华东师大版（2024）九年级下册26.1 二次函数课堂检测

这是一份华东师大版（2024）九年级下册26.1 二次函数课堂检测，共26页。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标．
2．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点E．点A绕直线l上一点P逆时针旋转90°，与点C重合．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）在抛物线图象上是否存在一点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形的面积与△ABC面积相等．若存在，请直接写出点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求出点E的坐标；
（3）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是线段BC上的一个动点，平行于y轴的直线EF交抛物线于点F，求△FBC面积的最大值；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线表达式；
（2）若点M是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BM、CM，求△BCM面积最大时点M的坐标；
（3）若点D是x轴上的动点，点E是抛物线上的动点，是否存在以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
7．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点纵坐标为﹣2．点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当﹣1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1．
①求m的取值范围．
②以PC为边作等腰直角三角形PCQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点P的坐标．
8．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点D，与直线BC交于点F，交x轴交于点E．当DF取得最大值时，求m的值和DF的最大值；
（3）若抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及D点坐标
（2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值
（3）点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的函数表达式为y＝ax﹣2a（a≠0，a为常数），点A、B分别在y轴和x轴上，且OA＝2OB，点A关于x轴的对称点为C，点B关于y轴的对称点为D，以点C为顶点的抛物线经过点D．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上有一点P，且以点D、O、P为顶点的三角形与△AOB相似，求出所有满足条件的点P的坐标．
11．数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象和性质进行了研究，探究过程如下．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下．
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请补全函数图象的剩余部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点；
②方程|x2﹣x﹣2|＝1有 个实数根；
③当关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝p有3个实数根时，p的值是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣2x﹣3在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M．
（1）若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值．
（2）若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围．
二次函数综合训练
参考答案与试题解析
一．解答题
1．已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，3），
∴，
解得b＝2，c＝3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，
对称轴为，
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（1，0），
如图所示，
连接AB与对称轴x＝﹣1的交点即为P点，
∵点C与点A关于直线x＝﹣1对称，
∴PB+PC＝PB+PA＝AB最小．
∵BC的长是个定值，
∴△PBC的周长最小，
设直线AB的解析式为y＝kx+n，
由点A（﹣3，0）和点B（0，3）可得：，
解得k＝1，n＝3，
∴直线AB解析式为y＝x+3；
当x＝﹣1时，y＝2，
∴P点坐标为（﹣1，2）．
2．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点E．点A绕直线l上一点P逆时针旋转90°，与点C重合．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）在抛物线图象上是否存在一点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形的面积与△ABC面积相等．若存在，请直接写出点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），
∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣4）＝x2﹣x﹣4；
（2）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），
∴对称轴l的表达式为：x＝1，
∴E（1，0），AE＝3；
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，﹣4）；
如图，连接AP，CP，过点C作CF⊥l于点F，
∴∠AEP＝∠CFD＝90°，CF＝1，EF＝4，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
由旋转可知，∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠EDA+∠CDF＝90°，
∴∠EAD＝∠CDF，
∴△AEP≌△PFC（AAS），
∴AE＝PF＝3，EP＝CF＝1，
∴P（1，﹣1）；
（3）在抛物线图象上存在一点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形的面积与△ABC面积相等；
若以点A、B、Q为顶点的三角形的面积与△ABC面积相等，
则△ABQ的高与OC的长度相等．
分两种情况：
当y＝4时，x2﹣x﹣4＝4，
解得：x＝1+或1﹣，
此时，Q点坐标为（1+，4）或（1﹣，4）；
当y＝﹣4时，x2﹣x﹣4＝﹣4，
解得：x＝0或2，
此时Q点坐标为（2，﹣4），
综上，在抛物线图象上存在一点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形的面积与△ABC面积相等；Q点坐标为（1+，4）或（1﹣，4）或（2，﹣4）．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求出点E的坐标；
（3）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将点B（﹣3，0），C（0，3）的坐标代入抛物线解析式得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A、B关于直线l对称，
∴BC与对称轴l的交点即为点E，如图，
则此时AE+CE＝BE+CE＝BC为最小，
设直线y＝mx+n经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+3；
当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，
∴点E（﹣1，2）；
（3）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴，
当B为顶角的顶点时，
则，
∴点P的坐标为或；
当C为顶角的顶点时，
则PC＝BC，
∴点P与点B关于y轴对称，
∴点P的坐标为（3，0）；
当BC为底边时，
则PC＝PB，即点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P的坐标为（0，0）；
综上，点P的坐标为（0，0）或（3，0）或或．
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是线段BC上的一个动点，平行于y轴的直线EF交抛物线于点F，求△FBC面积的最大值；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
设F（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，x﹣3），
∴EF＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴，
当时，△FBC的面积有最大值．
（3）存在，理由如下：∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝|3﹣（﹣1）|＝4，设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）．
∵S△PAB＝6，
∴，
即t2﹣2t﹣3＝3或t2﹣2t﹣3＝﹣3，
解得：，，t3＝0，t4＝2，
∵存在满足S△PAB＝6的点P，点P的坐标为或或（0，﹣3）或（2，﹣3）．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线表达式；
（2）若点M是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BM、CM，求△BCM面积最大时点M的坐标；
（3）若点D是x轴上的动点，点E是抛物线上的动点，是否存在以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点M作MH∥y轴交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点H（x，x﹣3），则点M（x，x2﹣2x﹣3），
则△BCM面积＝HM×OB＝（x﹣3﹣x2+2x+3）×3＝（﹣x2+3x），
∵﹣＜0，故△BCM面积有最大值，
此时点M的坐标为：（，﹣）；
（3）存在，理由：
设点D（x，0）、点E（m，m2﹣2m﹣3），
当AC为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：（不合题意的值已舍去），
则点D（﹣3，0）；
当AD或AE为对角线时，同理可得：
或，
解得：或，
则点D的坐标为：（2，0）或（2﹣，0）或（1，0）；
综上，点D的坐标为：（﹣3，0）或（2，0）或（2﹣，0）或（1，0）．
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由点BC的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x+3，由y＝﹣x2﹣2x+3得抛物线的对称轴为x＝﹣1，
设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2，
∴18+4+t2＝t2﹣6t+10，
解得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2，
∴18+t2﹣6t+10＝4+t2，
解得：t＝4；
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2，
∴4+t2+t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝；
综上所述，P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
7．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点纵坐标为﹣2．点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当﹣1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1．
①求m的取值范围．
②以PC为边作等腰直角三角形PCQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝y＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a﹣1），
∵抛物线顶点纵坐标为﹣2，
∴﹣a﹣1＝﹣2，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．
（2）n的取值范围是﹣2≤n≤2，
理由：∵P（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣1上，
∴n＝m2﹣2m﹣1，
当m＝﹣1时，n＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣1＝2，
当m＝2时，n＝22﹣2×2﹣1＝﹣1，
由（1）得抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∴当点P与抛物线的顶点重合时，则n＝﹣2，
∴当﹣1≤m≤2时，n的最小值和最大值分别为﹣2和蔼，
∴n的取值范围是﹣2≤n≤2．
（3）①当点P（m，n）到x轴的距离为1时，时n＝1或n＝﹣1，
当n＝1时，则m2﹣2m﹣1＝1，
解得m1＝1﹣，m2＝1+；
当n＝﹣1时，则m2﹣2m﹣1＝﹣1，
解得m1＝0，m2＝2，
如图1，点E（1﹣，1）、F（1+，1）、G（2，﹣1）、C（0，﹣1）到x轴的距离均为1，
∵抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，
∴m的取值范围是2≤m＜1+．
②点P的坐标为（2，﹣1）或（1+，0）或（，）．
理由：由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图2，作点C（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点P，则P（2，﹣1），设直线x＝2交x轴于点Q，连结CQ、PQ，
∵∠COQ＝90°，Q（1，0），
∴OC＝OQ＝1，
∴PQ＝CQ＝＝，
∵PQ＝2，
∴PQ2+CQ2＝PQ2＝4，
∴△PCQ是等腰直角三角形，且点Q在此抛物线的对称轴上，此时P（2，﹣1）；
如图3，点P为抛物线与x轴的交点，作CQ⊥CP交直线x＝1于点Q，连结PQ，作QR⊥y轴于点R，
∵∠POC＝∠CRQ＝∠PCQ＝90°，
∴∠OCP＝∠CRQ＝90°﹣∠RCQ，
∵OC＝RQ＝1，
∴△POC≌△CRQ（ASA），
∴△PCQ是等腰直角三角形，
当n＝0时，则m2﹣2m﹣1＝0，
解得m1＝1+，m2＝1﹣（不符合题意，舍去），
∴点P的坐标为（1+，0）；
如图4，等腰直角三角形PCQ，点Q在直线x＝1上，且∠CPQ＝90°，
∴PQ＝PC，
作PH⊥x轴，作CH⊥PH于点H，QL⊥PH于点L，
∵∠L＝∠H＝∠CPQ＝90°，
∴∠PQL＝∠CPH＝90°﹣∠QPL，
∴△PQL≌△CPH（AAS），
∴QL＝PH，
∵P（m，m2﹣2m﹣1），H（m，﹣1），
∴PH＝m2﹣2m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m，
∴QL＝m﹣1，
∴m﹣1＝m2﹣2m，
解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴P（，），
综上所述，点P的坐标为（2，﹣1）或（1+，0）或（，）．
8．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点D，与直线BC交于点F，交x轴交于点E．当DF取得最大值时，求m的值和DF的最大值；
（3）若抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
∵A（1，0），B（﹣5，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x+5），
∴y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵y＝﹣x2﹣4x+5与y轴交于点C，
∴C（0，5），
设直线BC为y＝kx+5（k≠0），
将B（﹣5，0）代入得﹣5k+5＝0，
解得k＝1．
∴直线BC的解析式为y＝x+5．
由已知得D（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），
∴DF＝﹣m2﹣4m+5﹣（m+5）＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴抛物线y＝﹣x2﹣4x+5开口向下．
∴当m＝﹣时，DF的最大值为；
（3）∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线顶点P（﹣2，9），对称轴为直线x＝﹣2，
设Q（﹣2，n），
∵C（0，5）．
∴PQ＝，
PC＝＝2，
QC＝，
①当CQ为菱形的对角线，PQ＝PC时，
＝2，
解得n＝9±2，
∴Q（﹣2，9+2）或（﹣2，9﹣2），
∴点R的坐标为（0，5+2）或（0，5﹣2）；
②当PQ为菱形的对角线，QC＝PC时，
＝2，
解得n＝1或9（舍去），
∴Q（﹣2，1），
∴点R的坐标为（﹣4，5）；
③当CP为菱形的对角线，PQ＝QC时，
＝，
解得n＝，
∴Q（﹣2，），
∴点R的坐标为（0，）；
综上，点R的坐标为（0，5+2）或（0，5﹣2）或（﹣4，5）或（0，）．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及D点坐标
（2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值
（3）点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+，自变量x为全体实数；
当x＝2时，y＝﹣×22+2×2+＝，
∴D（2，）；
（2）∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+．
设，且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，﹣x+），
∴EF＝﹣x2+2x+﹣（x+）＝﹣x（x﹣5），
∴S△BCE＝（xB﹣xC）•EF＝[﹣x（x﹣5）]＝﹣x（x﹣5），
当x＝时，S△BCE有最大值为；
（3）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：22+（﹣y）2+32+y2＝52+（）2，
解得y＝4或y＝﹣，
∴n＝﹣或n＝4，
∴Q（3，﹣）或Q（3，4），
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：52+（）2+22+（﹣y）2＝32+y2，
解得y＝，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：52+（）2+m2+（﹣n）2＝（5﹣m）2+n2，
解得n＝﹣，
∴Q（﹣3，﹣），
综上，点Q的坐标为（3，﹣）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的函数表达式为y＝ax﹣2a（a≠0，a为常数），点A、B分别在y轴和x轴上，且OA＝2OB，点A关于x轴的对称点为C，点B关于y轴的对称点为D，以点C为顶点的抛物线经过点D．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上有一点P，且以点D、O、P为顶点的三角形与△AOB相似，求出所有满足条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）在 y＝ax﹣2a中，令y＝0得：ax﹣2a＝0，
解得 x＝2，
∴B（2，0），
∴OB＝2，
∵OA＝2OB，
∴OA＝4，
∴A（0，4）；
（2）∵点A关于x轴的对称点为C，点B关于y轴的对称点为D，
由（1）知A（0，4），B（2，0），
∴C（0，﹣4），D（﹣2，0），
由以点C为顶点的抛物线经过点D，设抛物线的解析式为y＝mx2﹣4，
将点D（﹣2，0）代入得：0＝m•（﹣2）2﹣4，
解得m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4；
（3）如图：
∵点P在抛物线 y＝x2﹣4 的对称轴上，即在y轴上，
∴∠DOP＝90°，
∵∠AOB＝90°，，
∴要使以点D、O、P为顶点的三角形与△AOB相似，只需 ＝2或＝2，
设点P的坐标为（0，m），
①当＝2时，△POD∽△AOB，
∴|m|＝2OD＝2×2＝4，
∴m＝±4，
∴P1（0，4），P2（0，﹣4）；
②当＝2时，△DOP∽△AOB，
∴|m|＝OD＝×2＝1，
∴m＝±1，
∴P3（0，1），P4（0，﹣1），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，4）或 （0，﹣4）或（0，1）或（0，﹣1）．
11．数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象和性质进行了研究，探究过程如下．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下．
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请补全函数图象的剩余部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 2 个交点；
②方程|x2﹣x﹣2|＝1有 4 个实数根；
③当关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝p有3个实数根时，p的值是 ．
【解答】解：（1）将x＝﹣2，y＝m代入y＝|x2﹣x﹣2|中，得m＝，
将x＝1，y＝n代入y＝|x2﹣x﹣2|中，得n＝，
故答案为：；；
（2）用光滑的曲线连接得，
（3）由函数图象可知，y＝|x2﹣x﹣2|的最小值为0；
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
（4）①由函数图象可知，函数图象与x轴有两个交点，
故答案为2；
②如图，直线y＝1与函数图象有4个交点，
∴方程|x2﹣x﹣2|＝1有4个实数根，
故答案为：4；
③当x＝1时，y＝|x2﹣x﹣2|＝，
如图，直线y＝与函数图象有3个交点，
∴当关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝p有3个实数根时，p＝，
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣2x﹣3在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M．
（1）若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值．
（2）若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围．
【解答】解：（1）如图，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
当直线经过点B（3，0）时，+n＝0，解得n＝﹣；
当直线与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有唯一公共点时，方程x2﹣2x﹣3＝x+n有相等的实数解，解得n＝﹣，
所以当直线与图象M恰好有3个交点时，n＝﹣或n＝﹣．
（2）当直线经过点A（﹣1，0）时，﹣+n＝0，解得n＝，
观察图象，若直线与图象M恰好有2个交点时，n的取值范围为﹣＜n＜或n＜﹣．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
8
m
0
2
n
2
0
8
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
8
m
0
2
n
2
0
8
…