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数学3.1 圆同步练习题
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这是一份数学3.1 圆同步练习题，共60页。
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
三．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
四．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
【考点剖析】
一．圆的认识（共4小题）
1．（2022秋•海曙区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD＝ 度．
2．（2022秋•下城区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上
3．（2022秋•东阳市月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
4．（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（ ）
A．B．C．D．
二．点与圆的位置关系（共7小题）
5．（2022秋•上城区期末）已知⊙O的面积为25π，若PO＝5.5，则点P在 ．
6．（2022秋•诸暨市期末）点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
7．（2022秋•拱墅区校级期中）若⊙O的半径为5cm，平面上有一点A，OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O （填“内、上、外”）
8．（2022秋•鹿城区校级月考）如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
9．（2023•绍兴模拟）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是 ．
10．（2023•平湖市一模）平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON＝t（1＜t＜2），点P的坐标为（﹣4，0）．将点P沿OM方向平移2个单位，得到点P'，再将点P'作关于点N的对称点Q，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，PQ长度的最大值与最小值的差为 ．（用含t的式子表示）
11．（2022秋•柯桥区月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圆心M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
三．确定圆的条件（共4小题）
12．（2022秋•永康市校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块
13．（2022•江岸区模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）
14．（2022秋•西湖区校级月考）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
15．（2021秋•秀洲区校级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
四．三角形的外接圆与外心（共7小题）
16．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为2cm，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为（ ）
A．2cmB．2cmC．cmD．2cm
17．（2022秋•越城区期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
18．（2023•滨江区校级模拟）如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是 ．
19．（2022•海曙区校级开学）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
20．（2022秋•莲都区期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
21．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
22．（2022•鄞州区校级开学）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），点P是△AOB外接圆上一点，且∠AOP＝45°，OP与AB交于C点．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求OC及AC的长；
（3）求OP的长及点P的坐标．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4 cm
2．（2023秋·浙江·九年级期末）已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2022秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江·九年级专题练习）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）
5．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）的外心在三角形的一边上，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
6．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
7．（2023·浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，则点O是的（ ）
A．三条高线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三角形三内角角平分线的交点
8．（2023春·浙江·九年级开学考试）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是菱形
C．正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．三角形的内心到这个三角形三个顶点的距离相等
9．（2020秋·浙江温州·九年级期末）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A．B．C．D．
10．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在中，，，，是斜边上的中线，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上
C．点P在外D．点P不在内
二、填空题
11．（2022秋·九年级单元测试）下列说法中正确的有__（填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
12．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．
13．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为，C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接的最大值为 _____．
14．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在菱形中，，，延长至点，使，现以点为圆心，以为半经画弧，与直线交于点，则的长为______．
15．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连结，则的度数是______．
16．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，点A，B，C在⊙O上，，，则_____．
17．（2023·浙江台州·统考一模）如图，是半圆O的直径，P是上的动点，交半圆于点C，已知，则的最大值是______．
18．（2021秋·浙江金华·九年级统考期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为______．
三、解答题
19．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，，交于点，且，求弧的度数．
20．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
(1)在图①中，作出的重心G．
(2)在图②中，作出的外心O．
21．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上
(1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心．
(2)若， 试求的半径．
22．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
(1)如图1，判断圆心O______（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
(2)在图1中画出的切线（G为格点）；
(3)在图2中画出的中点E；
23．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H．
(1)在图1中作出∠AHG＝∠C．
(2)在图2中作出∠AGH＝∠C．
24．（2021秋·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标；
(3)若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标．
25．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当为直角三角形时，求的值；
(3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度．
第06讲 圆
【知识梳理】
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
三．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
四．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
【考点剖析】
一．圆的认识（共4小题）
1．（2022秋•海曙区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD＝ 10 度．
【分析】根据三角形的内角和定理可求得∠B的度数，根据等边对等角及三角形内角和定理可求得∠BCD的度数，从而不难求得∠ACD的度数．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°
∴∠B＝50°
∵BC＝CD
∴∠B＝∠BDC＝50°
∴∠BCD＝80°
∴∠ACD＝10°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，等边对等角．
2．（2022秋•下城区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上
【分析】根据圆的相关概念进行分析即可．
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；
C、如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的16倍，故该选项不符合题意；
D、已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上，故该选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键．
3．（2022秋•东阳市月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×22﹣π×12＝3π，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
4．（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据圆的定义分析即可．
【解答】解：根据题意得，A图形为圆．
故答案为：A．
【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”是解题的关键．
二．点与圆的位置关系（共7小题）
5．（2022秋•上城区期末）已知⊙O的面积为25π，若PO＝5.5，则点P在 ⊙O外 ．
【分析】先根据圆的面积公式计算出圆的半径为5，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：设圆的半径为R，
根据题意得2πR2＝25π，解得R＝5，
∵PO＝5.5，
∴PO＞R，
∴点P在⊙O外．
故答案为⊙O外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
6．（2022秋•诸暨市期末）点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，
∴OP＞r，即0＜r＜6．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
7．（2022秋•拱墅区校级期中）若⊙O的半径为5cm，平面上有一点A，OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O 外 （填“内、上、外”）
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝6cm，
∴d＞r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O外，
故答案为：外．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
8．（2022秋•鹿城区校级月考）如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：∵OQ＝，OP＝，ON＝2，OM＝，
∴在⊙O外的点是P，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
9．（2023•绍兴模拟）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是 ．
【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．
【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，
∵⊙C的半径为1，
∴PQ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
10．（2023•平湖市一模）平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON＝t（1＜t＜2），点P的坐标为（﹣4，0）．将点P沿OM方向平移2个单位，得到点P'，再将点P'作关于点N的对称点Q，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，PQ长度的最大值与最小值的差为 4t﹣4 ．（用含t的式子表示）
【分析】根据题意作出点P和点Q，连接P'M，并延长PM至点B，使得P'M＝BM，连接BQ并延长交PO的延长线于点C，证明四边 形P'PCB为平行四边形，四边形P'POM为平行四边形，求出PC和CQ的长度，根据三角形三边关系即可得到答案．
【解答】解：根据题意作出点P和点Q，连接P'M，并延长P'M至点B，使得 P'M＝BM，连接BQ并延长交PO的延长线于点C，如图，
∵P'，Q关于N对称，
∴P'N＝NQ，
∵P'M＝BM，
∴BQ＝2MN＝2×（OM﹣ON）＝2（2﹣t）＝4﹣2t，且MN∥BQ，
∵将点P沿OM方向平移2个单位，
∴PP'∥OM∥BQ，P'M∥PO，
∴四边形P'PCB为平行四边形，四边形P'POM为平行四边形，
∵将点P沿OM方向平移2个单位，
∴P'P＝BC＝2，
∴QC＝BC﹣BQ＝2﹣（4﹣2t）＝2t﹣2，
∵点P的坐标为（﹣4，0），
∴PC＝P'B＝2P'M＝8，
由图得，PC﹣CQ≤PQ≤PC+CQ，
∴PQ的最大值为PC+CQ＝8+（2t﹣2）＝2t+6，PQ的最小值为PC﹣CQ＝8﹣（2t﹣2）＝10﹣2t，
∴PQ长度的最大值与最小值的差为 2t+6﹣（10﹣2t）＝4t﹣4．
故答案为：4t﹣4．
【点评】本题考查了圆的综合问题，主要考查了中位线的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定及性质，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键．
11．（2022秋•柯桥区月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圆心M的坐标为 （2，0） ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）求出⊙M的半径，MD的长即可判断；
【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）
故答案为：2，0．
（2）圆的半径AM＝＝2，
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
三．确定圆的条件（共4小题）
12．（2022秋•永康市校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
13．（2022•江岸区模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）
【分析】根据题意可知点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），根据PA＝PC列出关于y的方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得，
＝，
解得，y＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点．
14．（2022秋•西湖区校级月考）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．
故答案为：能．
【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
15．（2021秋•秀洲区校级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．
四．三角形的外接圆与外心（共7小题）
16．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为2cm，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为（ ）
A．2cmB．2cmC．cmD．2cm
【分析】连接OA、OP，连接OB交AP于H，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠C＝60°，根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，
∵PB＝AB，
∴∠POB＝60°，OB⊥AP，
∵⊙O的半径为2cm，
∴OP＝2cm，
∴AH＝PH＝OP•sin∠POB＝2×＝（cm），
∴AP＝2AH＝2（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、解直角三角形的知识是解题的关键．
17．（2022秋•越城区期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
【分析】直角三角形的斜边即外接圆的直径，直接利用勾股定理求解即可．
【解答】解：直角三角形两条直角边为3，4，
那么此直角三角形的斜边为，
即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5，
故选：C．
【点评】此题考查勾股定理以及求三角形的外接圆半径，解题关键是求出直角三角形的斜边即外接圆的直径．
18．（2023•滨江区校级模拟）如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是 ．
【分析】连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，即可找到四点共圆的圆心，再利用勾股定理可求解该圆的半径．
【解答】解：连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，
则O为△BCD的外接圆的圆心，OB为外接圆的半径，
由勾股定理得OB＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，找到圆心是解题的关键．
19．（2022•海曙区校级开学）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【解答】解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
∴，
解得，，
∴BC＝2a＝3．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组．
20．（2022秋•莲都区期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论；
（2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案．
【解答】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE过圆心O，
∴AE垂直平分BC，
∴AE平分∠BAC，BE＝BC＝4，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝30°，
∴OB＝8，
故⊙O的半径为8；
（2）设∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC，
则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°，
②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，
∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴4x+4x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠BCD＝4x＝72°，
综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是垂径定理及等腰三角形性质的应用．
21．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据三角形 的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，
∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC＝×8×8＝32．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
22．（2022•鄞州区校级开学）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），点P是△AOB外接圆上一点，且∠AOP＝45°，OP与AB交于C点．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求OC及AC的长；
（3）求OP的长及点P的坐标．
【分析】（1）根据A（2，0），B（0，2），可得OA＝2，OB＝2，进而可以解决问题；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，可得OC＝OD，AC＝2CD＝2OD，然后根据AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，求出OD的长，进而可以解决问题；
（3）作PH⊥x轴于H，连接PA、PB，根据圆周角定理由∠AOB＝90°，得到AB为△AOB外接圆的直径，则∠BPA＝90°，再利用勾股定理计算出AB＝4，根据圆周角定理由∠AOP＝45°得到∠PBA＝45°，则可判断△PAB和△POH都为等腰直角三角形，所以PA＝AB＝2，PH＝OH，设OH＝t，则PH＝t，AH＝2﹣t，在Rt△PHA中，根据勾股定理得到OP的长和P点坐标．
【解答】解：（1）∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴∠BAO＝30°；
（2）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠AOP＝45°，
∴∠OCD＝45°，
∴DC＝DO，
∴OC＝OD，
由（1）知：∠BAO＝30°，
∴AC＝2CD＝2OD，AD＝CD＝OD，
∵AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，
∴OD＝3﹣，
∴OC＝（3﹣）＝3﹣，AC＝2（3﹣）＝6﹣2；
∴OC及AC的长分别为3﹣，6﹣2；
（3）作PH⊥x轴于H，连接PA、PB，如图，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为△AOB外接圆的直径，
∴∠BPA＝90°，
∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴∠PBA＝45°，
∴△PAB和△POH都为等腰直角三角形，
∴PA＝AB＝2，PH＝OH，
设OH＝t，则PH＝t，AH＝2﹣t，
在Rt△PHA中，
∵PH2+AH2＝PA2，
∴t2+（2﹣t）2＝（2）2，
整理得t2﹣2t+2＝0，解得t1＝+1，t2＝﹣1（舍去），
∴OH＝PH＝+1，
∴OP＝OH＝+；
∴P点坐标为（+1，+1）．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到△PAB和△POH都为等腰直角三角形．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4 cm
【答案】A
【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．
【详解】解： ∵点A在半径为2cm的圆内，
∴点A到圆心的距离小于2cm，
故选：A．
【点睛】本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
2．（2023秋·浙江·九年级期末）已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】解：∵点P在圆外，且，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外则，②点P在圆上则，③点P在圆内则．
3．（2022秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】∵圆中最长的弦为直径，
∴．
∴故选D．
【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
4．（2022·浙江·九年级专题练习）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案．
【详解】解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；
D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键．
5．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）的外心在三角形的一边上，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】B
【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案．
【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形；
当的外心在的外部时，则是钝角三角形；
当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
6．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
【答案】C
【分析】直角三角形的斜边即外接圆的直径，直接利用勾股定理求解即可．
【详解】直角三角形两条直角边为3，4
那么此直角三角形的斜边为
即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5
故选：C
【点睛】此题考查勾股定理以及求三角形的外接圆半径，解题关键是判断直角三角形的斜边即外接圆的直径．
7．（2023·浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，则点O是的（ ）
A．三条高线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三角形三内角角平分线的交点
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案．
【详解】是的外接圆，
点O是的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键．
8．（2023春·浙江·九年级开学考试）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是菱形
C．正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．三角形的内心到这个三角形三个顶点的距离相等
【答案】C
【分析】根据等弧的定义即可判断A；根据三角形中位线定理即可判断B；根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断C；根据外心的定义即可判断D．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，长度相等，所对的圆心角度数相等的弧叫做等弧，故该选项是假命题，不符合题意；
B、顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是平行四边形，故该选项是假命题，不符合题意；
C、正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项是真命题，符合题意；
D、三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离相等，故该选项是假命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，等弧的定义，三角形中位线定理，轴对称图形和中心对称图形，三角形外心的定义，熟知相关知识是解题的关键．
9．（2020秋·浙江温州·九年级期末）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系计算即可；
【详解】∵B在外，
∴AB＞2，
∴＞2，
∴b＞或b＜，
∴b可能是-1.
故选A．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键．
10．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在中，，，，是斜边上的中线，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上
C．点P在外D．点P不在内
【答案】A
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再由中位线的性质得，最后根据点和圆的位置关系即可解答．
【详解】解：如图：连接
∵在中，，，，是斜边上的中线，
∴
∵点以为直径作
∴
∵点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴点在内．
故选A．
【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质等知识点，，求出点到圆心的距离是关键．
二、填空题
11．（2022秋·九年级单元测试）下列说法中正确的有__（填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
【答案】（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．
12．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．
【答案】（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
13．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为，C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接的最大值为 _____．
【答案】/
【分析】先根据题意得到点C的运动轨迹是在半径为2的上，如图，取，连接，则是的中位线，即可得到，从而得到最大值时，取最大值，此时D、B、C三点共线，据此求解即可．
【详解】解：∵C为坐标平面内一点，，
∴点C的运动轨迹是在半径为2的上，
如图，取，连接，
∵点M为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴最大值时，取最大值，此时D、B、C三点共线，
此时在中，，
∴，
∴的最大值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，坐标与图形，中位线定理，正确作出辅助线构造中位线是解题的关键．
14．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在菱形中，，，延长至点，使，现以点为圆心，以为半经画弧，与直线交于点，则的长为______．
【答案】1或3/3或1
【分析】如图所示，过点D作于G于F，则由菱形的对称性可知，证明得到，再证明是等边三角形，得到，则，同理可证得到，则．
【详解】解：如图所示，过点D作于G，于F，则由菱形的对称性可知，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴点F是的中点，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
同理可证得到，
∴，
∴的长为1或3；
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连结，则的度数是______．
【答案】或/或
【分析】根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，则，
∴，则，
当点在点左侧时，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当点在点右侧时，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
综上，的度数是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．
16．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，点A，B，C在⊙O上，，，则_____．
【答案】/20度
【分析】先根据圆的性质和等腰三角形的性质求得，再根据平行线性质得出，求出的度数，进而求解．
【详解】解：
又
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆、等腰三角形及平行四边形的性质，三角形内角和的应用，解题的关键是各性质的综 合应用与角度的计算．
17．（2023·浙江台州·统考一模）如图，是半圆O的直径，P是上的动点，交半圆于点C，已知，则的最大值是______．
【答案】
【分析】连接，可得，设，则，则问题转化为求的最大值，然后根据不等式的性质和完全平方公式的变形解答即可．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵（当且仅当时等号成立）
∴，
∴（当且仅当时等号成立），
∴的最大值是，即的最大值是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆的基本知识、不等式的应用和完全平方公式等知识，灵活应用转化的思想方法，求得是解题的关键．
18．（2021秋·浙江金华·九年级统考期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为______．
【答案】（1，4）或（6，5）
【分析】根据三角形的外心是三角形的外接圆圆心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，只需点C为圆与格点的交点即可．
【详解】解：因为点P是钝角的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图，
∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
∴点C为圆P与格点的交点，
∵△ABC为钝角三角形，
∴由图知，满足条件在点C坐标为：（1，4）或（6，5），
故答案为：（1，4）或（6，5）；
【点睛】本题考查三角形的外心、坐标与图形，理解题意，熟知三角形的外心是三角形的外接圆圆心，利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
三、解答题
19．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，，交于点，且，求弧的度数．
【答案】
【分析】连接，设，由，可得，然后利用等腰三角形的性质与三角形外角的性质，求得，继而求得答案．
【详解】解：连接，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
弧的度数为．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，设出的度数利用方程思想求解是解此题的关键．
20．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
(1)在图①中，作出的重心G．
(2)在图②中，作出的外心O．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）画出和边的中线，交点即为点G；
（2）画出中点，以为边构造等腰三角形，从而画出的垂直平分线，再和的垂直平分线交于点O即可．
【详解】（1）解：如图，点G即为所求；
（2）如图，点O即为所求．
【点睛】本题考查了复杂作图，三角形的重心和外心，解题的关键是熟练掌握网格的性质，能够找到中点和垂线的画法．
21．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上
(1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心．
(2)若， 试求的半径．
【答案】(1)外接圆的圆心见解析图；
(2)．
【分析】（1）利用网格的特点作出线段与线段的垂直平分线交于点，则点即为外接圆的圆心；
（2）连接，根据可知一个网格的长为1，再由勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）如图，点即为外接圆的圆心；
（2）连接，
∵，
∴一个网格的长为1，
∴，即的半径为．
【点睛】本题考查的是作图——复杂作图及三角形的外接圆圆心，解题的关键是利用网格的特点作图．
22．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
(1)如图1，判断圆心O______（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
(2)在图1中画出的切线（G为格点）；
(3)在图2中画出的中点E；
【答案】(1)是，图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）根据弦的垂直平分线过圆心，两条弦的垂直平分线的交点即为圆心；
（2）根据切线的概念作图即可；
（3）根据平分线的直径平分弧．
【详解】（1）是，;
（2）；
（3）
【点睛】本题通过尺规作图考查了切线的概念以及垂径定理的应用；掌握切线的概念和垂径定理是解题的关键．
23．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H．
(1)在图1中作出∠AHG＝∠C．
(2)在图2中作出∠AGH＝∠C．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）将BC向上平移，使点B，点C 均在格点上即可；
（2）作 交AB于G，交AC于H，可得线段EF，此时
【详解】（1）如图，线段EF，∠AHG即为所作，
（2）如图，线段EF，即为所作，
【点睛】本题主要考查了作图----应用与设计作图，熟练掌握平移是解答本题的关键．
24．（2021秋·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标；
(3)若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）先确定出，，再分两种情况解绝对值方程即可；
（3）利用四个点在同一个圆上，得出过点，，的外接圆的圆心既是线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，建立方程即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，
，，
，
抛物线解析式为；
（2），，
设直线解析式为，
则，解得：，
直线解析式为，
设，
，，
，
，，
①当时，
，
即：，
或（舍）或（舍），
②当时，
，
即：，
或（舍）或（舍），
即点P的坐标为：或；
（3）直线解析式为，，，
线段的中点为，
线段的垂直平分线的解析式为，
过点，，的外接圆恰好经过点，
过点，，的外接圆的圆心既在线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，
是直角三角形，
过点，，，的圆心是的中点，
，
，
，，
点在直线的垂直平分线上，
，
（舍）或，
此时点C的坐标为．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，绝对值方程，四点共圆的特点，解本题的关键是，．
25．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当为直角三角形时，求的值；
(3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度．
【答案】(1)；
(2)当为直角三角形时，的值为1或2或5；
(3)经过的路径长度为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可；
（3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线，
，，
则、，
抛物线解析式为；
（2）解：设点，
，
点，
则、、，
①若，则，
解得（舍或，
，
则直线解析式为，
当时，，即，
；
②若，则，
解得（舍或，
，
则直线解析式为，
当时，，即，
；
③若，则，
整理，得：，
，
，
，
，
则或（舍，
，
直线解析式为，
当时，，即，
；
综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5．
（3）为的外接圆，
点在线段的中垂线上，
当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，
当时，如图1，
由（2）知，
此时的外接圆圆心是的中点，
，
；
当时，如图2，
由（2）知，，
此时的外接圆圆心是的中点，
、，
；
当时，如图3，
由（2）知，，
此时的外接圆圆心是的中点，
，
；
则点经过的路径长度为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题．
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
三．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
四．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
【考点剖析】
一．圆的认识（共4小题）
1．（2022秋•海曙区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD＝ 度．
2．（2022秋•下城区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上
3．（2022秋•东阳市月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
4．（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（ ）
A．B．C．D．
二．点与圆的位置关系（共7小题）
5．（2022秋•上城区期末）已知⊙O的面积为25π，若PO＝5.5，则点P在 ．
6．（2022秋•诸暨市期末）点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
7．（2022秋•拱墅区校级期中）若⊙O的半径为5cm，平面上有一点A，OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O （填“内、上、外”）
8．（2022秋•鹿城区校级月考）如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
9．（2023•绍兴模拟）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是 ．
10．（2023•平湖市一模）平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON＝t（1＜t＜2），点P的坐标为（﹣4，0）．将点P沿OM方向平移2个单位，得到点P'，再将点P'作关于点N的对称点Q，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，PQ长度的最大值与最小值的差为 ．（用含t的式子表示）
11．（2022秋•柯桥区月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圆心M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
三．确定圆的条件（共4小题）
12．（2022秋•永康市校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块
13．（2022•江岸区模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）
14．（2022秋•西湖区校级月考）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
15．（2021秋•秀洲区校级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
四．三角形的外接圆与外心（共7小题）
16．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为2cm，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为（ ）
A．2cmB．2cmC．cmD．2cm
17．（2022秋•越城区期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
18．（2023•滨江区校级模拟）如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是 ．
19．（2022•海曙区校级开学）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
20．（2022秋•莲都区期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
21．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
22．（2022•鄞州区校级开学）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），点P是△AOB外接圆上一点，且∠AOP＝45°，OP与AB交于C点．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求OC及AC的长；
（3）求OP的长及点P的坐标．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4 cm
2．（2023秋·浙江·九年级期末）已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2022秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江·九年级专题练习）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）
5．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）的外心在三角形的一边上，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
6．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
7．（2023·浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，则点O是的（ ）
A．三条高线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三角形三内角角平分线的交点
8．（2023春·浙江·九年级开学考试）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是菱形
C．正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．三角形的内心到这个三角形三个顶点的距离相等
9．（2020秋·浙江温州·九年级期末）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A．B．C．D．
10．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在中，，，，是斜边上的中线，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上
C．点P在外D．点P不在内
二、填空题
11．（2022秋·九年级单元测试）下列说法中正确的有__（填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
12．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．
13．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为，C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接的最大值为 _____．
14．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在菱形中，，，延长至点，使，现以点为圆心，以为半经画弧，与直线交于点，则的长为______．
15．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连结，则的度数是______．
16．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，点A，B，C在⊙O上，，，则_____．
17．（2023·浙江台州·统考一模）如图，是半圆O的直径，P是上的动点，交半圆于点C，已知，则的最大值是______．
18．（2021秋·浙江金华·九年级统考期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为______．
三、解答题
19．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，，交于点，且，求弧的度数．
20．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
(1)在图①中，作出的重心G．
(2)在图②中，作出的外心O．
21．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上
(1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心．
(2)若， 试求的半径．
22．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
(1)如图1，判断圆心O______（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
(2)在图1中画出的切线（G为格点）；
(3)在图2中画出的中点E；
23．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H．
(1)在图1中作出∠AHG＝∠C．
(2)在图2中作出∠AGH＝∠C．
24．（2021秋·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标；
(3)若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标．
25．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当为直角三角形时，求的值；
(3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度．
第06讲 圆
【知识梳理】
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
三．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
四．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
【考点剖析】
一．圆的认识（共4小题）
1．（2022秋•海曙区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD＝ 10 度．
【分析】根据三角形的内角和定理可求得∠B的度数，根据等边对等角及三角形内角和定理可求得∠BCD的度数，从而不难求得∠ACD的度数．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°
∴∠B＝50°
∵BC＝CD
∴∠B＝∠BDC＝50°
∴∠BCD＝80°
∴∠ACD＝10°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，等边对等角．
2．（2022秋•下城区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上
【分析】根据圆的相关概念进行分析即可．
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；
C、如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的16倍，故该选项不符合题意；
D、已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上，故该选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键．
3．（2022秋•东阳市月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×22﹣π×12＝3π，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
4．（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据圆的定义分析即可．
【解答】解：根据题意得，A图形为圆．
故答案为：A．
【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”是解题的关键．
二．点与圆的位置关系（共7小题）
5．（2022秋•上城区期末）已知⊙O的面积为25π，若PO＝5.5，则点P在 ⊙O外 ．
【分析】先根据圆的面积公式计算出圆的半径为5，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：设圆的半径为R，
根据题意得2πR2＝25π，解得R＝5，
∵PO＝5.5，
∴PO＞R，
∴点P在⊙O外．
故答案为⊙O外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
6．（2022秋•诸暨市期末）点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，
∴OP＞r，即0＜r＜6．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
7．（2022秋•拱墅区校级期中）若⊙O的半径为5cm，平面上有一点A，OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O 外 （填“内、上、外”）
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝6cm，
∴d＞r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O外，
故答案为：外．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
8．（2022秋•鹿城区校级月考）如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：∵OQ＝，OP＝，ON＝2，OM＝，
∴在⊙O外的点是P，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
9．（2023•绍兴模拟）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是 ．
【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．
【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，
∵⊙C的半径为1，
∴PQ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
10．（2023•平湖市一模）平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON＝t（1＜t＜2），点P的坐标为（﹣4，0）．将点P沿OM方向平移2个单位，得到点P'，再将点P'作关于点N的对称点Q，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，PQ长度的最大值与最小值的差为 4t﹣4 ．（用含t的式子表示）
【分析】根据题意作出点P和点Q，连接P'M，并延长PM至点B，使得P'M＝BM，连接BQ并延长交PO的延长线于点C，证明四边 形P'PCB为平行四边形，四边形P'POM为平行四边形，求出PC和CQ的长度，根据三角形三边关系即可得到答案．
【解答】解：根据题意作出点P和点Q，连接P'M，并延长P'M至点B，使得 P'M＝BM，连接BQ并延长交PO的延长线于点C，如图，
∵P'，Q关于N对称，
∴P'N＝NQ，
∵P'M＝BM，
∴BQ＝2MN＝2×（OM﹣ON）＝2（2﹣t）＝4﹣2t，且MN∥BQ，
∵将点P沿OM方向平移2个单位，
∴PP'∥OM∥BQ，P'M∥PO，
∴四边形P'PCB为平行四边形，四边形P'POM为平行四边形，
∵将点P沿OM方向平移2个单位，
∴P'P＝BC＝2，
∴QC＝BC﹣BQ＝2﹣（4﹣2t）＝2t﹣2，
∵点P的坐标为（﹣4，0），
∴PC＝P'B＝2P'M＝8，
由图得，PC﹣CQ≤PQ≤PC+CQ，
∴PQ的最大值为PC+CQ＝8+（2t﹣2）＝2t+6，PQ的最小值为PC﹣CQ＝8﹣（2t﹣2）＝10﹣2t，
∴PQ长度的最大值与最小值的差为 2t+6﹣（10﹣2t）＝4t﹣4．
故答案为：4t﹣4．
【点评】本题考查了圆的综合问题，主要考查了中位线的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定及性质，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键．
11．（2022秋•柯桥区月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圆心M的坐标为 （2，0） ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）求出⊙M的半径，MD的长即可判断；
【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）
故答案为：2，0．
（2）圆的半径AM＝＝2，
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
三．确定圆的条件（共4小题）
12．（2022秋•永康市校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
13．（2022•江岸区模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）
【分析】根据题意可知点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），根据PA＝PC列出关于y的方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得，
＝，
解得，y＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点．
14．（2022秋•西湖区校级月考）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．
故答案为：能．
【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
15．（2021秋•秀洲区校级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．
四．三角形的外接圆与外心（共7小题）
16．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为2cm，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为（ ）
A．2cmB．2cmC．cmD．2cm
【分析】连接OA、OP，连接OB交AP于H，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠C＝60°，根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，
∵PB＝AB，
∴∠POB＝60°，OB⊥AP，
∵⊙O的半径为2cm，
∴OP＝2cm，
∴AH＝PH＝OP•sin∠POB＝2×＝（cm），
∴AP＝2AH＝2（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、解直角三角形的知识是解题的关键．
17．（2022秋•越城区期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
【分析】直角三角形的斜边即外接圆的直径，直接利用勾股定理求解即可．
【解答】解：直角三角形两条直角边为3，4，
那么此直角三角形的斜边为，
即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5，
故选：C．
【点评】此题考查勾股定理以及求三角形的外接圆半径，解题关键是求出直角三角形的斜边即外接圆的直径．
18．（2023•滨江区校级模拟）如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是 ．
【分析】连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，即可找到四点共圆的圆心，再利用勾股定理可求解该圆的半径．
【解答】解：连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，
则O为△BCD的外接圆的圆心，OB为外接圆的半径，
由勾股定理得OB＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，找到圆心是解题的关键．
19．（2022•海曙区校级开学）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【解答】解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
∴，
解得，，
∴BC＝2a＝3．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组．
20．（2022秋•莲都区期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论；
（2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案．
【解答】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE过圆心O，
∴AE垂直平分BC，
∴AE平分∠BAC，BE＝BC＝4，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝30°，
∴OB＝8，
故⊙O的半径为8；
（2）设∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC，
则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°，
②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，
∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴4x+4x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠BCD＝4x＝72°，
综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是垂径定理及等腰三角形性质的应用．
21．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据三角形 的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，
∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC＝×8×8＝32．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
22．（2022•鄞州区校级开学）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），点P是△AOB外接圆上一点，且∠AOP＝45°，OP与AB交于C点．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求OC及AC的长；
（3）求OP的长及点P的坐标．
【分析】（1）根据A（2，0），B（0，2），可得OA＝2，OB＝2，进而可以解决问题；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，可得OC＝OD，AC＝2CD＝2OD，然后根据AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，求出OD的长，进而可以解决问题；
（3）作PH⊥x轴于H，连接PA、PB，根据圆周角定理由∠AOB＝90°，得到AB为△AOB外接圆的直径，则∠BPA＝90°，再利用勾股定理计算出AB＝4，根据圆周角定理由∠AOP＝45°得到∠PBA＝45°，则可判断△PAB和△POH都为等腰直角三角形，所以PA＝AB＝2，PH＝OH，设OH＝t，则PH＝t，AH＝2﹣t，在Rt△PHA中，根据勾股定理得到OP的长和P点坐标．
【解答】解：（1）∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴∠BAO＝30°；
（2）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠AOP＝45°，
∴∠OCD＝45°，
∴DC＝DO，
∴OC＝OD，
由（1）知：∠BAO＝30°，
∴AC＝2CD＝2OD，AD＝CD＝OD，
∵AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，
∴OD＝3﹣，
∴OC＝（3﹣）＝3﹣，AC＝2（3﹣）＝6﹣2；
∴OC及AC的长分别为3﹣，6﹣2；
（3）作PH⊥x轴于H，连接PA、PB，如图，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为△AOB外接圆的直径，
∴∠BPA＝90°，
∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴∠PBA＝45°，
∴△PAB和△POH都为等腰直角三角形，
∴PA＝AB＝2，PH＝OH，
设OH＝t，则PH＝t，AH＝2﹣t，
在Rt△PHA中，
∵PH2+AH2＝PA2，
∴t2+（2﹣t）2＝（2）2，
整理得t2﹣2t+2＝0，解得t1＝+1，t2＝﹣1（舍去），
∴OH＝PH＝+1，
∴OP＝OH＝+；
∴P点坐标为（+1，+1）．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到△PAB和△POH都为等腰直角三角形．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4 cm
【答案】A
【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．
【详解】解： ∵点A在半径为2cm的圆内，
∴点A到圆心的距离小于2cm，
故选：A．
【点睛】本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
2．（2023秋·浙江·九年级期末）已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】解：∵点P在圆外，且，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外则，②点P在圆上则，③点P在圆内则．
3．（2022秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】∵圆中最长的弦为直径，
∴．
∴故选D．
【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
4．（2022·浙江·九年级专题练习）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案．
【详解】解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；
D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键．
5．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）的外心在三角形的一边上，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】B
【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案．
【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形；
当的外心在的外部时，则是钝角三角形；
当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
6．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
【答案】C
【分析】直角三角形的斜边即外接圆的直径，直接利用勾股定理求解即可．
【详解】直角三角形两条直角边为3，4
那么此直角三角形的斜边为
即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5
故选：C
【点睛】此题考查勾股定理以及求三角形的外接圆半径，解题关键是判断直角三角形的斜边即外接圆的直径．
7．（2023·浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，则点O是的（ ）
A．三条高线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三角形三内角角平分线的交点
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案．
【详解】是的外接圆，
点O是的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键．
8．（2023春·浙江·九年级开学考试）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是菱形
C．正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．三角形的内心到这个三角形三个顶点的距离相等
【答案】C
【分析】根据等弧的定义即可判断A；根据三角形中位线定理即可判断B；根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断C；根据外心的定义即可判断D．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，长度相等，所对的圆心角度数相等的弧叫做等弧，故该选项是假命题，不符合题意；
B、顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是平行四边形，故该选项是假命题，不符合题意；
C、正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项是真命题，符合题意；
D、三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离相等，故该选项是假命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，等弧的定义，三角形中位线定理，轴对称图形和中心对称图形，三角形外心的定义，熟知相关知识是解题的关键．
9．（2020秋·浙江温州·九年级期末）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系计算即可；
【详解】∵B在外，
∴AB＞2，
∴＞2，
∴b＞或b＜，
∴b可能是-1.
故选A．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键．
10．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在中，，，，是斜边上的中线，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上
C．点P在外D．点P不在内
【答案】A
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再由中位线的性质得，最后根据点和圆的位置关系即可解答．
【详解】解：如图：连接
∵在中，，，，是斜边上的中线，
∴
∵点以为直径作
∴
∵点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴点在内．
故选A．
【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质等知识点，，求出点到圆心的距离是关键．
二、填空题
11．（2022秋·九年级单元测试）下列说法中正确的有__（填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
【答案】（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．
12．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．
【答案】（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
13．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为，C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接的最大值为 _____．
【答案】/
【分析】先根据题意得到点C的运动轨迹是在半径为2的上，如图，取，连接，则是的中位线，即可得到，从而得到最大值时，取最大值，此时D、B、C三点共线，据此求解即可．
【详解】解：∵C为坐标平面内一点，，
∴点C的运动轨迹是在半径为2的上，
如图，取，连接，
∵点M为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴最大值时，取最大值，此时D、B、C三点共线，
此时在中，，
∴，
∴的最大值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，坐标与图形，中位线定理，正确作出辅助线构造中位线是解题的关键．
14．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在菱形中，，，延长至点，使，现以点为圆心，以为半经画弧，与直线交于点，则的长为______．
【答案】1或3/3或1
【分析】如图所示，过点D作于G于F，则由菱形的对称性可知，证明得到，再证明是等边三角形，得到，则，同理可证得到，则．
【详解】解：如图所示，过点D作于G，于F，则由菱形的对称性可知，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴点F是的中点，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
同理可证得到，
∴，
∴的长为1或3；
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连结，则的度数是______．
【答案】或/或
【分析】根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，则，
∴，则，
当点在点左侧时，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当点在点右侧时，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
综上，的度数是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．
16．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，点A，B，C在⊙O上，，，则_____．
【答案】/20度
【分析】先根据圆的性质和等腰三角形的性质求得，再根据平行线性质得出，求出的度数，进而求解．
【详解】解：
又
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆、等腰三角形及平行四边形的性质，三角形内角和的应用，解题的关键是各性质的综 合应用与角度的计算．
17．（2023·浙江台州·统考一模）如图，是半圆O的直径，P是上的动点，交半圆于点C，已知，则的最大值是______．
【答案】
【分析】连接，可得，设，则，则问题转化为求的最大值，然后根据不等式的性质和完全平方公式的变形解答即可．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵（当且仅当时等号成立）
∴，
∴（当且仅当时等号成立），
∴的最大值是，即的最大值是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆的基本知识、不等式的应用和完全平方公式等知识，灵活应用转化的思想方法，求得是解题的关键．
18．（2021秋·浙江金华·九年级统考期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为______．
【答案】（1，4）或（6，5）
【分析】根据三角形的外心是三角形的外接圆圆心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，只需点C为圆与格点的交点即可．
【详解】解：因为点P是钝角的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图，
∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
∴点C为圆P与格点的交点，
∵△ABC为钝角三角形，
∴由图知，满足条件在点C坐标为：（1，4）或（6，5），
故答案为：（1，4）或（6，5）；
【点睛】本题考查三角形的外心、坐标与图形，理解题意，熟知三角形的外心是三角形的外接圆圆心，利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
三、解答题
19．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，，交于点，且，求弧的度数．
【答案】
【分析】连接，设，由，可得，然后利用等腰三角形的性质与三角形外角的性质，求得，继而求得答案．
【详解】解：连接，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
弧的度数为．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，设出的度数利用方程思想求解是解此题的关键．
20．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
(1)在图①中，作出的重心G．
(2)在图②中，作出的外心O．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）画出和边的中线，交点即为点G；
（2）画出中点，以为边构造等腰三角形，从而画出的垂直平分线，再和的垂直平分线交于点O即可．
【详解】（1）解：如图，点G即为所求；
（2）如图，点O即为所求．
【点睛】本题考查了复杂作图，三角形的重心和外心，解题的关键是熟练掌握网格的性质，能够找到中点和垂线的画法．
21．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上
(1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心．
(2)若， 试求的半径．
【答案】(1)外接圆的圆心见解析图；
(2)．
【分析】（1）利用网格的特点作出线段与线段的垂直平分线交于点，则点即为外接圆的圆心；
（2）连接，根据可知一个网格的长为1，再由勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）如图，点即为外接圆的圆心；
（2）连接，
∵，
∴一个网格的长为1，
∴，即的半径为．
【点睛】本题考查的是作图——复杂作图及三角形的外接圆圆心，解题的关键是利用网格的特点作图．
22．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
(1)如图1，判断圆心O______（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
(2)在图1中画出的切线（G为格点）；
(3)在图2中画出的中点E；
【答案】(1)是，图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）根据弦的垂直平分线过圆心，两条弦的垂直平分线的交点即为圆心；
（2）根据切线的概念作图即可；
（3）根据平分线的直径平分弧．
【详解】（1）是，;
（2）；
（3）
【点睛】本题通过尺规作图考查了切线的概念以及垂径定理的应用；掌握切线的概念和垂径定理是解题的关键．
23．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H．
(1)在图1中作出∠AHG＝∠C．
(2)在图2中作出∠AGH＝∠C．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）将BC向上平移，使点B，点C 均在格点上即可；
（2）作 交AB于G，交AC于H，可得线段EF，此时
【详解】（1）如图，线段EF，∠AHG即为所作，
（2）如图，线段EF，即为所作，
【点睛】本题主要考查了作图----应用与设计作图，熟练掌握平移是解答本题的关键．
24．（2021秋·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标；
(3)若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）先确定出，，再分两种情况解绝对值方程即可；
（3）利用四个点在同一个圆上，得出过点，，的外接圆的圆心既是线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，建立方程即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，
，，
，
抛物线解析式为；
（2），，
设直线解析式为，
则，解得：，
直线解析式为，
设，
，，
，
，，
①当时，
，
即：，
或（舍）或（舍），
②当时，
，
即：，
或（舍）或（舍），
即点P的坐标为：或；
（3）直线解析式为，，，
线段的中点为，
线段的垂直平分线的解析式为，
过点，，的外接圆恰好经过点，
过点，，的外接圆的圆心既在线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，
是直角三角形，
过点，，，的圆心是的中点，
，
，
，，
点在直线的垂直平分线上，
，
（舍）或，
此时点C的坐标为．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，绝对值方程，四点共圆的特点，解本题的关键是，．
25．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当为直角三角形时，求的值；
(3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度．
【答案】(1)；
(2)当为直角三角形时，的值为1或2或5；
(3)经过的路径长度为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可；
（3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线，
，，
则、，
抛物线解析式为；
（2）解：设点，
，
点，
则、、，
①若，则，
解得（舍或，
，
则直线解析式为，
当时，，即，
；
②若，则，
解得（舍或，
，
则直线解析式为，
当时，，即，
；
③若，则，
整理，得：，
，
，
，
，
则或（舍，
，
直线解析式为，
当时，，即，
；
综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5．
（3）为的外接圆，
点在线段的中垂线上，
当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，
当时，如图1，
由（2）知，
此时的外接圆圆心是的中点，
，
；
当时，如图2，
由（2）知，，
此时的外接圆圆心是的中点，
、，
；
当时，如图3，
由（2）知，，
此时的外接圆圆心是的中点，
，
；
则点经过的路径长度为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题．
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