2024八年级数学上册第十五章分式新题特训试卷（附答案人教版）

这是一份2024八年级数学上册第十五章分式新题特训试卷（附答案人教版），共6页。

第15章 分式类型一　新考法1.（2024宁波模拟) 小文和小艺在做一道练习题：已知0b>0)，则糖水的浓度(即糖与糖水的质量比)为eq \f(b,a).实验1：加入m(m>0)克水，则糖水的浓度为eq \f(b,a＋m)，生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：eq \f(b,a)>eq \f(b,a＋m)，我们趣称为“糖水不等式”．(1)实验2：将“实验1”中的“加入m(m>0)克水”改为“加入m(m>0)克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：____________，并验证你写的不等式的正确性．(2)设a，b，c为△ABC三边的长，根据上述实验，求证：eq \f(c,a＋b)＋eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,a＋c)<2.7. (2024北京第一六一中学开学考) 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的eq \f(1,11)，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．(1)方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________；(2)方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________；(3)方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________．实验结论：(4)对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好(填“一”“二”或“三”)．推广证明：(5)将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留a(a>0)斤污水，现用m(m>0)斤清水漂洗(方案二中第一次用水量为x斤，其中x0.所以eq \f(a－b,b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋1)))<0，所以eq \f(a,b)－eq \f(a＋1,b＋1)<0，所以eq \f(a,b)<eq \f(a＋1,b＋1).2．解：(1)x＋2－eq \f(x（x＋4）,x＋2)＝eq \f(x2＋4x＋4,x＋2)－eq \f(x（x＋4）,x＋2)＝eq \f(x2＋4x＋4－x2－4x,x＋2)＝eq \f(4,x＋2).(2)－13．解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1＋50%)x元/件，根据题意，得eq \f(7 200,（1＋50%）x)－eq \f(3 200,x)＝40，解得x＝40.经检验，x＝40是原分式方程的解．∴乙商品的进价是40元/件，甲商品的进价是(1＋50%)×40＝60(元/件)，甲商品的进货数量为eq \f(7 200,（1＋50%）×40)＝120(件)，乙商品的进货数量为eq \f(3 200,40)＝80(件)．4．65．C　点拨：①a4＝eq \f(1＋a3,1－a3)＝eq \f(x－1,x＋1)，a5＝eq \f(1＋a4,1－a4)＝x，故①是错误的；②由题意知a1，a2，a3，a4，……是以x，eq \f(1＋x,1－x)，－eq \f(1,x)，eq \f(x－1,x＋1)为循环组依次循环的，∴a5＝a1，a6＝a2，a7＝a3，a8＝a4，∴eq \f(a5,a8)＝eq \f(x2＋x,x－1)，eq \f(a6,a7)＝eq \f(x2＋x,x－1)，∴eq \f(a5,a8)＝eq \f(a6,a7)，∴②是正确的；③当x＝2时，a1，a2，a3，a4，……是以2，－3，－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)为循环组依次循环，∵2 401÷4＝600……1，∴c2 401＝600×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－3－\f(1,2)＋\f(1,3)))＋2＝－698，故③是正确的；④易知b1，b2，b3，b4，……是以x，eq \f(x＋x2,1－x)，eq \f(1＋x,x－1)，1为循环组依次循环，∵b4n＋3(c4n－c4n＋1)＝b3(－c1)＝eq \f(x2＋x,1－x)，b4n＋2＝b2＝eq \f(x＋x2,1－x)，∴b4n＋3(c4n－c4n＋1)＝b4n＋2，故④是正确的．故选C.6．(1)解：eq \f(b,a)<eq \f(b＋m,a＋m)　证明如下：由题意得：加入m(m>0)克糖后，糖水的浓度为eq \f(b＋m,a＋m)，∴eq \f(b＋m,a＋m)－eq \f(b,a)＝eq \f(a（b＋m）－b（a＋m）,a（a＋m）)＝eq \f(m（a－b）,a（a＋m）).∵a>b>0，m>0，∴a－b>0，a＋m>0.∴eq \f(m（a－b）,a（a＋m）)>0，∴eq \f(b＋m,a＋m)－eq \f(b,a)>0，∴eq \f(b,a)<eq \f(b＋m,a＋m).(2)证明：在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，且a>0，b>0，c>0，∴eq \f(a,b＋c)<1，eq \f(b,a＋c)<1，eq \f(b,c＋a)<1.由“糖水不等式”得eq \f(a,b＋c)<eq \f(a＋a,b＋c＋a)，eq \f(b,c＋a)<eq \f(b＋b,c＋a＋b)，eq \f(c,b＋a)<eq \f(c＋c,a＋b＋c)，∴eq \f(c,a＋b)＋eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,a＋c)<eq \f(c＋c,a＋b＋c)＋eq \f(a＋a,b＋c＋a)＋eq \f(b＋b,b＋c＋a).∴eq \f(c,a＋b)＋eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,a＋c)<2.7．解：(1)eq \f(1,21)(2)eq \f(1,117)(3)eq \f(1,121)(4)三(5)方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的eq \f(a,a＋x)×eq \f(a,a＋m－x)＝eq \f(a2,（a＋x）（a＋m－x）).方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的eq \f(a,a＋\f(1,2)m)×eq \f(a,a＋\f(1,2)m)＝eq \f(4a2,（2a＋m）2).方案三比方案二漂洗效果好．证明如下：∵eq \f(a2,（a＋x）（a＋m－x）)－eq \f(4a2,（2a＋m）2)＝eq \f(a2[（2a＋m）2－4（a＋x）（a＋m－x）],（a＋x）（a＋m－x）（2a＋m）2)＝eq \f(a2（m－2x）2,（a＋x）（a＋m－x）（2a＋m）2)，当x≠eq \f(1,2)m时，eq \f(a2,（a＋x）（a＋m－x）)－eq \f(4a2,（2a＋m）2)>0，∴方案三比方案二漂洗效果好．商品进价(元/件)数量(件)总金额(元)甲7 200乙3 200