北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题4.1比例线段【九大题型】专题特训(原卷版+解析)

这是一份北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题4.1比例线段【九大题型】专题特训(原卷版+解析)，共33页。

专题4.1 比例线段【九大题型】【北师大版】 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31938" 【题型1 成比例线段的概念辨析】  PAGEREF _Toc31938 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19557" 【题型2 成比例线段与比例尺的结合】  PAGEREF _Toc19557 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc3877" 【题型3 成比例线段的实际应用】  PAGEREF _Toc3877 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26333" 【题型4 利用比例的性质求字母的值】  PAGEREF _Toc26333 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc8449" 【题型5 利用比例的性质求代数式的值】  PAGEREF _Toc8449 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2846" 【题型6 利用比例的性质进行证明】  PAGEREF _Toc2846 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc11736" 【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】  PAGEREF _Toc11736 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc25194" 【题型8 黄金分割的概念辨析】  PAGEREF _Toc25194 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc28318" 【题型9 黄金分割的实际应用】  PAGEREF _Toc28318 \h 7【知识点1 成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 成比例线段的概念辨析】【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且a+2b=28．(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为 .【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（    ）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【题型2 成比例线段与比例尺的结合】【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米．【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是1：1000000，那么这两地间的实际距离是（　　）A．1350千米 B．135千米 C．13.5千米 D．1.35千米【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为 【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是 厘米．【题型3 成比例线段的实际应用】【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（　　）A．文学社增加，篮球社不变 B．文学社不变，篮球社不变C．文学社增加，篮球社减少 D．文学社不变，篮球社减少【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（    ）mA．−1−5 B．−1±5 C．5+1 D．5−1【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB−CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长.【知识点2 比例的性质】【题型4 利用比例的性质求字母的值】【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，则k的值为 ．【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知x3=y5=z6，且3y=2z+6，求x，y的值．【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知y+zx=x+zy=x+yz=k，则k2= ．【题型5 利用比例的性质求代数式的值】【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若a+bc=b+ca=c+ab，则(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为 ．【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若ab=cd=ef=13，则3a−2c+e3b−2d+f的值为（    ）A．13 B．1 C．1.5 D．3【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A=ab+c，B=ba+c，C=ca+b，下列结论：①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B=23；②若A=B=C，则A+B+C=32；③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则1A+1B+1C=−2019；④若aBC，C1是线段AC的黄金分割点C1AC1>C1C，C2是线段AC1的黄金分割点，以此类推，则ACm= ．【题型9 黄金分割的实际应用】【例9】（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．（结果保留根号）【变式9-2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）  【变式9-3】（2023春·甘肃白银·九年级校考期末）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，则主持人站在离A点 处最自然得体．（结果精确到0.1m）专题4.1 比例线段【九大题型】【北师大版】 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27329" 【题型1 成比例线段的概念辨析】  PAGEREF _Toc27329 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc31846" 【题型2 成比例线段与比例尺的结合】  PAGEREF _Toc31846 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8347" 【题型3 成比例线段的实际应用】  PAGEREF _Toc8347 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc24512" 【题型4 利用比例的性质求字母的值】  PAGEREF _Toc24512 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc14710" 【题型5 利用比例的性质求代数式的值】  PAGEREF _Toc14710 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc22422" 【题型6 利用比例的性质进行证明】  PAGEREF _Toc22422 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc26973" 【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】  PAGEREF _Toc26973 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc26050" 【题型8 黄金分割的概念辨析】  PAGEREF _Toc26050 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc14553" 【题型9 黄金分割的实际应用】  PAGEREF _Toc14553 \h 22【知识点1 成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 成比例线段的概念辨析】【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且a+2b=28．(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】(1)a=14,b=7(2)72【分析】（1）根据ab=2可得a=2b，再代入a+2b=28计算即可得；（2）根据比例中项的定义求解即可得．【详解】（1）解：∵ab=2，∴a=2b，∵a+2b=28，∴2b+2b=28，解得b=7，则a=2×7=14．（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2=ab，即x2=14×7，解得x=72或x=−72<0（不符合题意，舍去），则x的值为72．【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为 .【答案】3【分析】根据题意得x:2=6:(x+1)，根据比例的基本性质即可求解．【详解】解：根据题意得x:2=6:(x+1)，即x(x+1)=2×6，解得x1=3，x2=−4（负值舍去）．故答案为：3．【点睛】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．【答案】(1)a=9，b=12，c=15；(2)x=63【分析】（1）设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；（2）由题意可直接得出9x=x12，解出x的值（舍去负值）即可．【详解】（1）由题意可设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，∵a+b+c=36，∴3k+4k+5k=36，解得：k=3，∴a=9，b=12，c=15；（2）∵ax=xb，∴9x=x12，整理，得：x2=108，解得：x=63（舍去负值）．【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（    ）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【答案】C【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得bc=ab，又由a:b=10:15，即可求得答案．【详解】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，∴bc=ab∵a:b=10:15，∴bc=ab=1015=23，故选：C．【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．【题型2 成比例线段与比例尺的结合】【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米．【答案】900【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根据“比例尺是1：90000000”，又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案．【详解】解：甲乙两地的实际距离：2÷190000000=180000000cm，180000000cm=1800（千米），1800÷2=900（千米）；答：这架飞机每小时行900千米．故答案为：900．【点睛】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键．【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是1：1000000，那么这两地间的实际距离是（　　）A．1350千米 B．135千米 C．13.5千米 D．1.35千米【答案】B【分析】根据比例尺定义代入计算，最后化单位即可得到答案；【详解】解：由题意可得，实际距离为：13.5×1000000=13500000（厘米），∴13500000（厘米）=135（千米），故选B．【点睛】本题考查比例尺的运用，解题的关键是熟练掌握比例尺的定义及注意单位化简．【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为 【答案】1：50000【分析】根据比例尺的定义，用图上距离比实际距离即可．【详解】4.8：240000=1：50000，即这张平面地图的比例尺为1：50000．故答案为1：50000．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．解决本题的关键是记住比例尺的定义．【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是 厘米．【答案】6【分析】根据比例尺的定义，可得实际距离×比例尺=图上距离，依此列式计算即可．【详解】相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是2400000×1400000=6(厘米)．故答案为:6．【点睛】本题考查了比例线段，比例尺的定义，掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键，注意单位之间的换算问题．【题型3 成比例线段的实际应用】【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（　　）A．文学社增加，篮球社不变B．文学社不变，篮球社不变C．文学社增加，篮球社减少D．文学社不变，篮球社减少【答案】A【分析】设该班上、下学期的学生人数都为x人，然后按照该班学生上、下学期各社团的人数比例计算出该班上、下学期的文学社的学生人数，上、下学期的篮球社的学生人数，再比较大小即可．【详解】解：设该班上、下学期的学生人数都为x人，则该班上学期的文学社的学生人数＝33+4+5x＝14x，上学期的篮球社的学生人数＝43+4+5x＝13x；该班下学期的文学社的学生人数＝44+3+2x＝49x，下学期的篮球社的学生人数＝34+3+2x＝13x；故上学期、下学期文学社团的学生人数增加了，篮球社团的学生人数不变．故选：A．【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？【答案】45cm【分析】根据题意知道，一本书的厚度一定，书叠起的高度与书的本数成正比例，由此列比例解答．【详解】解：设书的高度是x厘米，25：10 = x：18x= 45所以，书的高度是45cm．【点睛】解答此题的关键是，先判断出哪两种相关联的量成何比例，再列出比例解答即可．【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（    ）mA．−1−5 B．−1±5 C．5+1 D．5−1【答案】D【分析】设下部高为xm，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【详解】解：设下部的高度为xm，则上部高度是2−xm，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴2−xx=x2，解得x=5−1或x=−5−1（舍去），经检验，x=5−1是原方程的解，∴x=5−1，故选：D．【点睛】本题考查比例的性质及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB−CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长.【答案】AE的长为1或4或52.【分析】根据题意设未知数，分AEAB=EFDE和AEAB=DEEF两种情况进行讨论，求解即可.【详解】解：设AE=x(0a+c>a+b，即可判断；【详解】解：①a:b:c=1:1:2，设a=t,b=t,c=2t，∴A=tt+2t=t3t=13,B=tt+2t=13,C=2tt+t=1，即A×C+B=13×1+13=23，故①正确；②∵A=B=C，∴A=ab+c=ba+c=ca+b，若a+b+c=0，即b=c=−a，则A=a−a=−1，若a+b+c≠0，则A=a+b+cb+c+a+c+a+b=12，即A的值为−1或12，故②不正确；③当a=c=2时，A=2b+2，B=b2+2=b4，C=22+b，∴1A+1B+1C=2+b2+2+b2+4b=4+2b2+4c=2+b+4b，∵b是方程x2+2023x+4=0的一个实根，∴b2+2023b+4=0，∴b+4b=−2023，∴1A+1B+1C=2−2023=−2021，故③不正确；④∵a，b，c为正整数，且aa+c>a+b，∴ABC，ADBC，C1是线段AC的黄金分割点C1AC1>C1C，C2是线段AC1的黄金分割点，以此类推，则ACm= ．【答案】5−12m+1【分析】先按照黄金分割比例依次计算出AC、AC1、AC2，然后按照规律即可得到ACm．【详解】解：设AC=a，BC=BA−AC=1−a，∵点C是线段AB的黄金分割点AC>BC，∴ BCAC=ACAB，即1−aa=a1，整理得a2+a−1=0，解得a=5−12或a=−5−12（舍去），∴ACAB=5−12，AC=5−12，∵ C1是线段AC的黄金分割点C1AC1>C1C，∴ AC1AC=5−12，AC1=5−122，∵ C2是线段AC1的黄金分割点，∴ AC2AC1=5−12，AC2=5−123，∵ AC=5−12、AC1=5−122、AC2=5−123，∴以此类推，ACm=5−12m+1，故答案为：5−12m+1．【点睛】本题考查了黄金分割、规律探究表达，求出黄金分割比，并按照规律表示出ACm是解题关键．【题型9 黄金分割的实际应用】【例9】（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．【答案】4.8【分析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，根据黄金分割的定义，列出方程直接求解即可．【详解】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则102+x168+x=0.618， 解得：x≈4.8cm．经检验知x≈4.8是原方程的解，答：她应该选择穿4.8cm的高跟鞋看起来更美．故答案为4.8．【点睛】此题主要考查了黄金分割，据题黄金分割的定义列出方程是本题的关键．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．（结果保留根号）【答案】55-5【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP＝5-12AB＝5-12×10＝55﹣5（cm），故答案为：55﹣5．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．【变式9-2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）  【答案】4.3cm【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为5−12列式计算即可．【详解】解：设蝴蝶身体的长度为xcm，由题意得：x7＝5−12，解得：x＝7(5−1)2≈4.3，故答案为：4.3cm．【点睛】本题考查了黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为5−12是解题的关键．【变式9-3】（2023春·甘肃白银·九年级校考期末）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，则主持人站在离A点 处最自然得体．（结果精确到0.1m）【答案】12.4m或7.6m【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置分两种情况讨论：①黄金分割点离A近；②黄金分割点离B近，由黄金分割比列式求解即可得到答案．【详解】解：由题意可知，分两种情况，作图求解：当①黄金分割点离A近，如图所示：∵ AB=20m，∴由黄金分割比可知ACBC=BCAB，设AC=xm，则BC=20−xm，代入得到x20−x=20−x20，解得x=30±105，∴AC=30−105≈7.6m，AC=30+105>20（舍弃）；②黄金分割点离B近，如图所示：∵ AB=20m，∴由黄金分割比可知BCAC=ACAB，设AC=ym，则BC=20−ym，代入得到20−yy=y20，解得x=−10±105，∴AC=−10+105≈12.4m，AC=−10−105<0（舍弃）；综上所述，主持人站在离A点12.4m或7.6m处最自然得体，故答案为：12.4m或7.6m．【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．文学社篮球社动漫社上学期345下学期432比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.文学社篮球社动漫社上学期345下学期432比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.