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浙教版九年级上册1.1 二次函数精品巩固练习
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这是一份浙教版九年级上册1.1 二次函数精品巩固练习，共34页。试卷主要包含了一次函数的图象过点，则，对于函数，下列结论正确的是，给出下列说法等内容，欢迎下载使用。
第1章 二次函数（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．某地海拔高度与温度的关系可用来表示（其中温度单位为，高度单位为千米），则该地区海拔高度为2000米的山顶上的温度是（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．与m的值有关
4．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么一次函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
5．若一次函数的图象不经过第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（ ）．
A． B． C． D．
7．把直线向下平移n个单位长度后，与直线的交点在第四象限，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时， D．的值随值的增大而增大
9．一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，－1≤y≤7，则k的值为（ ）
A．2 B．－2 C．2或5 D．2或－2
10．给出下列说法：①直线与直线的交点坐标是；②一次函数，若，，那么它的图象过第一、二、三象限；③函数是一次函数，且y随x增大而减小；④已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为；⑤直线必经过点．其中正确的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（），面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B． C．y=（12-x）x D．
13．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
14．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
16．如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．的最大值是4 B．当时，函数值
C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称
17．不论x为何值，函数的值恒大于0的条件是( )
A．， B．; C．; D．
18．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为
A． B． C． D．
19．已知二次函数（h为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为0，则的值为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
评卷人
得分
二、填空题
21．在函数中，自变量x的取值范围为 ．
22．把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式是 ．
23．如果是正比例函数，那么 ．
24．某种储蓄的月利率为，如果存入2000元，不计利息税和复利，则本利和（元）与所存月数之间的函数关系式是 ，10个月时本利和为 元．
25．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为 ．
26．已知一次函数y＝（2k﹣1）x+k+2的图象在范围﹣1≤x≤2内的一段都在x轴上方，则k的取值范围 ．
27．把二次函数用配方法化成的形式是 ；该二次函数图像的顶点坐标是
28．已知A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝ax2﹣1（a＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是 ．（用“＜”连接）
29．关于的二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式： ．
30．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为 .
31．小敏在今年的校运会比赛中跳出了满意一跳，函数，可以描述他跳跃时重心高度的变化．则他跳起后到重心最高时所用的时间是 ．
32．如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（−1，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式mx+n
评卷人
得分
三、解答题
33．已知，其中与成正比例，与成正比例，且当时，，当时，．
(1)求与的函数关系式；
(2)求出该函数与坐标轴的交点坐标．
34．如图，直线y=kx+b经过A(0，﹣3)和B(﹣3，0)两点.
(1)求k、b的值；
(2)求不等式kx+b＜0的解集.
35．已知一次函数的图象经过点和.
(1)求该函数的表达式；
(2)若点是轴上一点，且的面积为10，求点的坐标.
36．已知动点P以每秒1cm的速度沿图甲的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB＝3cm，试回答下列问题
（1）图甲中的BC长是多少？
（2）图乙中的a是多少？
（3）图甲中的图形面积是多少？
（4）图乙中的b是多少？
37．在如图的直角坐标系中，画出函数的图象，并结合图象回答下列问题：
（1）的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）；
（2）图象与轴的交点坐标是______；图象与轴的交点坐标是______；
（3）当______时，．
38．在某书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，两种图书的进价、售价如下表所示：
甲种图书
乙种图书
进价（元/本）
16
28
售价（元/本）
26
40
请解答下列问题：
(1)在这批图书全部售出的条件下，书店如何进货利润最大？最大利润是多少？
(2)书店计划用(1)中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？
39．如图，甲、丙两地相距，一列快车从甲地驶往丙地，且途中经过乙地；一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发同向而行，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
(1)甲乙两地之间的距离为 ；
(2)求慢车和快车的速度．
(3)求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(4)若这列快车从甲地驶往丙地，慢车从丙地驶往甲地，两车同时出发相向而行，且两车的车速各自不变．设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，则下列四个图象中，哪一图象中的折线能表示此时（千米）和时间（小时）之间的函数关系，请写出你认为可能合理的代号，并直接写出折线中拐点、、或、、、的坐标．
40．已知二次函数的图象与轴交于，两点，点在点的左边，交轴于点．
(1)求点，，C三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式．
41．已知二次函数．
(1)完成下表，并平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)结合图象回答：
①当时，随的增大而 ；（填“增大或减小）
②当时，自变量的取值范围是 ．
42．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件.如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元.
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
43．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
……
﹣1
0
1
2
……
y
……
0
﹣2
﹣2
n
……
(1)直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
(2)点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
44．某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数（张）与售票时间x（小时）的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数（张）与售票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．
(1)求图2中所确定抛物线的解析式；
(2)若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？
45．如图，正方形的顶点在边长为的正方形的边上，若，正方形的面积为．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)正方形有没有最小面积？若有，试确定点位置；若没有，说明理由．
46．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）．
(1)若，当时，．求y的函数表达式．
(2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
(3)已知，二次函数的图象和直线都经过点（2，m），求证．
参考答案：
1．B
【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在唯定的唯一y值与之对应”进行判断即可．
【详解】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是；
其中选项A、C、D均可能会有2个交点，故错误，而选线B中只会有一个交点，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
2．D
【详解】把高度单位化为千米，代入求解即可
【分析】解：2000米千米
时，
该地区海拔高度为2000米的山顶上的温度是．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的运用，运用代入法求解即可，注意转换单位
3．A
【分析】根据一次函数的增减性，求解即可．
【详解】解：，
∴随的增大而增大
又∵
∴
故选A
【点睛】此题考查了一次函数的增加性，解题的关键是掌握一次函数的有关性质．
4．B
【分析】根据两直线平行，结合题意即可设一次函数解析式为，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行，
∴可设一次函数解析式为：．
将点代入，得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：．
故选B．
【点睛】考查了一次函数图象平行的问题．解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定系数法求解析式．
5．D
【分析】根据一次函数y=（2m+1）x-m +3的图象不经过第四象限，可知，然后求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=（2m+1）x-m +3的图象不经过第四象限，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确一次函数的性质，列出相应的不等式组，求出m的取值范围．
6．A
【分析】根据每个一次函数及正比例函数的图像依次分析a及b的符号，然后再确定其所在的象限即可解答．
【详解】解：A、一次函数中a<0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项符合题意；
B、一次函数中a＞0，b＜0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
C、一次函数中a>0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项不符合题意；
D、一次函数中a＜0，b＞0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的图像，熟记一次函数与正比例函数图像与各字母系数的关系是解题的关键．
7．A
【分析】直线y＝﹣x+4向下平移n个单位长度后可得：y＝﹣x+4﹣n，求出直线y＝﹣x+4﹣n与直线y＝2x﹣4的交点，再由此点在第四象限可得出n的取值范围．
【详解】解：直线y＝﹣x+4向下平移n个单位后可得：y＝﹣x+4﹣n，
与直线联立得：
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第四象限，
∴
解得：2＜n＜8．
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标、一元一次不等式组的解法，注意第四象限的点的横坐标大于0、纵坐标小于0．联立解析式求出交点坐标是解题的关键．
8．C
【分析】根据一次函数的性质解题即可.
【详解】解：A．当时，，它的图象不经过点，故A错误；
B．，，它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C．当时，，当时，，故C正确；
D．，的值随值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质.熟知一次函数的性质，正确进行计算判断是解题的关键.
9．D
【分析】根据一次函数的性质，分k>0和k<0两种情况进行求解．
【详解】解：①当k>0时，y随x的增大而增大，
∴当x=-3时，y=-1，当x=1时，y=7，
∴，
∴；
②当k<0时，y随x的增大而减小，
∴当x=-3时，y=7，当x=1时，y=-1，
∴，
∴，
∴k的值为2或-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质及表达式，熟练掌握待定系数法，根据一次函数性质分情况讨论是解题的关键．
10．B
【分析】联立，求出交点坐标即可判断①；根据一次函数图像与系数的关系即可判断②③；可设一次函数的解析式为，然后求出解析式即可判断④；根据一次函数解析式可化为，即可判断⑤．
【详解】解：联立，
解得，
∴直线与直线的交点坐标是，故①正确；
∵一次函数，若，，
∴它的图象过第一、三、四象限，故②错误；
∵函数是一次函数，且y随x增大而减小，
∴③正确；
∵一次函数的图象与直线平行，
∴可设一次函数的解析式为，
∵一次函数经过点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，故④错误；
∵直线的解析式为，即
∴直线必经过点，故⑤正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，求一次函数图像，求两直线的交点等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．C
【分析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.
【详解】解：①是二次函数，正确；
②不是二次函数，错误；
③整理得，是二次函数，正确；
④整理得，是二次函数，正确；
∴一共有3个二次函数；
故选择：C.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义.
12．C
【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式．
【详解】∵长方形的周长为24cm,其中一边为x(其中x>0)，
∴长方形的另一边长为12−x，
∴y=(12−x)⋅x.
故选C.
【点睛】本题考查二次函数的关系式，解题的关键是掌握长方形的面积公式.
13．C
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，
则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
14．D
【分析】根据二次函数开口大小和方向与a的关系，易分析得出答案．
【详解】解：当时，、、的图象上的对应点分别是，，，
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C；
在第一象限内，的对应点在上，的对应点在下，排除A．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
15．C
【分析】由于原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，则m+1＞0，由此可以确定m的范围．
【详解】∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，
∴m+1＞0，
即m＞-1．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键．
16．B
【分析】观察二次函数图象，发现：开口向下，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的一个交点为．
【详解】解：A．，
二次函数的最大值为顶点的纵坐标，即函数的最大值是4，正确，不合题意；
B．二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与轴有一个交点，
二次函数与轴的另一个交点为．
当时，函数值，即不正确，符合题意．
C．当时，随的增大而增大，正确，不合题意；
D．二次函数的对称轴为，
函数的图象关于直线对称，正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，运用数形相结合的思想，能够从图形中获取有用信息是解题的关键．
17．B
【详解】解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；
∴a＞0且△＜0．
故选B．
18．C
【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解．
【详解】解：依题意，设点坐标为，
代入抛物线方程得：，
即水面到桥拱顶点的距离为16米．
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键．
19．A
【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最大值1、x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤4时，函数的最大值为0，可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0；②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，分别列出关于h的方程求解即可．
【详解】∵x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0，
可得：-（1-h）2+4=0，
解得：h=－1或h=3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，
可得：-（4-h）2+4=0，
解得：h=2（舍）或h=6．
综上，h的值为－1或6，
故选A．
【点睛】考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
20．A
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0,根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,则可对②进行判断:根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0,则abc＜0,于是可对①进行判断,由于x＝2时,y＞0,则得到4a+2b+c＞0,则可对③进行判断,通过点（﹣5,y1）和点（3,y2）离对称轴的远近对④进行判断．
【详解】解:∵抛物线开口向上,
∴a＞0,
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1,
∴b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c＜0,
∴abc＜0,所以①正确;
∵x＝2时,y＞0,
∴4a+2b+c＞0,所以③错误;
∵点（﹣5,y1）离对称轴的距离与点（3,y2）离对称轴的距离相等,
∴y1＝y2,所以④不正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质.
21．x≥1且x≠2
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x-1≥0且x-2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
22．y=-x+1
【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为y=-（x-2）-1，
即y=-x+1．
故答案为：y=-x+1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．
23．-3
【分析】根据正比例函数的定义可得出关于k的方程，解出即可．
【详解】解：∵是正比例函数，
∴k2-9=0且k-3≠0，
解得k=-3，
故答案是：-3．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，应注意求出k的值时，不要忘记检验k-2≠0这个条件．
24． 2040
【分析】根据题意可求出存月后的利息为，进而即可得出本利和（元）与所存月数之间的函数关系式．再将代入所求解析式即可求解．
【详解】解：存月后的利息为，
．
当时，．
故答案为：；2040．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键．
25．
【分析】根据交点在一次函数上，可以求出点的坐标，结合图象能算出不等式的解集，再算出的解集，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：将代入一次函数得，
，解得，
∴
∴的解集为：，
∵，
∴
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，以及一次函数与一元一次方程组的关系问题，求出点的坐标是本题的关键．
26．0＜k＜3且k≠
【分析】由于2k﹣1的符号不能确定，故应分2k﹣1＞0和2k﹣1＜0两种情况进行解答，根据函数值大于0求得k的取值范围．
【详解】解：一次函数y＝（2k﹣1）x+k+2中，2k﹣1≠0，则k≠，
当2k﹣1＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣1得：y＝﹣2k+1+k+2，
根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣2k+1+k+2＞0，
解得：k＜3．
当2k﹣1＜0时，y随x的增大而减小，由x＝2得：y＝（2k﹣1）×2+k+2，根据函数的图象在x轴的上方，
则有（2k﹣1）×2+k+2＞0，解得：k＞0，
故答案为0＜k＜3且k≠．
【点睛】本题考查了一次函数图像与性质，掌握一次函数图像与性质是解题的关键．
27． （-2，4）
【详解】解：原二次函数配方后得：，顶点坐标为：（-2，4），
故答案为：，（-2，4）．
28．y1＜y2＜y3．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝0，然后比较三个点离对称轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
【详解】∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣1（a＞0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝0，开口向上，
∵A（﹣1，y1）、B（，y2）、C（2，y3），
∴点C离对称轴最远，点A离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为y1＜y2＜y3．
【点睛】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
29．（答案不唯一）
【分析】由二次函数的性质可得，二次函数与y轴的交点为(0，c)，c>0时，二次函数与y轴的交点在x轴的上方，进而求解即可．
【详解】解：关于的二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数与y轴的交点为(0，c)，c>0时，二次函数与y轴的交点在x轴的上方，c<0时，二次函数与y轴的交点在x轴的下方是解题的关键．
30．
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
【详解】二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键.
31．
【详解】解：h=3.5t-4.9t2=-4.9（t-）2+，
∵-4.9＜0
∴当t=时，h最大．
故答案为：．
32．-1＜x＜5
【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集．
【详解】解：∵直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，p），B（5，q）两点，
∴关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c解集是-1＜x＜5
故答案为：-1＜x＜5．
【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．
33．(1)
(2)与轴交点坐标为，与轴交点坐标为和．
【分析】（1）由题意可设，，即得出，再根据当时，，当时，，利用待定系数法即可求解；
（2）由（1）所求函数关系式，分别令，求出y的值，即得出该函数与轴交点坐标；令，求出x的值，即得出该函数与轴交点坐标．
【详解】（1）根据题意可设，，
则．
∵当时，，当时，，
∴，
解得：，，
∴与的函数关系式为；
（2）对于，
令，则
∴该函数与轴交点坐标为，
令，则，
解得：，，
∴该函数与轴交点坐标为，．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，解一元二次方程．熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解本题的关键．
34．（1）k=﹣1，b=﹣3；（2）x＞﹣3.
【分析】(1)将A(0，﹣3)和(﹣3，0)代入y=kx+b，用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）由图象可知:直线从左往右逐渐下降,即y随x的增大而减小,又当x=-3时,y=0,B右侧即可得到不等式y<0的解集..
【详解】解：(1)将A(0，﹣3)和(﹣3，0)代入y=kx+b得：，
解得：k=﹣1，b=﹣3.
(2) 由图象可知:直线从左往右逐渐下降,即y随x的增大而减小,又当x=-3时，y=0， 所以kx+b＜0的解集为：x＞﹣3.
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数与一元一次不等式的关系,一次函数的图象等知识点的理解和掌握,能根据图象进行说理是解此题的关键,用的数学思想是数形结合思想.
35．(1)y＝x−2
(2)（−3，0）或（7，0）
【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式一般步骤：将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程组，解方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式；
（2）根据题意，设p（x，0），表示BP＝|x−2|，再根据面积公式列等式，计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（−2，−4）和B（2，0），
进而得
，
解得k＝1，b＝−2，
∴该函数的表达式：y＝x−2；
（2）∵点P是x轴上一点，
∴设P（x，0），
∴BP＝|x−2|，
∵△ABP的面积为10，
∴×4×|x−2|＝10，
∴|x−2|＝5，
∴x−2＝5或x−2＝−5，
解得x1＝−3或x2＝7，
∴点P的坐标（−3，0）或（7，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤，求点P的坐标分两种情况是解题关键．
36．（1）4cm；（2）6cm2；（3）15cm2；（4）17秒
【分析】（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得BC的长；
（2）由（1）可得BC的长，又由AB＝3cm，可以计算出△ABP的面积，即可得到a的值；
（3）分析图形可得，甲中的图形面积等于AB×AF﹣CD×DE，根据图象求出CD，DE，AF的长，代入数据计算可得答案；
（4）计算BC+CD+DE+EF+FA的长度，又由P的速度，计算可得b的值．
【详解】解：（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝1cm/秒×4秒＝4cm；
故图甲中的BC长是4cm．
（2）由（1）可得，BC＝4cm，则：a＝×BC×AB＝6cm2；
图乙中的a是6cm2．
（3）由图可得：CD＝2×1＝2cm，DE＝1×3＝3cm，
则AF＝BC+DE＝7cm，又由AB＝3cm，
则甲图的面积为AB×AF﹣CD×DE＝3×7﹣2×3＝15cm2，
图甲中的图形面积为15cm2．
（4）根据题意，动点P共运动了BC+CD+DE+EF+FA＝4+2+3+1+7＝17cm，
其速度是1cm/秒，则b＝＝17秒，
图乙中的b是17秒．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，能够从图象中获取信息是解题的关键．
37．（1）减小；（2），；（3）
【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数与轴和轴的交点的坐标，然后即可画出相应的函数图象；
（1）根据函数图象，可以写出的值随值的增大如何变化；
（2）根据图象可以写出与轴和轴的交点坐标；
（3）根据图象，可以写出当时的取值范围．
【详解】解：∵，
∴当时，，当时，，
∴函数过点、，函数图象如图所示；
（1）由图象可得，
的值随值的增大而减小，
故答案为：减小；
（2）结合（1）与图象可得，
图象与轴的交点坐标是，图象与轴的交点坐标是，
故答案为：，；
（3）由图象可得，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是画一次函数的图像，一次函数的性质，一次函数与不等式的关系，掌握利用数形结合的方法解决问题是解题的关键．
38．(1) x=48时，总利润最大为1104 元；(2) 15个．
【分析】（1）由于购买甲种图书x本，则购买乙种图书（100-x）本，根据：总利润=甲种图书的总利润+乙种图书的总利润可列函数关系式；
（2）设购买a个排球，b个篮球．根据题意得出：72a+96b=1104，尽可能多买排球才能购买数量最多，故当买一个篮球时，求出可以购买排球个数，正好是整数．
【详解】解：（1）∵总利润为w=(26-16)x+(40-28)(100-x)=-2x+1200，
∵16x+28×（100-x）≤2224
∴x≥48
∵W随着x的增大而减小
∴当x=48时，总利润最大，最大利润为w=-2×48+1200=1104（元）．
（2）设买排球m个，篮球n个，由题意得
72m+96n=1104，即3m+4n=46，∴n=，
∴，或，或，或．
∴m+n=15、14、13、12．
∴最多可以购买排球和篮球共15个．
【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解应用题的关键．
39．(1)150
(2)慢车速度100km/h，快车速度250km/h
(3)
(4)图象（c）中的折线能表示此时（千米）和时间（小时）之间的函数关系，、，、、
【分析】（1）结合图像可知，甲乙两地的距离等于OA的长度；（2）结合图像分析可求出快车与慢车的速度；（3）设，代入C、D两点可求解；（4）结合图像分析可得答案
【详解】（1）点，
甲、乙两地之间的距离为；
（2）慢车速度：；
快车速度：；
（3），
，
点坐标为，
设，
把点，代入得
，
解得．
．
（4）由分析可知，图象（c）中的折线能表示此时（千米）和时间（小时）之间的函数关系，、，、、．
【点睛】本题考查一次函数的运用，关键要结合给定的图像，找出对应关系式
40．(1)A（3，0），B（1，0），C（0，3）
(2)
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标的性质，分别令x、y为0，计算即可得到答案；
（2）使用待定系数法，将两点坐标代入函数表达式，计算即可得到答案；
【详解】（1）解：令，则，
解得：，，
∴A（-3，0），B（1，0）
令，则，
C（0，3）；
（2）解：设直线的解析式为，
把A，C坐标代入，
则，
解得：，
直线的函数表达式为
【点睛】本题考查了函数图像与坐标轴的交点和求函数的表达式，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
41．(1)见解析；
(2)①减小；②．
【分析】（1）确定x的取值范围为任意实数，因此取x＝−2，−1，0，1，2时，计算出y的值，然后画图象即可；
（2）①根据图象可得x＜1时，y随x的增大而减小；②y≤0时，图象在x轴下方，进而可得答案．
【详解】（1）解：表格和图象如下：
0
1
2
8
3
0
0
（2）①当时，随的增大而减小，
故答案为：减小；
②当时，自变量的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了画二次函数图象，看二次函数图象，关键是正确确定x的值，画出二次函数图象．
42．（1）y==-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元.
【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
【详解】解：（1）y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵-10＜0，
∴当x==4时，y最大=1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元.
【点睛】本题考查了二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．
43．(1)n=0，y=x2-x-2
(2)能，3或-2
【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得n的值，利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）先根据二次函数的性质判断，然后把y=4代入解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得m的值．
【详解】（1）解：根据图表可知：
二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（0，-2），（1，-2），
∴对称轴为直线x=，c=-2，
∵（-1，0）的对称点为（2，0），
∴n=0，
设y=ax2+bx-2，
将（-1，0）和（1，-2）代入得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y=x2-x-2．
（2）点Q能在该函数图象上，
把y=4代入y=x2-x-2，得x2-x-2=4．
解得x=3或x=-2，
∴m的值是3或-2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
44．(1)；
(2)6．
【分析】（1）设，当x=2时，，代入即可得到答案；
（2）设（1≤x≤3），把（1，0），（2，40）分别代入，求得，当x=3时，，，设需要开放m个普通售票窗口，所以80m+90×5≥900，解得m≥，因为m取整数，所以m≥6．
【详解】（1）设，
当x=2时，，
把（2，40）代入，
4a=40，解得：a=10，
∴；
（2）设（1≤x≤3），
把（1，0），（2，40）分别代入得：，
解得：，
∴，
当x=3时，，，
设需要开放m个普通售票窗口，
∴80m+90×5≥900，
∴m≥，
∴m取整数，
∴m≥6．
答：至少需要开放6个普通售票窗口．
45．(1)
(2)有最小面积，此时为中点
【分析】（1）先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后利用正方形的面积公式即可得；
（2）利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
正方形的边长为，，正方形的面积为，
，，，
在中，，
．
（2）解：由（1）可知，，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最小值，
所以正方形有最小面积，此时点为中点．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、二次函数的应用，熟练掌握正方形和二次函数的性质是解题关键．
46．(1)y＝x2−x＋2
(2)（−1，0）
(3)见解析
【分析】（1）把a＝1代入二次函数的关系式，再把x＝−1，y＝4代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到4a＋2b＋2＝2a＋4b，整理得b＝a＋1，则a2＋b2＝2a2＋2a＋1＝2（a＋）2＋，根据二次函数的性质即可得到a2＋b2≥．
【详解】（1）解：把a＝1代入得，y＝x2＋bx＋2，
∵当x＝−1时，y＝4，
∴4＝1−b＋2，
∴b＝−1，
∴二次函数的关系式为y＝x2−x＋2；
（2）解：令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0，
当Δ＝0时，则b2−8a＝0，
∴b2＝8a，
∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝2x2＋4x＋2＝2（x＋1）2，
∴此函数的顶点坐标为（−1，0）；
（3）证明：∵二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象和直线y＝ax＋4b都经过点（2，m），
∴4a＋2b＋2＝2a＋4b，
∴2a＋2＝2b，
∴b＝a＋1，
∴a2＋b2
＝a2＋（a＋1）2
＝2a2＋2a＋1
＝2（a＋）2＋，
∴a2＋b2≥．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a＋1；（3）熟知二次函数的性质．
第1章 二次函数（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．某地海拔高度与温度的关系可用来表示（其中温度单位为，高度单位为千米），则该地区海拔高度为2000米的山顶上的温度是（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．与m的值有关
4．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么一次函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
5．若一次函数的图象不经过第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（ ）．
A． B． C． D．
7．把直线向下平移n个单位长度后，与直线的交点在第四象限，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时， D．的值随值的增大而增大
9．一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，－1≤y≤7，则k的值为（ ）
A．2 B．－2 C．2或5 D．2或－2
10．给出下列说法：①直线与直线的交点坐标是；②一次函数，若，，那么它的图象过第一、二、三象限；③函数是一次函数，且y随x增大而减小；④已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为；⑤直线必经过点．其中正确的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（），面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B． C．y=（12-x）x D．
13．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
14．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
16．如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．的最大值是4 B．当时，函数值
C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称
17．不论x为何值，函数的值恒大于0的条件是( )
A．， B．; C．; D．
18．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为
A． B． C． D．
19．已知二次函数（h为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为0，则的值为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
评卷人
得分
二、填空题
21．在函数中，自变量x的取值范围为 ．
22．把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式是 ．
23．如果是正比例函数，那么 ．
24．某种储蓄的月利率为，如果存入2000元，不计利息税和复利，则本利和（元）与所存月数之间的函数关系式是 ，10个月时本利和为 元．
25．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为 ．
26．已知一次函数y＝（2k﹣1）x+k+2的图象在范围﹣1≤x≤2内的一段都在x轴上方，则k的取值范围 ．
27．把二次函数用配方法化成的形式是 ；该二次函数图像的顶点坐标是
28．已知A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝ax2﹣1（a＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是 ．（用“＜”连接）
29．关于的二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式： ．
30．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为 .
31．小敏在今年的校运会比赛中跳出了满意一跳，函数，可以描述他跳跃时重心高度的变化．则他跳起后到重心最高时所用的时间是 ．
32．如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（−1，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式mx+n
评卷人
得分
三、解答题
33．已知，其中与成正比例，与成正比例，且当时，，当时，．
(1)求与的函数关系式；
(2)求出该函数与坐标轴的交点坐标．
34．如图，直线y=kx+b经过A(0，﹣3)和B(﹣3，0)两点.
(1)求k、b的值；
(2)求不等式kx+b＜0的解集.
35．已知一次函数的图象经过点和.
(1)求该函数的表达式；
(2)若点是轴上一点，且的面积为10，求点的坐标.
36．已知动点P以每秒1cm的速度沿图甲的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB＝3cm，试回答下列问题
（1）图甲中的BC长是多少？
（2）图乙中的a是多少？
（3）图甲中的图形面积是多少？
（4）图乙中的b是多少？
37．在如图的直角坐标系中，画出函数的图象，并结合图象回答下列问题：
（1）的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）；
（2）图象与轴的交点坐标是______；图象与轴的交点坐标是______；
（3）当______时，．
38．在某书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，两种图书的进价、售价如下表所示：
甲种图书
乙种图书
进价（元/本）
16
28
售价（元/本）
26
40
请解答下列问题：
(1)在这批图书全部售出的条件下，书店如何进货利润最大？最大利润是多少？
(2)书店计划用(1)中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？
39．如图，甲、丙两地相距，一列快车从甲地驶往丙地，且途中经过乙地；一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发同向而行，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
(1)甲乙两地之间的距离为 ；
(2)求慢车和快车的速度．
(3)求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(4)若这列快车从甲地驶往丙地，慢车从丙地驶往甲地，两车同时出发相向而行，且两车的车速各自不变．设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，则下列四个图象中，哪一图象中的折线能表示此时（千米）和时间（小时）之间的函数关系，请写出你认为可能合理的代号，并直接写出折线中拐点、、或、、、的坐标．
40．已知二次函数的图象与轴交于，两点，点在点的左边，交轴于点．
(1)求点，，C三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式．
41．已知二次函数．
(1)完成下表，并平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)结合图象回答：
①当时，随的增大而 ；（填“增大或减小）
②当时，自变量的取值范围是 ．
42．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件.如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元.
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
43．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
……
﹣1
0
1
2
……
y
……
0
﹣2
﹣2
n
……
(1)直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
(2)点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
44．某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数（张）与售票时间x（小时）的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数（张）与售票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．
(1)求图2中所确定抛物线的解析式；
(2)若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？
45．如图，正方形的顶点在边长为的正方形的边上，若，正方形的面积为．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)正方形有没有最小面积？若有，试确定点位置；若没有，说明理由．
46．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）．
(1)若，当时，．求y的函数表达式．
(2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
(3)已知，二次函数的图象和直线都经过点（2，m），求证．
参考答案：
1．B
【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在唯定的唯一y值与之对应”进行判断即可．
【详解】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是；
其中选项A、C、D均可能会有2个交点，故错误，而选线B中只会有一个交点，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
2．D
【详解】把高度单位化为千米，代入求解即可
【分析】解：2000米千米
时，
该地区海拔高度为2000米的山顶上的温度是．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的运用，运用代入法求解即可，注意转换单位
3．A
【分析】根据一次函数的增减性，求解即可．
【详解】解：，
∴随的增大而增大
又∵
∴
故选A
【点睛】此题考查了一次函数的增加性，解题的关键是掌握一次函数的有关性质．
4．B
【分析】根据两直线平行，结合题意即可设一次函数解析式为，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行，
∴可设一次函数解析式为：．
将点代入，得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：．
故选B．
【点睛】考查了一次函数图象平行的问题．解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定系数法求解析式．
5．D
【分析】根据一次函数y=（2m+1）x-m +3的图象不经过第四象限，可知，然后求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=（2m+1）x-m +3的图象不经过第四象限，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确一次函数的性质，列出相应的不等式组，求出m的取值范围．
6．A
【分析】根据每个一次函数及正比例函数的图像依次分析a及b的符号，然后再确定其所在的象限即可解答．
【详解】解：A、一次函数中a<0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项符合题意；
B、一次函数中a＞0，b＜0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
C、一次函数中a>0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项不符合题意；
D、一次函数中a＜0，b＞0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的图像，熟记一次函数与正比例函数图像与各字母系数的关系是解题的关键．
7．A
【分析】直线y＝﹣x+4向下平移n个单位长度后可得：y＝﹣x+4﹣n，求出直线y＝﹣x+4﹣n与直线y＝2x﹣4的交点，再由此点在第四象限可得出n的取值范围．
【详解】解：直线y＝﹣x+4向下平移n个单位后可得：y＝﹣x+4﹣n，
与直线联立得：
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第四象限，
∴
解得：2＜n＜8．
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标、一元一次不等式组的解法，注意第四象限的点的横坐标大于0、纵坐标小于0．联立解析式求出交点坐标是解题的关键．
8．C
【分析】根据一次函数的性质解题即可.
【详解】解：A．当时，，它的图象不经过点，故A错误；
B．，，它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C．当时，，当时，，故C正确；
D．，的值随值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质.熟知一次函数的性质，正确进行计算判断是解题的关键.
9．D
【分析】根据一次函数的性质，分k>0和k<0两种情况进行求解．
【详解】解：①当k>0时，y随x的增大而增大，
∴当x=-3时，y=-1，当x=1时，y=7，
∴，
∴；
②当k<0时，y随x的增大而减小，
∴当x=-3时，y=7，当x=1时，y=-1，
∴，
∴，
∴k的值为2或-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质及表达式，熟练掌握待定系数法，根据一次函数性质分情况讨论是解题的关键．
10．B
【分析】联立，求出交点坐标即可判断①；根据一次函数图像与系数的关系即可判断②③；可设一次函数的解析式为，然后求出解析式即可判断④；根据一次函数解析式可化为，即可判断⑤．
【详解】解：联立，
解得，
∴直线与直线的交点坐标是，故①正确；
∵一次函数，若，，
∴它的图象过第一、三、四象限，故②错误；
∵函数是一次函数，且y随x增大而减小，
∴③正确；
∵一次函数的图象与直线平行，
∴可设一次函数的解析式为，
∵一次函数经过点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，故④错误；
∵直线的解析式为，即
∴直线必经过点，故⑤正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，求一次函数图像，求两直线的交点等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．C
【分析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.
【详解】解：①是二次函数，正确；
②不是二次函数，错误；
③整理得，是二次函数，正确；
④整理得，是二次函数，正确；
∴一共有3个二次函数；
故选择：C.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义.
12．C
【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式．
【详解】∵长方形的周长为24cm,其中一边为x(其中x>0)，
∴长方形的另一边长为12−x，
∴y=(12−x)⋅x.
故选C.
【点睛】本题考查二次函数的关系式，解题的关键是掌握长方形的面积公式.
13．C
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，
则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
14．D
【分析】根据二次函数开口大小和方向与a的关系，易分析得出答案．
【详解】解：当时，、、的图象上的对应点分别是，，，
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C；
在第一象限内，的对应点在上，的对应点在下，排除A．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
15．C
【分析】由于原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，则m+1＞0，由此可以确定m的范围．
【详解】∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，
∴m+1＞0，
即m＞-1．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键．
16．B
【分析】观察二次函数图象，发现：开口向下，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的一个交点为．
【详解】解：A．，
二次函数的最大值为顶点的纵坐标，即函数的最大值是4，正确，不合题意；
B．二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与轴有一个交点，
二次函数与轴的另一个交点为．
当时，函数值，即不正确，符合题意．
C．当时，随的增大而增大，正确，不合题意；
D．二次函数的对称轴为，
函数的图象关于直线对称，正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，运用数形相结合的思想，能够从图形中获取有用信息是解题的关键．
17．B
【详解】解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；
∴a＞0且△＜0．
故选B．
18．C
【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解．
【详解】解：依题意，设点坐标为，
代入抛物线方程得：，
即水面到桥拱顶点的距离为16米．
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键．
19．A
【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最大值1、x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤4时，函数的最大值为0，可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0；②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，分别列出关于h的方程求解即可．
【详解】∵x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0，
可得：-（1-h）2+4=0，
解得：h=－1或h=3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，
可得：-（4-h）2+4=0，
解得：h=2（舍）或h=6．
综上，h的值为－1或6，
故选A．
【点睛】考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
20．A
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0,根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,则可对②进行判断:根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0,则abc＜0,于是可对①进行判断,由于x＝2时,y＞0,则得到4a+2b+c＞0,则可对③进行判断,通过点（﹣5,y1）和点（3,y2）离对称轴的远近对④进行判断．
【详解】解:∵抛物线开口向上,
∴a＞0,
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1,
∴b＝2a＞0,则2a﹣b＝0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c＜0,
∴abc＜0,所以①正确;
∵x＝2时,y＞0,
∴4a+2b+c＞0,所以③错误;
∵点（﹣5,y1）离对称轴的距离与点（3,y2）离对称轴的距离相等,
∴y1＝y2,所以④不正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质.
21．x≥1且x≠2
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x-1≥0且x-2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
22．y=-x+1
【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为y=-（x-2）-1，
即y=-x+1．
故答案为：y=-x+1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．
23．-3
【分析】根据正比例函数的定义可得出关于k的方程，解出即可．
【详解】解：∵是正比例函数，
∴k2-9=0且k-3≠0，
解得k=-3，
故答案是：-3．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，应注意求出k的值时，不要忘记检验k-2≠0这个条件．
24． 2040
【分析】根据题意可求出存月后的利息为，进而即可得出本利和（元）与所存月数之间的函数关系式．再将代入所求解析式即可求解．
【详解】解：存月后的利息为，
．
当时，．
故答案为：；2040．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键．
25．
【分析】根据交点在一次函数上，可以求出点的坐标，结合图象能算出不等式的解集，再算出的解集，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：将代入一次函数得，
，解得，
∴
∴的解集为：，
∵，
∴
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，以及一次函数与一元一次方程组的关系问题，求出点的坐标是本题的关键．
26．0＜k＜3且k≠
【分析】由于2k﹣1的符号不能确定，故应分2k﹣1＞0和2k﹣1＜0两种情况进行解答，根据函数值大于0求得k的取值范围．
【详解】解：一次函数y＝（2k﹣1）x+k+2中，2k﹣1≠0，则k≠，
当2k﹣1＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣1得：y＝﹣2k+1+k+2，
根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣2k+1+k+2＞0，
解得：k＜3．
当2k﹣1＜0时，y随x的增大而减小，由x＝2得：y＝（2k﹣1）×2+k+2，根据函数的图象在x轴的上方，
则有（2k﹣1）×2+k+2＞0，解得：k＞0，
故答案为0＜k＜3且k≠．
【点睛】本题考查了一次函数图像与性质，掌握一次函数图像与性质是解题的关键．
27． （-2，4）
【详解】解：原二次函数配方后得：，顶点坐标为：（-2，4），
故答案为：，（-2，4）．
28．y1＜y2＜y3．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝0，然后比较三个点离对称轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
【详解】∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣1（a＞0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝0，开口向上，
∵A（﹣1，y1）、B（，y2）、C（2，y3），
∴点C离对称轴最远，点A离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为y1＜y2＜y3．
【点睛】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
29．（答案不唯一）
【分析】由二次函数的性质可得，二次函数与y轴的交点为(0，c)，c>0时，二次函数与y轴的交点在x轴的上方，进而求解即可．
【详解】解：关于的二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数与y轴的交点为(0，c)，c>0时，二次函数与y轴的交点在x轴的上方，c<0时，二次函数与y轴的交点在x轴的下方是解题的关键．
30．
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
【详解】二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的二次函数表达式为
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键.
31．
【详解】解：h=3.5t-4.9t2=-4.9（t-）2+，
∵-4.9＜0
∴当t=时，h最大．
故答案为：．
32．-1＜x＜5
【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集．
【详解】解：∵直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，p），B（5，q）两点，
∴关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c解集是-1＜x＜5
故答案为：-1＜x＜5．
【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．
33．(1)
(2)与轴交点坐标为，与轴交点坐标为和．
【分析】（1）由题意可设，，即得出，再根据当时，，当时，，利用待定系数法即可求解；
（2）由（1）所求函数关系式，分别令，求出y的值，即得出该函数与轴交点坐标；令，求出x的值，即得出该函数与轴交点坐标．
【详解】（1）根据题意可设，，
则．
∵当时，，当时，，
∴，
解得：，，
∴与的函数关系式为；
（2）对于，
令，则
∴该函数与轴交点坐标为，
令，则，
解得：，，
∴该函数与轴交点坐标为，．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，解一元二次方程．熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解本题的关键．
34．（1）k=﹣1，b=﹣3；（2）x＞﹣3.
【分析】(1)将A(0，﹣3)和(﹣3，0)代入y=kx+b，用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）由图象可知:直线从左往右逐渐下降,即y随x的增大而减小,又当x=-3时,y=0,B右侧即可得到不等式y<0的解集..
【详解】解：(1)将A(0，﹣3)和(﹣3，0)代入y=kx+b得：，
解得：k=﹣1，b=﹣3.
(2) 由图象可知:直线从左往右逐渐下降,即y随x的增大而减小,又当x=-3时，y=0， 所以kx+b＜0的解集为：x＞﹣3.
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数与一元一次不等式的关系,一次函数的图象等知识点的理解和掌握,能根据图象进行说理是解此题的关键,用的数学思想是数形结合思想.
35．(1)y＝x−2
(2)（−3，0）或（7，0）
【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式一般步骤：将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程组，解方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式；
（2）根据题意，设p（x，0），表示BP＝|x−2|，再根据面积公式列等式，计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（−2，−4）和B（2，0），
进而得
，
解得k＝1，b＝−2，
∴该函数的表达式：y＝x−2；
（2）∵点P是x轴上一点，
∴设P（x，0），
∴BP＝|x−2|，
∵△ABP的面积为10，
∴×4×|x−2|＝10，
∴|x−2|＝5，
∴x−2＝5或x−2＝−5，
解得x1＝−3或x2＝7，
∴点P的坐标（−3，0）或（7，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤，求点P的坐标分两种情况是解题关键．
36．（1）4cm；（2）6cm2；（3）15cm2；（4）17秒
【分析】（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得BC的长；
（2）由（1）可得BC的长，又由AB＝3cm，可以计算出△ABP的面积，即可得到a的值；
（3）分析图形可得，甲中的图形面积等于AB×AF﹣CD×DE，根据图象求出CD，DE，AF的长，代入数据计算可得答案；
（4）计算BC+CD+DE+EF+FA的长度，又由P的速度，计算可得b的值．
【详解】解：（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝1cm/秒×4秒＝4cm；
故图甲中的BC长是4cm．
（2）由（1）可得，BC＝4cm，则：a＝×BC×AB＝6cm2；
图乙中的a是6cm2．
（3）由图可得：CD＝2×1＝2cm，DE＝1×3＝3cm，
则AF＝BC+DE＝7cm，又由AB＝3cm，
则甲图的面积为AB×AF﹣CD×DE＝3×7﹣2×3＝15cm2，
图甲中的图形面积为15cm2．
（4）根据题意，动点P共运动了BC+CD+DE+EF+FA＝4+2+3+1+7＝17cm，
其速度是1cm/秒，则b＝＝17秒，
图乙中的b是17秒．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，能够从图象中获取信息是解题的关键．
37．（1）减小；（2），；（3）
【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数与轴和轴的交点的坐标，然后即可画出相应的函数图象；
（1）根据函数图象，可以写出的值随值的增大如何变化；
（2）根据图象可以写出与轴和轴的交点坐标；
（3）根据图象，可以写出当时的取值范围．
【详解】解：∵，
∴当时，，当时，，
∴函数过点、，函数图象如图所示；
（1）由图象可得，
的值随值的增大而减小，
故答案为：减小；
（2）结合（1）与图象可得，
图象与轴的交点坐标是，图象与轴的交点坐标是，
故答案为：，；
（3）由图象可得，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是画一次函数的图像，一次函数的性质，一次函数与不等式的关系，掌握利用数形结合的方法解决问题是解题的关键．
38．(1) x=48时，总利润最大为1104 元；(2) 15个．
【分析】（1）由于购买甲种图书x本，则购买乙种图书（100-x）本，根据：总利润=甲种图书的总利润+乙种图书的总利润可列函数关系式；
（2）设购买a个排球，b个篮球．根据题意得出：72a+96b=1104，尽可能多买排球才能购买数量最多，故当买一个篮球时，求出可以购买排球个数，正好是整数．
【详解】解：（1）∵总利润为w=(26-16)x+(40-28)(100-x)=-2x+1200，
∵16x+28×（100-x）≤2224
∴x≥48
∵W随着x的增大而减小
∴当x=48时，总利润最大，最大利润为w=-2×48+1200=1104（元）．
（2）设买排球m个，篮球n个，由题意得
72m+96n=1104，即3m+4n=46，∴n=，
∴，或，或，或．
∴m+n=15、14、13、12．
∴最多可以购买排球和篮球共15个．
【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解应用题的关键．
39．(1)150
(2)慢车速度100km/h，快车速度250km/h
(3)
(4)图象（c）中的折线能表示此时（千米）和时间（小时）之间的函数关系，、，、、
【分析】（1）结合图像可知，甲乙两地的距离等于OA的长度；（2）结合图像分析可求出快车与慢车的速度；（3）设，代入C、D两点可求解；（4）结合图像分析可得答案
【详解】（1）点，
甲、乙两地之间的距离为；
（2）慢车速度：；
快车速度：；
（3），
，
点坐标为，
设，
把点，代入得
，
解得．
．
（4）由分析可知，图象（c）中的折线能表示此时（千米）和时间（小时）之间的函数关系，、，、、．
【点睛】本题考查一次函数的运用，关键要结合给定的图像，找出对应关系式
40．(1)A（3，0），B（1，0），C（0，3）
(2)
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标的性质，分别令x、y为0，计算即可得到答案；
（2）使用待定系数法，将两点坐标代入函数表达式，计算即可得到答案；
【详解】（1）解：令，则，
解得：，，
∴A（-3，0），B（1，0）
令，则，
C（0，3）；
（2）解：设直线的解析式为，
把A，C坐标代入，
则，
解得：，
直线的函数表达式为
【点睛】本题考查了函数图像与坐标轴的交点和求函数的表达式，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
41．(1)见解析；
(2)①减小；②．
【分析】（1）确定x的取值范围为任意实数，因此取x＝−2，−1，0，1，2时，计算出y的值，然后画图象即可；
（2）①根据图象可得x＜1时，y随x的增大而减小；②y≤0时，图象在x轴下方，进而可得答案．
【详解】（1）解：表格和图象如下：
0
1
2
8
3
0
0
（2）①当时，随的增大而减小，
故答案为：减小；
②当时，自变量的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了画二次函数图象，看二次函数图象，关键是正确确定x的值，画出二次函数图象．
42．（1）y==-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元.
【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
【详解】解：（1）y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵-10＜0，
∴当x==4时，y最大=1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元.
【点睛】本题考查了二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．
43．(1)n=0，y=x2-x-2
(2)能，3或-2
【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得n的值，利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）先根据二次函数的性质判断，然后把y=4代入解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得m的值．
【详解】（1）解：根据图表可知：
二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（0，-2），（1，-2），
∴对称轴为直线x=，c=-2，
∵（-1，0）的对称点为（2，0），
∴n=0，
设y=ax2+bx-2，
将（-1，0）和（1，-2）代入得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y=x2-x-2．
（2）点Q能在该函数图象上，
把y=4代入y=x2-x-2，得x2-x-2=4．
解得x=3或x=-2，
∴m的值是3或-2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
44．(1)；
(2)6．
【分析】（1）设，当x=2时，，代入即可得到答案；
（2）设（1≤x≤3），把（1，0），（2，40）分别代入，求得，当x=3时，，，设需要开放m个普通售票窗口，所以80m+90×5≥900，解得m≥，因为m取整数，所以m≥6．
【详解】（1）设，
当x=2时，，
把（2，40）代入，
4a=40，解得：a=10，
∴；
（2）设（1≤x≤3），
把（1，0），（2，40）分别代入得：，
解得：，
∴，
当x=3时，，，
设需要开放m个普通售票窗口，
∴80m+90×5≥900，
∴m≥，
∴m取整数，
∴m≥6．
答：至少需要开放6个普通售票窗口．
45．(1)
(2)有最小面积，此时为中点
【分析】（1）先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后利用正方形的面积公式即可得；
（2）利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
正方形的边长为，，正方形的面积为，
，，，
在中，，
．
（2）解：由（1）可知，，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最小值，
所以正方形有最小面积，此时点为中点．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、二次函数的应用，熟练掌握正方形和二次函数的性质是解题关键．
46．(1)y＝x2−x＋2
(2)（−1，0）
(3)见解析
【分析】（1）把a＝1代入二次函数的关系式，再把x＝−1，y＝4代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到4a＋2b＋2＝2a＋4b，整理得b＝a＋1，则a2＋b2＝2a2＋2a＋1＝2（a＋）2＋，根据二次函数的性质即可得到a2＋b2≥．
【详解】（1）解：把a＝1代入得，y＝x2＋bx＋2，
∵当x＝−1时，y＝4，
∴4＝1−b＋2，
∴b＝−1，
∴二次函数的关系式为y＝x2−x＋2；
（2）解：令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0，
当Δ＝0时，则b2−8a＝0，
∴b2＝8a，
∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝2x2＋4x＋2＝2（x＋1）2，
∴此函数的顶点坐标为（−1，0）；
（3）证明：∵二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象和直线y＝ax＋4b都经过点（2，m），
∴4a＋2b＋2＝2a＋4b，
∴2a＋2＝2b，
∴b＝a＋1，
∴a2＋b2
＝a2＋（a＋1）2
＝2a2＋2a＋1
＝2（a＋）2＋，
∴a2＋b2≥．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a＋1；（3）熟知二次函数的性质．
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