数学人教版（2024）22.3 实际问题与二次函数同步测试题

这是一份数学人教版（2024）22.3 实际问题与二次函数同步测试题，共49页。试卷主要包含了题型一，题型二，题型三，题型四，题型五，题型六，题型七，题型八等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc8798" 题型一：图形问题 PAGEREF _Tc8798 \h 1
\l "_Tc29277" 题型二：图形运动问题 PAGEREF _Tc29277 \h 7
\l "_Tc22987" 题型三：拱桥问题 PAGEREF _Tc22987 \h 14
\l "_Tc3697" 题型四：销售问题 PAGEREF _Tc3697 \h 21
\l "_Tc7197" 题型五：投球问题 PAGEREF _Tc7197 \h 27
\l "_Tc27375" 题型六：喷水问题 PAGEREF _Tc27375 \h 33
\l "_Tc26350" 题型七：增长率问题 PAGEREF _Tc26350 \h 43
\l "_Tc2492" 题型八：其他问题 PAGEREF _Tc2492 \h 46
一、题型一：图形问题
1．（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为．（篱笆的宽度忽略不计）
(1)菜园面积可能为吗？ 若可能，求边长的长，若不可能，说明理由；
(2)求该菜园面积的最大值．
【答案】(1)花园面积可能是，此时边的长为14米
(2)
【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可．
（1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可．
（2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可．
【详解】（1）解：设，则矩形的长，依题意，得：，
即，
解得：，，
当时，，舍去，
当时，成立，
答：花园面积可能是，此时边的长为14米．
（2）解：∵，则，
则，
∴，
依题意，得：，
∵，
∴当时，y最大，最大为300．
答：该菜园面积的最大值为．
2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)若苗圃的面积为，求x的值；
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
【答案】(1)8
(2)当x为米时，苗圃的最大面积为平方米
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得的长为米；根据题意得，，即可解得x的值；
（2）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为米，
的长为米，
根据题意得，，
解得，或，
∵当时，，
∴舍去，
∴的值为；
（2）设苗圃的面积为，
，
∵，
∴，
∵，图象开口向下，
∴当时，w取得最大值，w最大为；
答：当x为米时，苗圃的最大面积为平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
3．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图所示是一个矩形菜地，一边靠墙（墙足够长），另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为，门宽是，若设这块菜地的宽为．
(1)求菜地的面积与之间的函数关系式；
(2)写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
（1）设这块菜地的宽为，则这块菜地的长为，再利用矩形的面积公式即可得出菜地的面积与之间的函数关系式；
（2）由场地的长，结合门宽是即可得解．
【详解】（1）解：设这块菜地的宽为，则这块菜地有门的宽为，这块菜地的长为，
由题意得：；
（2）解：由题意得：，
∴，
∵门宽是，
∴，
∴．
4．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．

(1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式；
(2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？
【答案】(1)
(2)当时，长方形的面积最大，最大值为32
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）先表示出的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可；
（2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，y最大，最大值为32，
∴当时，长方形的面积最大，最大值为32．
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？
(2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？
(3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)3米或5米
(2)米或4米
(3)当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和函数关系式，是解题的关键：
（1）设的长为x米，则的长为米，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可；
（2）设的长为m米，则的长为米，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可；
（3）设AB的长为米，围成面积为平方米，列出二次函数关系式，求出最值，进行判断即可．
【详解】（1）解：设的长为x米，则的长为米，
根据题意得：，
解得
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
∴的长是3米或5米；
（2）解：设的长为m米，则的长为米，
根据题意得：，
解得，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意；
∴的长是米或4米；
（3）解：能围成面积比45平方米更大的花圃，理由如下：
设AB的长为米，围成面积为平方米，
∵墙的最大可用长度为a为15米，
∴，
解得，
根据题意得，
∵，
∴时，w取最大值，最大值为48平方米，
此时，
答：当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米．
二、题型二：图形运动问题
6．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点E与点A重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点D与点B重合时停止运动，设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为y个平方单位，则y与x函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分和两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：分两种情况：（1）如图所示，当时，令，交于点，过点作于点，
∵和都是等腰直角三角形
∴，
由平移可得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，
∴，
，
，
∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分，
∴当时，；
（2）如图所示，当时，令，交于点，过点作于点，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴
∴，
，
，
∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分，
只有选项C符合条件．
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是分情况讨论．
7．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】需要分类讨论：①当，即点在线段上时，过作于点，由勾股定理即可求得与的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当，，与的函数关系式是，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当时，则，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点的位置进行分类讨论，以防错选．
【详解】解：如图，过作于点，
则，，
①当点在上时，，，，
，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；
由此可排除A，B，C．
②当时，即点在线段上时，；
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；
③当时，即点在线段上，此时，，
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；
故选：D．
8．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可.
【详解】解：当时，如图，
∵三个动点同速，
∴三个动点路程相同，
∴，
∵
∴，
∴
当时，如图，
此时
∴，
∴，
∴
∴结合两个函数判断B符合题意，
故选：B
9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，D为边上一动点（B点除外），以为一边作正方形，连接，设，则面积 ．（用x的代数式表示）
【答案】
【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，，则，继而根据三角形的面积公式可得．
【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
10．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A，两点同时出发，设运动时间为，

(1)___________，___________，___________；
(2)为何值时的面积为？
(3)为何值时的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)，，
(2)当秒或4秒时，的面积是；
(3)当为3时的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）由题意可直接利用t表示出，和；
（2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可；
（3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）根据题意得：，，
∴，
故答案为：，，；
（2），
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合题意，
∴即当秒或4秒时，的面积是；
（3）由（2）可知，
∵，，
∴当为3时的面积最大，最大面积是．
三、题型三：拱桥问题
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面5 ，原来的水面宽24 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为（ ）
A．1.2 B．1 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出解析式，再把代入解析式即可判断．
【详解】解：由图象可得，抛物线顶点坐标为，且过，
∴设出池底所在抛物线的解析式为，
把代入解析式可得，
解得，
∴，
当时，，
此时最深处到水面的距离为，
故选：C．
12．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为 米．
【答案】4
【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为6，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴当时，，
∴支柱的高度为：米，
故答案为：4．
13．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)根据题意，填空：
①顶点C 的坐标为 ；
②点B 的坐标为
(2)求抛物线的解析式．
(3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？
【答案】(1)①；②；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键．
（1）求出、、的长即可解决问题．
（2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解；
（3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
∴，，
故答案为：和；
（2）解：由（1）知，，，
设抛物线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，，
，
∴，
解得：，，
(小时)，
∴需小时禁止船只通行．
14．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段A．表示水平的路面，O为的中点，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点P到的距离为9米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)现需在这一隧道内整上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯．已知照明灯M，N 的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度；
(3)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．
【答案】(1)
(2)米
(3)满足安装设计要求，过程见详解．
【分析】本题考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出，代入求解即可作答．
（2）由二次函数的图象性质得代入，进行计算即可作答．
（3）先作图：延长交抛物线于一点H，然后令，则，把，代入，得，故点到地面距离为（米），因为，所以满足安装设计要求．
【详解】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为，
∵抛物线底面宽度米，且O为的中点，
∴（米），
∴，
把代入，得，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：依题意，∵照明灯M，N 的水平距离为10米且在同一高度，
∴
把代入，
∴，
∴照明灯距地面的高度为米；
（3）解：满足安装设计要求，过程如下：
依题意，电子显示屏是矩形，
∴（米），（米），
如图：延长交抛物线于一点H，
∵电子显示屏，为确保行车安全，距左右墙紧需各留至少1米的安全距离
∴令，
则，
把，代入，
得，
即点，
∴点到地面距离为（米），
∵，
∴满足安装设计要求．
15．（2024·福建龙岩·模拟预测）上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米．
(1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式；
(2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：）
【答案】(1)见解析，
(2)需32根吊杆
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意．
（1）如图，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．得出，，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得出点的纵坐标为15，结合（1）将代入即可求出，即可解答；
【详解】（1）解：如图示，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．
则有另一桥墩，拱桥顶点，桥面，
设桥拱抛物线解析式为，
把点坐标代入求得，
所以拱桥抛物线的解析式为．
（2）解：因桥面距离水面15米，所以点的纵坐标为15，
当时，，
解得，
，
所以，，
∴，
∵，
故单侧需32根吊杆．
四、题型四：销售问题
16．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）某村民在网络直播平台推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天（且为整数）的售价为（元/千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第天的销售额为（元）．
(1)_____，_____；
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；
(3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
【答案】(1)；30
(2)
(3)共有7天销售额超过500元
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能正确理解题意是关键．
（1）依据题意得，计算即可得解；
（2）依据题意，当时，由（1）得，从而计算可得；再由当时，，进而可以得解；
（3）依据题意，分和两种情况进行判断即可计算得解．
【详解】（1）解：由题意得，
，
故答案为：；30；
（2）解：由题意知，当时，由（1）得，
，
当时，，
；
（3）解：由题意知，当时，，
，
当时，取最大值为400，
此时销售额不超过500元，
当时，令，
，
共有7天销售额超过500元．
17．（2024·山东·模拟预测）某服装店购进一批衬衣，成本价每件元，若售价为元，则每月能售出件．经调查发现，售价每增长一元，则销量将减少件．
(1)求出月销售利润（元）与售价（元/件）之间的函数关系式．
(2)试问：当每件衬衣售价为多少元时，服装店所获月利润最大，并求最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)当价格为元时，才服装店所获月利润最大，并求最大利润为元
【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，确定与之间的函数关系式是解题的关键．
（1）按照等量关系“每月获得的利润＝（销售价格﹣进价）×销售件数”列出二次函数；
（2）根据二次函数的性质求得最值
【详解】（1）解：根据题意得：
，
∴与的函数关系式为：；
（2）∵，
又∵，
∴当时，有最大值，的最大值为，
答：当每件衬衣售价为元时，服装店所获月利润最大，最大利润为元．
18．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）某体育用品商店销售A、B两种型号的体育器材，两种体育器材的进价均为每件30元，两种体育器材在30天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
(1)若A种体育器材的日销售利润为元，B种体育器材的日销售利润为元，分别求，与x之间的函数表达式；
(2)设该体育用品商店销售这两种体育器材的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求该体育用品商品在第几天的日销辔利润最大？最大日销售利润是多少？
【答案】(1)，；
(2)，该体育用品商店在第10天的日销售利润最大，最大日销售利润是1600元．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是关键；
（1）根据利润=每件利润×销售量，例出函数解析式即可；
（2）由（1）可得总利润关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质求出最值即可
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
，
当时，有最大值，最大值为1600；
该体育用品商店在第10天的日销售利润最大，最大日销售利润是1600元．
19．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）某商场销售一批商品，已知进价为每件6元，平时以12元的价格出售，平均每天可售出80件，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每降价1元，商场平均每天可多售出40件．
(1)若商场平均每天要盈利280元，每件商品应定价多少元？
(2)若该商场要每天盈利最大，每件商品应定价多少元？盈利最大是多少元？
【答案】(1)每件商品应定价为7元
(2)每件商品应定价10元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利640元．
【分析】本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确总利润销售的数量每件的利润，将一元二次方程与二次函数结合，将最大利润问题转化为二次函数的最值问题来求．
（1）先设未知数：设每件商品应定价为元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出40件，根据利润销售的数量每件的盈利，列方程可求得；
（2）设利润为元，，化成一般式，配方成顶点式，求最值即可．
【详解】（1）解：设每件商品应定价为元，
根据题意得：，
，
，
或13，
商场决定采取适当的降价措施，
∴每件商品应定价为7元；
（2）设每件商品应定价元时，利润为元，
，
，
有最大值，
即当时，有最大值为640元，
答：每件商品应定价10元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利640元．
20．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒．
(1)求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式；
(2)端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元；
(3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．
【答案】(1)
(2)每盒降价元
(3)当销售单价定为元盒时，最大纯利润为元
【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，求二次函数的最大值，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键．
（1）设，根据表格代入即可求解；
（2）根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解；
（3）设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在范围内求最值即可．
【详解】（1）解：设，
由题意得：，
解得：，
；
（2）解：日销售量为盒，
把代入，
得：，
解得：，
即原来日销售单价为元，
设当日销售单价为元时，销售利润为元，
根据题意得：，
解得：，，
为了使顾客获得最大实惠，销售单价应该定为元，
降价为：（元），
答：当乌馒头每盒降价元时，商店每天获利为元；
（3）解：设日销售纯利润为元，由题意得：
，
，，
当时，有最大值元，
答：当销售单价定为元盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为元．
五、题型五：投球问题
21．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：）与运行的水平距离（单位：）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若排球运动员本次练习发球过程中球会超过球网但不会出界（可以压线），则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意构造不等式进行解答即可．
【详解】解：球会超过球网，
当时，，
解得
∵球不会出界网，
当时，，
解得
．
故答案为：
22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）初中生小红训练排球发球，球离手后的飞行轨迹如图．若球距地面的竖直高度y（单位：m）与距击球点的水平距离x（单位：m）之间的函数关系是：．
(1)如图，第一次发球后，当排球飞行到距击球点水平距离为时，球恰好达到最大的竖直高度，求此次发球后，排球距击球点的水平距离的最大值；
(2)如图，第二次发球后，排球距击球点的水平距离的最大值恰好与第一次相同，且，求此次发球后，排球距地面的竖直高度的最大值；
(3)小红第三次发球后，排球飞行轨迹的形状恰与第二次相同，若排球距击球点的水平距离的最大值超过第一次，但不超过18米，直接写出b的取值范围：______________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查二次函数的实际问题，运用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出函数解析式，然后令，求出铅球推出的水平距离即可；
（2）运用待定系数法求出函数解析式，配方为顶点式写出最大值即可；
（3）把代入（2）中的解析式，求出b值，结合题意写出取值范围即可．
【详解】（1）解：设，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
令，则，
解得，（舍去），
∴此次发球后，排球距击球点的水平距离的最大值为；
（2）解：根据题意，得，
把代入，得，
解得，
∴，
∴此次发球后，排球距地面的竖直高度的最大值为；
（3）解：由题意知：抛物线的解析式为，
当经过时，，
解得，
∵推出的水平距离超过第一次，但不足18米，
∴．
23．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系为．
(1)小球的飞行时间__________s时，飞行高度h为．
(2)小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多少飞行时间？
(3)小球飞行高度能否达到？__________．（选填“能”或“否”）
【答案】(1)1或3
(2)能，
(3)否
【分析】（1）把代入，再解方程即可解答；
（2）把代入，再解方程即可解答；
（3）把代入，得，据即可作答；
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
【详解】（1）解：依题意，令，得方程，
解这个方程得：，，
当小球的飞行和时，高度达到；
故答案为：1或3；
（2）解：依题意，令，得方程，
解这个方程得：，
当小球的飞行时，高度达到；
（3）解：令，得方程，
整理得：，
∵，
∴方程无实数根，
∴小球的飞行高度不能达到；
故答案为：否．
24．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状(如图所示设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米）与地面的高度为（米），与的部分对应数据如表所示．
(1)求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离．
(2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口的高度来实现此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？
【答案】(1)，米
(2)米
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
（1）由表格信息可知，抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为：，将点代入可求出关于的函数表达式，令抛物线解析式的，即可求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为：，根据题意可知该抛物线过点，进而求出抛物线解析式，将代入解析式计算，即可求解．
【详解】（1）解：由表格信息可知，抛物线的顶点为，
可设抛物线的解析式为：，
其图像过点，
，
解得：，
关于的函数表达式为：，
当时，，
解得：，（舍去），
故羽毛球的落地点到发球机点的水平距离为米；
（2）抛物线的形状和对称轴位置都不变，
可设抛物线的解析式为：，
要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，
当时，，
，
解得：，
，
当时，，
发球机的弹射口高度应调整为米．
25．（2024·江西·模拟预测）弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为的点处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面时，弹球与甲的水平距离为．弹球在处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点处．
(1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式．（不要求写出的取值范围）
(2)若不考虑筺的因素，求弹球第二次着地点到点的距离．
(3)如果摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点，那么甲能投球成功吗？
【答案】(1)
(2)
(3)不能
【分析】（）由题意可以用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解；
（）利用第一次着地前抛物线的解析式求出点坐标，再用同（）法求得第二段抛物线的解析式，求出它的对称轴，利用对称性求出点的坐标，进而即可求解；
（）把代入第二段抛物线的解析式求出的值即可判断求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为，
故可设抛物线的解析式为，
将代入得，，
∴弹球第一次着地前抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
由从点弹起的最大高度为原来最大高度的一半，可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为，故可设该抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得(不合，舍去)，，
∴，且对称轴为直线，
∴，即，
∴弹球第二次着地点到点的距离为；
（3）解：当时，，
∴甲不能投球成功．
六、题型六：喷水问题
26．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，建立如图所示的平面直角坐标系，喷出的水柱到地面的竖直高度与水柱到池中心的水平距离满足关系式．
(1)求水管的长度；
(2)若在喷水池中抛物线对称轴右侧的处竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与之间的水平距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求函数值即可；
（2）当时，解方程求自变量的值即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，.
∴水管的长度为．
（2）解：当时，
，
，
，
解得： ，（不合题意，舍去）.
∴景观射灯与之间的水平距离为.
27．（2024·山西·二模）学科实践
驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名.学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计.
研究步骤：（1）如图，研习小组测得表演场地宽度米，在A，B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线形水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米；
（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米
问题解决；请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)以线段所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；
(2)为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，若彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距.
【答案】(1)建立如图所示的平面直角坐标系，
(2)彩旗队每相邻两列的间距为 1.6 米
【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意取中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，垂足为点，分别交抛物线于点，分别求出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系，
设所求抛物线的函数表达式为，
由题可知，，
点N的坐标为，点C的坐标为，，
将代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，垂足为点，分别交抛物线于点，
由题意可知，（米），
点的纵坐标均为4，
当时，，
解得，
点的坐标分别为和，
最外侧两列彩旗队之间的距离为（米），
（米），
答：彩旗队每相邻两列的间距为1.6米．
28．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______；
(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）；
(3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【答案】(1)，；
(2)
(3)她当天的比赛能成功完成此动作．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）利用待定系数法求出解析式，即可；
（2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可；
（3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可．
【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，，
，
，
，
解得：，
；
故答案为：，；
（2）解：，
当时：，
解得：或（不合题意，舍去）；
米；
，
当时：，
解得：或（不合题意，舍去）；
，
，
故答案为：；
（3）解：，
，
，
，
当时，，
，
即她在水面上能够完成此动作，
她当天的比赛能成功完成此动作．
29．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底的高度为（单位：米），距喷水装置的水平距离为（单位：米）．如图所示，以喷水装置所在直线为轴，以池底水平线为轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口最低时水流高度和水平距离之间的几组数据：
(1)根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围；
(2)为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口升高的最小值；
(3)喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？
【答案】(1)；
(2)米
(3)至少要为米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，灵活运用二次函数的性质解题是关键．
（1）依据题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴，得顶点为，可得最大高度；由题意可设抛物线的关系式为，结合过，即可求解；
（2）依据题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上，可得此时解析式为，又过点，求出后得出解析式，然后令即可；
（3）依据题意，设喷泉口升高的最大值为米时，解析式为，又过点，从而可得解析式，再令，求出，然后与喷水池半径比较即可得解．
【详解】（1）解：由题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴是直线，
顶点为，
水流喷出的最大高度为2米，
故答案为：2；
由题意可设抛物线的关系式为：，
又抛物线过，
，
，
函数关系式为；
（2）解：由题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上，
此时解析式为，
由题意此时抛物线过点，
，
，
此时解析式为，
令，
，
喷水口升高的最小值为（米；
（3）解：由题意，喷泉口升高的最大值为米时，此时，
设抛物线解析式为，
又过点，
，
，
解析式为，
令，
，
或（不合题意，舍去），
花卉的种植宽度至少为：（米．
花卉的种植宽度至少要为米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外．
30．（2024·贵州黔东南·二模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标；
（3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴，
∴点B的坐标为；
（3）解：，
点的纵坐标为0.5，
∴
解得：
∵
∴
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则
当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
七、题型七：增长率问题
31．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
故选：．
32．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数．
如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式．
【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x，
∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆，
∴y与x之间的函数表达式是．
故选：B．
33．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．1.2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
35．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元．
(1)求李明这两年纯收入的年平均增长率；
(2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度．
【答案】(1)；
(2)40米．
【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解；
（2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解．
【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得，
解得，，（不合题意，舍去）
答：李明这两年纯收入的年平均增长率为；
（2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得
，
解得，，（不合题意，舍去）
答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程．
八、题型八：其他问题
36．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ；
（2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ．
【答案】
【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解；
（）确定直线的表达式为，求出，进而求解；
本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
设点的坐标为：，则抛物线的表达式为，
则点的坐标为，点，
将点的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得：，
即抛物线的表达式为：，
∴，
故答案为：；
（）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，
∴所以旋转前与水平方向的夹角为，
设直线的解析式为，
将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：，
联立并整理得：，
则，，
则，
则，
由的表达式知，其和轴的夹角为，则，
故答案为：．
37．（2024·山西·模拟预测）实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W．
【答案】220
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的的性质求出最大值即可．
【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点
∴抛物线的对称轴为，
设抛物线的解析式为，
∴
解得
∴
∵，
∴抛物线有最大值为220，
即变阻器R消耗的电功率P最大为，
故答案为：220
38．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）为装饰墙面，在墙面上的点，处分别钉一颗钉子，在、之间悬挂一条近似抛物线的彩带．，以水平地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的解析式为．
(1)求的长；
(2)现要在抛物线上的点处粘贴一个气球（不改变抛物线的形状），已知点到CD的距离为，求点到水平地面的距离．
【答案】(1)
(2)点到水平地而的距离是
【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，求函数值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，
（1）将抛物线解析式化为顶点式为．得抛物线的顶点坐标为，利用抛物线的对称性即可得解；
（2）由点到CD的距离为．得点到的距离为，把代入解析式即可得解．
【详解】（1）解：抛物线解析式化为顶点式为．
抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴，关于对称轴对称，
．
（2）解：点到CD的距离为．
点到的距离为，
当时，．
点到水平地而的距离是．
39．（2024·湖北·模拟预测）近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足二次函数关系如图所示．
(1)求关于的函数关系式；
(2)若跑道长度为，请通过计算说明是否够此无人机着陆；
(3)当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离．
【答案】(1)
(2)跑道长度不够无人机降落
(3)无人机着陆后最后两秒滑行的距离为
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出最值，与进行比较，判断即可；
（3）求出时的函数值，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵函数图象过点，
∴设函数解析式为，
把代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，有最大值为，
∵，
∴跑道长度不够无人机降落；
（3）解：∵，有最大值为，此时无人机停止，
∴当时，，
∵，
∴无人机着陆后最后两秒滑行的距离为．
40．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）【新情境】如图1是一个高脚杯的剖面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移，并倒满饮料，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面高度（即液面到点所在水平线的距离）低于，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数解决实际应用题，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质等知识，读懂题意，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）根据题意，得到，再由待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）先由二次函数图象的平移得到平移后，点，当液面高度为时，液面到轴的距离为，设液面与高脚杯的交点分别为，如图所示，列式得到，利用待定系数法确定直线和直线的解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：，杯子的高度（即之间的距离）为，
设抛物线的解析式为，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，
平移后的解析式为，平移后，点的坐标为，
当液面高度为时，液面到轴的距离为，
设液面与高脚杯的交点分别为，如图所示：
当时，即，解得，
点，
设直线的解析式为，
由题意可得，解得，即直线的解析式为；
设直线的解析式为，
由题意可得，解得，即直线的解析式为；
剩余饮料的液面的高度低于时，的取值范围是．
时间；第x（天）
A种体育器材
B种体育器材
日销售价（元/件）
35
日销售量（件）
销售单价/(元/盒)
日销售量/盒
（米）
（米）
水平距离
3
4
4.5
竖直高度
10
11.25
10
6.25
/米
/米