华师大版九年级下册26.1 二次函数精品导学案

第26章  二次函数

26.1  二次函数

学习目标：

1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）

2.会利用二次函数的概念解决相关问题.

3.能从实际问题中抽象出二次函数模型.（难点）

自主学习

一、知识链接

1.（1）若在一个变化过程中有两个变量x 和y，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的_________，x 叫做______________.

（2）形如y=_____________(______≠0)的函数是一次函数，当b= 0 时，它是_______________函数；形如y=_____________(______≠0)的函数是反比例函数.

2.用含a的代数式填空：

（1）矩形ABCD的宽为a cm,长比宽的2倍多1 cm,则矩形的长为______________cm,矩形的面积

S=_____________cm2；

（2）某商店销售一种水果，进价为3元/kg，售价为a元/kg,每天可销售20 kg,则一天的销售额为___________元，利润为____________元.

二、新知预习

（预习课本P2-4）填空并完成练习：

形如y=___________________(a,b,c是常数，____≠0）的函数叫做二次函数.

练习：下列函数中，是二次函数的有______________(填序号）：

①S=2x2-x+3;②y-x2=0；③y=x2+;④y=ax2+bx+c;⑤y=(x+2)(x-2)-x2.

合作探究

一、要点探究

探究点1：二次函数的定义

问题1：如图，总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？

（1）填表：

（2）设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，则BC的长为___________m（用含x的代数式表示）;

（3）x的取值范围为_______________________;

（4）我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，即y是x的函数，试写出这个函数的关系式:_____________________.

问题2  某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

(1)设每件商品降价x元，则一天的销量增加______件，一天的销量为___________件（用含x的代数式表示）此时每件商品的售价为________元，每件商品的利润为_________元；

(2)写出x 的取值范围：_______________________;

(3)设每天的利润为y元，易知y是x的函数，试写出这个函数的关系式:_____________________.

思考：观察所得的两个函数关系式，他们有什么共同点？

它们都是用自变量的                      来表示的．

【要点归纳】二次函数的概念：

形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．ax2叫做二次项，a为二次项系数；bx叫做一次项， b为一次项系数；c为常数项 ,

注意：（1）关系式都是整式；（2）自变量的最高次数是二次；（3）二次项系数不等于零.

【典例精析】

例1  当函数y=（a-1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（　　）

A．a=1    B．a=-1   C．a≠-1    D．a≠1

【针对训练】当m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数？

易错提醒：解决此类问题需要注意二次项系数a≠0这一限制条件.

探究点2：从实际问题中抽象出二次函数模型

例2 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．

分析：根据题意和图形，可得两个等量关系：

①S=AB×         ;②BC+    AB=24.

则当AB=x时，BC=                     ；

由AB＞0可知x         ;由_______＞0可知x＜         .

易错提醒：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围

【针对训练】写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出圆的面积y（cm2）与它的直径x（cm）之间的函数关系式；

（2）菱形的两条对角线的和为26 cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系式．

二、课堂小结

当堂检测

1.   下列函数中是二次函数的是（　　）

A.y=        B.y=（x+3）2-x2            C．y=        D.y=x（x-1）

2.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（　　）

A．y=a（1+x）2       B．y=a（1-x）2      C．y=（1-x）2+a     D．y=x2+a

3.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，销售这批商品所得利润y（元）与售价x（元/件）的函数关系式为                     .

4.已知y=（m-2）+3x+6是二次函数，求出它的表达式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．

5.   某批发市场批发某种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润

y（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y=ax2+bx（其中a≠0，a，b为常数，x≥0），且进货量x为1吨时，销售利润y为1.4万元；进货量x为2吨时，销售利润y为2.6万元．求y（万元）与x（吨）之间的函数关系式．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.（1）函数  自变量   （2）kx+b  k  正比例      k

2.(1)(2a+1)    a(2a+1)     (2)20a   20（a-3）

二、新知预习 

ax2+bx+c   a

练习：①②

合作探究

一、要点探究

探究点1：二次函数的定义

问题1  （1）填表如下：

（2）（20-2x）

（3）  0＜x＜10

（4）y=x（20-2x）=-2x2+20x(0＜x＜10)

问题2  （1）100x  （100+100x）  (10-x)    (10-x-8)

(2)0≤x≤2

（3）y= (10-x-8)（100+100x）=-100x2+100x+200(0≤x≤2)

思考  二次整式

【典例精析】例1  D

【针对训练】解：由题意得m2-m≠0，则m≠0且m≠1.

探究点2：从实际问题中抽象出二次函数模型

【典例精析】例2   分析：BC（或AD）  3   24-3x  ＞0   BC  8

解：（1）S=BC×AB=（24-3x）x=-3x2+24x.由题意得24-3x＞0，解得x＜8，则自变量x 的取值范围为0＜x＜8.            
（2）由题意得24-3x≤9，解得x≥5.由（1）知0＜x＜8，则5≤x＜8．

【针对训练】 解：（1）y=,二次函数.

（2）S=，二次函数.

二、课堂小结

ax2+bx+c    二次项  a  一次项   b   常数项  

当堂检测

1.D   2.A    3.y=-10x2+560x-7350

4.解：由题意可知解得m=-1.当m=-1时，二次函数为y=-3x2+3x+6，其二次项系数为-3，一次项系数为3，常数项为6.
5.解：由题意得解得∴y（万元）与x（吨）之间的函数关系式为y=-0.1x2+1.5x．