北师版九上数学第一章 特殊平行四边形 回顾与思考 课件

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第一章　特殊平行四边形回顾与思考数学 九年级上册 BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1要点回顾1. 菱形的性质.（1）边：菱形的四条边 ⁠.（2）对角线：菱形的对角线互相 ，并且平分每一组 ⁠.（3）对称性：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴；②菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.相等　垂直　对角　2. 菱形的判定.（1）定义法：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.（2）对角线互相 的平行四边形是菱形.（3）四条边 的四边形是菱形.3. 矩形的性质.（1）角：矩形的四个角都是 ⁠.（2）对角线：矩形的对角线 ，且互相 ⁠.（3）对称性：①矩形是轴对称图形，有两条对称轴；②矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.相等　垂直　相等　直角　相等　平分　4. 矩形的判定.（1）定义法：有一个角是 的平行四边形叫做矩形.（2）对角线 的平行四边形是矩形.（3）有三个角都是 的四边形是矩形.5. 正方形的性质.（1）角：正方形的四个角都是 ⁠.（2）边：正方形的四条边 ⁠.（3）对角线：正方形的对角线 ⁠.直角　相等　直角　直角　相等　相等且互相垂直平分　（4）对称性：①正方形是轴对称图形，有四条对称轴；②正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.6. 正方形的判定.（1）定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（2）有一组邻边相等的 是正方形.（3）对角线互相 的矩形是正方形.（4）有一个角是 的菱形是正方形.（5）对角线 的菱形是正方形.矩形　垂直　直角　相等　7. 特殊平行四边形的面积公式.  S矩形＝ ab （其中 a ， b 分别是矩形的 ⁠）； 8. 直角三角形斜边中线定理.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ⁠.两条对角线长　长与宽　边长　对角线长　一半　数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练要点一　菱形的性质与判定 如图，在▱ ABCD 中， DB ＝ DA ，点 F 是 AB 的中点，连接 DF 并延长，交 CB 的延长线于点 E ，连接 AE ， CF .  【思路导航】（1）先证得△ AFD ≌△ BFE ，推出 AD ＝ BE ，得到四边形 AEBD 是平行四边形，再根据 DB ＝ DA 可得结论；（2）先证得∠ EDC ＝90°，再利用勾股定理求出 DE 的长，进而可求出 CF 的长.   【点拨】熟练掌握平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键，求线段长度常用勾股定理来解决，这些都属于中考常考题型. 如图，已知四边形 ABCD 是菱形，点 H 为对角线 AC 的中点，点 E 在 AB 的延长线上， CE ⊥ AB ，垂足为 E ，点 F 在 AD 的延长线上， CF ⊥ AD ，垂足为 F . （1）若∠ BAD ＝60°，求证：四边形 CEHF 是菱形； （2）若 CE ＝4，△ ACE 的面积为16，求菱形 ABCD 的面积. 要点二　矩形的性质与判定 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD ∥ BC ，∠ ABC ＝∠ ADC ，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， OA ＝ OB ， DE 平分∠ ADC 交 BC 于点 E ，连接 OE . （1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若 AB ＝1，求△ OEC 的面积.  （2）解：作 OF ⊥ BC 于点 F ，如图所示.∵四边形 ABCD 是矩形，∴ CD ＝ AB ＝1，∠ BCD ＝90°， OA ＝ CO ， OB ＝ DO ， AC ＝ BD . ∴ OA ＝ OB ＝ CO ＝ DO . ∴ BF ＝ FC .  ∵ DE 平分∠ ADC ，∠ ADC ＝90°，∴∠ EDC ＝45°.在Rt△ EDC 中， EC ＝ CD ＝1， 【点拨】本题考查矩形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练运用矩形的判定与性质，属于常考题型. 1. 如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 G 为点 C 的对应点.（1）若∠ AEB ＝40°，则∠ BFE 的度数为 ⁠； 70°　（2）若 AB ＝6， AD ＝18，则 CF 的长为 ⁠.【解析】（2）设 BE ＝ x ，则 DE ＝ BE ＝ x .∴ AE ＝ AD － DE ＝18－ x .在Rt△ ABE 中， AB2＋ AE2＝ BE2，则62＋（18－ x ）2＝ x2.解得 x ＝10.∴ BE 的长为10.∵ AD ∥ BC ，∴∠ DEF ＝∠ BFE . ∵∠ BEF ＝∠ DEF ，∴∠ BEF ＝∠ BFE . ∴ BF ＝ BE ＝10.∴ CF ＝ BC － BF ＝18－10＝8.故答案为8.8　 ①③④⑥　【解析】∵四边形 ABCD 为矩形，∴ AC ＝ BD . ①正确. AC 不一定与 BD 垂直.②不正确.∵ AC ＝ BD ， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，∴ OA ＝ OB . ∴△ AOB 为等腰三角形.③正确.∵四边形 ABCD 为矩形，∴ OB ＝ OD . ∴ S△ ABO ＝ S△ ADO . ④正确.∵四边形 ABCD 为矩形，∴ BD 不一定平分∠ ABC . ∴∠ ABD 不一定为45°.⑤不正确.∵四边形 ABCD 为矩形，∴当 AB ＝ AD 时，矩形 ABCD 为正方形.⑥正确.故答案为①③④⑥.要点三　正方形的性质与判定 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，先把△ ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转90°至△ DBE 后，再把△ ABC 沿射线 BE 平移至△ FEG ， DE 与 FG 相交于点 H . （1）试判断线段 DE 与 FG 的位置关系，并说明理由；（2）连接 CG ，求证：四边形 CBEG 是正方形.【思路导航】（1）由旋转及平移的性质可得到∠ DEB ＋∠ GFE ＝90°，进而得出结论；（2）由旋转和平移的性质可得 BE ＝ CB ＝ CG ＝ GE ，∠ CBE ＝90°，从而可证明四边形 CBEG 是正方形.（1）解： FG ⊥ DE . 理由如下：∵△ ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转90°至△ DBE ，∴∠ DEB ＝∠ ACB . ∵△ ABC 沿射线 BE 平移至△ FEG ，∴∠ GFE ＝∠ A . ∵∠ ABC ＝90°，∴∠ A ＋∠ ACB ＝90°.∴∠ DEB ＋∠ GFE ＝90°.∴∠ FHE ＝90°.∴ FG ⊥ DE . （2）证明：根据旋转和平移，可得∠ GEF ＝90°，∠ CBE ＝90°， CG ＝ BE ， CB ＝ BE ， CB ＝ GE ，∴ CG ＝ BE ＝ CB ＝ GE . ∴四边形 CBEG 为菱形.又∵∠ CBE ＝90°，∴菱形 CBEG 是正方形.【点拨】掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移前后，对应角、对应边都相等. 如图，在矩形 ABCD 中，已知∠ BAD 的平分线交 BC 于点 E ， EF ⊥ AD 于点 F ， DG ⊥ AE 于点 G ， DG 与 EF 交于点 O . （1）求证：四边形 ABEF 是正方形；（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BAF ＝∠ ABE ＝90°.∵ EF ⊥ AD ，∴∠ EFA ＝90°.∴四边形 ABEF 是矩形.∵ AE 平分∠ BAD ，∴ EF ＝ EB . ∴矩形 ABEF 是正方形.（2）若 AD ＝ AE ，求证： AB ＝ AG ； （3）在（2）的条件下，已知 AB ＝1，求 OF 的长. 要点四　直角三角形斜边中线定理 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ DAB ＝∠ DCB ＝90°，点 E ， F 分别是 BD ， AC 的中点.若 AC ＝6， BD ＝10，则 EF 的长为 ⁠.4　【思路导航】连接 AE ， CE . 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可证明 AE ＝ CE ，进而可证明△ AEC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出 EF 的长. 【点拨】当存在直角三角形斜边上的中点时，构造斜边上的中线是第一思路.此题属于共斜边两直角三角形问题. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， DH ⊥ AB 于点 H ，连接 OH . 若 OH ＝2，菱形的面积为24，则 AO 的长为 ⁠.6　 演示完毕 谢谢观看