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初中数学人教版(2024)八年级上册12.2 三角形全等的判定课后练习题
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这是一份初中数学人教版(2024)八年级上册12.2 三角形全等的判定课后练习题,共23页。
知识点1 用“边边边(SSS)”判定两个三角形全等
1.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF,则还需添加的条件为( )
A.BF=CF B.BC=EF
C.CF=CE D.∠A=∠D
2.如图,点A,D,B,E在同一条直线上,且AD=BE,已知AC=DF,BC=EF.若∠A=70°,∠E=60°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.如图,AB=ED,AC=CE,点C是BD的中点,若∠A=35°,则∠E= °.
4.图①是一人字梁屋顶,图②是抽象出来的人字梁三角形,现不用量角器,只用一把刻度尺检查人字梁三角形的∠B和∠C是否相等,请同学们设计一种测量方案,并说明理由.
5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D,E分别为边AC,BC上一点,连接BD,DE.已知AB=BE,AD=DE.
(1)求证:BD平分∠ABC;(2)若∠A=55°,求证:∠CDE=14∠ADB.
知识点2 用直尺和圆规作一个角等于已知角
6.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图,可说明△COD≌△C'O'D',进而得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
第2课时 两边及夹角证全等(SAS)
基础过关全练
知识点3 用“边角边(SAS)”判定两个三角形全等
7.(2023福建厦门实验学校月考)如图,AC与BD相交于点P,AP=DP,若用“SAS”证明△APB≌△DPC,则还需添加的条件是( )
A.BA=CD B.PB=PC
C.∠A=∠D D.∠APB=∠DPC
8.如图,已知AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=100°,∠BAE=60°,则∠CAE的度数为 .
9.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AF=DE,∠AFB=∠DEC,AF与DE相交于点O,请判断∠B、∠C的大小关系,并说明理由.
10.在台风来临之前,园林管理人员用钢管加固树木(如图),树干固定点为P点,树干PO垂直于地面AB,地面固定点A、B到树干底部点O的距离相等,此时两钢管PA、PB的长度相等吗?为什么?
11.在△ABC和△DBE中,DB=AB,∠DBA=∠EBC,BE=BC.求证:△DBE≌△ABC.
如图,在△ABC和△DBE中,AC=DE,∠ACB=∠DEB,BC=BE.若EF⊥BC于F,∠BEF=60°,求∠ABD的度数.
第3课时 两角及一边证全等(ASA、AAS)
基础过关全练
知识点4 用“角边角(ASA)”判定两个三角形全等
12.已知∠ACD=∠BDC,若用“ASA”证明△ACD≌△BDC还需添加的条件为 ( )
A.AD=BC B.AC=AD
C.∠ADC=∠BCD D.∠A=∠ADC
13.点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACF,AB=CE,则与BC相等的线段是( )
A.AC B.AF C.CF D.EF
14.如图,点A、B、D、E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF.
知识点5 用“角角边(AAS)”判定两个三角形全等
15.(2019山东临沂中考)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
16.【一题多变】(2023贵州遵义八中月考)如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,∠BCA=90°,CA=CB,E,F是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=90°.求证:BE=CF.
[变式]如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,∠BCA=60°,CA=CB,E,F是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=α,当α= 时,上题中BE=CF仍然成立,请说明理由.
17.如图,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),求点B的坐标.
第4课时 斜边及一直角边证全等(HL)
基础过关全练
知识点6 用“斜边、直角边(HL)”判定两个三角形全等
18.如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等,则还需要添加一个条件是( )
A.∠CAB=∠DBA B.AB=BD
C.BC=AD D.∠ABC=∠BAD
19.如图,在Rt△ABC中,D为直角边AC上一动点,某一时刻,过点D向AB作垂线,垂足为点E,测得BC=BE,则此时下列等量关系一定成立的是( )
A.AD=CD B.AE=AD
C.CD=AE D.∠ABD=∠CBD
20.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,BE=BC,连接BD,若AC=8 cm,则AD+DE等于 .
21.如图,在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的高,已知AE=BD,若∠CAB=60°,则∠CBE的度数为 .
22.图1是一个陀螺,图2是其轴剖面示意图,已知AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于E,CF⊥EF于F,AE=CF,连接BD,求证:DE=DF.
图1图2
知识点7 全等三角形判定方法的灵活应用
23.如图,点E、F、C、B在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D,添加下列条件,不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.BC=EF B.AC=DF
C.∠B=∠E D.∠ACB=∠DFE
24.(2023山东德州期末)如图,AD=AE,∠1=∠2,请你添加一个条件: (只填一个即可),使△ABD≌△ACE.
25.【一题多解】【截长补短法】如图,在△ABC中,AB>AC,点D在BC上,∠1=∠2,P为AD上任意一点,连接BP、CP,求证:AB-AC>PB-PC.
26.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE与CD相交于点O,连接OA,且AD=AE,写出图中共有多少对全等三角形,并给出证明.
27.如图,已知点D、E是△ABC内两点,且∠BAE=∠CAD,AB=AC,AD=AE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)延长BD、CE交于点F,若∠BAC=86°,∠ABD=20°,求∠BFC的度数.
能力提升全练
28.(★☆☆)如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块,他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具,他带 去最省事.( )
A.① B.② C.③ D.①③
29.(2022四川成都中考,4,★★☆)如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一条直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.BC=DE B.AE=DB
C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D
30.(★★☆)如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=64°,则∠A的度数是( )
A.42° B.52° C.62° D.51°
31.(2020湖南怀化中考,14,★☆☆)如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,∠B=130°,则∠D= °.
32.(2023天津和平期末,15,★★☆)如图所示,BC、AE是锐角△ABF的高,相交于点D,若AD=BF,AF=7,CF=2,则BD的长为 .
33.(2022陕西中考A卷,18,★☆☆)如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证:DE=BC.
34.(★★☆)图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=30°,求∠D的大小.
35.(2022四川成都七中期中,19,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,0),点B(0,3)和点C(0,2).
(1)请直接写出OB的长度:OB= ;
(2)若点D在x轴上,且点D的坐标为(-3,0),求证:△AOB≌△COD.
36.(2020江苏镇江中考,21,★★☆)如图,AC是四边形ABCD的对角线,∠1=∠B,点E、F分别在AB、BC上,BE=CD,BF=CA,连接EF.
(1)求证:∠D=∠2;
(2)若EF∥AC,∠D=78°,求∠BAC的度数.
37.(2022湖南长沙中考,21,★★☆)如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.
38.(2022河南洛阳期末,20,★★☆)如图,已知AB=DC,AB∥CD,E、F是AC上两点,且AF=CE,连接BE、DF.
(1)判断△ABE与△CDF是否全等,并说明理由;
(2)连接BC,若∠CFD=80°,∠BCE=25°,求∠CBE的度数.
39.(2022河南郑州中学期中,20,★★☆)如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E是BC的中点,DE⊥AB,垂足为点F,且AB=DE.
(1)求证:BD=BC;
(2)若BD=6 cm,求AC的长.
40.(2023广东广州外国语学校期末,22,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=∠C,点D是边BC上一点,CD=AB,点E在边AC上
(1)若∠ADE=∠B,求证:BD=CE;
(2)若BD=CE,∠BAC=70°,求∠ADE的度数.
素养探究全练
41.【模型观念】如图①,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等?请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图②,将题干中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA
=60°”,其他条件不变,设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
图① 图②
42.【几何直观】如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE相交于点P.
(1)求∠APC的度数;
(2)若AE=3,CD=4,求线段AC的长.
答案全解全析
第1课时 三边证全等(SSS)
基础过关全练
1.B 在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,
∴利用“SSS”判定△ABC≌△DEF还需的条件是BC=EF,故选B.
2.C ∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB=DE,
在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠ABC=∠E=60°,
∵∠A=70°,∴∠C=180°-70°-60°=50°.故选C.
3.答案 35
解析 ∵点C是BD的中点,∴BC=DC,
在△ABC和△EDC中,AB=ED,AC=EC,BC=DC,
∴△ABC≌△EDC(SSS),
∴∠E=∠A=35°,故答案为35.
4.解析 测量方案如下:
①分别在BA和CA上截取BE=CG;
②在BC上截取BD=CF;
③量出DE的长为a米,FG的长为b米.
若a=b,则∠B=∠C.
理由:如图,在△BDE和△CFG中,BE=CG,BD=CF,DE=FG,
∴△BDE≌△CFG(SSS),∴∠B=∠C.
5.证明 (1)∵AB=EB,AD=ED,BD=BD,
∴△ABD≌△EBD(SSS),∴∠ABD=∠EBD,
∴BD平分∠ABC.
(2)∵∠A=55°,∠ABC=90°,
∴∠C=90°-∠A=90°-55°=35°,
∵△ABD≌△EBD,
∴∠DEB=∠A=55°,∠ADB=∠EDB,
∴∠CDE=∠DEB-∠C=55°-35°=20°,
∴∠ADB=12(180°-∠CDE)=12×(180°-20°)=80°,
∴∠CDE=14∠ADB.
6.A 由题意可知,OD=OC=O'D'=O'C',CD=C'D',
在△COD和△C'O'D'中,OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D',
∴△COD≌△C'O'D'(SSS),故选A.
第2课时 两边及夹角证全等(SAS)
基础过关全练
7.B 在△APB和△DPC中,AP=DP,∠APB=∠DPC,
∴当PB=PC时,可利用“SAS”证明△APB≌△DPC,
故选B.
8.答案 40°
解析 ∵∠1=∠2=100°,∴∠ADE=∠AED=80°,
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=20°,
∵AE=AD,∠AEB=∠ADC,BE=CD,
∴△AEB≌△ADC(SAS),∴∠CAD=∠BAE=60°,
∴∠CAE=∠CAD-∠DAE=40°.
9.解析 ∠B=∠C.
理由:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF与△DCE中,AF=DE,∠AFB=∠DEC,BF=CE,
∴△ABF≌△DCE(SAS),∴∠B=∠C.
10.解析 PA=PB.
理由:在△POA和△POB中,
PO=PO,∠POA=∠POB=90°,AO=BO,
∴△POA≌△POB(SAS),∴PA=PB.
11.证明 ∵∠DBA=∠EBC,
∴∠DBA+∠ABE=∠EBC+∠ABE,即∠DBE=∠ABC.
在△DBE和△ABC中,DB=AB,∠DBE=∠ABC,BE=BC,
∴△DBE≌△ABC(SAS).
[变式] 解析 在△DBE和△ABC中,
DE=AC,∠DEB=∠ACB,BE=BC,∴△DBE≌△ABC(SAS),
∴∠DBE=∠ABC,
∴∠DBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE,
即∠ABD=∠EBF,
∵EF⊥BC,∴∠BFE=90°,
∵∠BEF=60°,∴∠EBF=90°-∠BEF=30°,
∴∠ABD=∠EBF=30°.
第3课时 两角及一边证全等
(ASA、AAS)
基础过关全练
12.C 添加∠ADC=∠BCD,在△ACD和△BDC中,
∠ACD=∠BDC,CD=DC,∠ADC=∠BCD,
∴△ACD≌△BDC(ASA),故选C.
13.D ∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠ACF+∠ECF,∠B=∠E=∠ACF,
∴∠BAC=∠ECF.
在△ABC和△CEF中,∠B=∠E,AB=CE,∠BAC=∠ECF,
∴△ABC≌△CEF(ASA),∴BC=EF.故选D.
14.证明 ∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE,
∵BC∥EF,∴∠CBA=∠FED,
在△ABC和△DEF中,∠CAB=∠FDE,AB=DE,∠CBA=∠FED,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
15.B ∵CF∥AB,∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,
在△ADE和△CFE中,∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,DE=FE,
∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF=3,
∵AB=4,∴DB=AB-AD=4-3=1.故选B.
16.证明 ∵∠BCA=∠BEC=∠CFA=90°,
∴∠BCE+∠ACF=90°,∠ACF+∠CAF=90°,
∴∠BCE=∠CAF,
在△BCE和△CAF中,∠CEB=∠AFC,∠BCE=∠CAF,BC=CA,
∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF.
[变式] 解析 当α=120°时,BE=CF仍然成立,
理由:∵∠BEC=∠CFA=120°,
∴∠CBE+∠BCE=180°-120°=60°,
∵∠BCE+∠ACF=∠BCA=60°,∴∠CBE=∠ACF,
在△BCE和△CAF中,∠BEC=∠CFA,∠CBE=∠ACF,BC=CA,
∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF.
17.解析 过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥x轴于E,
∴∠ACD+∠CAD=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在△ADC和△CEB中,∠ADC=∠CEB=90°,∠CAD=∠BCE,AC=CB,
∴△ADC≌△CEB(AAS),∴DC=BE,AD=CE,
∵点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),
∴OC=2,AD=CE=3,OD=6,
∴CD=OD-OC=6-2=4,OE=CE-OC=3-2=1,
∴BE=4,∴点B的坐标是(1,4).
第4课时 斜边及一直角边证全等(HL)
基础过关全练
18.C 从题图中可知AB为Rt△ABC和Rt△BAD的斜边,也是公共边,则根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD,还需补充一对直角边相等,即BC=AD或AC=BD,故选C.
19.D 在Rt△BCD和Rt△BED中,BD=BD,BC=BE,
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),
∴∠CBD=∠EBD,故选D.
20.答案 8 cm
解析 ∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴∠C=∠BED=90°,
在Rt△BCD和Rt△BED中,BD=BD,BC=BE,
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴CD=DE,
∴AD+DE=AD+DC=AC=8 cm,故答案为8 cm.
21.答案 30°
解析 ∵AD,BE分别是BC,AC边上的高,
∴BE⊥AC,AD⊥BC,
在Rt△AEB和Rt△BDA中,AB=BA,AE=BD,
∴Rt△AEB≌Rt△BDA(HL),
∴∠DBA=∠EAB=60°,
∵∠AEB=90°,∴∠ABE=30°,
∴∠CBE=∠ABD-∠ABE=60°-30°=30°,
故答案为30°.
22.证明 在Rt△ABD和Rt△CBD中,BD=BD,AB=CB,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),∴AD=CD,
∵AE⊥EF于E,CF⊥EF于F,∴∠E=∠F=90°,
在Rt△ADE和Rt△CDF中,AD=CD,AE=CF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.
23.A A项,添加BC=EF不能判定△ABC≌△DEF,故本选项符合题意;B项,添加AC=DF可用SAS进行判定,故本选项不符合题意;C项,添加∠B=∠E可用ASA进行判定,故本选项不符合题意;D项,添加∠ACB=∠DFE可用AAS进行判定,故本选项不符合题意.故选A.
24.答案 AB=AC(或∠ADB=∠E或∠B=∠C)
解析 ∵∠1=∠2,
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,AD=AE,∠BAD=∠CAE,若添加AB=AC,根据SAS可以判定△ABD≌△ACE;
若添加∠ADB=∠E,根据ASA可以判定△ABD≌△ACE;
若添加∠B=∠C,根据AAS可以判定△ABD≌△ACE.
任选一个即可.
25.证明 证法一:(截长法)如图,在AB上截取AE,使AE=AC,连接PE,
在△AEP和△ACP中,AE=AC,∠1=∠2,AP=AP,
∴△AEP≌△ACP(SAS),∴PE=PC,
在△PBE中,BE>PB-PE,即AB-AC>PB-PC.
证法二:(补短法)如图,延长AC到E,使AE=AB,连接PE,
在△AEP和△ABP中,AE=AB,∠2=∠1,AP=AP,
∴△AEP≌△ABP(SAS),∴PE=PB,
在△PCE中,CE>PE-PC,即AB-AC>PB-PC.
26.解析 题图中共有4对全等三角形,分别是△ADO≌△AEO,△BDO≌△CEO,△ABE≌△ACD,△ABO≌△ACO.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADO=∠BDO=∠AEO=∠CEO=90°.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,AO=AO,AD=AE,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),∴DO=EO.
在△BDO和△CEO中,∠BDO=∠CEO,DO=EO,∠BOD=∠COE,
∴△BDO≌△CEO(ASA),∴∠B=∠C,BO=CO.
在△ABE和△ACD中,∠B=∠C,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
∴△ABE≌△ACD(AAS),∴AB=AC.
在△ABO和△ACO中,AO=AO,AB=AC,BO=CO,∴△ABO≌△ACO(SSS).
∴题图中共有4对全等三角形.
27.解析 (1)证明:∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE,即∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD=20°,
∵∠BAC=86°,
∴∠FBC+∠FCB=180°-86°-20°-20°=54°,
∴∠BFC=180°-54°=126°.
能力提升全练
28.C 由题图可知,③有完整的两角与夹边,根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形,所以最省事的做法是带③去.故选C.
29.B ∵AC∥DF,∴∠A=∠D,当添加AE=DB时,即可得出AB=DE,∵AC=DF,∴可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF,而添加选项中的其他条件不能判定△ABC≌△DEF,故选B.
30.B 在△BDF和△CED中,BF=CD,∠B=∠C,BD=CE,
∴△BDF≌△CED(SAS),∴∠BFD=∠CDE,
∵∠FDE+∠EDC=∠B+∠BFD,
∴∠B=∠FDE=64°,
∴∠C=∠B=64°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-64°-64°=52°,
故选B.
31.答案 130
解析 在△ADC和△ABC中,AD=AB,AC=AC,DC=BC,
∴△ADC≌△ABC(SSS),∴∠D=∠B,
∵∠B=130°,∴∠D=130°,故答案为130.
32.答案 3
解析 ∵BC、AE是锐角△ABF的高,
∴∠BCF=∠ACD=∠AEF=90°,
∴∠F+∠CAD=∠F+∠CBF=90°,
∴∠CBF=∠CAD,
在△BCF和△ACD中,∠BCF=∠ACD,∠CBF=∠CAD,BF=AD,
∴△BCF≌△ACD(AAS),
∴CD=CF=2,BC=AC=AF-CF=5,
∴BD=BC-CD=5-2=3.
33.证明 ∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B.
在△CDE和△ABC中,∠EDC=∠B,CD=AB,∠DCE=∠A,
∴△CDE≌△ABC(ASA),∴DE=BC.
34.解析 ∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC=∠EAD.
在△BAC与△EAD中,AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,
∴△BAC≌△EAD(SAS),
∴∠D=∠C=30°.
35.解析 (1)∵点B(0,3),∴OB=3,故答案为3.
(2)证明:∵点A(2,0),点B(0,3),点C(0,2),点D(-3,0),
∴OC=OA=2,OB=OD=3,
在△AOB和△COD中,OA=OC,∠AOB=∠COD=90°,OB=OD,
∴△AOB≌△COD(SAS).
36.解析 (1)证明:在△BEF和△CDA中,
BE=CD,∠B=∠1,BF=CA,∴△BEF≌△CDA(SAS),∴∠D=∠2.
(2)∵∠D=∠2,∠D=78°,∴∠2=78°,
∵EF∥AC,∴∠BAC=∠2=78°.
37.解析 (1)证明:∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
∵CB⊥AB,CD⊥AD,∴∠B=∠D=90°,
在△ABC和△ADC中,∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(AAS).
(2)由(1)知△ABC≌△ADC,
∴BC=CD=3,S△ABC=S△ADC,
∴S△ABC=12AB·BC=12×4×3=6,∴S△ADC=6,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12.
38.解析 (1)△ABE≌△CDF.理由如下:
∵AB∥CD,∴∠A=∠DCF,
∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,
在△ABE和△CDF中,AB=DC,∠A=∠DCF,AE=CF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)由(1)知△ABE≌△CDF,∴∠AEB=∠CFD,
∵∠CFD=80°,∴∠AEB=80°,
∴∠BEC=180°-80°=100°,
∴∠CBE=180°-∠BEC-∠BCE=180°-100°-25°=55°.
39.解析 (1)证明:∵DE⊥AB,∴∠BFE=90°,
∴∠ABC+∠DEB=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠A=90°,∴∠A=∠DEB,
在△ABC和△EDB中,∠ACB=∠EBD,∠A=∠DEB,AB=ED,
∴△ABC≌△EDB(AAS),∴BD=BC.
(2)∵△ABC≌△EDB,∴AC=BE,
∵E是BC的中点,BC=BD=6 cm,
∴BE=12BC=3 cm,∴AC=3 cm.
40.解析 (1)证明:∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB,∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB,∠ADE=∠B,
∴∠BAD=∠CDE,
在△BAD和△CDE中,∠B=∠C,AB=DC,∠BAD=∠CDE,
∴△BAD≌△CDE(ASA),∴BD=CE.
(2)∵∠BAC=70°,∴∠B=∠C=180°−70°2=55°,
在△BAD和△CDE中,AB=DC,∠B=∠C,BD=CE,
∴△BAD≌△CDE(SAS),∴∠BAD=∠CDE,
∴∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB=180°-∠BAD-∠ADB=∠B=55°.
素养探究全练
41.解析 (1)△ACP≌△BPQ.理由如下:
当t=1时,AP=BQ=1 cm,∴BP=3 cm=AC,
在△ACP和△BPQ中,AP=BQ,∠A=∠B=90°,AC=BP,
∴△ACP≌△BPQ(SAS),∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,
∴∠CPQ=90°,即线段PC与线段PQ垂直.
(2)存在.①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,
∴3=4−t,t=xt,解得t=1,x=1;
②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,
∴3=xt,t=4−t,解得t=2,x=32.
综上所述,当t=1,x=1或t=2,x=32时,△ACP与△BPQ全等.
42.解析 (1)∵∠ABC=60°,∴∠BAC+∠BCA=120°,
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,
∴∠PAC+∠PCA=12(∠BAC+∠BCA)=60°,
∴∠APC=180°-(∠PAC+∠PCA)=120°.
(2)如图,在AC上截取AF=AE,连接PF,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
在△APE和△APF中,AE=AF,∠EAP=∠FAP,AP=AP,
∴△APE≌△APF(SAS),∴∠APE=∠APF,
∵∠APC=120°,∴∠APE=60°,∠CPD=60°,
∴∠APF=60°,∴∠CPF=60°=∠CPD,
∵CE平分∠ACB,∴∠ACP=∠BCP,
在△CPF和△CPD中,∠CPF=∠CPD,CP=CP,∠FCP=∠DCP,
∴△CPF≌△CPD(ASA),∴CF=CD,
∴AC=AF+CF=AE+CD=3+4=7.