．
20．（2022秋•嘉兴期末）已知：如图，弦AB，CD相交于⊙O内一点P的直径，．
（1）求证：AB＝CD．
（2）连接OP，求证：线段OP平分∠BPD．
（3）若CP：DP＝1：3，OP＝，AP＝，求阴影部分面积．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系定理即可证得结论；
（2）根据垂径定理得到OE＝OF，再根据角平分线的判定即可得到结论；
（3）根据相交弦定理求得CP＝，进而利用勾股定理求得OE，进一步求得半径，解直角三角形求得∠DOE＝60°，从而求得∠DOC＝120°，然后根据∴S阴影＝S扇形﹣S△COD求得即可．
【解答】（1）证明：∵，
∴+＝+，即＝，
∴AB＝CD．
（2）证明：作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
∴点O在∠BPD的平分线上，
∴线段OP平分∠BPD；
（3）解：连接OC、OD，
∵CP：DP＝1：3，
∴设CP＝m，DP＝3m．则AB＝CD＝4m，
∵AP＝，
∴PB＝4m﹣，
∵AP•PB＝CP•DP，
∴（4m﹣）＝m•3m，
解得m＝，
∴CP＝，CD＝4，
∴DE＝CE＝CD＝2，
∴PE＝，
∵OP2＝PE2+OE2OP＝，
∴OE＝＝2，
∴OD＝＝＝4，
∴sin∠DOE＝＝＝，
∴∠DOE＝60°，
∴∠DOC＝120°，
∴S阴影＝S扇形﹣S△COD＝﹣＝﹣4．
【点评】本题考查了扇形的面积，角平分线的性质，垂径定理，相交弦定理，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
21．（2022秋•慈溪市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．
（1）求证：点D为线段BC的中点．
（2）若BC＝6，AE＝3，求⊙O的半径及阴影部分的面积．
【分析】（1）连结AD，可得∠ADB＝90°，已知AB＝AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D为线段BC的中点；
（2）根据已知条件可证△ABC∽△DEC，得到，2BD2＝AB⋅EC，且△EDC是等腰三角形，进而得到ED＝DC＝BD，设AB＝x，则，解方程即可求得⊙O的半径，连接OE，可证△AOE是等边三角形，再根据S阴＝S扇形AOE﹣S△AOE即可求出阴影部分的面积；
【解答】（1）证明：连结AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
即点D为线段BC的中点．
（2）解：∵∠B＝∠E，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴ED＝DC＝BD，
∴2BD2＝AB⋅EC
设AB＝x，则，
解得：x1＝﹣9（舍去），x2＝6，
∴⊙O的半径为3，
连接OE，
∴∠AOE＝60°，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE边上的高为，
∴S阴＝S扇形AOE﹣S△AOE＝＝
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，不规则图形面积的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
22．（2022秋•滨江区期末）如图1，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点F．连接AC，BO．
（1）求证：∠CAE＝∠ADC．
（2）若DE＝2OE，求的值．
（3）如图2，若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，若⊙O的半径为r．求图中阴影部分的面积（结果用含r的代数式表示）．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝90°，再根据AB⊥CD，易得∠ADC+∠DAE＝90°，即可证明∠CAE＝∠ADC；
（2）连接BD，设OE＝a，则DE＝2a，OB＝OD＝3a，由勾股定理可得，，再证明△BOE∽△BDF，由相似三角形的性质可得，代入数值可求得，即可获得答案；
（3）连接BD，首先证明△OBE≌△DAE，结合全等三角形的性质进一步证明△OBD为等边三角形，即有∠BOD＝60°；利用勾股定理、等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质依次求得OE、BE、AB、BF、AF等的值，然后由S阴影＝S△ABF﹣S△DAE﹣（S扇形OBD﹣S△OBE）即可获得答案．
【解答】解：（1）∵CD为⊙O直径，
∴∠CAD＝90°，即∠CAE+∠DAE＝90°，
又∵AB⊥CD，
∴∠ADC+∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ADC；
（2）如下图，连接BD，
∵AB⊥CD，DE＝2OE，
∴OD＝DE+OE＝3OE，
设OE＝a，则DE＝2a，OB＝OD＝3a，
∴在Rt△OBE中，，
∴在Rt△DBE中，，
∵CD为⊙O直径，且AB⊥CD，
∴BE＝AE，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴∠BDF＝∠DAB+∠DBA＝2∠DAB，
又∵，
∴∠DOB＝2∠DAB＝∠BDF，
∵∠OEB＝∠DFB＝90°，
∴△BOE∽△BDF，
∴，即，
解得，
∴；
（3）如下图，连接BD，
∵BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，
∴OG⊥AC，即∠OGC＝∠CAD＝90°，
∴BG∥AD，
∴∠OBE＝∠DAE，
又∵BE＝AE，∠OEB＝∠DEA，
∴△OBE≌△DAE（ASA），
∴OB＝DA，
∵CD为⊙O直径，AB⊥CD，
∴，
∴DA＝DB，
∴OD＝OB＝DB，即△OBD为等边三角形，∠BOD＝60°，
∵⊙O的半径为r，
∴OB＝r，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵△OBE≌△DAE，
∴S△OBE＝S△DAE，
∴S阴影＝S△ABF﹣S△DAE﹣（S扇形OBD﹣S△OBE）
＝S△ABF﹣S扇形OBD
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、求扇形面积等知识，综合性强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据弧长公式，其中n为圆心角，r为半径，代入数值即可求解．
【详解】解：根据题意得到，
解得，
即扇形的圆心角度数为．
故选：C
【点睛】此题考查了弧长公式，数量掌握弧长公式是解题的关键．
2．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知扇形的弧长为，圆心角为120°，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据弧长求出半径，然后根据扇形面积公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵扇形的弧长为，圆心角为120°，
∴
∴解得半径，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（ ）
A．20B．24C．26D．32
【答案】B
【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于（为扇形弧长）进行求解即可
【详解】解：设扇形的半径为r，
由题意得，，
解得，
故选B．
【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是解题的关键．
4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接、，由圆内接四边形性质可得的度数，再由及三角形内角和定理可求得的度数，由圆周角定理可得的度数，最后由弧长公式即可求得结果．
【详解】解：如图，连接、，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是解题的关键．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，利用勾股定理求出，根据，计算即可．
【详解】解：如图，连接，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．
6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（ ）
A．B．2πC．D．
【答案】C
【分析】连接，由垂径定理知，则点P在以为直径的上运动，设与交于点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为的长，利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，
∵点P为的中点，
∴，
∴点P在以为直径的上运动，
设与交于点，
则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为的长，
∵，的半径为8，
∴，，
∴点P所经过的路径长为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点的运动轨迹，垂径定理，圆周角定理等知识，确定点P的运动路径是解题的关键．
7．（2021·浙江衢州·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】D
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD=AE=8，∠DAE=45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr= ，
解得r=1．
所以，该圆锥的底面圆的半径是1
故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
8．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米．
【详解】解：如图，取圆心，连接
，
，
，
设半径为米，则米，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得，
圆弧所在圆的半径米．
故选：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
10．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在半径为2、圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当点D在线段上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接，过点C作于点H，如图，分别求出最小阴影部分面积比较即可得到阴影部分最小面积．
【详解】当点D在线段OA上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接OC、BC，过点C作于点H，如图，

，
，
∵，
∴．
；
线段、与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆心角定理以及三角形及扇形的面积求法，讨论动点的位置作辅助线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键．
二、填空题
11．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为________．
【答案】
【分析】根据弧长公式是，代入即可求出弧长．
【详解】解：∵扇形的半径是，圆心角是，
∴该扇形的弧长是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，熟记弧长公式是解题的关键．
12．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）若扇形的圆心角为，半径为，则它的面积为______．
【答案】
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，则它的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，解题关键是熟记扇形面积公式，准确进行计算．
13．（2023·浙江宁波·统考一模）年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为________米．（结果保留）
【答案】
【分析】根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意可知这“S”型圆弧堤坝的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
14．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．

【答案】/
【分析】连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，据此求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∴扇形的面积为：，
∵的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
矩形的面积为，
该点取自阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
15．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）

【答案】
【分析】连接交于O，先根据菱形的性质和含30度的直角三角形的性质分别求得及对角线的长，再利用菱形和扇形面积公式，由求解即可．
【详解】解：连接交于O，

∵四边形是菱形，，，
∴，，，，
∴，
∴在中，，，
∴， ，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、扇形面积公式、含30度的直角三角形的性质，熟记扇形面积公式，掌握菱形的性质，得到阴影部分的面积的计算表达式是解答的关键．
16．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为__________．

【答案】/
【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，，，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴弧的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．
17．（2023·浙江·一模）如图，将半径为2的扇形绕点B逆时针旋转一定角度得到扇形，使点O恰好在上，则阴影部分的面积是___________．

【答案】
【分析】证明△是等边三角形，根据计算即可．
【详解】解：由旋转得，，
∵，
△是等边三角形，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查扇形面积计算，旋转变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】/
【分析】连接，得到，求出，证得，得到，求出，再根据公式即可得面积．
【详解】解：连接，

由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，扇形面积计算公式，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
三、解答题
19．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，从而得证；
（2）根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【详解】（1）证明：∵弦绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设的半径为，
由（1）知：是等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
解得：，
∴图中阴影部分的面积：
，
∴图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积的计算是解题的关键．
20．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，连接、．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的长（结果保留）．
【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析
(2)的长为
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，确定，再由，确定，即可得出结论；
（2）结合（1）的结论，说明，通过求得的长度，即可得出结论．
【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下：
证：∵是的外接圆，是直径，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧长计算等，理解直径所对的圆周角为直角，以及熟练运用圆周角定理和相关推论是解题关键．
21．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，已知的半径为，四边形内接于，连结，，．

(1)求的长；
(2)求证：平分的外角．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理，弧长计算公式即可求解；
（2）根据，可得，根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等，运用等量代换即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，连接，

∵，的半径为，
∴，
根据弧长公式得，．
（2）解：根据题意，，
∴，
在中，，
∵，且，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴平分的外角．
【点睛】本题主要考查圆与四边形，等腰三角形的综合，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等量代换的方法是解题的关键．
22．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．

(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；
（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直径，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连接，

∵，，
∴是等边三角形，
过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．
23．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：

①为直径；②；③．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．
【答案】(1)①②；③；理由见解析（答案不唯一）
(2)
【分析】（1）任选其中两条作为已知条件，剩余一条作为结论，均为真命题，结合圆当中的基本性质和定理进行证明即可；
（2）结合条件可推出，从而结合弧长计算公式直接求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵点为的中点，
∴，，
情况一：选择条件是①②，结论是③，是真命题；理由如下：
∵为直径，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴条件是①②，结论是③，该命题为真命题；
情况二：选择条件是①③，结论是②，是真命题；理由如下：
∵为直径，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴条件是①③，结论是②，该命题为真命题；
情况三：选择条件是②③，结论是①，是真命题；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圆上的弦，
∴为直径，
∴条件是②③，结论是①，该命题为真命题；
故答案为：①②；③（答案不唯一）；

（2）解：由（1）可知，，
如图所示，连接，
∴，
∵的长为，设的半径为，
∴，
解得：，
∴的半径为．

【点睛】本题考查圆的基本性质，圆周角定理，弧长计算，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，理解直径所对的圆周角为直角及其推论，掌握弧长计算公式是解题关键．
24．（2023·浙江·模拟预测）如图，以等腰的底边为直径作半圆，交、于点D、E．
(1)证明：；
(2)若，，求阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，，证明，，可得，从而可得结论；
（2）如图，连接，，，过作于，证明为等边三角形，，而，，为等边三角形，分别求解，，，同理可得：，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接，，，过作于，
∵，，，
∴为等边三角形，，而，
∴，，
∴，为等边三角形，
∴，，，
∴，，
同理可得：，
∴，
，，
同理可得：，
∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用等边三角形的性质解题是关键．
25．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点B、C对应点分别是D、E.
(1)请在图中画出；
(2)设的外接圆圆心为点G，则点G的坐标为______；
(3)在三角形旋转过程中，外心G也随之运动，则点G经过的路径长为_______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为的外接圆圆心，即可得出答案．
（3）连接，利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，作线段，的垂直平分线，相交于点，
则点即为的外接圆圆心，
由图可得，点的坐标为．
故答案为：．
（3）连接，设旋转过程中，点的对应点为，
由勾股定理得，，
点经过的路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图旋转变换、三角形的外接圆与外心、弧长公式，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．