人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形课文ppt课件

这是一份人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形课文ppt课件，共60页。
能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等形的形状、大小相同.
 (1)两个图形是否全等,只与这两个图形的形状和大小有关,而与 图形的位置无关.(2)只有形状和大小都相同的图形才是全等形.(3)全等形的周长、面积分别相等,但周长或面积相等的两个图形不一定是全等形.
如图,若△BOD≌△COE,指出这两个全等三角形的对应边;若△ADO≌△AEO,指出这两个全等三角形的对应角.
分析    根据全等三角形对应顶点的字母写出对应边和对应角即可.
解:△BOD与△COE的对应边为BO与CO,OD与OE,BD与CE;△ADO与△AEO的对应角为∠DAO与∠EAO,∠ADO与∠AEO, ∠AOD与∠AOE.
　如图所示,已知△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,有以下结 论:①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC,其中 正确结论的个数是 (　    ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4
解:因为AC与AF,EF与BC是对应边,所以AC=AF,EF=BC,故①③正确.因为∠BAC和∠EAF是对应角,所以∠BAC=∠EAF,所以∠EAB=∠FAC,故④正确.由已知不能得出∠FAB=∠EAB,故②错误.
    如图所示,已知△ACF≌△DBE,且点A,B,C,D在同一条直线 上,∠A=50°,∠F=40°.(1)求△DBE各内角的度数;(2)若AD=16,BC=10,求AB的长. 
解:(1)∵△ACF≌△DBE,∠A=50°,∠F=40°,∴∠D=∠A=50°,∠E=∠F=40°,∴∠DBE=180°-∠D-∠E=90°.(2)∵△ACF≌△DBE,∴AC=DB,∴AC-BC=DB-BC,∴AB=CD,∵AD=16,BC=10,∴AB=CD= (AD-BC)=3.
·教材知识全解知识点1 用“边边边(SSS)”判定两个三角形全等　知识点2 用直尺和圆规作一个角等于已知角　知识点3 用“边角边(SAS)”判定两个三角形全等知识点4 用“角边角(ASA)”判定两个三角形全等知识点5 用“角角边(AAS)”判定两个三角形全等知识点6 用“斜边、直角边(HL)”判定两个三角形全等知识点7 全等三角形判定方法的灵活应用
12.2　三角形全等的判定
一般地,在判定两个三角形全等的书写过程中,等号左边是全等号左边三角形的三边,等号右边是全等号右边三角形的三边.
　如图,点B,C,E,F在同一直线上,AB=DF,AC=DE,BE=CF.求 证:△ABC≌△DFE. 
证明    ∵BE=FC,∴BE-CE=FC-CE,即BC=EF,在△ABC和△DFE中, ∴△ABC≌△DFE(SSS).
已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.作法:(1)以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于 点C,D;(2)画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第(2)步中所画的弧相交于点D';(4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
   (2021四川宜宾中考)如图,已知OA=OC,OB=OD,∠AOC=∠BOD.求证:△AOB≌△COD. 
分析    观察图形,已知两边分别相等,只要再证得这两边所夹的角相等, 即∠COD=∠AOB,然后根据“SAS”即可证明△AOB≌△COD.
证明    ∵∠AOC=∠BOD,∴∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD,即∠COD=∠AOB,在△AOB和△COD中, ∴△AOB≌△COD(SAS).
证三角形全等时,常见的隐含的等角有:(1)公共角相等;(2)对顶角相等;(3)等角加(或减)等角仍得等角;(4)角平分线得两等角;(5)同角(或等角)的余角、补角相等;(6)平行线得同位角、内错角相等;(7)垂直定义得两角相等.
(2023山东临沂期末)如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,且BE∥CF.求证:△CDF≌△BDE. 
分析    利用中点性质可得BD=CD,由平行线性质可得∠DBE=∠DCF,再 由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF,即可证得结论.
 证明    ∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∵BE∥CF,∴∠DBE=∠DCF,在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(ASA).
　如图所示,如果DF=CE,∠DAE=∠CBF,∠D=∠C,那么AE= BF成立吗?请说明理由. 
分析    要证明AE=BF成立,只要证明△AED≌△BFC即可,题中可以直接 利用的条件有两角,因此,还需要边的条件,由DF=CE可得DE=CF, 所以结论能够成立.
解:AE=BF成立.理由:∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,∴DE=CF,在△AED和△BFC中, ∴△AED≌△BFC(AAS).∴AE=BF.
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写 成“斜边、直角边”或“HL”).
2.判定两个直角三角形全等的思路
    (2023河南郑州一中期末)在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,CF=AE,BC=DA.求证:Rt△ABE≌Rt△CDF. 
分析    根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA,由全等 三角形的对应边相等得DC=BA,然后再由HL来证得Rt△ABE≌ Rt△CDF.
证明    在Rt△ADC与Rt△CBA中, ∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL),∴DC=BA.又∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴∠AEB=∠CFD=90°,在Rt△ABE与Rt△CDF中, ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
　　判定两个三角形全等时,若给出的条件不全面,则需要根据 已知的条件结合相应的判定方法进行分析,先找出所缺的条件, 再证明.具体思路如下:
    (2022江苏南通中考)如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ ED,AC∥FD,要使△ABC≌△DEF,只需添加一个条件,则这个条 件可以是　　　　　　　    . 
  BC=EF(答案不唯一)
解:∵AB∥ED,∴∠B=∠E,∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFC,在△ABC与△DEF中,若添加BC=EF,根据ASA可以判定△ABC≌△DEF.(答案不唯一)
　如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及 其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF,添加一个条件,使得△BDF ≌△CDE,并加以证明. 
分析    由中点知BD=CD,由对顶角相等知∠BDF=∠CDE,故可添加一个 条件用“SAS”或“AAS”或“ASA”来判定两个三角形全等.
解:可添加的条件是DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB).证明:(以DE=DF为例)∵点D是BC的中点,∴BD=CD.在△BDF和△CDE中, ∴△BDF≌△CDE(SAS).
12.3　角的平分线的性质
·教材知识全解知识点1 作已知角的平分线　知识点2 角平分线的性质　知识点3 角平分线的判定知识点4 证明几何文字命题的一般步骤·易错易混全解·核心素养全解
1.用尺规作已知角的平分线已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分线.作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点 N;(2)分别以M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB
的内部交于点C;(3)画射线OC,射线OC即为所求. 2.证明由作法中步骤(1)知OM=ON,由作法中步骤(2)知MC=NC.
在△OMC和△ONC中, ∴△OMC≌△ONC(SSS),∴∠MOC=∠NOC,即射线OC为∠AOB的平分线.
　如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=26°,洋洋按下列步骤 作图:①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB,AC于点E, F;②分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D,则∠ADC的度数为 (　    ) A.50°　　　　    B.52°　　    C.58°　　　　    D.64°
解:由作图可知AD平分∠BAC,∵∠C=90°,∠B=26°,∴∠BAC=64°,∴∠DAC= ∠BAC=32°,∴∠ADC=90°-32°=58°.故选C.
　如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, △ABC的面积是10 cm2,AB=6 cm,AC=4 cm,求DE的长. 
分析    利用角平分线的性质可得DE=DF,然后根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ADC的面积,进行计算即可解答.
解:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∵△ABC的面积是10 cm2,∴△ABD的面积+△ADC的面积=10 cm2,∴ AB·DE+ AC·DF=10 cm2,∵AB=6 cm,AC=4 cm,∴3DE+2DF=10,∴5DE=10,∴DE=2 cm.
  角平分线的性质与判定的关系:点在角的平分线上 (角的内部的)点到角的两边的距离相等.要正确理解,明确条件和结论, “性质”和“判定”恰好是条件和结论的交换,性质是证明两条线段相等的依据,判定是证明两角相等的依据.
　如图,BE=CF,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE相交于 点D.求证:AD平分∠BAC. 
证明    ∵BF⊥AC,CE⊥AB,∴∠DEB=∠DFC=90°.在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,∴AD平分∠BAC.
证明一个几何文字命题时,通常按照以下步骤进行:(1)明确命题中的已知和求证;(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示出已知和求证;(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
　 求证:三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线 的距离相等.
解:已知:如图所示,AD为△ABC的BC边上的中线,且CF⊥AD于点 F,BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证:BE=CF. 证明:∵AD为△ABC的BC边上的中线,∴BD=CD.∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠E=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中,∴△BED≌△CFD(AAS),∴BE=CF.∴三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相 等.
　如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,BC边上有 一点E,连接DE,则AD与DE的关系为(　    ) A.AD>DE　    B.AD=DE C.AD