浙教版（2024）1.1 二次函数测试题

这是一份浙教版（2024）1.1 二次函数测试题，共36页。

知识点1．二次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
1
2
3
4
1
2
3
4
x
y
x
y
O
O
1
2
1
2
-2
-1
-2
-1
图1
图2
（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．
要点诠释：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
知识点4：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
【考点剖析】
题型1：根据二次函数的定义求参数的值
例1．（2023•桐乡市校级开学）下列函数中，常量3表示二次项系数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x2C．y＝D．y＝x2+3
例2．（2023春•兰溪市月考）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7D．
题型2：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质求字母参数的值
例3.抛物线与的形状相同，则a的值为______．
例4.已知关于的二次函数，当为何值时，它的图像开口向上？当为何值时，它的图像开口向下？
例5.已知二次函数的图像开口向下，求m的值．
题型3：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质判断抛物线的开口方向和大小
例6.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；
（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？
例7.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图像；
（2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？
题型4：一题多解法——比较函数值的大小
例8.函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．
题型5：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式
例9.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．
（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；
（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？
x
y
A
B
C
D
O
例10.已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．
题型6：双图像问题
例11.函数与的图像可能是（ ）
x
y
x
y
x
y
x
y
O
O
O
O
A．
B．
C．
D．

题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数综合问题
例12.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由．
例13.物线与直线交于点（1，b）．
（1）求a和b的值；
（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．
题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换
例14.若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线（）沿着x轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．
题型8：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论
例15.如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值．
A
B
O
x
y
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的常数项是（ ）
A．1B．2C．D．0
2．（2022秋·浙江杭州·九年级萧山区党湾镇初级中学校考期中）下列函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( )
A．B．C．D．
4．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）已知点在二次函图象上，则的值是（ ）
A．1B．C．D．8
5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知函数经过点，则必经过点（ ）
A． B．C．D．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线与在同一平面直角坐标系内，下列说法不正确的是（ ）
A．顶点坐标相同B．对称轴相同
C．开口方向相反D．都有最小值
7．（2022秋·九年级单元测试）在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·浙江金华·九年级期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞1C．a≥1D．a＜1
二、填空题
9．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：_________，_________．
10．（2022秋·九年级统考期中）已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：_______．
11．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是_____________．
12．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）已知原点是抛物线的最高点，则m的范围是 ___________．
13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知函数，如图所示，则由小到大的顺序为 _________ ．
14．（2022秋·九年级单元测试）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．
15．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是_______．
16．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为____________.
三、解答题
17．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
18．（2021秋·九年级校考期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．
19．（2022秋·浙江·九年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）．
(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
20．（2019秋·浙江湖州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，解决材料后的问题：
材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝．
材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：
[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……
（1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值；
（2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围；
（3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值．
21．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
22．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
23．（2021秋·浙江湖州·九年级校联考阶段练习）已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．
（1）求直线和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．
24．（2020·浙江·一模）在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上不重合的两点，点，直线的比例系数互为相反数．
（1）若点P的坐标为，求a的值．
（2）在（1）的条件下，求点Q的坐标．
（3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
4
…
函数

图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a>0
向上
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而增大；
x<0时，y随x增大而减小.
当x=0时，y最小=0
y=ax2
a<0
向下
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而减小；
x<0时，y随x增大而增大.
当x=0时，y最大=0
1
第01讲 二次函数与图像与性质（8种题型）
【知识梳理】
知识点1．二次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
1
2
3
4
1
2
3
4
x
y
x
y
O
O
1
2
1
2
-2
-1
-2
-1
图1
图2
（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．
要点诠释：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
知识点4：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
【考点剖析】
题型1：根据二次函数的定义求参数的值
例1．（2023•桐乡市校级开学）下列函数中，常量3表示二次项系数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x2C．y＝D．y＝x2+3
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数．根据二次函数的定义解答即可．
【解答】解：y＝3x不是二次函数；
y＝3x2是二次函数，且二次项系数是3；
y＝不是二次函数；
y＝x2+3是二次函数，但二次项系数是1．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义，正确理解二次函数的定义是解题关键．
例2．（2023春•兰溪市月考）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7D．
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y＝2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；
D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
题型2：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质求字母参数的值
例3.抛物线与的形状相同，则a的值为______．
【答案】．
【解析】∵抛物线与的形状相同，∴，得．
【总结】本题考察二次函数的性质．
例4.已知关于的二次函数，当为何值时，它的图像开口向上？当为何值时，它的图像开口向下？
【答案】时，图像开口向上；时，图像开口向下．
【解析】当，即，抛物线图像开口向上；
当，即，抛物线图像开口向下．
【总结】本题考察二次函数的开口方向与二次项系数a的关系．
例5.已知二次函数的图像开口向下，求m的值．
【答案】．
【解析】由题意得，得．
【总结】本题考察了二次函数的概念和性质．
题型3：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质判断抛物线的开口方向和大小
例6.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；
（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？
【答案】（1）如图：
（2）相同点：开口方向都向上；顶点都是点；对称轴都是轴；不同点：开口大小不同．
【解析】（1）略；
（2）图像顶点为坐标原点；对称轴为轴；
，开口向上，，开口向下；
决定开口大小，越大，开口越小．
【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数图像的性质．
例7.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图像；
（2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？
【答案】（1）如图：
（2）相同点：相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是轴；
不同点：开口方向不同．
【解析】（1）略；
（2）图像顶点坐标为；对称轴为轴；
，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．
【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质．
题型4：一题多解法——比较函数值的大小
例8.函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．
【答案】＜.
【解析】解法一：将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：，
∴ ；，
又A、B在抛物线对称轴左侧，∴ a＜0，b＜0，即，，
∴
解法二：画函数y＝x2的草图(如图所示)，可知在y轴左侧(x＜0)时，y随x的增大而减小，
又∵ ，a＜b，即a-b＜0．
【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用了数
形结合的思想．
题型5：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式
例9.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．
（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；
（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？
x
y
A
B
C
D
O
【答案】（1）；（2）5小时．
【解析】（1）设抛物线解析式为（），
如图，设，则，
把、代入得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）由（1）知，∴（小时）
【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
例10.已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．
【答案】．
【解析】∵为二次函数，∴，解得，，
又∵，∴，可得，∴二次函数为．
∵要求的抛物线与开口方向相反，形状相同，
∴要求的这个二次函数的解析式为．
【总结】本题考查二次函数的概念及性质．
题型6：双图像问题
例11.函数与的图像可能是（ ）
x
y
x
y
x
y
x
y
O
O
O
O
A．
B．
C．
D．

【答案】D．
【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，
当时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．
【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．
题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数综合问题
例12.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由．
【答案】；抛物线不经过点．
【解析】把3和-2分别代入得、，
把代入得，∴抛物线的表达式为；
把代入得，与B点纵坐标不同，
∴抛物线不经过点B．
【总结】本题考察利用待定系数法确定函数关系式．
例13.物线与直线交于点（1，b）．
（1）求a和b的值；
（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．
【答案】（1），；
（2），顶点坐标为，对称轴为轴；
（3）当时，二次函数的值随的增大而增大．
【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交点坐标为．
把代入得，∴；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为，对称轴为轴；
（3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，
即当时，二次函数的值随的增大而增大．
【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．
题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换
例14.若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线（）沿着x轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．
【答案】；；是．
【解析】若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，
则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，∴新的抛物线的表达式为；
若抛物线（）沿着x轴翻折，
则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，
∴新的抛物线的表达式为．
【总结】本题主要考察了二次函数图像与几何变换．
题型8：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论
例15.如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值．
A
B
O
x
y
【答案】，．
【解析】把横坐标-1，2分别代入（）得、，
∴，，，
当时，，即，
解得，（舍）；
当时，，即，
解得，（舍）；
当时，，，
此方程无解，
综上，当为直角三角形，a的值为1或．
【总结】本题主要考察直角三角形的判定和二次函数的应用，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的常数项是（ ）
A．1B．2C．D．0
【答案】A
【分析】根据二次函数定义：是二次项；是一次项；是常数项，从而得到答案．
【详解】解：根据二次函数定义可知，二次函数的常数项是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义：是二次项；是一次项；是常数项是解决问题的关键．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级萧山区党湾镇初级中学校考期中）下列函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、，是二次函数，故此选项正确；
C、是一次函数，故此选项不符合题意；
D、是三次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，解题关键是注意二次项系数不为0．
3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
【详解】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，
∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，
∴y=（x+4）2-16=x2+8x，
故选：C．
【点睛】本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．
4．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）已知点在二次函图象上，则的值是（ ）
A．1B．C．D．8
【答案】D
【分析】把代入，即可求出m的值．
【详解】解：∵点在二次函数图象上，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求出m值是解题的关键．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知函数经过点，则必经过点（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出函数解析式，再逐项判断即可求解．
【详解】解∶∵函数经过点，
∴，
∴该函数解析式为，
当时，，
∴函数图象经过点，不经过点，故A选项不符合题意；B选项符合题意；
当时，，
∴函数图象不经过点，，故C、D选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求出函数解析式是解题的关键．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线与在同一平面直角坐标系内，下列说法不正确的是（ ）
A．顶点坐标相同B．对称轴相同
C．开口方向相反D．都有最小值
【答案】D
【分析】利用抛物线的性质解答即可．
【详解】解：两个函数的顶点坐标都是（0，0），二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．
故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称；一个有最小值，一个有最大值．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数（a≠0）的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线（a≠0）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；a＜0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
7．（2022秋·九年级单元测试）在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数开口大小和方向与a的关系，易分析得出答案．
【详解】解：当时，、、的图象上的对应点分别是，，，
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C；
在第一象限内，的对应点在上，的对应点在下，排除A．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
8．（2022秋·浙江金华·九年级期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞1C．a≥1D．a＜1
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．
【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，
∴二次函数的图象开口向上，
∴a-1>0，即：a>1，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．
二、填空题
9．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：_________，_________．
【答案】 3
【分析】先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可．
【详解】和对称轴都为轴，
可将表格中的数表示为坐标
两点纵坐标相等，且
横坐标关于轴对称
故答案为：；3
【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是纵坐标相同的不同点关于对称轴对称．
10．（2022秋·九年级统考期中）已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：_______．
【答案】(答案不唯一)
【分析】由二次函数图象的性质可得：时图象开口向上．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∴符合题意，
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数中二次项系数与开口的关系是解题的关键．
11．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是_____________．
【答案】/
【分析】根据“，抛物线的开口向下”，再列不等式即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“，抛物线的开口向上，，抛物线的开口向下”是解本题的关键．
12．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）已知原点是抛物线的最高点，则m的范围是 ___________．
【答案】
【分析】由抛物线有最高点可得，进而求解．
【详解】解：，
∴抛物线顶点坐标为，
当时，抛物线有最高点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知函数，如图所示，则由小到大的顺序为 _________ ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质以及抛物线的开口大小与二次项系数的绝对值的关系即可判断．
【详解】解：∵函数开口向上，函数开口向下，
∴，
∵函数的开口小于函数的开口，
∴，
∴．
即由小到大的顺序为．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟知二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小是解题的关键．
14．（2022秋·九年级单元测试）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．
【答案】
【分析】根据题意可设该抛物线解析式为，再利用待定系数法即可求解．
【详解】根据题意可设该抛物线解析式为，
将点(2，8)代入，即得，
解得：，
故该抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的图象和性质以及利用待定系数法求函数解析式．掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
15．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据抛物线开口向上可得，进而求解．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
16．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为____________.
【答案】
【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后的中点坐标，再根据平移后的中点在二次函数的图象上，进而算出m的值．
【详解】解：∵△ABC的三个顶点为A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，
∴AB边的中点(-1，1)，BC边的中点(-2，0)，AC边的中点(-2，-2)，
∵将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后，
∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(-2+m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(-2+m，-2)，
∵二次函数的图象在x轴的下方，点(-1+m，1)在x轴的上方，
∴AB边的中点不可能在二次函数的图象上，
把(-2+m，0)代入，得
-2(-2+m)2=0，
解得m=2；
把(-2+m，-2)代入，得
-2(-2+m)2=-2，
解得m1=1，m2=3；
∴的值为1，2，3，
故答案为1，2，3．
【点睛】此题主要考查了平移的性质，中点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握二次函数图象上的点(x，y)的横纵坐标满足二次函数解析式．
三、解答题
17．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【答案】（1）m=-2;（2）m≠﹣2且m≠0
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）根据二次函数的定义即可求解.
【详解】（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m=0，m≠0，
解得：m=﹣2；
（2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟知各函数的特点.
18．（2021秋·九年级校考期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．
【答案】(1)()；
(2)()
【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可；
（2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可．
【详解】（1）设与的函数关系式为
．
时，，
时，，
，
解得，
，
根据部门规定，得．
（2）
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
19．（2022秋·浙江·九年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）．
(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
【答案】(1)
(2)
(3)24元/千克
【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；
（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；
（3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．
【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
故答案为：（40+10x）．
（2）根据题意得，
整理得
（3）令，代入函数得，
解方程，得，
因为要尽可能地清空库存，所以舍去取
此时荔枝定价为（元/千克）
答：应将价格定为24元/千克．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
20．（2019秋·浙江湖州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，解决材料后的问题：
材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝．
材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：
[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……
（1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值；
（2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围；
（3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值．
【答案】（1）x＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）当m＝时，y有最大值是﹣，此时f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是﹣．
【分析】（1）由题意得到，计算即可得到答案；
（2）由题意得到，解不等式即可得到答案；
（3）先由题意得到，则，设，由题意得到，设y＝﹣2m2+3m﹣4，根据二次函数的性质即可得到答案.
【详解】解：（1）∵f（x2+2，1）＝2，
∴，
∴x2＝4，
∴x＝±2；
（2）∵[x]≤x＜[x]+1，
∴，
解得﹣4≤a＜﹣2；
（3）∵x﹣2[x]＝，
∴[x]＝，
∴，
∴，
设，
又x＝2k+，
∴,
∴整数k＝﹣3，
∴x＝，
又，
∴f（x，m2﹣m），
＝，
＝，
＝，
设y＝﹣2m2+3m﹣4，
则y＝﹣2（m）2，
∵﹣2＜0，
∴当m＝时，y有最大值是，此时f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是＝﹣，
此时最小值为﹣．
【点睛】本题考查分式方程的计算和二次函数，解题的关键是读懂题意，掌握分式方程的计算和二次函数的性质.
21．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析
【分析】（1）把代入二次函数即可求解；
（2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。
（1）
解：把代入二次函数得：，
．
（2）
解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当时，、、，
代入抛物线的解析式得：，，，
，
当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：把、、代入得：
，，，
，
，，，都是大于的，
，
，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．
【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。
22．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点代入解析式，
得，化简得：，解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
则有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，解得：．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
23．（2021秋·浙江湖州·九年级校联考阶段练习）已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．
（1）求直线和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）设直线的解析式为，根据的坐标，待定系数法求一次函数函数的解析式即可，将点的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的函数解析式；
（2）联立直线和抛物线解析式，求得的坐标，进而求得，根据题意，进而求得的坐标，
【详解】（1）设直线的解析式为
，
解得
直线的解析式为，
抛物线过点
抛物线的函数解析式为；
（2）直线与抛物线相交于B，C两点，，
即
解得
当时，
直线
令，得

所以
当时，
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点问题，数形结合是解题的关键．
24．（2020·浙江·一模）在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上不重合的两点，点，直线的比例系数互为相反数．
（1）若点P的坐标为，求a的值．
（2）在（1）的条件下，求点Q的坐标．
（3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）；（3）是，；理由见详解．
【分析】（1）根据题意可直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）设直线的表达式为，然后根据（1）及题意可求解直线PM的解析式，则由直线的比例系数互为相反数，进而求解问题即可；
（3）设点Q的坐标为，则有点P的坐标为，设直线的表达式为，则直线的表达式为，然后联立函数表达式，进而可根据题意求解即可．
【详解】（1）由题意得：，解得；
（2）设直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
∵直线的比例系数互为相反数，
∴直线的表达式为，
∴，解得，
∴点Q的坐标为；
（3）是定值；理由如下：
设点Q的坐标为，
∵点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，
∴点P的坐标为，
再设直线的表达式为，则直线的表达式为，
∴，两式相减，得，
∴，
∴直线的表达式为，
把代入，解得，
∴点P与点Q的纵坐标的差为．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题的关键．
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
4
…
函数

图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a>0
向上
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而增大；
x<0时，y随x增大而减小.
当x=0时，y最小=0
y=ax2
a<0
向下
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而减小；
x<0时，y随x增大而增大.
当x=0时，y最大=0
1