浙教版（2024）九年级上册第1章 二次函数1.1 二次函数随堂练习题

这是一份浙教版（2024）九年级上册第1章 二次函数1.1 二次函数随堂练习题，共86页。

一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
四．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
五．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
六．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
七．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
八．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
九．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
十．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
十一．二次函数在给定区间上的最值
二次函数在给定区间上的最值．
对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），
a＞0时，
当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值
当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值
当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值
当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值
a＜0时，
同样进行分类讨论．
【考点剖析】
一．二次函数的定义（共4小题）
1．（2022秋•金华期末）若y＝（m﹣2）x是二次函数，则m的值为（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．±
2．（2022秋•诸暨市期末）已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（ ）
A．±2B．1C．﹣2D．±1
3．（2022秋•东阳市期中）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x2B．y＝x+1C．y＝D．y＝2x
4．（2023•天台县一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE＝BF＝x．若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
二．二次函数的图象（共2小题）
5．（2023•拱墅区模拟）二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023•宁波模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
三．二次函数的性质（共3小题）
7．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三、四象限D．第一、四象限
8．（2023•瓯海区四模）已知两点A（﹣2，y1），B（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≤y1＜y2，则x0的取值范围是（ ）
A．x0≤﹣2B．x0＜1C．﹣2＜x0＜1D．﹣2＜x0＜4
9．（2023•鹿城区校级模拟）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0），下列选项正确的是（ ）
A．若图象经过（﹣1，1），（8，8），则a＜0
B．若图象经过（﹣1，1），（3，1），则a＜0
C．若图象经过（﹣1，1），（﹣5，5），则a＞0
D．若图象经过（﹣1，1），（8，﹣8），则a＞0
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
10．（2023•鄞州区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确结论有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
11．（2022秋•滨江区期末）已知二次函数y＝（m﹣2）x2（m为实数，且m≠2），当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＞2C．m＞0D．m＜2
五．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
12．（2023•西湖区校级二模）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x•x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（ ）
A．﹣3＜t＜0B．﹣1＜t＜0C．﹣1＜t＜3D．0＜t＜3
13．（2023•温州模拟）已知二次函数 上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2） 满足x1＝3+x2，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 y1＞y2＞﹣1 B．若，则y2＞0＞y1
C．若x1＜﹣，则y1＞0＞y2 D．若﹣＜x1＜1，则y2＞y1＞0
14．（2023•衢州二模）已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过（0，4），（8，5）两点，若a＜0，0＜h＜8，则h的值可能为（ ）
A．1B．2C．4D．6
15．（2023•永嘉县二模）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点A（0，4），B（m，4），C（3，n），则下列选项正确的是（ ）
A．若m＝4，则n＜4B．若m＝2，则n＜4
C．若 m＝﹣2，则n＞4D．若m＝﹣4，则n＞4
六．二次函数图象与几何变换（共4小题）
16．（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
17．（2023•绍兴模拟）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣6B．y＝（x+1）2﹣6C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
18．（2023•绍兴模拟）二次函数 的图象经过平移后得到新的抛物线，此抛物线恰好经过点（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（ ）
A．先向左平移8个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向下平移7个单位
C．先向左平移4个单位，再向下平移6个单位
D．先向左平移7个单位，再向下平移5个单位
19．（2023•舟山二模）抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
七．二次函数的最值（共3小题）
20．（2023•衢江区三模）在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，d），且a＜c，则下列说法正确的是（ ）
A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值
B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值
C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值
D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值
21．（2023春•乐清市月考）已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1B．C．或﹣8D．1或﹣8
22．（2023•越城区三模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤0
八．待定系数法求二次函数解析式（共10小题）
23．（2022秋•温州期末）若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c＝ ．
24．（2022秋•滨江区期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为 ．
25．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
26．（2023•临平区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求该二次函数表达式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．
27．（2023•西湖区校级三模）已知二次函数y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函数y2＝ax+m（a≠0）．
（1）若二次函数y1的图象过（1，0），（2，2）点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．
①求证：m＝ab；
②若y2y1的另一个交点B为二次函数y1的顶点，求b的值．
28．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
29．（2023•钱塘区三模）已知函数y＝x2+bx+c（其中b、c为常数）．
（1）当c＝﹣1，且函数图象经过点（1，2）时，求函数的表达式及顶点坐标．
（2）若该函数图象的顶点坐标为（m，k），且经过另一点（k，m），求m﹣k的值．
（3）若该函数图象经过A（x1，y1），B（x1﹣t，y2），C（x1﹣2t，y3）三个不同点，记M＝y2﹣y1，N＝y3﹣y2，求证：M＜N．
30．（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，则d的取值范围是 ．
（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．
31．（2023•西湖区校级三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4．
（1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式．
（2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值．
（3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上，且当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围．
32．（2023•龙湾区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若图象经过点（﹣1，8），求该二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
九．二次函数的三种形式（共1小题）
33．（2023•定海区模拟）将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式为 ．
一十．抛物线与x轴的交点（共2小题）
34．（2023•余杭区校级模拟）已知，二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）．若图象上另有一点P（m，n），则（ ）
A．当n＞0时，m＜x1B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x2
35．（2023春•镇海区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（2，3）．
（1）求b，c的值；
（2）结合图象，求当y＞0时x的取值范围；
（3）平移该二次函数图象，使其顶点为A点．请说出平移的方法，并求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共1小题）
36．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3
一十二．二次函数与不等式（组）（共2小题）
37．（2023•余杭区模拟）已知二次函数y1＝（ax+1）（bx+1），y2＝（x+a）（x+b），（a，b为常数，且ab≠0），则下列判断正确的是（ ）
A．若ab＜1，当x＞1时，则y1＞y2
B．若ab＞1，当x＜﹣1时，则y1＞y2
C．若ab＜﹣1，当x＜﹣1时，则y1＞y2
D．若ab＞﹣1，当x＞1时，则y1＞y2
38．（2022秋•嘉兴期末）我们规定：形如y＝ax2+b|x|+c（a＜0）的函数叫做“M型”函数．如图是“M型”函数y＝﹣x2+4|x|﹣3的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于y轴对称；
②不等式x2﹣4|x|+3＜0的解是﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；
③方程﹣x2+4|x|﹣3＝k有两个实数解时k＜﹣3．
正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
一十三．根据实际问题列二次函数关系式（共3小题）
39．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x2B．y＝1﹣x2C．y＝x2﹣1D．y＝1﹣2x
40．（2022秋•南湖区校级期中）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为（ ）
A．y＝（6﹣x）（500+x）B．y＝（13.5﹣x）（500+200x）
C．y＝（6﹣x）（500+200x）D．以上答案都不对
41．（2023•洞头区二模）根据以下素材，探索完成任务．
一十四．二次函数的应用（共3小题）
42．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．5B．10C．1D．2
43．（2023•定海区模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG交DC于K．已知AB＝10，设AC＝x（5＜x＜10），记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2．则与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
44．（2023•路桥区一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1B．1≤t＜2C．D．
一十五．二次函数综合题（共4小题）
45．（2023•永嘉县校级模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤
C．n≤﹣1或1＜n≤D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
46．（2023•金东区二模）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数y＝2x图象关于3的“恒值点”．
（1）判断点（1，3），（2，8），（3，7）是否为函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点”．
（2）如图1，抛物线y＝2x2+bx+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（不必写出x的取值范围）
②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．
47．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
48．（2023•金华模拟）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．
（1）分别判断函数y＝x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．
【过关检测】
一．选择题（共8小题）
1．抛物线y＝5（x﹣2）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
2．若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2021的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（ ）
A．b＜cB．b≤cC．b＞cD．b≥c
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点横坐标x1，x2满足|x1|+|x2|＝2．当时，该函数有最大值4，则a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．1D．2
4．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
5．已知二次函数的图象（0≤x≤3.4）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值﹣2 D．有最大值1.5，有最小值﹣2
6．下列函数中，其图形与x轴有两个交点的为（ ）
A．y＝﹣20（x﹣11）2﹣2011B．y＝20（x﹣11）2+2011
C．y＝20（x+11）2+2011D．y＝﹣20（x+11）2+2011
7．由二次函数y＝2x2﹣12x+20，可知正确的是（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．其最小值为2
D．当x≤3时，y随x的增大而增大
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共7小题）
9．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
10．已知a，b，c满足a+c＝b，4a+2b+c＝0，则关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点间的距离为 ．
11．如图，反比例函数y＝（a≠0）的图象经过二次函数y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则m＝ ．
12．已知x＝a和x＝a+b（b＞0）时，代数式x2﹣2x﹣3的值相等，则当x＝6a+3b﹣2时，代数式x2﹣2x﹣3的值等于 ．
13．合肥市2013年平均房价为6500元/m2．若2014年和2015年房价平均增长率为x，则预计2015年的平均房价y（元/m2）与x之间的函数关系式为 ．
14．二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，有如下结论：①当n＜0时，m＜0；②当m＞x2时，n＞0；③当n＜0时，x1＜m＜x2；④当n＞0时，x＜x1；⑤当m时，n随着m的增大而减小，其中正确的有 ．
15．直线y＝x+b与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则b的值是 ．
三．解答题（共7小题）
16．若二次函数y＝﹣x2+2（k﹣1）x+2k﹣k2的图象经过原点，求：
（1）二次函数的解析式；
（2）它的图象与x轴交点O、Q及顶点C组成的△OAC的面积．
17．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（温馨提示：整数点的横、纵坐标都为整数）
（3）若点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在（2）中抛物线上（点P、Q不重合），且y1＝y2，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+200的值．
18．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象分别经过点A（1，0），B（0，3）．
（1）求该函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
19．一个圆形喷水池的中心竖立一根高为2.25m顶端装有喷头的水管，喷头喷出的水柱呈抛物线形．当水柱与池中心的水平距离为1m时，水柱达到最高处，高度为3m．
（1）求水柱落地处与池中心的距离；
（2）如果要将水柱的最大高度再增加1m，水柱的最高处与池中心的水平距离以及落地处与池中心的距离仍保持不变，那么水管的高度应是多少？
20．某商店购进一批进价为40元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出600件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．
(1)请直接写出y与x之间的函数表达式： ；自变量x的取值范围为 ；
(2)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
21．三、求直线y＝2x＋8与抛物线y＝x2的交点坐标A、B及△AOB的面积．
22．已知二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，．
(1)求二次函数的表达式及点坐标；
(2)点D位于第三象限且在二次函数的图象上，求的面积最大时点D的坐标．
第1章 二次函数全章复习与测试
【知识梳理】
一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
四．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
五．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
六．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
七．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
八．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
九．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
十．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
十一．二次函数在给定区间上的最值
二次函数在给定区间上的最值．
对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），
a＞0时，
当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值
当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值
当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值
当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值
a＜0时，
同样进行分类讨论．
【考点剖析】
一．二次函数的定义（共4小题）
1．（2022秋•金华期末）若y＝（m﹣2）x是二次函数，则m的值为（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．±
【分析】利用二次函数定义可得：m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，再计算出m的值即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣2）x是关于x的二次函数，
∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，
∴m＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．（2022秋•诸暨市期末）已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（ ）
A．±2B．1C．﹣2D．±1
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），可得|m|＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|m|＝2且m﹣2≠0，
∴m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
3．（2022秋•东阳市期中）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x2B．y＝x+1C．y＝D．y＝2x
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得答案．
【解答】解：A、y＝x2是二次函数，故此选项符合题意；
B、y＝x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2x是正比例函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
4．（2023•天台县一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE＝BF＝x．若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【分析】连接DF，根据AB＝3，AE＝BF＝x，得BC＝CD＝3，FC＝3﹣x，设△ADG的面积为m，所以S1＝S△ADF﹣S△ADG+S△CDF＝9﹣m﹣x，S2＝S△ADE﹣S△ADG＝x﹣m，S1﹣S2＝﹣3x+9，即可得S1﹣S2与x的函数关系为一次函数关系．
【解答】解：如图，连接DF，
∵AB＝3，AE＝BF＝x，
∴BC＝CD＝3，FC＝3﹣x，
设△ADG的面积为m，
∴S1＝S△ADF﹣S△ADG+S△CDF＝×3×3﹣m+×3（3﹣x）＝4.5﹣m+4.5﹣x＝9﹣m﹣x，
S2＝S△ADE﹣S△ADG＝×3×x﹣m＝x﹣m，
∴S1﹣S2＝9﹣m﹣x﹣x+m＝﹣3x+9，
∴S1﹣S2与x的函数关系为一次函数关系．
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数的定义，此题综合性很强，难度较大，解题的关键是利用图形的面积公式表示出S1与S2．
二．二次函数的图象（共2小题）
5．（2023•拱墅区模拟）二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别根据选项中二次函数的开口方向判断a的正负，然后根据a的正负判断对称轴的位置以及一次函数图象经过的象限即可得出答案．
【解答】解：A：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，此时一次函数y＝ax﹣a的图象经过一三四象限，而图中是经过一次函数图象是经过一二四象限，故选项A不符合题意；
B：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，对称轴x＝＝＞0，对称轴在y轴的右边，图象符合要求，此时此时一次函数y＝ax﹣a的图象经过一三四现象，图中所给符合要求，故选项B符合题意；
C：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，对称轴x＝＝＞0，对称轴在y轴的右边，而图中所给对称轴在y轴左边，故选项C不符合题意；
D：根据图象可得二次函数开口向下，则a＜0，当a＜0时，一次函数y＝ax﹣a的图象经过一二四象限，图中所给是经过一三四象限，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数的图象，解题关键是判断a的正负以及一次函数经过的象限．
6．（2023•宁波模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．
【解答】解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；
当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数的图象及一次函数的图象的特征．
三．二次函数的性质（共3小题）
7．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三、四象限D．第一、四象限
【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴，
∴，
当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
8．（2023•瓯海区四模）已知两点A（﹣2，y1），B（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≤y1＜y2，则x0的取值范围是（ ）
A．x0≤﹣2B．x0＜1C．﹣2＜x0＜1D．﹣2＜x0＜4
【分析】根据二次函数的性质和题意，可知该函数开口向上，有最小值，从而可以求得x0的取值范围．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，
∴若y2＞y1≥y0，则此函数开口向上，有最小值，
∴＝1＜x0≤3或x0≥3，
解得：x0＜1，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
9．（2023•鹿城区校级模拟）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0），下列选项正确的是（ ）
A．若图象经过（﹣1，1），（8，8），则a＜0
B．若图象经过（﹣1，1），（3，1），则a＜0
C．若图象经过（﹣1，1），（﹣5，5），则a＞0
D．若图象经过（﹣1，1），（8，﹣8），则a＞0
【分析】由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，根据图象上点的坐标特征求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵8﹣1＞1﹣（﹣1），
∴（﹣1，1）到对称轴的距离小于（8，8）到对称轴的距离，
若抛物线经过（﹣1，1），（8，8），则抛物线开口向上，即a＞0，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
10．（2023•鄞州区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确结论有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②正确，符合题意；
③由图象知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；
④对称轴为直线﹣＝1，即2a+b＝0，
∴a＝﹣，代入b＞a+c，得
b＞+c，
∴3b＞2c，故④错误，不符合题意；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意．
故正确的结论为②③⑤，
故选：B．
【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
11．（2022秋•滨江区期末）已知二次函数y＝（m﹣2）x2（m为实数，且m≠2），当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＞2C．m＞0D．m＜2
【分析】根据当x≤0时，y随x的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解．
【解答】解：当x≤0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴m﹣2＞0，
∴m＞2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
12．（2023•西湖区校级二模）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x•x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（ ）
A．﹣3＜t＜0B．﹣1＜t＜0C．﹣1＜t＜3D．0＜t＜3
【分析】由二次函数解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）；然后由二次函数解析式与一元二次方程的关系以及根的判别式得到a2﹣4b＞0；结合根与系数的关系知：x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b；最后根据限制性条件1＜x1＜x2＜3列出相应的不等式并解答．
【解答】解：∵y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），二次项系数1＞0，
∴抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），1＜x1＜x2＜3，
∴x＝1时，y＝1+a+b＞0，即1+t＞0，
∴t＞﹣1．
又对称轴x＝﹣，
此时y＝b﹣＜0．
∴a+b＜+a＝（a+2）2﹣1．
∵1＜﹣＜3，
∴﹣6＜a＜﹣2，
∴﹣1＜（a+2）2﹣1＜3．
综上所述，t的取值范围是﹣1＜t＜3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的根本依据．
13．（2023•温州模拟）已知二次函数 上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2） 满足x1＝3+x2，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 y1＞y2＞﹣1
B．若，则y2＞0＞y1
C．若x1＜﹣，则y1＞0＞y2
D．若﹣＜x1＜1，则y2＞y1＞0
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将x＝﹣代入解析式可得y的值，通过抛物线的对称性及x1＝3+x2求解．
【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
当x1＝﹣时，x2＝﹣3﹣＝﹣，
∴＝﹣2，即点P，Q关于对称轴对称，此时y1＝y2，
将x＝﹣代入y＝（x﹣1）2﹣1得y＝0，
当x1＜﹣时，y2＞0＞y1，
故选项A、C不符合题意，
∵x1＝3+x2，
∴x2＝x1﹣3，
∴y1＝（x1﹣1）2﹣1，y2＝（x1﹣4）2﹣1，
当时，﹣＜x1﹣1＜0，﹣＜x1﹣4＜﹣3，
∴﹣1＜（x1﹣1）2﹣1＜0，3＜（x1﹣4）2﹣1＜9，
∴y2＞0＞y1．
故选项D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
14．（2023•衢州二模）已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过（0，4），（8，5）两点，若a＜0，0＜h＜8，则h的值可能为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【分析】根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过（0，4）、（8，5）两点．若a＜0，0＜h＜8，则点（0，4）到对称轴的距离大于点（8，5）到对称轴的距离，所以h﹣0＞8﹣h，然后解不等式后进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而（0，4），（8，5）两点，
∴h﹣0＞8﹣h，
解得h＞4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
15．（2023•永嘉县二模）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点A（0，4），B（m，4），C（3，n），则下列选项正确的是（ ）
A．若m＝4，则n＜4B．若m＝2，则n＜4
C．若 m＝﹣2，则n＞4D．若m＝﹣4，则n＞4
【分析】根据抛物线的对称性求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点A（0，4），B（m，4），C（3，n），
∴A（0，4），B（m，4）关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝＝，
∵抛物线开口向下，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
A、若m＝4，则对称轴为直线x＝2，
∵2＜3＜4，
∴n＞4，故A错误，不符合题意；
B、若m＝2，则对称轴为直线x＝1，
∵1＜2＜3，
∴n＜4，故B正确，符合题意；
C、若m＝﹣2，则对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜0＜3，
∴n＜4，故C错误，不符合题意；
D、若m＝﹣4，则对称轴为直线x＝﹣2，
∵﹣2＜0＜3，
∴n＜4，故C错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
六．二次函数图象与几何变换（共4小题）
16．（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17．（2023•绍兴模拟）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣6B．y＝（x+1）2﹣6C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据平移的单位可得新抛物线的解析式．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3变为：y＝（x﹣1）2﹣4向右平移2个单位得到的函数的解析式为：y＝（x﹣1﹣2）2﹣4
即y＝（x﹣3）2﹣4再向上平移2个单位后，所得图象的函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4+2即y＝（x﹣3）2﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
18．（2023•绍兴模拟）二次函数 的图象经过平移后得到新的抛物线，此抛物线恰好经过点（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（ ）
A．先向左平移8个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向下平移7个单位
C．先向左平移4个单位，再向下平移6个单位
D．先向左平移7个单位，再向下平移5个单位
【分析】分别求得平移后的抛物线解析式，代入点（﹣2，﹣2）判断即可．
【解答】解：＝﹣（x﹣4）2+5，
A、先向左平移8个单位，再向下平移4个单位得到y＝﹣（x﹣4+8）2+5﹣4，即y＝﹣（x+4）2+1，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，故此时抛物线不经过点（﹣2，﹣2），不合题意；
B、先向左平移6个单位，再向下平移7个单位得到y＝﹣（x﹣4+6）2+5﹣7，即y＝﹣（x+2）2﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣2，故此时抛物线经过点（﹣2，﹣2），符合题意；
C、先向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到y＝﹣（x﹣4+4）2+5﹣6，即y＝﹣x2﹣1，
当x＝﹣2时，y＝﹣3，故此时抛物线不经过点（﹣2，﹣2），不合题意；
D、先向左平移7个单位，再向下平移5个单位得到y＝﹣（x﹣4+7）2+5﹣5，即y＝﹣（x+2）2，
当x＝﹣2时，y＝0，故此时抛物线不经过点（﹣2，﹣2），不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练平移的规律是解题的关键．
19．（2023•舟山二模）抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求得点C，抛物线的对称轴，画出函数图象，结合图象的单调性和y1＞y2，分两种情况：①当m≤0时，②当0＜m＜1时，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，
∴C（0，3），直线l为y＝3，抛物线的对称轴为直线，y轴右侧的部分的抛物线为y＝x2﹣2x+3，
∵m＜m+1，
∴点M在点N左侧，
如图，当x≥1时，函数单调递增，
∴m＜1；
①当m≤0时，
∵y1＞y2，
∴﹣m2+2m+3＞（m+1）2﹣2（m+1）+3，
解得：，
又∵m≤0，
∴；
②当0＜m＜1时，
∵y1＞y2，
∴m2﹣2m+3＞（m+1）2﹣2（m+1）+3，
解得：，
又∵0＜m，
∴，
综上，m的取值范围为，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
七．二次函数的最值（共3小题）
20．（2023•衢江区三模）在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，d），且a＜c，则下列说法正确的是（ ）
A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值
B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值
C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值
D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值
【分析】设直线y＝kx+p，联立直线与抛物线解析式得出a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的两根，进而根据a＜c，得出B（c，a）在y＝x的下方，得出0＜c≤1，则0＜a≤1，即可得出ac＞0，进而结合选项，进行判断即可求解．
【解答】解：依题意，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A（a，b），B（c，a）两点，设直线y＝kx+p，
联立
即x2﹣kx﹣p＝0，
∴a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的两根，
即ac＝﹣p，a+c＝k，
：a＜c，
∴B（c，a）在y＝x的下方，
联立，
解得：或，
∴0＜c≤1，
∵B（c，a）在抛物线上，则a＝c2，
∴0＜a≤1，
∴ac＞0，
当ac＞0且a+c＝1，
∴x2﹣x﹣p＝0，
∴p＝x2﹣x有最小值，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2023春•乐清市月考）已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1B．C．或﹣8D．1或﹣8
【分析】根据y＝ax2+2ax+1可得出对称轴x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0两种情况讨论计算．
【解答】解：∵二次函数解析式y＝ax2+2ax+1，
∴二次函数对称轴为x＝﹣1．
①当a＜0时，二次函数开口向下，x＝﹣1时，函数有最大值9．
∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．
②当a＞0时，二次函数开口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，
∴当x＝2时，函数最大值为9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．
综上分析，a的值为﹣8或1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数最值问题，确定对称轴，分类讨论最值情况是作出本题的关键技巧．
22．（2023•越城区三模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤0
【分析】先将点（1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在a≤x≤6时的最大值和最小值即可．
【解答】解：将点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+5，
得：0＝﹣1+b+5，
解得：b＝﹣4，
∴二次函数为y＝﹣x2+6x﹣5，
∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，函数有最大值4，
把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0，
解得x1＝0，x2＝6，
在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，
∴0≤a≤3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小
八．待定系数法求二次函数解析式（共10小题）
23．（2022秋•温州期末）若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c＝ 9 ．
【分析】顶点在x轴上，根据顶点的纵坐标是0，列出方程求解．
【解答】解：根据题意，顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，
即，解得c＝9．
【点评】本题考查求顶点纵坐标的公式，比较简单．
24．（2022秋•滨江区期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为 y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 ．
【分析】根据二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），可得可设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，再根据图象的形状和与抛物线y＝2x2相同，可得a＝±2，即可求解．
【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），
∴可设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
∵二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，，
∴|a|＝2，
∴a＝±2，
∴这个二次函数的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．
25．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
26．（2023•临平区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求该二次函数表达式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．
【分析】（1）①由题意，将已知两点代入表达式分别求出a和b即可得解．
②依据题意，把A，B两点代入①所求解析式，然后两式相减，再适当变形可得x1+x2的值，再代入①的表达式式即可求出t．
（2）由题意可得a＜0，，再由过点（1，3）可得b＝2a+3≤0，可得≤a＜0，又4a+b＝6a+3，故可得解．
【解答】解：（1）①由题意，∵图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3），
∴．
∴．
∴所求二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
②由题意，∵A、B在抛物线上，
∴﹣2x1﹣3＝m，﹣2x2﹣3＝m．
上述两式相减得，
﹣﹣2（x1﹣x2）＝0．
∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝0．
显然A、B是两个点，
∴x1≠x2．
∴x1﹣x2≠0．
∴x1+x2＝2．
∴s＝2．
又C（s，t）是抛物线上的点，
∴t＝22﹣2×2﹣3＝﹣3．
即t＝﹣3．
（2）由题意，
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，
∴a＜0，．
∴b≤0．
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a过点（1，3），
∴b＝2a+3≤0．
∴a≤．
又a＜b，
∴a＜2a+3．
∴a＞﹣3．
∵a≤，
∴﹣3＜a≤．
又4a+b＝6a+3，
∴﹣15＜6a+3≤﹣6．
∴﹣15＜4a+b≤﹣6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，需要熟练掌握并灵活运用．
27．（2023•西湖区校级三模）已知二次函数y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函数y2＝ax+m（a≠0）．
（1）若二次函数y1的图象过（1，0），（2，2）点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．
①求证：m＝ab；
②若y2y1的另一个交点B为二次函数y1的顶点，求b的值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①令y＝0，分别求得两个函数的图象与x轴的交点，依据已知条件列出关于a，b，m的等式，整理即可得出结论；
②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，再利用①的结论得到关于b的方程，解方程即可得出结论．
【解答】（1）解：∵二次函数y1的图象过（1，0），（2，2）点，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x；
（2）①证明：令y1＝0，则ax（x+b）＝0，
解得：x＝0或x＝﹣b．
∴抛物线y1＝ax（x+b）与x轴交于（0，0）（﹣b，0）．
令y2＝0，则ax+m＝0，
∴x＝﹣．
∴直线y2＝ax+m与x轴交于（﹣，0），
∵若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，
∴﹣＝﹣b，
∴m＝ab；
②解：∵y1＝ax（x+b）＝ax2+abx＝a（x+）2﹣，
∴二次函数的顶点为（﹣，﹣）．
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∴a•（﹣）+m＝﹣．
由①知：m＝ab，
∴﹣+ab＝﹣，
解得：b＝0（不合题意，舍去）或b＝﹣2．
∴若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，b的值为﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，函数图象的交点，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
28．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
29．（2023•钱塘区三模）已知函数y＝x2+bx+c（其中b、c为常数）．
（1）当c＝﹣1，且函数图象经过点（1，2）时，求函数的表达式及顶点坐标．
（2）若该函数图象的顶点坐标为（m，k），且经过另一点（k，m），求m﹣k的值．
（3）若该函数图象经过A（x1，y1），B（x1﹣t，y2），C（x1﹣2t，y3）三个不同点，记M＝y2﹣y1，N＝y3﹣y2，求证：M＜N．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）该函数图象的顶点坐标为（m，k），设抛物线解析式为y＝（x﹣m）2+k，将（k，m）代入，进而解方程即可求解；
（3）分别表示出y1，y2，y3，根据整式的减法计算M，N．N﹣M，进而求值．
【解答】解：（1）依题意，有，
解得：，
∴该函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）∵函数y＝x2+bx+c中，二次项系数为1，
该函数图象的顶点坐标为（m，k），设抛物线解析式为y＝（x﹣m）2+k，
∵y＝（x﹣m）2+k的图象经过另一点（k，m），
∴m＝（k﹣m）2+k，
∴m﹣k＝（m﹣k）2，
解得：m﹣k＝0或m﹣k＝1；
（3）∵函数y＝x2+bx+c图象经过A（x1，y1），B（x1﹣t，y2），C（x1﹣2t，y3）三个不同点，
∴，t≠0，
，
，
∴M＝y2﹣y1＝
N＝y3﹣y2＝﹣＝，
N﹣M＝＞0，
∴M＜N．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，二次函数值的大小比较；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
30．（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，则d的取值范围是 2≤d≤5 ．
（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）令y＝8，求得对应的x值，结合函数的图象的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：①点P在对称轴的右侧，②点P在抛物线的顶点与点之间，③点P在点A的左侧，分别求得最大值与最小值，利用已知条件列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，当x＝2时，函数有最小值﹣1．
令y＝8，则x2﹣4x+3＝8，
解得：x＝﹣1或x＝5．
∵当﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，当x＝2时，函数有最小值﹣1，
∴当﹣1≤x≤d时，函数要取得最小值，
∴2≤d≤5．
故答案为：2≤d≤5；
（3）∵P在此抛物线上，其横坐标为m，
∴P（m，m2﹣4m+3）．
①当点P在对称轴的右侧时，m＞2，抛物线的顶点最低，即最小值为﹣1，此时图象G的最大值为m2﹣4m+3，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴m2﹣4m+3﹣（﹣1）＝5，
∴m2﹣4m﹣1＝0．
解得：m＝2+或m＝2﹣（不合题意，舍去），
∴m＝2+；
②点P在抛物线的顶点与点之间时，此时最小值为﹣1，最大值为0，
∴图象G的最大值和最小值差不可能为5，此种情形不存在；
③点P在点A的左侧，m＜1，点A处最低，即最小值为0，此时图象G的最大值为m2﹣4m+3，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴m2﹣4m+3＝5，
解得：m＝2+（不合题意，舍去）或m＝2﹣．
∴m＝2﹣．
综上，当图象G的最大值和最小值差是5时，m的值为2+或2﹣．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，函数的极值，分类讨论的思想方法，利用数形结合的方法找出函数的最高的与最低点，从而得到函数的极值是解决此类问题常用的方法．
31．（2023•西湖区校级三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4．
（1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式．
（2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值．
（3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上，且当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围．
【分析】（1）将（1，3），a﹣b＝4代入y＝ax2+（a+1）x+b即可；
（2）由y1＝y2可得这两个点关于x轴对称，再利用对称轴公式计算即可；
（3）由题意可得t＝a﹣5，分a＞0和a＜0分别求解即可．
【解答】解：（1）将（1，3），a﹣b＝4代入y＝ax2+（a+1）x+b得：3＝a+a+1+a﹣4，
∴a＝2，
∴b＝a﹣4＝﹣2，
∴这个二次函数的表达式为：y＝2x2+3x﹣2，
（2）∵y1＝y2，
∴这两个点关于x轴对称，
∴，
∴，
∴，
（3）∵点（﹣1，t）在二次函数图象上，
∴t＝a﹣a﹣1+a﹣4＝a﹣5，
∵当x≥﹣1时y随x的增大而增大，
当a＞0时，有，
∴0＜a≤1，
∴﹣5＜t≤﹣4，
当a＜0时，不符合题意舍去，
∴﹣5＜t≤﹣4．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，函数图象上点的坐标的特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键．
32．（2023•龙湾区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若图象经过点（﹣1，8），求该二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
【分析】（1）利用二次函数性质直接将点代入求解参数即可求出表达式，再根据二次函数的顶点公式求出顶点即可；
（2）根据二次函数最值只能在顶点或两侧端点分类计算，由范围找到对应关系，列式计算，最后验证即可．
【解答】解：（1）将点（﹣1，8）代入二次函数y＝ax2﹣4x+3中得：
8＝a+4+3
∴a＝1
∴二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3，
∴y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）∵二次函数最值只能出现在端点或顶点，
x＝0时，y＝0+0+3＝3，
时，，
x＝m时，y＝am2﹣4m+3；
∵a＞0，
∴，
∴y＝9时，只有x＝m时，y＝am2﹣4m+3＝9成立，
∴时，，
解得a＝2，
代入am2﹣4m+3＝9得：
2m2﹣4m+3＝9，
解得m＝3或﹣1，
∵0≤x≤m，
∴m≥0，
∴m＝3
检验a＝2，对称轴为，
0≤x≤3时，顶点处函数值最小为1，x＝3时，函数值最大为9，符合要求，
故a＝2，m＝3．
【点评】本题主要考查不定的二次函数在不定范围下的最值问题，通常根据二次函数的最值只能出现在两侧端点或顶点，根据可能的对应关系，可以先分类讨论计算，得到确定的函数解析式，再根据实际图象计算最值情况，检测是否可取．且开口向上顶点处不作最大值，开口向下顶点处不作最小值，可用来进行一些对应关系的筛选是解题的关键．
九．二次函数的三种形式（共1小题）
33．（2023•定海区模拟）将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣2）2+1 ．
【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
故答案是：y＝（x﹣2）2+1．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
一十．抛物线与x轴的交点（共2小题）
34．（2023•余杭区校级模拟）已知，二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）．若图象上另有一点P（m，n），则（ ）
A．当n＞0时，m＜x1B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x2
【分析】根据抛物线开口方向及与x轴交点判断m的取值范围与n的关系，从而求解．
【解答】解：∵y＝x2+2x+c的图象开口向上，
由题意可知，当x＞x2或x＜x1时，y＞0；
当x1＜x＜x2时，y＜0；
故当n＞0时，m＜x1或m＞x2，A、B都错；
当n＜0时，x1＜m＜x2，C错误，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
35．（2023春•镇海区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（2，3）．
（1）求b，c的值；
（2）结合图象，求当y＞0时x的取值范围；
（3）平移该二次函数图象，使其顶点为A点．请说出平移的方法，并求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由（1）得出抛物线解析式，在求出抛物线与x轴的交点，结合图象求出x的取值范围；
（3）先确定顶点坐标，再利用点A和顶点的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得，
∴b＝2，c＝3；
（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴当y＞0时x的取值范围为﹣1＜x＜3；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点为（1，4），
∵A（﹣1，0），
∴将抛物线顶点（1，4）先向左平移2单位长度，再行下平移4个单位长度得到A（﹣1，0），
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解方程ax2+bx+c＝0．也考查了二次函数的性质、二次函数图形与几何变换．
一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共1小题）
36．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3
【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意；
由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小，
∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5，
∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1，
∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意；
由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间，
故对应的x的值在﹣1与0之间，
故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在．
一十二．二次函数与不等式（组）（共2小题）
37．（2023•余杭区模拟）已知二次函数y1＝（ax+1）（bx+1），y2＝（x+a）（x+b），（a，b为常数，且ab≠0），则下列判断正确的是（ ）
A．若ab＜1，当x＞1时，则y1＞y2
B．若ab＞1，当x＜﹣1时，则y1＞y2
C．若ab＜﹣1，当x＜﹣1时，则y1＞y2
D．若ab＞﹣1，当x＞1时，则y1＞y2
【分析】先计算y1﹣y2＝（ax+1）（bx+1）﹣（x+a）（x+b）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1），再根据各选项给定的条件逐一分析即可得到答案．
【解答】解：∵ab＜1，x＞1，
∴ab﹣1＜0，x﹣1＞0，x+1＞0，
∴y1﹣y2＝（ax+1）（bx+1）﹣（x+a）（x+b）
＝abx2+ax+bx+1﹣x2﹣ax﹣bx﹣ab
＝（ab﹣1）x2+1﹣ab
＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1），
∴y1﹣y2＜0；
∴y1＜y2；故A不符合题意；
∵ab＞1，x＜﹣1，
∴ab﹣1＞0，x﹣1＜0，x+1＜0，
∴y1﹣y2＞0；
∴y1＞y2；故B符合题意；
∵ab＜﹣1，x＜﹣1，
∴ab﹣1＜0，x﹣1＜0，x+1＜0，
∴y1﹣y2＜0；
∴y1＜y2；故C不符合题意；
∵ab＞﹣1，x＞1，
∴ab﹣1＞﹣2，x﹣1＞0，x+1＞0，
∴y1﹣y2可以比0大，也可以比0小；
∴y1，y2的大小不确定；故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的函数值的大小比较，因式分解的应用，熟练的利用作差的方法比较大小是解本题的关键．
38．（2022秋•嘉兴期末）我们规定：形如y＝ax2+b|x|+c（a＜0）的函数叫做“M型”函数．如图是“M型”函数y＝﹣x2+4|x|﹣3的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于y轴对称；
②不等式x2﹣4|x|+3＜0的解是﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；
③方程﹣x2+4|x|﹣3＝k有两个实数解时k＜﹣3．
正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【分析】根据二次函数的特征，二次函数与不等式的关系即可解答．
【解答】解：根据函数的特征可知图象关于y轴对称，故①正确；
函数y＝﹣x2+4|x|﹣3关于x轴对称的函数图形解析式为y＝x2﹣4|x|+3，
∴不等式x2﹣4|x|+3＜0的解集是﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3，故②正确；
方程﹣x2+4|x|﹣3＝k有两个实数解时k＜﹣3或k取最大值时，故③错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，方程与函数的关系等知识，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．
一十三．根据实际问题列二次函数关系式（共3小题）
39．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x2B．y＝1﹣x2C．y＝x2﹣1D．y＝1﹣2x
【分析】根据剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．
【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：y＝1﹣x2（0＜x＜1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．
40．（2022秋•南湖区校级期中）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为（ ）
A．y＝（6﹣x）（500+x）B．y＝（13.5﹣x）（500+200x）
C．y＝（6﹣x）（500+200x）D．以上答案都不对
【分析】当销售价为x元/件时，每件利润为（x﹣7.5）元，销售量为[500+200×（13.5﹣x）]，根据利润＝每件利润×销售量列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得w＝（x﹣7.5）×[500+200×（13.5﹣x）]，
故选：D．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键．
41．（2023•洞头区二模）根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：由直角三角形面积公式可得区块Ⅰ的面积，区块Ⅱ的面积﹣10x+200，用正方形面积减去区块Ⅰ，区块Ⅱ的面积可得区块Ⅲ的面积；
任务2：分两种情况分别画出图形，可得S乙＝﹣x2+20x或S乙＝200；
任务3：由乙的面积为范围内，可得110≤﹣x2+20x≤150，即可解得20﹣6≤x≤10，结合x为整数，S乙也是整数，可得答案．
【解答】解：任务1：
区块Ⅰ的面积：，
区块Ⅱ的面积：×20×（20﹣x）＝﹣10x+200，
区块Ⅲ的面积：20×200﹣x2﹣（﹣10x+200）＝；
故答案为：x2；﹣10x+200；；
任务2：
①如图1，连接DF，
∵AD＞AF，
∴△ADF不可能为等腰三角形，
∵DF＝DE，
∴△DFE为等腰三角形，
∴S乙＝S△DEF＝﹣x2﹣（﹣10x+200）＝﹣x2+20x，
②如图2，连接AE，
∵AE＝DE，
∴E在AD的垂直平分线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴E为BC的中点，
∴；
综上所述，S乙＝﹣x2+20x或S乙＝200；
任务3：
∵乙的面积为范围内，
∴面积范围为110≤S乙≤150，
∵，
∴110≤﹣x2+20x≤150，
∴100≤（x﹣20）2≤180，
∴10≤x﹣20≤6或﹣6≤x﹣20≤﹣10，
∴30≤x≤20+6（不符合题意，舍去）或20﹣6≤x≤10，
∵x为整数，
∴x可取7，8，9，10，
∵S乙也是整数，
∴x＝8或x＝10，
∴有2个最佳定位点E，分别为（8，0），（10，0）．
【点评】本题考查二次函数的应用和等腰三角形性质及应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
一十四．二次函数的应用（共3小题）
42．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．5B．10C．1D．2
【分析】根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝2，
∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
43．（2023•定海区模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG交DC于K．已知AB＝10，设AC＝x（5＜x＜10），记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2．则与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【分析】根据四边形ABCD，BCFG为正方形，得出AC＝AE＝ED＝CD＝x，BC＝CF＝FG＝10﹣x，再根据△EDK∽△GFK求出KF和DF，再根据直角三角形的面积公式求出S1和S2，再作比值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD，BCFG为正方形，
∴AC＝AE＝ED＝CD＝x，BC＝CF＝FG＝10﹣x，
S1＝S△EDK＝DE•DK，S2＝S△EAC＝AC•AK，
∵∠EDC＝∠DFG＝90°，
∴ED∥FG，
∴△EDK∽△GFK，
∴＝＝，
∴KD＝•KF，
∵DK+KF+CF＝CD，
∴KF+•KF+10﹣x＝x，
∴KF＝，
∴DK＝，
∴S1＝x•＝x2•，
S2＝x2，
∴＝＝x﹣1，
∴与x的函数关系为一次函数，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是写出S1，S2的与x的关系式．
44．（2023•路桥区一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1B．1≤t＜2C．D．
【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
【解答】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线t＝1，
∴设二次函数解析式为h＝a（t﹣1）2+k，
代入原点得0＝a（0﹣1）2+k，
解得k＝﹣a，
∴h＝a（t﹣1）2﹣a，
令h＝0得a（t﹣1）2﹣a＝0，解得t1＝0，t2＝2，
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴，
解得1≤t＜2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
一十五．二次函数综合题（共4小题）
45．（2023•永嘉县校级模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤
C．n≤﹣1或1＜n≤D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．
∴当﹣3＜n＜﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1．
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n＜﹣1或1＜n≤，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
46．（2023•金东区二模）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数y＝2x图象关于3的“恒值点”．
（1）判断点（1，3），（2，8），（3，7）是否为函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点”．
（2）如图1，抛物线y＝2x2+bx+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（不必写出x的取值范围）
②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．
【分析】（1）由（1，3），（2，8）在函数y＝5x﹣2图象上，（3，7）不在函数图象上，而1+3＝4，2+8＝10，可得（2，8）是函数 y＝5x﹣2 图象关于10的“恒值点”．
（2）①由抛物线 y＝2x2+bx+2，再根据关于x轴对称的特点可得答案；
②新图象分两部分，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，x+2x2+bx+2＝c，x﹣2x2﹣bx﹣2＝c，整理得：2x2+bx+2＝﹣x+c 或﹣2x2﹣bx﹣2＝﹣x+c，而y＝﹣x+c与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，求解 ，当y＝﹣x+c过B点时，满足条件； ，当y＝﹣x+c与 y＝﹣2x2﹣bx﹣2 只有1个交点时，满足条件；﹣2x2﹣bx﹣2＝﹣x+c，即 2x2+（b﹣1）x+c+2＝0 有两个相等的实数根，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵（1，3）在函数y＝5x﹣2图象，1+3＝4≠10，
∴（1，3）不是函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点”，
∵（2，8）在函数y＝5x﹣2图象，2+9＝10，
∴（2，8）是函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点，
∵（3，7）不在函数y＝5x﹣2图象上，
∴（3，7）不是函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点”；
（2）①∵翻折后的抛物线与抛物线y＝2x2+bx+2关于x轴对称，
∴﹣y＝2x2+bx+2，
∴翻折后A，B之间的抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣bx﹣2；
②新图象分两部分，如图，

∵新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”，
∴x+2x2+bx+2＝c，x﹣2x2﹣bx﹣2＝c，
整理得：2x2+bx+2＝﹣x+c或﹣2x2﹣bx﹣2＝﹣x+c，
而y＝﹣x+c与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，
令y＝2x2+bx+2＝0，
解得：，
∴B（，0），
当y＝﹣x+c过B点时，满足条件；
∴c＝；
当y＝﹣x+c与 y＝﹣2x2﹣bx﹣2 只有1个交点时，满足条件；
∴﹣2x2﹣bx﹣2＝﹣x+c，即 2x2+（b﹣1）x+c+2＝0 有两个相等的实数的实数解，
∴（b﹣1）2﹣4×2（c+2）＝0．，
解得：，
综上所述，c＝或c＝．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，二次函数的应用，利用待定系数法求解抛物线的解析式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
47．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为；
（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4．
【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，
解得t＝；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．
48．（2023•金华模拟）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．
（1）分别判断函数y＝x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数y＝（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（，），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为3可得×|b|×|﹣b|＝3，求解即可；
（3）先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）在y＝x+1中，令x＝x+1，得0＝1不成立，
∴函数y＝x+1的图象上不存在“等值点”；
在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；
（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝，
解得：x＝，
∴A（，），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x＝b，
∴B（b，b），
∵BC⊥x轴，
∴C（b，0），
∴BC＝|b|，
∵△ABC的面积为2，
∴×|b|×|﹣b|＝2，
当b＜0时，b2﹣2b﹣16＝0，
解得b＝﹣2，
当0≤b＜2时，b2﹣2b+16＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×24＝﹣88＜0，
∴方程b2﹣2b+24＝0没有实数根，
当b≥2时，b2﹣2b﹣24＝0，
解得：b＝4，
综上所述，b的值为﹣2或4；
（3）令x＝x2﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m＜﹣，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜﹣或﹣1＜m＜2．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．
【过关检测】
一．选择题（共8小题）
1．抛物线y＝5（x﹣2）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．
2．若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2021的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（ ）
A．b＜cB．b≤cC．b＞cD．b≥c
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数图象开口方向和对称轴，再由1≤a＜2进行判断即可．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2﹣2021，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵1≤a＜2，
∴﹣1≤a﹣2＜0．
∴A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，
∴b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点横坐标x1，x2满足|x1|+|x2|＝2．当时，该函数有最大值4，则a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．1D．2
【分析】先根据已知条件求出b，c与a的关系，再根据根与系数的关系以及|x1|+|x2|＝2分类讨论即可．
【解答】解：∵当时，该函数有最大值4，
∴，
解得，
∴x1+x2＝﹣＝﹣1，x1•x2＝＝+，
∵x1+x2＝﹣1，
∴x1，x2至少有一个负数，
当x1，x2都小于0时，﹣（x1+x2）＝1≠2，不符合题意，
当x1＜0，x2＞0时，
|x1|+|x2|＝2可化为x2﹣x1＝2，
∴（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4，
∴1﹣4（+）＝4，
解得a＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点一元二次方程根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
4．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（﹣2，﹣3），向右平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（﹣2+3，﹣3），即（1，﹣3）．
故选：D．
【点评】考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．已知二次函数的图象（0≤x≤3.4）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值﹣2
D．有最大值1.5，有最小值﹣2
【分析】直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可．
【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），
∵此抛物线开口向下，
∴此函数有最大值，最大值为2；
∵0≤x≤3.4，
∴当x＝3.4时，函数最小值为﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解．
6．下列函数中，其图形与x轴有两个交点的为（ ）
A．y＝﹣20（x﹣11）2﹣2011B．y＝20（x﹣11）2+2011
C．y＝20（x+11）2+2011D．y＝﹣20（x+11）2+2011
【分析】四个函数均为顶点式，根据式子特点，找出顶点坐标，判断出开口方向，据此即可判断出图形与x轴的交点坐标的个数．
【解答】解：A、由于y＝﹣20（x﹣11）2﹣2011开口向下，顶点为（11，﹣2011），所以与x轴无交点，故本选项错误；
B、由于y＝20（x﹣11）2+2011开口向上，顶点为（11，2011），所以与x轴无交点，故本选项错误；
C、由于y＝20（x+11）2+2011开口向上，顶点为（﹣11，2011），所以与x轴无交点，故本选项错误；
D、由于y＝﹣20（x+11）2+2011开口向下，顶点为（﹣11，2011），所以与x轴有两个交点，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，熟悉二次函数的性质和顶点式是解题的关键．
7．由二次函数y＝2x2﹣12x+20，可知正确的是（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．其最小值为2
D．当x≤3时，y随x的增大而增大
【分析】先把解析式配成顶点式y＝2（x﹣3）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：y＝2x2﹣12x+20＝2（x﹣3）2+2，
所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3；当x＝3时，函数有最小值2；当x＞3时，y随x的增大而增大．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线开口方向判断a与0的关系，由抛物线与x轴交点坐标判断a、b、c的关系，由顶点坐标及顶点坐标公式推断a、b的关系及n与a、b、c的关系，由抛物线与y轴的交点坐标判断c的取值范围，进而对所得结论进行推断．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）
∴
∴2a+b＝0
故①正确．
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0）
∴a﹣b+c＝0
∴c＝b﹣a
由①知：2a+b＝0，即b＝﹣2a
∴c＝﹣2a﹣a＝﹣3a
又∵抛物线与y轴的交点（0，c）在（0，2），（0，3）之间（含端点）
∴2≤c≤3
∴2≤﹣3a≤3
∴
故②正确．
∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向下
∴a＜0
又∵a（m2﹣1）+b（m﹣1）＝am2+bm﹣a﹣b（a≠0）
令g＝am2+bm﹣a﹣b
∴关于m的二次函数g＝am2+bm﹣a﹣b开口向下
若对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立
故需判断Δ＝b2﹣4a（﹣a﹣b）与0的数量关系
由以上分析知：b＝﹣2a
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣a+2a）＝0
故③正确．
∴
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n+1）＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+4a+1）＝﹣4a＞0
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不相等的实数根
故④正确
故选：D．
【点评】主要考查二次函数图象与系数的关系、顶点坐标以及根的判别式的熟练使用
二．填空题（共7小题）
9．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 y＝（x+1）2+2 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
【解答】解：抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x+1）2+2．
故答案为y＝（x+1）2+2．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10．已知a，b，c满足a+c＝b，4a+2b+c＝0，则关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点间的距离为 3 ．
【分析】根据a+c＝b，4a+2b+c＝0知抛物线分别与坐标轴的两交点坐标，然后可以求两交点之间的距离．
【解答】解：∵a+c＝b，
∴a﹣b+c＝0，
∵4a+2b+c＝0，
∴即抛物线y＝ax2+bx+c当x＝﹣1时y＝0，当x＝2时，y＝0，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣1，0）、（2，0），
∴两交点之间的距离为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数与横轴的交点坐标的相关知识，解决此题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的两交点，进而求出两交点之间的距离．
11．如图，反比例函数y＝（a≠0）的图象经过二次函数y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则m＝ ．
【分析】由点在二次函数与反比例函数图象上，再结合二次函数的对称轴为﹣，可得出关于a、b、m的方程组，解方程组即可得出m的值，再根据m＞0，即可得出结论．
【解答】解：根据已知得：，
解得：或．
∵m＞0，
∴m＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于a、b、m的方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在函数图象上以及二次函数的性质列出方程（或方程组）是关键．
12．已知x＝a和x＝a+b（b＞0）时，代数式x2﹣2x﹣3的值相等，则当x＝6a+3b﹣2时，代数式x2﹣2x﹣3的值等于 5 ．
【分析】根据题意得：a2﹣2a﹣3＝（a+b）2﹣2（a+b）﹣3，求得2a+b﹣2＝0，得到2a+b＝2，求得x＝6a+3b﹣2＝4，代入代数式即可得到结论．
【解答】解：根据题意得：a2﹣2a﹣3＝（a+b）2﹣2（a+b）﹣3，
∴b2+2ab﹣2b＝0，
∴b（2a+b﹣2）＝0，
∵b＞0，
∴2a+b﹣2＝0，
∴2a+b＝2，
∴x＝6a+3b﹣2＝4，
∴x2﹣2x﹣3＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式的变形，解题时应注意把2a+b当成一个整体．利用了整体的思想．
13．合肥市2013年平均房价为6500元/m2．若2014年和2015年房价平均增长率为x，则预计2015年的平均房价y（元/m2）与x之间的函数关系式为 y＝6500（1+x）2 ．
【分析】首先根据题意可得2014年的房价＝2013年的房价×（1+增长率），2015年的房价＝2014年的房价×（1+增长率），由此可得2015年的平均房价y＝6500（1+x）2．
【解答】解：由题意得：y＝6500（1+x）2，
故答案为：y＝6500（1+x）2．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二次函数，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
14．二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，有如下结论：①当n＜0时，m＜0；②当m＞x2时，n＞0；③当n＜0时，x1＜m＜x2；④当n＞0时，x＜x1；⑤当m时，n随着m的增大而减小，其中正确的有 ②③⑤ ．
【分析】根据题意大致画出二次函数的图象，如图，利用函数图象可对①②③④直接判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答】解：如图，当点P（m，n）在第四象限内的抛物线上时，n＜0，而m＞0，所以①错误；
当m＞x2时，点P（m，n）在x轴上方，则n＞0，所以②正确；
当n＜0时，点P（m，n）在x轴下方，则x1＜m＜x2，所以③正确；
当n＞0时，x＜x1或x＞x2，所以④错误；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣，所以当m时，n随着m的增大而减小，所以⑤正确．
故答案为②③⑤．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15．直线y＝x+b与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则b的值是 2 ．
【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），解方程组得到x2﹣2x﹣2b＝0，于是得到1+x2＝2，x1x2＝﹣2b，如图，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），
解得x2﹣2x﹣2b＝0，
∵直线y＝x+b与抛物线交于A，B两点，
∴x1，x2是方程的x2﹣2x﹣2b＝0两个不相等的实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣2b，
如图，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，
∴∠AEO＝∠BFO＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，
∴∠OAE＝∠BOP，
∴△AOE∽△OBF，
∴，
∴＝，
∴＝，
∴（x1+b）（x2+b）＝﹣x1x2，
∴x1x2+b（x1+x2）+b2+x1x2＝0，
∴﹣2b+2b+b2﹣2b＝0，
解得b＝2或b＝0（不合题意舍去），
故b的值是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
16．若二次函数y＝﹣x2+2（k﹣1）x+2k﹣k2的图象经过原点，求：
（1）二次函数的解析式；
（2）它的图象与x轴交点O、Q及顶点C组成的△OAC的面积．
【分析】（1）直接把原点坐标代入二次函数解析式中得到关于k的方程，然后解方程即可求得k，即可求得解析式；
（2）画出函数图形，得出交点O、A及顶点C，利用三角形的面积求得答案即可．
【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2（k﹣1）x+2k﹣k2得
2k﹣k2＝0
解得：k＝0或k＝2，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x或y＝﹣x2+2x．
（2）如图，
当y＝﹣x2﹣2x时，
△OAC的面积＝×2×1＝1；
或y＝﹣x2+2x，
△OAC的面积＝×2×1＝1．
【点评】此题考查了运用待定系数法求二次函数解析式，在坐标系中求三角形面积的问题；解题的方法是将所给的函数图象上点的坐标直接代入函数解析式，求得关键点，利用面积计算公式求得答案．
17．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（温馨提示：整数点的横、纵坐标都为整数）
（3）若点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在（2）中抛物线上（点P、Q不重合），且y1＝y2，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+200的值．
【分析】（1）利用△求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；
（2）利用根与系数的关系即可求出m的值；
（3）利用二次函数图象的对称性可知：2x1＝﹣4﹣n，然后代入代数式化简即可求出答案．
【解答】解：（1）当m＝0时，
此时x＝﹣3，方程有解．
当m≠0时，
∴△＝（3m+1）2﹣4m×3＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2≥0，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）设抛物线与x轴交于（a，0）与（b，0），
令y＝0代入y＝mx2+（3m+1）x+3，
∴0＝mx2+（3m+1）x+3，
∴a+b＝﹣＝﹣3﹣，
ab＝，
∵a与b是整数，
∴与同为整数，
∵m是正整数，
∴m＝1，
∴抛物线为y＝x2+4x+3，
（3）由抛物线的对称性可知：
当y1＝y2时，
∴，
∴2x1＝﹣4﹣n，
∴原式＝（﹣4﹣n）2+6n（﹣4﹣n）+5n2+16n+200＝216．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程，根与系数的关系，代入求值等问题，综合程度较高．
18．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象分别经过点A（1，0），B（0，3）．
（1）求该函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）分别将A、B的坐标代入二次函数解析式，构成二元一次方程组，解出b、c的值，进而得出二次函数的解析式；
（2）设P（a，b），根据△APO的面积等于4可以计算出b的值，然后再利用二次函数解析式计算出a的值即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）分别将A、B点的坐标代入函数解析式，
得出二元一次方程组解得
所以，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）设P（a，b），
∵△APO的面积等于4，
∴OA•|b|＝4，
∵OA＝1，
解得：b＝±8，
当b＝8时，a2﹣4a+3＝8，
解得：a＝5或﹣1，
∴P（5，8）或（﹣1，8）；
当b＝﹣8时，a2﹣4a+3＝﹣8，
∵△＝16﹣4×1×11＜0，
∴不存在这样的P点；
故P（5，8）或（﹣1，8）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
19．一个圆形喷水池的中心竖立一根高为2.25m顶端装有喷头的水管，喷头喷出的水柱呈抛物线形．当水柱与池中心的水平距离为1m时，水柱达到最高处，高度为3m．
（1）求水柱落地处与池中心的距离；
（2）如果要将水柱的最大高度再增加1m，水柱的最高处与池中心的水平距离以及落地处与池中心的距离仍保持不变，那么水管的高度应是多少？
【分析】首先根据题意建立直角坐标系，画出抛物线，（1）结合图形，我们可以知道此抛物线的顶点坐标（1，3），而且抛物线经过点（0，2.25），很容易即可求出抛物线的解析式，那么把（x，0）代入解析式，即可得出X的值，即水柱落地处与池中心的距离．（2）从（1）的结论我们知道了水柱落地的坐标为（3，0），从（2）的题意可知顶点坐标为（1，4），求出新的抛物线的解析式，再求水管的高度就容易了．
【解答】解：（1）如图，建立直角坐标系，点（1，3）是抛物线的顶点．
由题意，设水柱所在的抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
∵抛物线经过点（0，2.25），
∴2.25＝a+3，即，
∴，
当y＝0时，即，
解得x＝3或x＝﹣1（舍），
即水柱落地处与池中心的距离为3m；
（2）由题意，设抛物线解析式为y＝n（x﹣1）2+4，
∵抛物线经过点（3，0），
∴n（3﹣1）2+4＝0，即n＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4，
当x＝0时，y＝3，
即水管的高度应为3m．
【点评】本题的关键是要根据题意画出抛物线，主要考查了二次函数在实际生活中的应用，比较简单．
20．某商店购进一批进价为40元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出600件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．
(1)请直接写出y与x之间的函数表达式： ；自变量x的取值范围为 ；
(2)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)y＝－20x＋1800，60≤x≤90
(2)第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据总利润=单件利润乘以销售量，列出函数解析式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）第一个月该商品的售价为40×(1＋50%)＝60(元)，
设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，
将点(60，600)，(70，400)代入y＝kx＋b中，
得，
解得，
∴y与x之间的函数解析式为y＝－20x＋1800；
当y＝0时，x＝90，
∴自变量x的取值范围为60≤x≤90；
故答案为：y＝－20x＋1800；60≤x≤90；
（2）设第二个月的利润为w元，
由题意得，．
∵，
∴当x＝65时，w的最大值为12500．
∴第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元．
【点睛】本题主要考查了二次函数及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，并根据题意确定等量关系，列出函数解析式．
21．三、求直线y＝2x＋8与抛物线y＝x2的交点坐标A、B及△AOB的面积．
【答案】A(-2,4), B(4,16) 24
【分析】先联立直线与抛物线解方程组，可得A，B的坐标，再根据S△AOB=S△AOC+S△COB求解即可.
【详解】由得,.
设A（-2,4）B（4,16），如图所示，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴得
∴y=2x+8，设直线AB与y轴交于C点，则C（0,8）
故S△AOB=S△AOC+S△COB=·+·=+=24.
【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数综合，解题的关键是联立起来解方程求出交点.
22．已知二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，．
(1)求二次函数的表达式及点坐标；
(2)点D位于第三象限且在二次函数的图象上，求的面积最大时点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令，解方程求解即可；
（2）连接．先求出直线AC解析式，过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，则，表示出的长度，再根据列出函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可解答．
【详解】（1）根据题意得，，，
把，，代入，得，，
解得，，
∴二次函数的解析式为；
令，得到，解得或1，
∴．
（2）如图1，连接．
设直线解析式为：，
∵，
∴，解得，，
∴直线的解析式为；
过点作轴的垂线交于点，
设点的坐标为，则，
∵点在第三象限，
∴，
∴，
∴当时，，点，
∴面积取得最大时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
如何设计打印图纸方案？
素材1
如图1，正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝20cm，点E，F分别在BC和AB上，且BE＝BF，设BE＝xcm（0＜x＜20）．
素材2
为了打印精准，拟在图2中的BC边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1
确定关系
用含x的代数式表示：
区块Ⅰ的面积＝ 、区块Ⅱ的面积＝ 、区块Ⅲ的面积＝ ．
任务2
拟定方案
为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以DE为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式．
任务3
优化设计
经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的E点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点E的坐标．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
如何设计打印图纸方案？
素材1
如图1，正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝20cm，点E，F分别在BC和AB上，且BE＝BF，设BE＝xcm（0＜x＜20）．
素材2
为了打印精准，拟在图2中的BC边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1
确定关系
用含x的代数式表示：
区块Ⅰ的面积＝ x2 、区块Ⅱ的面积＝ ﹣10x+200 、区块Ⅲ的面积＝ ．
任务2
拟定方案
为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以DE为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式．
任务3
优化设计
经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的E点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点E的坐标．