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初中数学浙教版九年级上册1.1 二次函数精品随堂练习题
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这是一份初中数学浙教版九年级上册1.1 二次函数精品随堂练习题，共23页。试卷主要包含了课前检测，考点梳理，经典练习，优化提高等内容，欢迎下载使用。
第4讲 二次方程与系数、方程、不等式
一、课前检测
1. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
（第1题图） （第2题图）
2. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；
③9a+3b+c＞0；④当-1＜x＜3时，y＜0；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小，其中正确
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 已知拋物线y=﹣x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
4. 二次函数y=kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
5. 已知函数表达式为y=x2－4x+3.
(1)该函数的图象与x轴有几个交点？并求出交点坐标；
(2)画出函数y=x2－4x+3的图象，观察图象直接写出当y＞0时或y＜0时相应的x的
取值范围.
(3)试问：当x为何值时，函数值y为15.
二、考点梳理
考点一、二次函数的图象、性质与系数的关系
1. a的正负决定抛物线的开口方向：
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
2. a与b决定抛物线的对称轴x=﹣的位置：
简记“左同右异”
a，b同号，对称轴在y轴左侧
a，b异号，对称轴在y轴右侧
3. c决定抛物线与y轴交点的位置：
c＞0，交点在y轴的正半轴上
c＝0，交点是原点
c＜0，交点在y轴的负半轴上
4. b2-4ac决定抛物线与x轴有无交点
b2-4ac＞0，有两个交点
b2-4ac＝0，只有一个交点
b2-4ac＜0，没有交点
5. a＋b＋c与a－b＋c是由点（1，a＋b＋c）与点（-1，a－b＋c）确定的.同理，也可确
定4a＋2b＋c，4a－2b＋c，9a＋3b＋c，9a－3b＋c等代数式的符号.
考点二、二次函数与一元二次不等式的关系
1. 不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
在x轴上方的点所对应的x值所组成的范围.
2. 不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
在x轴下方的点所对应的x值所组成的范围.
3. 不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号.
考点三、二次函数与一元二次方程之间的关系
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为k，求自变量x的值，就是一元二次方程ax2＋
bx＋c＝k，反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－
k的函数值看做0，求自变量的值.学习理解这部分知识，可以类比一次函数与一元一次
方程的关系.
2. 抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系：
若抛物线与x轴没有交点一元二次方程没有实数根b2－4ac＜0；
若抛物线与x轴有一个交点一元二次方程有两个相等的实数根b2－4ac＝0；
若抛物线与x轴有两个交点一元二次方程有两个不相等实数根b2－4ac＞0.
3. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点（x1，0）（x2，0），同样满足x1＋x2＝﹣，
x1·x2＝，两个交点之间的距离|x1－x2|＝.
三、重点突破
例1. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，下列结论：
①abc＜0；②2a+b=0；③a-b+c＞0；④4a+c＜2b；⑤4ac-b2＜0.其中正确的是（ ）
A．①②⑤ B．只有① C．③④ D．①④⑤
(点拨：注意数形结合）
（例1图） （例2图）
例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，记m=|a-b+c|+|2a+b+c|，
n=|a+b+c|+|2a-b-c|．则下列选项正确的是（ ）
A．m＜n B．m＞n
C．m=n D．m、n的大小关系不能确定
（点拨：先判断a，b，c的符号）
例3. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b，Q=b2 -4ac．则
M，N，P，Q中，值小于0的数有________个．
（点拨：利用对称轴的范围求2a与b的关系）
例4. 如图，已知函数与（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵
坐标为1．则关于x的方程的解为________.
（点拨：把方程的解化为两函数图象的交点问题）
例5. 已知一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，它们有两个交
点A（1，1），B（6，5），那么能够使得ax2+(b-k)x+c-m＞0的自变量x的取值范围
是____________.
（点拨：二次函数图象与代数转换）
例6. 如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x
的取值范围____________.
（点拨：根据两函数图象的上下位置关系）
例7．(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2－2x的大致图象.
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x=1的根在图上近似的表示出来
（描点）.
(3)观察图象，直接写出方程x2－2x=1的根．（精确到0.1）
（点拨：(1)确定顶点坐标和与x轴y轴交点，作出图形）
例8．如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的
立柱，相邻立柱的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A点10米处的立
柱FE的高度为3.6米．
（1）求正中间的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由．
（点拨：以O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系）
例9．已知A=a＋2，B=a2－a＋5，C=a2＋5a－19，其中a＞2．
（1）比较A，B的大小.
（2）比较A，C的大小.
（点拨：作差法比较大小）
例10．二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
四、经典练习
A组
（一）选择题（共5小题）
1. 如图，将二次函数y=31x2 -999x+892的图形画在坐标
平面上，判断方程31x2 -999x+892=0的两根，下列叙
述何者正确（ ）
A．两根相异，且均为正根
B．两根相异，且只有一个正根
C．两根相同，且为正根
D．两根相同，且为负根
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（第2题图） （第3题图）
3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，0）和点（0，-3），且顶点在第四象限，
设P=a+b+c，则P的取值范围是（ ）
A．-3＜P＜-1 B．-6＜P＜0 C．-3＜P＜0 D．-6＜P＜-3
4. 如图，抛物线y=x2＋1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式﹣＋x2
＋1＜0的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜-1 C．-1＜x＜0 D．0＜x＜1
（第4题图） （第5题图）
5. 菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD
上一动点，AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
(二) 填空题（共2小题）
6. 若实数a，b满足a＋b2=1，则2a2＋7b2的最小值是_________.
7. 若抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上，则b的值为_________.
（三）解答题（共3小题）
8. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
，铅球运行路线如图．
（1）求铅球推出的水平距离；
（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m？
9. 利用图象判断方程x2＝3x－2是否有解，若有解，请写出它的近似解（结果精确到0.1）．
10. 已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）若p=2q，求方程的另一根；
（3）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
B组
（一）选择题（共5小题）
1. 方程2x－x2＝的正根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2. 二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0
（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥-1 B．-1≤t＜3 C．-1≤t＜8 D．3＜t＜8
3. 某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在
平面与墙面垂直）．如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落
地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
4. 关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：
①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线
y=2x2+ax+b-2的顶点在第四象限．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2 +bx+c|=k（k≠0）有两个不相等
的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
（二）填空题（共2小题）
6. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，-3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x
轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是___________.
7. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s
的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不
与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_______秒，四边形APQC的
面积最小．
（三）解答题（共3小题）
8. 如图，抛物线y=x2+mx+（m-1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴
交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，
请说明理由．
9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，-4），B（x1，0），
C（x2，0）三点，且|x2-x1|=5．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，
求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)(x1
＜x2），顶点M的纵坐标为-4，若x1、x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的两个根，且x21+x22=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若
存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
五、优化提高
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（1，0）和（x1，0），其中
-2 ＜x1＜-1，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①b＞0；②ac＜b2；
③a＞b；④-a＜c＜-2a．其中所有正确结论的序号是____________．
2. 求y=-x2+2x-2在t≤x≤t+1上的最大值和最小值．（t为常数）
3. 若、是关于一元二次方程（a≠0）的两个根，则方程的两个根、
和系数a、b、c有如下关系：，.把它称为一元二次方程根与系
数关系定理．如果设二次函数（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（，
0），B（，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：
.
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（，0），B（，0），
抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求的值．
4. 已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（-6，0），B点坐标
为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点
的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的
对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，
使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
参考答案
一、课前检测
1. B
【分析】根据二次函数的图象判断得出a＞0，﹣＞0，∴b＜0，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
2. C
【解答】根据图示知，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴交与负半轴，对称轴在y轴右侧，则a＞0，c＜0，b＜0，所以abc＞0．故①错误；
根据图象得对称轴x=1，即﹣=1，所以b=-2a，即2a+b=0，故②正确；
当x=3时，y=0，即9a+3b+c=0．故③错误；
根据图示知，当-1＜x＜3时，y＜，故④正确；
根据图示知，当x＜0时，y随x的增大而减小，故⑤正确.
3. C
4. D
【解答】∵二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2-6x+3=0（k≠0）有实数根，
即△=36-12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．
5.解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3，所以该函数的图象与x轴有两个交点，交点坐标分别为（1，0），（3，0）.
(2)y=x2 -4x+3=(x-2)2-1，画图略.
当x＜1或x＞3时，y＞0；当1＜x＜3时，y＜0.
(3)令x2-4x+3=15，得x2-4x-12=0，解得x1=-2，x2=6.
故当x=-2或x=6时，函数y=x2-4x+3的值为15.
三、重点突破
例1. D
【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
例2. A
【解答】∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，∴b＞0，
∵抛物线经过原点，∴c=0，
∴a-b+c＜0；
∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，
∵c=0，∴a+b＞0．
∵x=﹣＞1，a＜0，∴b＞-2a，∴2a+b＞0，
m=|a-b+c|+|2a+b+c|=b-a+（2a+b）=a+2b，
n=|a+b+c|+|2a-b-c|=a+b+（b-2a）=2b-a，
∵m-n=（a+2b）-（2b-a）=2a，
∵a＜0，∴2a＜0，即m-n＜0，∴m＜n．
例3. 3
【解答】∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，
∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，
∴M=a+b-c＜0；
当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，∴N=4a-2b+c＜0；
∵﹣＞-1，a＜0，∴b＞2a，∴2a-b＜0，
∴P=2a-b＜0；
∵图象与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，Q=b2-4ac＞0．
值小于0的数有M，N，P共3个．
例4. x=-3
【解答】∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=-3，
∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=-3．
例5. x＜1或x＞6
【分析】求ax2+(b-k)x+c-m＞0自变量的取值范围也就是求ax2+bx+c＞kx+m，即y2＞y1的自变量取值范围，从图上看就是二次函数图象在上方一次函数图象时，横坐标x的取值范围．
例6. -2≤x≤1
例7．(1)如下图，y=x2 -2x=(x-1)2-1，
作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．
(2)正确作出点M，N； (3)写出方程的根为-0.4，2.4．
例8．(1)根据题意可得中间立柱OC经过AB的中点O．
如图，以点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
问题转化为求点C的纵坐标．
|OF|=40（米），故B（50，0），E（-40，3.6）
设抛物线的解析式为y=ax2+c
∴ 502a+c＝0
402a+c＝3.6
解得：a＝﹣，c＝10，
(2)设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这根立柱的高度是5米．
则有﹣x2+10=5．解得：x=±25，
∵相邻立柱之间的间距为10米．最中间的立柱OC在y轴上，
根据题意每根立柱上的点的横坐标为10的整数倍，
∴x=±25与题意不符，∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半．
例9.(1)B-A=(a-1)2+2＞0，∴B＞A.
(2)C-A=a2+5a-19-a-2
=a2+4a-21
=(a+7)(a-3)．
∵a＞2，∴a+7＞0，
从而当2＜a＜3时，A＞C；
当a=3时，A=C；当a＞3时，A＜C．
例10.(1)由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3.
(2)由图象可知当1＜x＜3时，不等式ax2+bx+c＞0.
(3)由图象可知，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x=2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小.
(4)由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2．
四、经典练习
A组
1. A
2. C 【解答】∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交于正半轴，∴c＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，那么有当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左，
∴ab＞0，即b＜0，∴bc＜0，∴点P（a，bc）在第三象限，
3. B 【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（-1，0）和点（0，-3），
∴0=a-b+c，-3=c，∴b=a-3，
∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a-3-3=2a-6，
∵顶点在第四象限，a＞0，∴b=a-3＜0，∴a＜3，
∴0＜a＜3，∴-6＜2a-6＜0，即-6＜P＜0．
4. D 【分析】先把不等式整理成x2+1＜，然后根据图形找出二次函数图象在反比例函数图象下方部分的x的取值范围即可．
5. B 【解答】连接BD，AC，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°；∴△ABD与△BCD为正三角形；∴BD=4，AC=4，
△ABE的边AE上的高与△BCF的边CF上的高都为2，∠ADC=120°；
设AE为x，则CF为4-x；
∴S△DEF=ED•DFsin120°=（4-x）[4-（4-x）]=﹣x2＋x，
由图示可知：S△BEF=S菱形ABCD-S△ABE－S△BCF-S△DEF
=×4×4－CF－AE-S△DEF
＝8－(CF+AE)-S△DEF＝8－4－S△DEF＝x2－x＋4，
根据二次函数的性质，△BEF面积的最小值＝﹣ ＝=3.
6. 2
【解答】方法一：∵a+b2=1，∴a=1-b2，
∴2a2+7b2=2(1-b2)2+7b2 =2b4+3b2+2=2(b2+)2+2-=2(b2+)2+ ，
∵b2≥0，∴2（b2+)2 +＞0， ∴当b2=0，即b=0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．
方法二：∵a+b2=1，∴b2=1-a，
∴2a2+7b2=2a2+7（1-a）=2a2-7a+7=2（a-)2 +，
∵b2≥0，∴1-a≥0，∴a≤1，∴当a=1，即b=0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．
7. ±6
【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，），因为抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．
8.(1)当y=0时，﹣x2+x+=0，
解之得x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），
∴推铅球的水平距离是10米．
(2)y＝﹣x2+x+
＝﹣(x2-8x+16-16)+
＝﹣（x2-8x+16）++
=﹣(x-4)2+3，
当x=4时，y取最大值3，
∴铅球行进高度不能达到4m，最高能达到3m．
9.令y=x2-3x+2,画出其图象如图：
x1=3-≈1.7，x2=3+≈5.3．
10.(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，即q=-2p-5.
(2)设一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为t，
则由韦达定理，得
2+t＝−p
2t＝q+1
p＝2q
解得，t＝0 ,p＝−2 ，q＝−1 ，
∴原方程的另一根为0.
(3)证明：令x2+px+q=0．则△=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4＞0，即△＞0，
∴关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
B组
1. A 【分析】此题实质是求函数y1=2x-x2和函数y2=的图象在一、四象限有没有交点，根据两个已知函数的图象的交点情况，直接判断．
【解答】设函数y1=2x-x2，函数y2=，
∵函数y1=2x-x2的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为（1，1），对称轴x=1；
函数y2=的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限．
即方程2x-x2=的正根的个数为0个．
2. C 【解答】对称轴为直线x=﹣=1，解得b=-2，
∴二次函数解析式为y=x2-2x，即y=(x-1)2-1，
x=-1时，y=1+2=3，
x=4时，y=16-2×4=8，
∵x2+bx-t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解．
3. B
【解答】以抛物线所在平面与墙面的交线为y轴，和水平面的交线为x轴建立坐标系．
则由题设条件知，抛物线的顶点M（1，），
A点坐标为（0，10）．
于是可设抛物线方程为y=a(x-1)2+．
将A点坐标（0，10）代入该方程可求得a的值为﹣．
∴抛物线方程为：y=﹣(x-1)2+．
令y=0，得(x-1)2=4，∴x=3或-1（舍去）．∴B点的坐标为（3，0），故OB=3 m.
4. C
【解答】∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根，∴2×4+2a+b=0，∴2a+b=-8＜0，故①正确；
∵x=2是方程2x2+ax+b=0的两个根中较小的根，∴﹣＞2+2，＞2×2，
∴a＜-8，b＞8，∴ab＜0，故②正确；
∵方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，
∴二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点，且对称轴在直线x=2的右边，
∴二次函数y=2x2+ax+b顶点坐标在第四象限，
向上平移2个单位得到二次函数y=2x2+ax+b+2，与x轴不一定有交点，
∴关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根错误，故③错误；
向下平移2个单位得到二次函数y=2x2+ax+b-2，顶点坐标一定在第四象限，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④共3个．
5. D
【解答】∵当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，
∴此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，
∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，
∵当ax2+bx+c＜0时，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，
∴此时y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c）
∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，
∵y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是-3，
∴函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，
∴y=|ax2+bx+c|的图象如图，
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y=3的上边，故k＞3.
6.1（在-2＜b＜2范围内的任何一个数）
【解答】把（0，-3）代入抛物线的解析式得：c=-3，∴y=x2+bx-3，
∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，
∴把x=1代入y=x2+bx-3得：y=1+b-3＜0
把x=3代入y=x2+bx-3得：y=9+3b-3＞0，
∴-2＜b＜2，
即在-2＜b＜2范围内的任何一个数都符合.
7. 3
【解答】设P、Q同时出发后经过的时间为t s，四边形APQC的面积为S mm2，
则有：S=S△ABC-S△PBQ=×12×24－×4t×(12−2t)
=4t2-24t+144
=4(t-3)2+108．
∵4＞0∴当t=3s时，S取得最小值．
8.(1)依题意：x1+x2=-m，x1x2=m-1，
∵x12+x22+x1x2=7，∴(x1+x2)2-x1x2=7，
∴(-m)2-(m-1)=7，即m2-m-6=0，解得m1=-2，m2=3，
∵c=m-1＜0，∴m=3不合题意，∴m=-2，∴抛物线的解析式是y=x2-2x-3.
(2)能.理由如下：
如图，设P是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．
若∠POC=∠PCO，则PD应是线段OC的垂直平分线，
∵C的坐标为（0，-3），∴D的坐标为（0，-），
∴P的纵坐标应是- ，
令x2-2x-3=-，解得，x1=，x2=，
∴所求点P的坐标是（，-），（，-）.
9.(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，-4），∴c=-4，
又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx+c的两个根，∴x1+x2=b，x1x2=6，
由已知得(x2-x1)2=25，
又∵(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=b2-24，∴b2-24=25，解得b=±，
当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．
(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣(x+)2+，
∴抛物线的顶点（-，）即为所求的点D．
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（-6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与抛物线y=﹣x2﹣x﹣4 的交点，
∴当x=-3时，y=﹣×(-3)2﹣×(-3)﹣4=4，
∴在抛物线上存在一点P（-3，4），使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（-3，3），但这一点不在抛物线上.
10.(1)∵x1，x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的两个根，
∴x1+x2=2（m-1），x1•x2=m2-7．
又∵x12+x22=10，∴（x1+x2）2-2x1x2=10，
∴[2（m-1）]2-2（m2-7）=10，即m2-4m+4=0．解得：m1=m2=2．
将m=2代入方程x2-2（m-1）x+m2-7=0，得：x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3．
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）．
(2)因为抛物线与x轴的交点为A（-1，0）、B（3，0），由对称性可知，顶点M的横坐标为1，则顶点M的坐标为（1，-4）．
∴ a−b+c＝0
9a+3b+c＝0
a+b+c＝−4
解得：a＝1，b＝−2，c＝−3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3．∴点C的坐标为（0，-3）．
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点D，
则AO=OD=1，DB=2，OC=3，
DM=4，AB=4．
∴S四边形ACMB=S△ACO+S梯形OCMD+S△DMB
=•AO•CO+（CO+MD）+DB•MD
=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．
设P（x0，y0）为抛物线上一点，
则S△PAB=AB•|y0|．
若S△PAB=2S四边形ACMB，则•AB•|y0|=18，
∴丨y0丨=9，y0=±9．
将y0=9代入y=x2-2x-3中，得x2-2x-3=9，即x2-2x-12=0，
解得：x1=1-，x2=1+．
将y0=-9代入y=x2-2x-3中，得：x2-2x-3=-9，
即x2-2x+6=0．
∵△=（-2）2-4×1×6=-20＜0，
∴此方程无实数根．
∴符合条件的点P有两个：P1（1-，9），P2（1+，9）．
五、优化提高
1.②④
【解答】∵抛物线与x轴的交点为（1，0）和（x1，0），-2＜x1＜-1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，
∵-2＜x1＜-1，∴﹣＜﹣＜0，∴b＜0，b＞a，故①错误，③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴ac＜b2，故②正确；
∵抛物线与x轴的交点有一个为（1，0），∴a+b+c=0，∴b=-a-c，
∵b＜0，b＞a（已证），∴-a-c＜0，-a-c＞a，∴c＞-a，c＜-2a，
∴-a＜c＜-2a，故④正确，
综上所述，正确的结论有②④．
2. ∵二次函数y=-x2+2x-2=-(x-1)2-1，∴开口向下，对称轴为x=1，
当t+1＜1，即t＜0时，
函数y的最小值是-t2+2t-2，最大值为-（t+1）2+2（t+1）-2=-t2+1；
当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，
函数y的最小值是-t2+2t-2，最大值为-1；
当t＞1时，
函数y的最大值是-t2+2t-2，最小值为-t2+1．
3. 当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2 -4ac＞0，则|b2-4ac|=b2-4ac．
∵a＞0，∴AB==，
又∵CE=||=，
∴＝2×，
∴＝，
∴b2-4ac＝，
∵b2-4ac＞0，∴b2-4ac=4.
(2)当△ABC为等边三角形时，
由(1)可知CE=AB，
∴＝×，
∵b2-4ac＞0，∴=，∴b2-4ac=12．
4.(1)∵抛物线y=ax2+bx+8经过点A（-6，0），B（4，0），
∴ 36a−6b+8＝0
16a+4b+8＝0
解得a＝﹣，b＝﹣，∴抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣x+8．
(2)如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G坐标为（-1，n），
由翻折的性质，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，
∴点D的坐标是（2，4），
∴点M的坐标是（-1，4），DM=2-（-1）=3，
∵B（4，0），C（0，8），∴BC==4，∴BD＝2，
在Rt△GDM中，32+（4-n）2=20，解得n=4±，
∴G点的坐标为（-1，4+）或（-1，4-）．
(3)抛物线y=ax2+bx+8对称轴上存在F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，
由(2)，可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则 ＝
＝
解得，c＝1，d＝4，∴点F的坐标是（-1，4），E坐标是（1，0）．
②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则 ＝
＝
解得c＝−3 ，d＝−4 ，
∴点F的坐标是（-1，-4），点E的坐标是（-3，0）．
③当CE∥DF时，如图④，
由(2)，可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则 ＝
＝
解得c＝3 ，d＝12 ，
∴点F的坐标是（-1，12），点E的坐标是（3，0）．
综上，可得抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标是（-1，4）、（-1，-4）或（-1，12）．
第4讲 二次方程与系数、方程、不等式
一、课前检测
1. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
（第1题图） （第2题图）
2. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；
③9a+3b+c＞0；④当-1＜x＜3时，y＜0；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小，其中正确
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 已知拋物线y=﹣x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
4. 二次函数y=kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
5. 已知函数表达式为y=x2－4x+3.
(1)该函数的图象与x轴有几个交点？并求出交点坐标；
(2)画出函数y=x2－4x+3的图象，观察图象直接写出当y＞0时或y＜0时相应的x的
取值范围.
(3)试问：当x为何值时，函数值y为15.
二、考点梳理
考点一、二次函数的图象、性质与系数的关系
1. a的正负决定抛物线的开口方向：
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
2. a与b决定抛物线的对称轴x=﹣的位置：
简记“左同右异”
a，b同号，对称轴在y轴左侧
a，b异号，对称轴在y轴右侧
3. c决定抛物线与y轴交点的位置：
c＞0，交点在y轴的正半轴上
c＝0，交点是原点
c＜0，交点在y轴的负半轴上
4. b2-4ac决定抛物线与x轴有无交点
b2-4ac＞0，有两个交点
b2-4ac＝0，只有一个交点
b2-4ac＜0，没有交点
5. a＋b＋c与a－b＋c是由点（1，a＋b＋c）与点（-1，a－b＋c）确定的.同理，也可确
定4a＋2b＋c，4a－2b＋c，9a＋3b＋c，9a－3b＋c等代数式的符号.
考点二、二次函数与一元二次不等式的关系
1. 不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
在x轴上方的点所对应的x值所组成的范围.
2. 不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
在x轴下方的点所对应的x值所组成的范围.
3. 不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号.
考点三、二次函数与一元二次方程之间的关系
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为k，求自变量x的值，就是一元二次方程ax2＋
bx＋c＝k，反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－
k的函数值看做0，求自变量的值.学习理解这部分知识，可以类比一次函数与一元一次
方程的关系.
2. 抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系：
若抛物线与x轴没有交点一元二次方程没有实数根b2－4ac＜0；
若抛物线与x轴有一个交点一元二次方程有两个相等的实数根b2－4ac＝0；
若抛物线与x轴有两个交点一元二次方程有两个不相等实数根b2－4ac＞0.
3. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点（x1，0）（x2，0），同样满足x1＋x2＝﹣，
x1·x2＝，两个交点之间的距离|x1－x2|＝.
三、重点突破
例1. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，下列结论：
①abc＜0；②2a+b=0；③a-b+c＞0；④4a+c＜2b；⑤4ac-b2＜0.其中正确的是（ ）
A．①②⑤ B．只有① C．③④ D．①④⑤
(点拨：注意数形结合）
（例1图） （例2图）
例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，记m=|a-b+c|+|2a+b+c|，
n=|a+b+c|+|2a-b-c|．则下列选项正确的是（ ）
A．m＜n B．m＞n
C．m=n D．m、n的大小关系不能确定
（点拨：先判断a，b，c的符号）
例3. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b，Q=b2 -4ac．则
M，N，P，Q中，值小于0的数有________个．
（点拨：利用对称轴的范围求2a与b的关系）
例4. 如图，已知函数与（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵
坐标为1．则关于x的方程的解为________.
（点拨：把方程的解化为两函数图象的交点问题）
例5. 已知一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，它们有两个交
点A（1，1），B（6，5），那么能够使得ax2+(b-k)x+c-m＞0的自变量x的取值范围
是____________.
（点拨：二次函数图象与代数转换）
例6. 如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x
的取值范围____________.
（点拨：根据两函数图象的上下位置关系）
例7．(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2－2x的大致图象.
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x=1的根在图上近似的表示出来
（描点）.
(3)观察图象，直接写出方程x2－2x=1的根．（精确到0.1）
（点拨：(1)确定顶点坐标和与x轴y轴交点，作出图形）
例8．如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的
立柱，相邻立柱的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A点10米处的立
柱FE的高度为3.6米．
（1）求正中间的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由．
（点拨：以O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系）
例9．已知A=a＋2，B=a2－a＋5，C=a2＋5a－19，其中a＞2．
（1）比较A，B的大小.
（2）比较A，C的大小.
（点拨：作差法比较大小）
例10．二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
四、经典练习
A组
（一）选择题（共5小题）
1. 如图，将二次函数y=31x2 -999x+892的图形画在坐标
平面上，判断方程31x2 -999x+892=0的两根，下列叙
述何者正确（ ）
A．两根相异，且均为正根
B．两根相异，且只有一个正根
C．两根相同，且为正根
D．两根相同，且为负根
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（第2题图） （第3题图）
3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，0）和点（0，-3），且顶点在第四象限，
设P=a+b+c，则P的取值范围是（ ）
A．-3＜P＜-1 B．-6＜P＜0 C．-3＜P＜0 D．-6＜P＜-3
4. 如图，抛物线y=x2＋1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式﹣＋x2
＋1＜0的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜-1 C．-1＜x＜0 D．0＜x＜1
（第4题图） （第5题图）
5. 菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD
上一动点，AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
(二) 填空题（共2小题）
6. 若实数a，b满足a＋b2=1，则2a2＋7b2的最小值是_________.
7. 若抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上，则b的值为_________.
（三）解答题（共3小题）
8. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
，铅球运行路线如图．
（1）求铅球推出的水平距离；
（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m？
9. 利用图象判断方程x2＝3x－2是否有解，若有解，请写出它的近似解（结果精确到0.1）．
10. 已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）若p=2q，求方程的另一根；
（3）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
B组
（一）选择题（共5小题）
1. 方程2x－x2＝的正根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2. 二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0
（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥-1 B．-1≤t＜3 C．-1≤t＜8 D．3＜t＜8
3. 某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在
平面与墙面垂直）．如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落
地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
4. 关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：
①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线
y=2x2+ax+b-2的顶点在第四象限．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2 +bx+c|=k（k≠0）有两个不相等
的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
（二）填空题（共2小题）
6. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，-3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x
轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是___________.
7. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s
的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不
与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_______秒，四边形APQC的
面积最小．
（三）解答题（共3小题）
8. 如图，抛物线y=x2+mx+（m-1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴
交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，
请说明理由．
9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，-4），B（x1，0），
C（x2，0）三点，且|x2-x1|=5．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，
求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)(x1
＜x2），顶点M的纵坐标为-4，若x1、x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的两个根，且x21+x22=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若
存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
五、优化提高
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（1，0）和（x1，0），其中
-2 ＜x1＜-1，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①b＞0；②ac＜b2；
③a＞b；④-a＜c＜-2a．其中所有正确结论的序号是____________．
2. 求y=-x2+2x-2在t≤x≤t+1上的最大值和最小值．（t为常数）
3. 若、是关于一元二次方程（a≠0）的两个根，则方程的两个根、
和系数a、b、c有如下关系：，.把它称为一元二次方程根与系
数关系定理．如果设二次函数（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（，
0），B（，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：
.
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（，0），B（，0），
抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求的值．
4. 已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（-6，0），B点坐标
为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点
的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的
对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，
使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
参考答案
一、课前检测
1. B
【分析】根据二次函数的图象判断得出a＞0，﹣＞0，∴b＜0，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
2. C
【解答】根据图示知，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴交与负半轴，对称轴在y轴右侧，则a＞0，c＜0，b＜0，所以abc＞0．故①错误；
根据图象得对称轴x=1，即﹣=1，所以b=-2a，即2a+b=0，故②正确；
当x=3时，y=0，即9a+3b+c=0．故③错误；
根据图示知，当-1＜x＜3时，y＜，故④正确；
根据图示知，当x＜0时，y随x的增大而减小，故⑤正确.
3. C
4. D
【解答】∵二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2-6x+3=0（k≠0）有实数根，
即△=36-12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．
5.解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3，所以该函数的图象与x轴有两个交点，交点坐标分别为（1，0），（3，0）.
(2)y=x2 -4x+3=(x-2)2-1，画图略.
当x＜1或x＞3时，y＞0；当1＜x＜3时，y＜0.
(3)令x2-4x+3=15，得x2-4x-12=0，解得x1=-2，x2=6.
故当x=-2或x=6时，函数y=x2-4x+3的值为15.
三、重点突破
例1. D
【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
例2. A
【解答】∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，∴b＞0，
∵抛物线经过原点，∴c=0，
∴a-b+c＜0；
∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，
∵c=0，∴a+b＞0．
∵x=﹣＞1，a＜0，∴b＞-2a，∴2a+b＞0，
m=|a-b+c|+|2a+b+c|=b-a+（2a+b）=a+2b，
n=|a+b+c|+|2a-b-c|=a+b+（b-2a）=2b-a，
∵m-n=（a+2b）-（2b-a）=2a，
∵a＜0，∴2a＜0，即m-n＜0，∴m＜n．
例3. 3
【解答】∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，
∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，
∴M=a+b-c＜0；
当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，∴N=4a-2b+c＜0；
∵﹣＞-1，a＜0，∴b＞2a，∴2a-b＜0，
∴P=2a-b＜0；
∵图象与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，Q=b2-4ac＞0．
值小于0的数有M，N，P共3个．
例4. x=-3
【解答】∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=-3，
∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=-3．
例5. x＜1或x＞6
【分析】求ax2+(b-k)x+c-m＞0自变量的取值范围也就是求ax2+bx+c＞kx+m，即y2＞y1的自变量取值范围，从图上看就是二次函数图象在上方一次函数图象时，横坐标x的取值范围．
例6. -2≤x≤1
例7．(1)如下图，y=x2 -2x=(x-1)2-1，
作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．
(2)正确作出点M，N； (3)写出方程的根为-0.4，2.4．
例8．(1)根据题意可得中间立柱OC经过AB的中点O．
如图，以点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
问题转化为求点C的纵坐标．
|OF|=40（米），故B（50，0），E（-40，3.6）
设抛物线的解析式为y=ax2+c
∴ 502a+c＝0
402a+c＝3.6
解得：a＝﹣，c＝10，
(2)设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这根立柱的高度是5米．
则有﹣x2+10=5．解得：x=±25，
∵相邻立柱之间的间距为10米．最中间的立柱OC在y轴上，
根据题意每根立柱上的点的横坐标为10的整数倍，
∴x=±25与题意不符，∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半．
例9.(1)B-A=(a-1)2+2＞0，∴B＞A.
(2)C-A=a2+5a-19-a-2
=a2+4a-21
=(a+7)(a-3)．
∵a＞2，∴a+7＞0，
从而当2＜a＜3时，A＞C；
当a=3时，A=C；当a＞3时，A＜C．
例10.(1)由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3.
(2)由图象可知当1＜x＜3时，不等式ax2+bx+c＞0.
(3)由图象可知，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x=2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小.
(4)由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2．
四、经典练习
A组
1. A
2. C 【解答】∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交于正半轴，∴c＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，那么有当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左，
∴ab＞0，即b＜0，∴bc＜0，∴点P（a，bc）在第三象限，
3. B 【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（-1，0）和点（0，-3），
∴0=a-b+c，-3=c，∴b=a-3，
∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a-3-3=2a-6，
∵顶点在第四象限，a＞0，∴b=a-3＜0，∴a＜3，
∴0＜a＜3，∴-6＜2a-6＜0，即-6＜P＜0．
4. D 【分析】先把不等式整理成x2+1＜，然后根据图形找出二次函数图象在反比例函数图象下方部分的x的取值范围即可．
5. B 【解答】连接BD，AC，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°；∴△ABD与△BCD为正三角形；∴BD=4，AC=4，
△ABE的边AE上的高与△BCF的边CF上的高都为2，∠ADC=120°；
设AE为x，则CF为4-x；
∴S△DEF=ED•DFsin120°=（4-x）[4-（4-x）]=﹣x2＋x，
由图示可知：S△BEF=S菱形ABCD-S△ABE－S△BCF-S△DEF
=×4×4－CF－AE-S△DEF
＝8－(CF+AE)-S△DEF＝8－4－S△DEF＝x2－x＋4，
根据二次函数的性质，△BEF面积的最小值＝﹣ ＝=3.
6. 2
【解答】方法一：∵a+b2=1，∴a=1-b2，
∴2a2+7b2=2(1-b2)2+7b2 =2b4+3b2+2=2(b2+)2+2-=2(b2+)2+ ，
∵b2≥0，∴2（b2+)2 +＞0， ∴当b2=0，即b=0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．
方法二：∵a+b2=1，∴b2=1-a，
∴2a2+7b2=2a2+7（1-a）=2a2-7a+7=2（a-)2 +，
∵b2≥0，∴1-a≥0，∴a≤1，∴当a=1，即b=0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．
7. ±6
【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，），因为抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．
8.(1)当y=0时，﹣x2+x+=0，
解之得x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），
∴推铅球的水平距离是10米．
(2)y＝﹣x2+x+
＝﹣(x2-8x+16-16)+
＝﹣（x2-8x+16）++
=﹣(x-4)2+3，
当x=4时，y取最大值3，
∴铅球行进高度不能达到4m，最高能达到3m．
9.令y=x2-3x+2,画出其图象如图：
x1=3-≈1.7，x2=3+≈5.3．
10.(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，即q=-2p-5.
(2)设一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为t，
则由韦达定理，得
2+t＝−p
2t＝q+1
p＝2q
解得，t＝0 ,p＝−2 ，q＝−1 ，
∴原方程的另一根为0.
(3)证明：令x2+px+q=0．则△=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4＞0，即△＞0，
∴关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
B组
1. A 【分析】此题实质是求函数y1=2x-x2和函数y2=的图象在一、四象限有没有交点，根据两个已知函数的图象的交点情况，直接判断．
【解答】设函数y1=2x-x2，函数y2=，
∵函数y1=2x-x2的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为（1，1），对称轴x=1；
函数y2=的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限．
即方程2x-x2=的正根的个数为0个．
2. C 【解答】对称轴为直线x=﹣=1，解得b=-2，
∴二次函数解析式为y=x2-2x，即y=(x-1)2-1，
x=-1时，y=1+2=3，
x=4时，y=16-2×4=8，
∵x2+bx-t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解．
3. B
【解答】以抛物线所在平面与墙面的交线为y轴，和水平面的交线为x轴建立坐标系．
则由题设条件知，抛物线的顶点M（1，），
A点坐标为（0，10）．
于是可设抛物线方程为y=a(x-1)2+．
将A点坐标（0，10）代入该方程可求得a的值为﹣．
∴抛物线方程为：y=﹣(x-1)2+．
令y=0，得(x-1)2=4，∴x=3或-1（舍去）．∴B点的坐标为（3，0），故OB=3 m.
4. C
【解答】∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根，∴2×4+2a+b=0，∴2a+b=-8＜0，故①正确；
∵x=2是方程2x2+ax+b=0的两个根中较小的根，∴﹣＞2+2，＞2×2，
∴a＜-8，b＞8，∴ab＜0，故②正确；
∵方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，
∴二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点，且对称轴在直线x=2的右边，
∴二次函数y=2x2+ax+b顶点坐标在第四象限，
向上平移2个单位得到二次函数y=2x2+ax+b+2，与x轴不一定有交点，
∴关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根错误，故③错误；
向下平移2个单位得到二次函数y=2x2+ax+b-2，顶点坐标一定在第四象限，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④共3个．
5. D
【解答】∵当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，
∴此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，
∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，
∵当ax2+bx+c＜0时，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，
∴此时y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c）
∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，
∵y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是-3，
∴函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，
∴y=|ax2+bx+c|的图象如图，
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y=3的上边，故k＞3.
6.1（在-2＜b＜2范围内的任何一个数）
【解答】把（0，-3）代入抛物线的解析式得：c=-3，∴y=x2+bx-3，
∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，
∴把x=1代入y=x2+bx-3得：y=1+b-3＜0
把x=3代入y=x2+bx-3得：y=9+3b-3＞0，
∴-2＜b＜2，
即在-2＜b＜2范围内的任何一个数都符合.
7. 3
【解答】设P、Q同时出发后经过的时间为t s，四边形APQC的面积为S mm2，
则有：S=S△ABC-S△PBQ=×12×24－×4t×(12−2t)
=4t2-24t+144
=4(t-3)2+108．
∵4＞0∴当t=3s时，S取得最小值．
8.(1)依题意：x1+x2=-m，x1x2=m-1，
∵x12+x22+x1x2=7，∴(x1+x2)2-x1x2=7，
∴(-m)2-(m-1)=7，即m2-m-6=0，解得m1=-2，m2=3，
∵c=m-1＜0，∴m=3不合题意，∴m=-2，∴抛物线的解析式是y=x2-2x-3.
(2)能.理由如下：
如图，设P是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．
若∠POC=∠PCO，则PD应是线段OC的垂直平分线，
∵C的坐标为（0，-3），∴D的坐标为（0，-），
∴P的纵坐标应是- ，
令x2-2x-3=-，解得，x1=，x2=，
∴所求点P的坐标是（，-），（，-）.
9.(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，-4），∴c=-4，
又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx+c的两个根，∴x1+x2=b，x1x2=6，
由已知得(x2-x1)2=25，
又∵(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=b2-24，∴b2-24=25，解得b=±，
当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．
(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣(x+)2+，
∴抛物线的顶点（-，）即为所求的点D．
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（-6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与抛物线y=﹣x2﹣x﹣4 的交点，
∴当x=-3时，y=﹣×(-3)2﹣×(-3)﹣4=4，
∴在抛物线上存在一点P（-3，4），使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（-3，3），但这一点不在抛物线上.
10.(1)∵x1，x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的两个根，
∴x1+x2=2（m-1），x1•x2=m2-7．
又∵x12+x22=10，∴（x1+x2）2-2x1x2=10，
∴[2（m-1）]2-2（m2-7）=10，即m2-4m+4=0．解得：m1=m2=2．
将m=2代入方程x2-2（m-1）x+m2-7=0，得：x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3．
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）．
(2)因为抛物线与x轴的交点为A（-1，0）、B（3，0），由对称性可知，顶点M的横坐标为1，则顶点M的坐标为（1，-4）．
∴ a−b+c＝0
9a+3b+c＝0
a+b+c＝−4
解得：a＝1，b＝−2，c＝−3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3．∴点C的坐标为（0，-3）．
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点D，
则AO=OD=1，DB=2，OC=3，
DM=4，AB=4．
∴S四边形ACMB=S△ACO+S梯形OCMD+S△DMB
=•AO•CO+（CO+MD）+DB•MD
=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．
设P（x0，y0）为抛物线上一点，
则S△PAB=AB•|y0|．
若S△PAB=2S四边形ACMB，则•AB•|y0|=18，
∴丨y0丨=9，y0=±9．
将y0=9代入y=x2-2x-3中，得x2-2x-3=9，即x2-2x-12=0，
解得：x1=1-，x2=1+．
将y0=-9代入y=x2-2x-3中，得：x2-2x-3=-9，
即x2-2x+6=0．
∵△=（-2）2-4×1×6=-20＜0，
∴此方程无实数根．
∴符合条件的点P有两个：P1（1-，9），P2（1+，9）．
五、优化提高
1.②④
【解答】∵抛物线与x轴的交点为（1，0）和（x1，0），-2＜x1＜-1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，
∵-2＜x1＜-1，∴﹣＜﹣＜0，∴b＜0，b＞a，故①错误，③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴ac＜b2，故②正确；
∵抛物线与x轴的交点有一个为（1，0），∴a+b+c=0，∴b=-a-c，
∵b＜0，b＞a（已证），∴-a-c＜0，-a-c＞a，∴c＞-a，c＜-2a，
∴-a＜c＜-2a，故④正确，
综上所述，正确的结论有②④．
2. ∵二次函数y=-x2+2x-2=-(x-1)2-1，∴开口向下，对称轴为x=1，
当t+1＜1，即t＜0时，
函数y的最小值是-t2+2t-2，最大值为-（t+1）2+2（t+1）-2=-t2+1；
当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，
函数y的最小值是-t2+2t-2，最大值为-1；
当t＞1时，
函数y的最大值是-t2+2t-2，最小值为-t2+1．
3. 当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2 -4ac＞0，则|b2-4ac|=b2-4ac．
∵a＞0，∴AB==，
又∵CE=||=，
∴＝2×，
∴＝，
∴b2-4ac＝，
∵b2-4ac＞0，∴b2-4ac=4.
(2)当△ABC为等边三角形时，
由(1)可知CE=AB，
∴＝×，
∵b2-4ac＞0，∴=，∴b2-4ac=12．
4.(1)∵抛物线y=ax2+bx+8经过点A（-6，0），B（4，0），
∴ 36a−6b+8＝0
16a+4b+8＝0
解得a＝﹣，b＝﹣，∴抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣x+8．
(2)如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G坐标为（-1，n），
由翻折的性质，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，
∴点D的坐标是（2，4），
∴点M的坐标是（-1，4），DM=2-（-1）=3，
∵B（4，0），C（0，8），∴BC==4，∴BD＝2，
在Rt△GDM中，32+（4-n）2=20，解得n=4±，
∴G点的坐标为（-1，4+）或（-1，4-）．
(3)抛物线y=ax2+bx+8对称轴上存在F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，
由(2)，可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则 ＝
＝
解得，c＝1，d＝4，∴点F的坐标是（-1，4），E坐标是（1，0）．
②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则 ＝
＝
解得c＝−3 ，d＝−4 ，
∴点F的坐标是（-1，-4），点E的坐标是（-3，0）．
③当CE∥DF时，如图④，
由(2)，可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则 ＝
＝
解得c＝3 ，d＝12 ，
∴点F的坐标是（-1，12），点E的坐标是（3，0）．
综上，可得抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标是（-1，4）、（-1，-4）或（-1，12）．
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