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初中数学浙教版（2024）七年级上册3.2 实数达标测试
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这是一份初中数学浙教版（2024）七年级上册3.2 实数达标测试，共43页。
一、平方根和立方根
二、实数
有理数和无理数统称为实数．
1.实数的分类
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
三、近似数及有效数字
1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.
2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.
要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．
3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．
【考点剖析】
一．平方根（共2小题）
1．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
（1）|a|+3有最 （填“大”或“小”）值 ；
（2）5﹣a2有最 （填“大”或“小”）值 ；
（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．
2．（2021秋•西湖区期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
二．算术平方根（共2小题）
3．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为 ．
4．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是 ．
三．非负数的性质：算术平方根（共2小题）
5．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
6．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．
四．立方根（共4小题）
7．（2022秋•拱墅区期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2B．8的立方根是±2
C．＝﹣3D．﹣6没有平方根
8．（2022秋•青田县期末）要做一个体积为8cm3的立方体模型（如图），它的棱长为 cm．
9．（2022秋•鄞州区校级期中）若实数a，b满足，请按要求解答下列问题：
（1）若a，b都是整数，请写出一对符合条件的a，b的值；
（2）若a，b都是分数，请写出一对符合条件的a，b的值．
10．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个正方体的体积是16cm3，另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的棱长和表面积．
五．无理数（共4小题）
11．（2022秋•南浔区期末）下列几个实数中，无理数的是（ ）
A．0.3B．C．0D．
12．（2022秋•金华期末），﹣π，3.14，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
13．（2022秋•萧山区期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：．其中，甲同学说“”，乙同学说“”，丙同学说“”．
（1）甲、乙、丙三位同学中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入横线内：
整数： ；
负分数： ．
14．（2021秋•温州期中）数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：﹣，﹣，|﹣|，0，π，﹣0.6，﹣．其中，甲说“﹣”，乙说“﹣”，丙说“π”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
六．实数（共2小题）
15．（2022秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（ ）
A．1B．3C．2D．5
16．（2022秋•衢州期中）把下列各数填在相应的横线上：
0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
整数： ；
负分数： ；
无理数： ．
七．实数的性质（共2小题）
17．（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
18．（2021秋•奉化区期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；
（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．
（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．
八．实数与数轴（共5小题）
19．（2022秋•滨江区校级期中）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A．﹣1B．+1C．﹣+1D．
20．（2022秋•慈溪市期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，2a+9是27的立方根．
（1）求a，b的值及线段AB的长．
（2）点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．
①请用含x的代数式表示线段BP的长．
②当x取何值时，BP＝2AP？
21．（2021秋•拱墅区月考）阅读材料，回答问题．
下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．
问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小马点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
请把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．
解：
请你帮小马同学将上面的作业做完．
22．（2022春•平邑县期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
23．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
九．实数大小比较（共3小题）
24．（2022秋•杭州期末）比较大小： 2.5； ．（填“＞”、“＜”或者“＝”）
25．（2022秋•海曙区校级期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为 ．
26．（2022秋•瑞安市期中）在数轴上表示下列有理数：，，（−2）2，2.5，并用“＜”将它们连接起来．
一十．估算无理数的大小（共5小题）
27．（2022秋•新昌县期末）已知一个边长为a米的正方形，面积是37平方米，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜5B．5＜a＜6C．6＜a＜7D．7＜a＜8
28．（2022秋•宁波期末）估计的范围是（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
29．（2021秋•温州期中）如图，数轴上的A，B，C，D四点与表示数的点最接近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
30．（2022秋•永康市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵12＜（）2＜22，∴1＜＜2．于是可以用﹣1来表示的小数部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分是﹣2．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知a是3+的整数部分，b是其小数部分，求a﹣b的值．
31．（2022秋•滨江区校级期中）（1）已知+7的小数部分是a，7﹣的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3﹣的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
一十一．实数的运算（共2小题）
32．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 ．
33．（2022秋•婺城区期末）计算：．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
2．9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．9
3．有理数﹣8的立方根为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．±4
4．面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根B．4的算术平方根
C．4开平方的结果D．4的立方根
5．|1+|+|1﹣|＝（ ）
A．1B．C．2D．2
6．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
7．下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．下列四个实数中，最小的是（ ）
A．﹣B．﹣5C．1D．4
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[﹣+1]的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．1
二．填空题（共8小题）
11．已知，则x的值为 ．
12．36的平方根是 ，81的算术平方根是 ．
13．计算 ﹣（﹣1）2＝ ．
14．计算的结果是 ．
15．比较大小： ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
16．若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是 ．
17．一个数的立方根是4，这个数的平方根是 ．
18．若+|b﹣5|＝0，则a+b＝ ．
三．解答题（共8小题）
19．求下列各式的值：
① ②±
③ ④
20．求下列各式中未知数x的值
（1）16x2﹣25＝0 （2）（x﹣1）3＝8．
21．﹣12﹣（﹣2）3×．
22．若，求3m+6n的立方根．
23．已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：+．
24．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ．
（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．
①请在4×4方格图内画出这个正方形．
②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示﹣的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了 的数学思想方法．
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
第3章 实数全章复习与测试
【知识梳理】
一、平方根和立方根
二、实数
有理数和无理数统称为实数．
1.实数的分类
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
三、近似数及有效数字
1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.
2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.
要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．
3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．
【考点剖析】
一．平方根（共2小题）
1．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
（1）|a|+3有最 小 （填“大”或“小”）值 3 ；
（2）5﹣a2有最 大 （填“大”或“小”）值 5 ；
（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．
【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3；
（2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案；
（3）根据正整数以及方程的解的定义，得出a、b的值，再代入计算后，求其平方根即可．
【解答】解：（1）∵|a|≥0，
∴|a|+3有最小值，最小值为3，
故答案为：小，3；
（2）∵a2≥0，
∴﹣a2≤0，
∴5﹣a2≤5，
即5﹣a2有最大值，最大值为5，
故答案为：大，5；
（3）∵正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，
∴正整数a、b可能为：a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，
当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，所以ab的平方根为±＝±3；
当a＝4，b＝1时，ab＝41＝4，所以ab的平方根为±＝±2；
答：ab的平方根为±2或±3．
【点评】本题考查平方根，偶次方，绝对值的非负性，理解平方根的定义以及偶次方、绝对值的非负性是解决问题的前提．
2．（2021秋•西湖区期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
【分析】（1）根据正数的平方根有两个，他们互为相反数可得出2a﹣1+（﹣a+2）＝0即可求出a的值，然后求出x的值即可；
（2）将（1）中的x，a的值代入3x+2a中求出平方根即可．
【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得：a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝9；
（2）将x＝9，a＝﹣1代入3x+2a中得，
3x+2a＝3×9﹣2＝25，
∵25的平方根为±5，
∴3x+2a的平方根为±5．
【点评】本题主要考查了平方根的性质，掌握平方根的性质是解题的关键．
二．算术平方根（共2小题）
3．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为 ．
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．
【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），
∴a+a﹣4＝0，
∴a＝2，
∴b＝4，
∴b﹣a＝2，
∴（b﹣a）的算术平方根为，
故答案为：．
【点评】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键．
4．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是 ﹣ ．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（±）2＝2，
∴2的平方根一个是，另一个是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共2小题）
5．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；
（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．
【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，
∴2n+1+4﹣3n＝0，
∴n＝5，
∴2n+1＝11，
∴m＝121；
（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，
∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，
∴a+b+c＝1+0+5＝6，
∴a+b+c的平方根是±．
【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．
6．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案；
（2）根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．
【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，
∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，
解得a＝4，
∴a+3＝7，
∴这个数是49；
（2）由题意得：
2m+1＝0，3n﹣2＝0，
∴m＝﹣，n＝，
∴m2+n2＝（﹣）2+（）2＝+＝，
∴m2+n2的平方根是±．
【点评】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，算术平方根与平方的和为0，算术平方根与平方同时为0，开平方的被开方数互为相反数，被开方数为0．
四．立方根（共4小题）
7．（2022秋•拱墅区期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2B．8的立方根是±2
C．＝﹣3D．﹣6没有平方根
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意；
B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意；
C.＝3，因此选项C不符合题意；
D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
8．（2022秋•青田县期末）要做一个体积为8cm3的立方体模型（如图），它的棱长为 2 cm．
【分析】根据立方体的体积公式求解即可．
【解答】解：∵立方体的体积为8cm3，
∴它的棱长为．
故答案为：2．
【点评】此题考查了立方根的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出算式．
9．（2022秋•鄞州区校级期中）若实数a，b满足，请按要求解答下列问题：
（1）若a，b都是整数，请写出一对符合条件的a，b的值；
（2）若a，b都是分数，请写出一对符合条件的a，b的值．
【分析】（1）根据已知等式，利用算术平方根及立方根的定义找出满足题意a与b的值即可；
（2）根据已知等式，利用算术平方根及立方根的定义找出满足题意a与b的值即可．
【解答】解：（1）满足题意的值为：a＝1，b＝﹣27（答案不唯一）；
（2）满足题意的值为：a＝，b＝﹣（答案不唯一）．
【点评】此题考查了立方根，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个正方体的体积是16cm3，另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的棱长和表面积．
【分析】根据题意知大正方体的体积为64cm3，则其棱长为体积的立方根，可求得表面积．
【解答】解：根据题意大正方体的体积为16×4＝64cm3，
则大正方体的棱长为：＝4cm，
故大正方体的表面积为：6×4×4＝96cm2．
【点评】本题主要考查立方根，根据题意求出体积是前提，熟知棱长是正方体体积的立方根是关键．
五．无理数（共4小题）
11．（2022秋•南浔区期末）下列几个实数中，无理数的是（ ）
A．0.3B．C．0D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数判断即可．
【解答】解：A、0.3是小数，属于有理数，故该选项不符合题意；
B、是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
D、是无理数，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根，掌握无理数的定义：无限不循环小数是解题的关键．
12．（2022秋•金华期末），﹣π，3.14，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：，3.14是有理数；
﹣π，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）是无理数，
∴无理数一共有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
13．（2022秋•萧山区期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：．其中，甲同学说“”，乙同学说“”，丙同学说“”．
（1）甲、乙、丙三位同学中，说错的是 甲 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入横线内：
整数： 0、﹣ ；
负分数： ﹣ ．
【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；
（2）根据有理数的分类解答即可．
【解答】解：（1）因为“﹣”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“”是无理数．
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲；
故答案为：甲；
（2）﹣＝﹣4，|﹣|＝，
整数有：0，﹣；
负分数有：﹣．
故答案为：0，﹣；﹣．
【点评】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数分为有理数与无理数，有理数又分为整数与分数．
14．（2021秋•温州期中）数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：﹣，﹣，|﹣|，0，π，﹣0.6，﹣．其中，甲说“﹣”，乙说“﹣”，丙说“π”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 乙 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【分析】（1）无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数；
（2）根据有理数的定义与分类解答即可．
【解答】解：（1）是无理数；
，|﹣|＝，是分数，属于有理数；
0，，是整数，属于有理数；
0.6是有限小数，属于有理数；
π是无理数；
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是乙，
故答案为：乙；
（2）整数有0，；
负分数有：，﹣0.6．
故答案为：0，；
，﹣0.6．
【点评】本题考查了无理数以及有理数的分类，掌握相关定义是解答本题的关键．
六．实数（共2小题）
15．（2022秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（ ）
A．1B．3C．2D．5
【分析】有理数是整数与分数的统称，找出其中的有理数，即可确定a的值；无理数是无限不循环小数，π及含有π的数，开方开不尽的数都是无理数，对于带根号的数，首先要看是否是最简形式，再判断，据此确定出无理数的个数，即可得到b的值；接下来将a、b的值代入待求式进行计算，即可使问题解答．
【解答】解：是有理数，有4个，即a＝4，
是无理数，有2个，即b＝2，
则a﹣b＝4﹣2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数与无理数的概念，重点在对所给的数进行区别，防止因为根号而影响判断．
16．（2022秋•衢州期中）把下列各数填在相应的横线上：
0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
整数： 0，﹣2，，+9 ；
负分数： ，﹣3.14 ；
无理数： π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2） ．
【分析】根据整数、负分数和无理数的定义即可判断．
【解答】解：整数：0，﹣2，，+9；
负分数：，﹣3.14；
无理数：π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
故答案为：0，﹣2，，+9；，﹣3.14；π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
【点评】本题考查了实数的分类，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
七．实数的性质（共2小题）
17．（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【分析】利用相反数的定义判断．
【解答】解：A、∵﹣＝﹣3，＝3，
∴﹣与互为相反数，A选项符合题意；
∵＝﹣2，﹣＝﹣2，
∴＝﹣，B选项不符合题意；
|﹣|＝，C选项不符合题意；
∵＝﹣2，
∴与不是互为相反数，D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
18．（2021秋•奉化区期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；
（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．
（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．
【分析】（1）根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，先确定a+b、cd及m的值，再求代数式的值即可；
（2）根据＝m，c＝可求出a，b，c，d的值，然后代入所求的代数式即可．
【解答】（1）解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵|m|＝2 且m＜0，
∴m＝﹣2，
∴2a﹣（cd）2018+2b﹣3m
＝2（a+b）﹣（cd）2018﹣3m
＝﹣1+6
＝5；
（2）∵＝m，
∴a＝m3＝﹣8，
∴b＝8，
∵，
∴，
∴b﹣4d+m
＝
＝8﹣2﹣2
＝4．
【点评】本题考查了有理数的运算，掌握“互为相反数的两数和为0”、“互为倒数的两数积为1”是解决本题的关键．
八．实数与数轴（共5小题）
19．（2022秋•滨江区校级期中）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A．﹣1B．+1C．﹣+1D．
【分析】先求出张方形的边长AD，再根据向右动就用加法计算求解．
【解答】解：正方形ABCD的边长为：，
∴点E所表示的数为：﹣1+，
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，正方形是面积公式是解题的关键．
20．（2022秋•慈溪市期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，2a+9是27的立方根．
（1）求a，b的值及线段AB的长．
（2）点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．
①请用含x的代数式表示线段BP的长．
②当x取何值时，BP＝2AP？
【分析】（1）利用立方根的含义求解a，b的值，再求解AB的长度即可；
（2）①由数轴上两点之间的距离公式可得答案；②分两种情况讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，再利用BP＝2AP，建立方程即可．
【解答】解：（1）∵2a+9是27的立方根，
∴，
则a＝﹣3．
∵a，b互为相反数，
∴b＝﹣a＝3．
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6．
（2）①∵点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．
∴线段BP＝3﹣x
②当点P在点A右侧时，
∵BP＝2AP，
∴3﹣x＝2（x+3），
解得x＝﹣1．
当点P在点A左侧时，
∵BP＝2AP，
∴3﹣x＝2（﹣3﹣x），
解得x＝﹣9．
综上，当x＝﹣1或﹣9时，BP＝2AP．
【点评】本题考查的是立方根的含义，数轴上两点之间的距离，相反数的含义，理解题意，建立方程求解是解本题的关键．
21．（2021秋•拱墅区月考）阅读材料，回答问题．
下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．
问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小马点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
请把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．
解：
请你帮小马同学将上面的作业做完．
【分析】根据﹣π和确定原点，根据数轴上的点左边小于右边的排序．
【解答】解：把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上如图所示，
﹣4＜﹣π＜|﹣|＜2＜．
【点评】本题考查实数与数轴，实数的大小比较．数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
22．（2022春•平邑县期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ﹣1﹣ ．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
【解答】解：（1）设魔方的棱长为x，
则x3＝8，解得：x＝2；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形ABCD的边长为：，
∴S正方形ABCD＝＝2；
（3）∵正方形ABCD的边长为，点A与﹣1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：﹣1﹣，
故答案为：﹣1﹣．
【点评】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
23．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
（2）主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示，点B所表示的数为m，
∴m＝﹣+2；
（2）|m﹣3|+m+2
＝|﹣+2﹣3|﹣+2+2
＝1﹣﹣+4
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
九．实数大小比较（共3小题）
24．（2022秋•杭州期末）比较大小： ＜ 2.5； ＜ ．（填“＞”、“＜”或者“＝”）
【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质分别比较得出答案．
【解答】解：∵2.53＝15.625＞9，
∴＜2.5；
∵（）2＝，27＝，
∴＜．
故答案为：＜；＜．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．
25．（2022秋•海曙区校级期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为 4 ．
【分析】根据a，b的范围，然后再代入求出2a﹣b的值即可
【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}＝．
∴a＜，b＞．
∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．
26．（2022秋•瑞安市期中）在数轴上表示下列有理数：，，（−2）2，2.5，并用“＜”将它们连接起来．
【分析】先计算，，（−2）2，再把各数表示在数轴上，最后用“＜”连接各数．
【解答】解：∵＝，＝﹣2，（﹣2）2＝4．
∴在数轴上表示为：
∴＜＜2.5＜（﹣2）2．
【点评】本题主要考查了实数和数轴，掌握“在数轴上表示的数，右边的总大于左边的”是解决本题的关键．
一十．估算无理数的大小（共5小题）
27．（2022秋•新昌县期末）已知一个边长为a米的正方形，面积是37平方米，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜5B．5＜a＜6C．6＜a＜7D．7＜a＜8
【分析】先求出a的值，再求出其取值范围即可．
【解答】解：∵个边长为a米的正方形，面积是37平方米，
∴a＝．
∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，即6＜a＜7．
故选：C．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
28．（2022秋•宁波期末）估计的范围是（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
【分析】根据平方数进行计算即可解答．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴4＜+2＜5，
∴+2在4和5之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
29．（2021秋•温州期中）如图，数轴上的A，B，C，D四点与表示数的点最接近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】估算出﹣的范围，从而可以得出答案．
【解答】解：∵4＜8＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∵更接近3，
∴﹣更接近﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
30．（2022秋•永康市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵12＜（）2＜22，∴1＜＜2．于是可以用﹣1来表示的小数部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分是﹣2．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ﹣4 ．
（2）已知a是3+的整数部分，b是其小数部分，求a﹣b的值．
【分析】（1）估算得到所求整数部分与小数部分即可；
（2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是﹣4；
故答案为：4，﹣4；
（2）∵2＜＜3，
∴5＜3+＜6，
∴3+的整数部分a＝5，小数部分b＝3+﹣5＝﹣2，
∴a﹣b＝5﹣（﹣2）＝7﹣．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
31．（2022秋•滨江区校级期中）（1）已知+7的小数部分是a，7﹣的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3﹣的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
【分析】（1）由4＜7＜9，得出2＜＜3，确定+7的小数部分，可得a的值，然后确定用7﹣的小数部分，可得b的值，把a、b值代入代数式a+b中计算即可；
（2）同理估算的大小，确定a，b，c，d的值，代入所求式计算即可．
【解答】解：（1）∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴9＜+7＜10，4＜7﹣＜5，
∴+7的整数部分是9，小数部分a＝+7﹣9＝﹣2，7﹣的小数部分是7﹣﹣4＝3﹣，
∴a＝﹣2，b＝3﹣，
∴a+b＝﹣2+3﹣＝1；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴6＜5+＜7，1＜3﹣＜2，
∴a＝6，b＝5+﹣6＝﹣1，c＝1，d＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴ab﹣cd＝6（﹣1）﹣1×（2﹣）＝6﹣6﹣2+＝7﹣8．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，应从估算无理数或的范围入手．
一十一．实数的运算（共2小题）
32．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 5 ．
【分析】把a、b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：当a＝3，b＝4时，
＝＝＝5，
所以输出的结果为5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．（2022秋•婺城区期末）计算：．
【分析】根据平方，算术平方根的概念、绝对值的性质计算．
【解答】解：原式＝﹣4﹣3+4+4＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据数轴估算出P点所表示的数，再根据选项中的数值进行选择即可．
【解答】解：A、∵9＜10＜16，32＜＜4，故本选项错误；
B、∵4＜5＜9，∴2＜＜3，故本选项正确；
C、∵1＜3＜4，∴1＜＜2，故本选项错误；
D、∵1＜2＜4，∴1＜＜2，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意得出各无理数的取值范围是解答此题的关键．
2．9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．9
【分析】根据（±3）2＝9，即可得出答案．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根为：±3．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根的知识，掌握平方根的定义是关键，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．
3．有理数﹣8的立方根为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．±4
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：有理数﹣8的立方根为．
故选：A．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
4．面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根B．4的算术平方根
C．4开平方的结果D．4的立方根
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；
【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键．
5．|1+|+|1﹣|＝（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】根据绝对值的性质，可得答案．
【解答】解：原式1++﹣1＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．
6．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【解答】解：∵．
∴x2＝9，y＝4，
∴x＝±3，
当x＝3，y＝4时，x﹣y＝3﹣4＝﹣1；
当x＝﹣3，y＝4时，x﹣y＝﹣3﹣4＝﹣7；
∴x﹣y＝﹣1或﹣7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
7．下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据无理数的概念判断即可．
【解答】解：0.020020002…，π是无理数，
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数的概念，无限不循环小数叫做无理数．
8．下列四个实数中，最小的是（ ）
A．﹣B．﹣5C．1D．4
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得
﹣5＜﹣＜1＜4，
所以四个实数中，最小的数是﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据立方根和算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、没有意义，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、＝＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、＝2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、＝﹣，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了立方根，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义正确进行计算．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[﹣+1]的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．1
【分析】先计算的大小，然后求得的范围，从而可求得[﹣+1]的值．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴[﹣+1]的值为﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算的范围是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．已知，则x的值为 ±4 ．
【分析】由已知可得x2＝16，再求x＝±4即可．
【解答】解：∵，
∴x2＝16，
∴x＝±4
故答案为±4．
【点评】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和化简，并能准确计算是解题的关键．
12．36的平方根是 ±6 ，81的算术平方根是 9 ．
【分析】利用平方根和算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：36的平方根是±6，81的算术平方根是9，
故答案为：±6；9
【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义．解题时注意正数的平方根有2个，算术平方根有1个．
13．计算 ﹣（﹣1）2＝ 4 ．
【分析】先分别根据数的开方法则、有理数乘方的法则求出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝5﹣1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
14．计算的结果是 3 ．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：＝＝3．
故答案为：3
【点评】此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
15．比较大小： ＞ ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】把2化成，再比较即可．
【解答】解：2＝，
即2＞，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较和二次根式性质的应用，题目比较好，难度不大．
16．若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是 10，12，14 ．
【分析】首先根据立方根平方根的定义分别求出2的立方，4的平方，然后就可以解决问题．
【解答】解：∵2的立方是8，4的平方是16，
所以符合题意的偶数是10，12，14．
故填：10，12，14．
【点评】此题主要考查了立方根的定义和性质，注意本题答案不唯一．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
17．一个数的立方根是4，这个数的平方根是 ±8 ．
【分析】根据立方根的定义可知，这个数为64，故这个数的平方根为±8．
【解答】解：设这个数为x，则根据题意可知＝4，解之得x＝64；
即64的平方根为±8．
故答案为±8．
【点评】本题综合考查的是平方根和立方根的计算，要求学生能够熟练掌握和应用．
18．若+|b﹣5|＝0，则a+b＝ 2 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵+|b﹣5|＝0，
∴a+3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝﹣3，b＝5，
∴a+b＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
三．解答题（共8小题）
19．求下列各式的值：
①
②±
③
④
【分析】依据算术平方根、平方根、立方根的定义解答即可．
【解答】解：①＝；
②±＝±0.6；
③＝﹣10
④＝＝．
【点评】本题主要考查的是算术平方根、平方根、立方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
20．求下列各式中未知数x的值
（1）16x2﹣25＝0
（2）（x﹣1）3＝8．
【分析】（1）先变形得到x2＝，然后利用平方根的定义求解；
（2）先根据立方根的定义得到x﹣1＝2，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）16x2﹣25＝0，
x2＝，
x＝±；
（2）（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝2，
x＝3．
【点评】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作．也考查了平方根．
21．﹣12﹣（﹣2）3×．
【分析】首先计算乘方，然后计算乘除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣12﹣（﹣2）3×
＝﹣1﹣（﹣8）×﹣3×+2÷2
＝﹣1+1﹣1+1
＝0
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
22．若，求3m+6n的立方根．
【分析】由于一个分式为0，只能分子为0，然后根据非负数的性质得到关于m、n的方程组，由此即可解得m、n，然后即可求3m+6n的立方根．
【解答】解：∵，
∴＝0，|m2﹣9|＝0，3﹣m≠0，
解得m＝﹣3，n＝6，
∴3m+6n的立方根为3．
【点评】本题主要考查二次根式的性质及立方根的定义等知识点，还考查了非负数的性质．
23．已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：+．
【分析】根据数轴得到a＜b＜0＜c，据此来化简二次根式，去绝对值．
【解答】解：如图所示：a＜b＜0＜c，则
+
＝|a|+a+b+|c﹣a+b|+c+b+b
＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c+b+b
＝4b+2c﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴．根据数轴求得a、b、c的取值范围是解题的关键．
24．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 5 ，边长是 ．
（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．
①请在4×4方格图内画出这个正方形．
②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示﹣的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了 A 的数学思想方法．
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
【分析】（1）依据正方形的面积即可得到正方形的边长；
（2）依据10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，即可得到该正方形，并在数轴上画出表示﹣的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了数形结合的数学思想方法．
【解答】解：（1）拼成的正方形的面积是5，边长是，
故答案为：5，；
（2）①10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，如图所示：
②表示﹣的点如图所示：
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了数形结合的数学思想方法．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的剪拼，正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
一、平方根和立方根
二、实数
有理数和无理数统称为实数．
1.实数的分类
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
三、近似数及有效数字
1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.
2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.
要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．
3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．
【考点剖析】
一．平方根（共2小题）
1．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
（1）|a|+3有最 （填“大”或“小”）值 ；
（2）5﹣a2有最 （填“大”或“小”）值 ；
（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．
2．（2021秋•西湖区期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
二．算术平方根（共2小题）
3．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为 ．
4．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是 ．
三．非负数的性质：算术平方根（共2小题）
5．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
6．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．
四．立方根（共4小题）
7．（2022秋•拱墅区期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2B．8的立方根是±2
C．＝﹣3D．﹣6没有平方根
8．（2022秋•青田县期末）要做一个体积为8cm3的立方体模型（如图），它的棱长为 cm．
9．（2022秋•鄞州区校级期中）若实数a，b满足，请按要求解答下列问题：
（1）若a，b都是整数，请写出一对符合条件的a，b的值；
（2）若a，b都是分数，请写出一对符合条件的a，b的值．
10．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个正方体的体积是16cm3，另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的棱长和表面积．
五．无理数（共4小题）
11．（2022秋•南浔区期末）下列几个实数中，无理数的是（ ）
A．0.3B．C．0D．
12．（2022秋•金华期末），﹣π，3.14，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
13．（2022秋•萧山区期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：．其中，甲同学说“”，乙同学说“”，丙同学说“”．
（1）甲、乙、丙三位同学中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入横线内：
整数： ；
负分数： ．
14．（2021秋•温州期中）数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：﹣，﹣，|﹣|，0，π，﹣0.6，﹣．其中，甲说“﹣”，乙说“﹣”，丙说“π”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
六．实数（共2小题）
15．（2022秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（ ）
A．1B．3C．2D．5
16．（2022秋•衢州期中）把下列各数填在相应的横线上：
0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
整数： ；
负分数： ；
无理数： ．
七．实数的性质（共2小题）
17．（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
18．（2021秋•奉化区期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；
（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．
（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．
八．实数与数轴（共5小题）
19．（2022秋•滨江区校级期中）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A．﹣1B．+1C．﹣+1D．
20．（2022秋•慈溪市期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，2a+9是27的立方根．
（1）求a，b的值及线段AB的长．
（2）点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．
①请用含x的代数式表示线段BP的长．
②当x取何值时，BP＝2AP？
21．（2021秋•拱墅区月考）阅读材料，回答问题．
下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．
问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小马点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
请把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．
解：
请你帮小马同学将上面的作业做完．
22．（2022春•平邑县期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
23．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
九．实数大小比较（共3小题）
24．（2022秋•杭州期末）比较大小： 2.5； ．（填“＞”、“＜”或者“＝”）
25．（2022秋•海曙区校级期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为 ．
26．（2022秋•瑞安市期中）在数轴上表示下列有理数：，，（−2）2，2.5，并用“＜”将它们连接起来．
一十．估算无理数的大小（共5小题）
27．（2022秋•新昌县期末）已知一个边长为a米的正方形，面积是37平方米，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜5B．5＜a＜6C．6＜a＜7D．7＜a＜8
28．（2022秋•宁波期末）估计的范围是（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
29．（2021秋•温州期中）如图，数轴上的A，B，C，D四点与表示数的点最接近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
30．（2022秋•永康市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵12＜（）2＜22，∴1＜＜2．于是可以用﹣1来表示的小数部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分是﹣2．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知a是3+的整数部分，b是其小数部分，求a﹣b的值．
31．（2022秋•滨江区校级期中）（1）已知+7的小数部分是a，7﹣的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3﹣的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
一十一．实数的运算（共2小题）
32．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 ．
33．（2022秋•婺城区期末）计算：．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
2．9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．9
3．有理数﹣8的立方根为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．±4
4．面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根B．4的算术平方根
C．4开平方的结果D．4的立方根
5．|1+|+|1﹣|＝（ ）
A．1B．C．2D．2
6．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
7．下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．下列四个实数中，最小的是（ ）
A．﹣B．﹣5C．1D．4
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[﹣+1]的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．1
二．填空题（共8小题）
11．已知，则x的值为 ．
12．36的平方根是 ，81的算术平方根是 ．
13．计算 ﹣（﹣1）2＝ ．
14．计算的结果是 ．
15．比较大小： ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
16．若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是 ．
17．一个数的立方根是4，这个数的平方根是 ．
18．若+|b﹣5|＝0，则a+b＝ ．
三．解答题（共8小题）
19．求下列各式的值：
① ②±
③ ④
20．求下列各式中未知数x的值
（1）16x2﹣25＝0 （2）（x﹣1）3＝8．
21．﹣12﹣（﹣2）3×．
22．若，求3m+6n的立方根．
23．已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：+．
24．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ．
（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．
①请在4×4方格图内画出这个正方形．
②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示﹣的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了 的数学思想方法．
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
第3章 实数全章复习与测试
【知识梳理】
一、平方根和立方根
二、实数
有理数和无理数统称为实数．
1.实数的分类
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
三、近似数及有效数字
1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.
2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.
要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．
3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．
【考点剖析】
一．平方根（共2小题）
1．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
（1）|a|+3有最 小 （填“大”或“小”）值 3 ；
（2）5﹣a2有最 大 （填“大”或“小”）值 5 ；
（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．
【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3；
（2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案；
（3）根据正整数以及方程的解的定义，得出a、b的值，再代入计算后，求其平方根即可．
【解答】解：（1）∵|a|≥0，
∴|a|+3有最小值，最小值为3，
故答案为：小，3；
（2）∵a2≥0，
∴﹣a2≤0，
∴5﹣a2≤5，
即5﹣a2有最大值，最大值为5，
故答案为：大，5；
（3）∵正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，
∴正整数a、b可能为：a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，
当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，所以ab的平方根为±＝±3；
当a＝4，b＝1时，ab＝41＝4，所以ab的平方根为±＝±2；
答：ab的平方根为±2或±3．
【点评】本题考查平方根，偶次方，绝对值的非负性，理解平方根的定义以及偶次方、绝对值的非负性是解决问题的前提．
2．（2021秋•西湖区期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
【分析】（1）根据正数的平方根有两个，他们互为相反数可得出2a﹣1+（﹣a+2）＝0即可求出a的值，然后求出x的值即可；
（2）将（1）中的x，a的值代入3x+2a中求出平方根即可．
【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得：a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝9；
（2）将x＝9，a＝﹣1代入3x+2a中得，
3x+2a＝3×9﹣2＝25，
∵25的平方根为±5，
∴3x+2a的平方根为±5．
【点评】本题主要考查了平方根的性质，掌握平方根的性质是解题的关键．
二．算术平方根（共2小题）
3．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为 ．
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．
【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），
∴a+a﹣4＝0，
∴a＝2，
∴b＝4，
∴b﹣a＝2，
∴（b﹣a）的算术平方根为，
故答案为：．
【点评】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键．
4．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是 ﹣ ．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（±）2＝2，
∴2的平方根一个是，另一个是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共2小题）
5．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；
（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．
【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，
∴2n+1+4﹣3n＝0，
∴n＝5，
∴2n+1＝11，
∴m＝121；
（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，
∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，
∴a+b+c＝1+0+5＝6，
∴a+b+c的平方根是±．
【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．
6．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案；
（2）根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．
【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，
∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，
解得a＝4，
∴a+3＝7，
∴这个数是49；
（2）由题意得：
2m+1＝0，3n﹣2＝0，
∴m＝﹣，n＝，
∴m2+n2＝（﹣）2+（）2＝+＝，
∴m2+n2的平方根是±．
【点评】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，算术平方根与平方的和为0，算术平方根与平方同时为0，开平方的被开方数互为相反数，被开方数为0．
四．立方根（共4小题）
7．（2022秋•拱墅区期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2B．8的立方根是±2
C．＝﹣3D．﹣6没有平方根
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意；
B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意；
C.＝3，因此选项C不符合题意；
D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
8．（2022秋•青田县期末）要做一个体积为8cm3的立方体模型（如图），它的棱长为 2 cm．
【分析】根据立方体的体积公式求解即可．
【解答】解：∵立方体的体积为8cm3，
∴它的棱长为．
故答案为：2．
【点评】此题考查了立方根的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出算式．
9．（2022秋•鄞州区校级期中）若实数a，b满足，请按要求解答下列问题：
（1）若a，b都是整数，请写出一对符合条件的a，b的值；
（2）若a，b都是分数，请写出一对符合条件的a，b的值．
【分析】（1）根据已知等式，利用算术平方根及立方根的定义找出满足题意a与b的值即可；
（2）根据已知等式，利用算术平方根及立方根的定义找出满足题意a与b的值即可．
【解答】解：（1）满足题意的值为：a＝1，b＝﹣27（答案不唯一）；
（2）满足题意的值为：a＝，b＝﹣（答案不唯一）．
【点评】此题考查了立方根，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个正方体的体积是16cm3，另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的棱长和表面积．
【分析】根据题意知大正方体的体积为64cm3，则其棱长为体积的立方根，可求得表面积．
【解答】解：根据题意大正方体的体积为16×4＝64cm3，
则大正方体的棱长为：＝4cm，
故大正方体的表面积为：6×4×4＝96cm2．
【点评】本题主要考查立方根，根据题意求出体积是前提，熟知棱长是正方体体积的立方根是关键．
五．无理数（共4小题）
11．（2022秋•南浔区期末）下列几个实数中，无理数的是（ ）
A．0.3B．C．0D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数判断即可．
【解答】解：A、0.3是小数，属于有理数，故该选项不符合题意；
B、是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
D、是无理数，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根，掌握无理数的定义：无限不循环小数是解题的关键．
12．（2022秋•金华期末），﹣π，3.14，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：，3.14是有理数；
﹣π，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）是无理数，
∴无理数一共有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
13．（2022秋•萧山区期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：．其中，甲同学说“”，乙同学说“”，丙同学说“”．
（1）甲、乙、丙三位同学中，说错的是 甲 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入横线内：
整数： 0、﹣ ；
负分数： ﹣ ．
【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；
（2）根据有理数的分类解答即可．
【解答】解：（1）因为“﹣”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“”是无理数．
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲；
故答案为：甲；
（2）﹣＝﹣4，|﹣|＝，
整数有：0，﹣；
负分数有：﹣．
故答案为：0，﹣；﹣．
【点评】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数分为有理数与无理数，有理数又分为整数与分数．
14．（2021秋•温州期中）数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：﹣，﹣，|﹣|，0，π，﹣0.6，﹣．其中，甲说“﹣”，乙说“﹣”，丙说“π”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 乙 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【分析】（1）无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数；
（2）根据有理数的定义与分类解答即可．
【解答】解：（1）是无理数；
，|﹣|＝，是分数，属于有理数；
0，，是整数，属于有理数；
0.6是有限小数，属于有理数；
π是无理数；
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是乙，
故答案为：乙；
（2）整数有0，；
负分数有：，﹣0.6．
故答案为：0，；
，﹣0.6．
【点评】本题考查了无理数以及有理数的分类，掌握相关定义是解答本题的关键．
六．实数（共2小题）
15．（2022秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（ ）
A．1B．3C．2D．5
【分析】有理数是整数与分数的统称，找出其中的有理数，即可确定a的值；无理数是无限不循环小数，π及含有π的数，开方开不尽的数都是无理数，对于带根号的数，首先要看是否是最简形式，再判断，据此确定出无理数的个数，即可得到b的值；接下来将a、b的值代入待求式进行计算，即可使问题解答．
【解答】解：是有理数，有4个，即a＝4，
是无理数，有2个，即b＝2，
则a﹣b＝4﹣2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数与无理数的概念，重点在对所给的数进行区别，防止因为根号而影响判断．
16．（2022秋•衢州期中）把下列各数填在相应的横线上：
0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
整数： 0，﹣2，，+9 ；
负分数： ，﹣3.14 ；
无理数： π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2） ．
【分析】根据整数、负分数和无理数的定义即可判断．
【解答】解：整数：0，﹣2，，+9；
负分数：，﹣3.14；
无理数：π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
故答案为：0，﹣2，，+9；，﹣3.14；π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
【点评】本题考查了实数的分类，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
七．实数的性质（共2小题）
17．（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【分析】利用相反数的定义判断．
【解答】解：A、∵﹣＝﹣3，＝3，
∴﹣与互为相反数，A选项符合题意；
∵＝﹣2，﹣＝﹣2，
∴＝﹣，B选项不符合题意；
|﹣|＝，C选项不符合题意；
∵＝﹣2，
∴与不是互为相反数，D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
18．（2021秋•奉化区期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；
（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．
（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．
【分析】（1）根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，先确定a+b、cd及m的值，再求代数式的值即可；
（2）根据＝m，c＝可求出a，b，c，d的值，然后代入所求的代数式即可．
【解答】（1）解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵|m|＝2 且m＜0，
∴m＝﹣2，
∴2a﹣（cd）2018+2b﹣3m
＝2（a+b）﹣（cd）2018﹣3m
＝﹣1+6
＝5；
（2）∵＝m，
∴a＝m3＝﹣8，
∴b＝8，
∵，
∴，
∴b﹣4d+m
＝
＝8﹣2﹣2
＝4．
【点评】本题考查了有理数的运算，掌握“互为相反数的两数和为0”、“互为倒数的两数积为1”是解决本题的关键．
八．实数与数轴（共5小题）
19．（2022秋•滨江区校级期中）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A．﹣1B．+1C．﹣+1D．
【分析】先求出张方形的边长AD，再根据向右动就用加法计算求解．
【解答】解：正方形ABCD的边长为：，
∴点E所表示的数为：﹣1+，
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，正方形是面积公式是解题的关键．
20．（2022秋•慈溪市期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，2a+9是27的立方根．
（1）求a，b的值及线段AB的长．
（2）点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．
①请用含x的代数式表示线段BP的长．
②当x取何值时，BP＝2AP？
【分析】（1）利用立方根的含义求解a，b的值，再求解AB的长度即可；
（2）①由数轴上两点之间的距离公式可得答案；②分两种情况讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，再利用BP＝2AP，建立方程即可．
【解答】解：（1）∵2a+9是27的立方根，
∴，
则a＝﹣3．
∵a，b互为相反数，
∴b＝﹣a＝3．
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6．
（2）①∵点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．
∴线段BP＝3﹣x
②当点P在点A右侧时，
∵BP＝2AP，
∴3﹣x＝2（x+3），
解得x＝﹣1．
当点P在点A左侧时，
∵BP＝2AP，
∴3﹣x＝2（﹣3﹣x），
解得x＝﹣9．
综上，当x＝﹣1或﹣9时，BP＝2AP．
【点评】本题考查的是立方根的含义，数轴上两点之间的距离，相反数的含义，理解题意，建立方程求解是解本题的关键．
21．（2021秋•拱墅区月考）阅读材料，回答问题．
下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．
问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小马点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
请把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．
解：
请你帮小马同学将上面的作业做完．
【分析】根据﹣π和确定原点，根据数轴上的点左边小于右边的排序．
【解答】解：把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上如图所示，
﹣4＜﹣π＜|﹣|＜2＜．
【点评】本题考查实数与数轴，实数的大小比较．数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
22．（2022春•平邑县期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ﹣1﹣ ．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
【解答】解：（1）设魔方的棱长为x，
则x3＝8，解得：x＝2；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形ABCD的边长为：，
∴S正方形ABCD＝＝2；
（3）∵正方形ABCD的边长为，点A与﹣1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：﹣1﹣，
故答案为：﹣1﹣．
【点评】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
23．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
（2）主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示，点B所表示的数为m，
∴m＝﹣+2；
（2）|m﹣3|+m+2
＝|﹣+2﹣3|﹣+2+2
＝1﹣﹣+4
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
九．实数大小比较（共3小题）
24．（2022秋•杭州期末）比较大小： ＜ 2.5； ＜ ．（填“＞”、“＜”或者“＝”）
【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质分别比较得出答案．
【解答】解：∵2.53＝15.625＞9，
∴＜2.5；
∵（）2＝，27＝，
∴＜．
故答案为：＜；＜．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．
25．（2022秋•海曙区校级期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为 4 ．
【分析】根据a，b的范围，然后再代入求出2a﹣b的值即可
【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}＝．
∴a＜，b＞．
∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．
26．（2022秋•瑞安市期中）在数轴上表示下列有理数：，，（−2）2，2.5，并用“＜”将它们连接起来．
【分析】先计算，，（−2）2，再把各数表示在数轴上，最后用“＜”连接各数．
【解答】解：∵＝，＝﹣2，（﹣2）2＝4．
∴在数轴上表示为：
∴＜＜2.5＜（﹣2）2．
【点评】本题主要考查了实数和数轴，掌握“在数轴上表示的数，右边的总大于左边的”是解决本题的关键．
一十．估算无理数的大小（共5小题）
27．（2022秋•新昌县期末）已知一个边长为a米的正方形，面积是37平方米，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜5B．5＜a＜6C．6＜a＜7D．7＜a＜8
【分析】先求出a的值，再求出其取值范围即可．
【解答】解：∵个边长为a米的正方形，面积是37平方米，
∴a＝．
∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，即6＜a＜7．
故选：C．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
28．（2022秋•宁波期末）估计的范围是（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
【分析】根据平方数进行计算即可解答．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴4＜+2＜5，
∴+2在4和5之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
29．（2021秋•温州期中）如图，数轴上的A，B，C，D四点与表示数的点最接近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】估算出﹣的范围，从而可以得出答案．
【解答】解：∵4＜8＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∵更接近3，
∴﹣更接近﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
30．（2022秋•永康市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵12＜（）2＜22，∴1＜＜2．于是可以用﹣1来表示的小数部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分是﹣2．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ﹣4 ．
（2）已知a是3+的整数部分，b是其小数部分，求a﹣b的值．
【分析】（1）估算得到所求整数部分与小数部分即可；
（2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是﹣4；
故答案为：4，﹣4；
（2）∵2＜＜3，
∴5＜3+＜6，
∴3+的整数部分a＝5，小数部分b＝3+﹣5＝﹣2，
∴a﹣b＝5﹣（﹣2）＝7﹣．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
31．（2022秋•滨江区校级期中）（1）已知+7的小数部分是a，7﹣的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3﹣的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
【分析】（1）由4＜7＜9，得出2＜＜3，确定+7的小数部分，可得a的值，然后确定用7﹣的小数部分，可得b的值，把a、b值代入代数式a+b中计算即可；
（2）同理估算的大小，确定a，b，c，d的值，代入所求式计算即可．
【解答】解：（1）∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴9＜+7＜10，4＜7﹣＜5，
∴+7的整数部分是9，小数部分a＝+7﹣9＝﹣2，7﹣的小数部分是7﹣﹣4＝3﹣，
∴a＝﹣2，b＝3﹣，
∴a+b＝﹣2+3﹣＝1；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴6＜5+＜7，1＜3﹣＜2，
∴a＝6，b＝5+﹣6＝﹣1，c＝1，d＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴ab﹣cd＝6（﹣1）﹣1×（2﹣）＝6﹣6﹣2+＝7﹣8．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，应从估算无理数或的范围入手．
一十一．实数的运算（共2小题）
32．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 5 ．
【分析】把a、b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：当a＝3，b＝4时，
＝＝＝5，
所以输出的结果为5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．（2022秋•婺城区期末）计算：．
【分析】根据平方，算术平方根的概念、绝对值的性质计算．
【解答】解：原式＝﹣4﹣3+4+4＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据数轴估算出P点所表示的数，再根据选项中的数值进行选择即可．
【解答】解：A、∵9＜10＜16，32＜＜4，故本选项错误；
B、∵4＜5＜9，∴2＜＜3，故本选项正确；
C、∵1＜3＜4，∴1＜＜2，故本选项错误；
D、∵1＜2＜4，∴1＜＜2，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意得出各无理数的取值范围是解答此题的关键．
2．9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．9
【分析】根据（±3）2＝9，即可得出答案．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根为：±3．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根的知识，掌握平方根的定义是关键，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．
3．有理数﹣8的立方根为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．±4
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：有理数﹣8的立方根为．
故选：A．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
4．面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根B．4的算术平方根
C．4开平方的结果D．4的立方根
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；
【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键．
5．|1+|+|1﹣|＝（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】根据绝对值的性质，可得答案．
【解答】解：原式1++﹣1＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．
6．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【解答】解：∵．
∴x2＝9，y＝4，
∴x＝±3，
当x＝3，y＝4时，x﹣y＝3﹣4＝﹣1；
当x＝﹣3，y＝4时，x﹣y＝﹣3﹣4＝﹣7；
∴x﹣y＝﹣1或﹣7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
7．下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据无理数的概念判断即可．
【解答】解：0.020020002…，π是无理数，
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数的概念，无限不循环小数叫做无理数．
8．下列四个实数中，最小的是（ ）
A．﹣B．﹣5C．1D．4
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得
﹣5＜﹣＜1＜4，
所以四个实数中，最小的数是﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据立方根和算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、没有意义，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、＝＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、＝2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、＝﹣，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了立方根，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义正确进行计算．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[﹣+1]的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．1
【分析】先计算的大小，然后求得的范围，从而可求得[﹣+1]的值．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴[﹣+1]的值为﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算的范围是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．已知，则x的值为 ±4 ．
【分析】由已知可得x2＝16，再求x＝±4即可．
【解答】解：∵，
∴x2＝16，
∴x＝±4
故答案为±4．
【点评】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和化简，并能准确计算是解题的关键．
12．36的平方根是 ±6 ，81的算术平方根是 9 ．
【分析】利用平方根和算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：36的平方根是±6，81的算术平方根是9，
故答案为：±6；9
【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义．解题时注意正数的平方根有2个，算术平方根有1个．
13．计算 ﹣（﹣1）2＝ 4 ．
【分析】先分别根据数的开方法则、有理数乘方的法则求出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝5﹣1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
14．计算的结果是 3 ．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：＝＝3．
故答案为：3
【点评】此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
15．比较大小： ＞ ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】把2化成，再比较即可．
【解答】解：2＝，
即2＞，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较和二次根式性质的应用，题目比较好，难度不大．
16．若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是 10，12，14 ．
【分析】首先根据立方根平方根的定义分别求出2的立方，4的平方，然后就可以解决问题．
【解答】解：∵2的立方是8，4的平方是16，
所以符合题意的偶数是10，12，14．
故填：10，12，14．
【点评】此题主要考查了立方根的定义和性质，注意本题答案不唯一．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
17．一个数的立方根是4，这个数的平方根是 ±8 ．
【分析】根据立方根的定义可知，这个数为64，故这个数的平方根为±8．
【解答】解：设这个数为x，则根据题意可知＝4，解之得x＝64；
即64的平方根为±8．
故答案为±8．
【点评】本题综合考查的是平方根和立方根的计算，要求学生能够熟练掌握和应用．
18．若+|b﹣5|＝0，则a+b＝ 2 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵+|b﹣5|＝0，
∴a+3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝﹣3，b＝5，
∴a+b＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
三．解答题（共8小题）
19．求下列各式的值：
①
②±
③
④
【分析】依据算术平方根、平方根、立方根的定义解答即可．
【解答】解：①＝；
②±＝±0.6；
③＝﹣10
④＝＝．
【点评】本题主要考查的是算术平方根、平方根、立方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
20．求下列各式中未知数x的值
（1）16x2﹣25＝0
（2）（x﹣1）3＝8．
【分析】（1）先变形得到x2＝，然后利用平方根的定义求解；
（2）先根据立方根的定义得到x﹣1＝2，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）16x2﹣25＝0，
x2＝，
x＝±；
（2）（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝2，
x＝3．
【点评】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作．也考查了平方根．
21．﹣12﹣（﹣2）3×．
【分析】首先计算乘方，然后计算乘除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣12﹣（﹣2）3×
＝﹣1﹣（﹣8）×﹣3×+2÷2
＝﹣1+1﹣1+1
＝0
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
22．若，求3m+6n的立方根．
【分析】由于一个分式为0，只能分子为0，然后根据非负数的性质得到关于m、n的方程组，由此即可解得m、n，然后即可求3m+6n的立方根．
【解答】解：∵，
∴＝0，|m2﹣9|＝0，3﹣m≠0，
解得m＝﹣3，n＝6，
∴3m+6n的立方根为3．
【点评】本题主要考查二次根式的性质及立方根的定义等知识点，还考查了非负数的性质．
23．已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：+．
【分析】根据数轴得到a＜b＜0＜c，据此来化简二次根式，去绝对值．
【解答】解：如图所示：a＜b＜0＜c，则
+
＝|a|+a+b+|c﹣a+b|+c+b+b
＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c+b+b
＝4b+2c﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴．根据数轴求得a、b、c的取值范围是解题的关键．
24．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 5 ，边长是 ．
（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．
①请在4×4方格图内画出这个正方形．
②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示﹣的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了 A 的数学思想方法．
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
【分析】（1）依据正方形的面积即可得到正方形的边长；
（2）依据10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，即可得到该正方形，并在数轴上画出表示﹣的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了数形结合的数学思想方法．
【解答】解：（1）拼成的正方形的面积是5，边长是，
故答案为：5，；
（2）①10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，如图所示：
②表示﹣的点如图所示：
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了数形结合的数学思想方法．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的剪拼，正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
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