







初中人教版22.3 实际问题与二次函数优秀ppt课件
展开1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.(重点)2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. (难点)
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中,作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理,如何定价才能使商场获得最大利润呢?
例1 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出18件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
涨价销售①每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式:y=(20+x)(300-10x),
即:y=-10x2+100x+6000.
1.自变量x的取值范围如何确定?
营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故300-10x ≥0,且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
2.涨价多少元时,利润最大,最大利润是多少?
y=-10x2+100x+6000,
即定价65元时,最大利润是6250元.
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?
解:设售价提高x元时,半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时,y最大 =4500 答:当售价提高5元时,半月内可获最大利润4500元.
求解最大利润问题的一般步骤
(1)建立利润与价格之间的函数关系式:运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
(2)结合实际意义,确定自变量的取值范围;
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:可以利用配方法或公式求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出.
例2 某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,售价为x元/件,每月的总利润为Q元.
(1)当售价在40~50元时,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元?
解:由题意得:当40≤x≤50时, Q = 60(x-30)= 60x-1800 ∵ y = 60 > 0,Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时,Q最大= 1200 答:此时每月的总利润最多是1200元.
(2)当售价在50~70元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则此时当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元?
解:当50≤x≤70时, 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50,60)和(70,20).
50k+b=6070k+b=20
∴y =-2x +160(50≤x≤70)
k =-2b = 160
∴Q=(x-30)y =(x-30)(-2x + 160) =-2x2 + 220x- 4800 =-2(x-55)2 +1250 (50≤x≤70) ∵a = -2<0,图象开口向下,∴当x = 55时,Q最大= 1250∴当售价在50~70元时,售价x是55元时,获利最大, 最大利润是1250元.
解:∵当40≤x≤50时, Q最大= 1200<1218 当50≤x≤70时, Q最大= 1250>1218 ∴售价x应在50~70元之间. ∴令:-2(x-55)2 +1250=1218 解得:x1=51,x2=59 当x1=51时,y1=-2x+160=-2×51+160= 58(件) 当x2=59时,y2=-2x+160= -2×59+160= 42(件)∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元,则该商品售价为51元或59元,当月的销售量分别为58件或42件.
(3)若4月份该商品销售后的总利润为1218元,则该商品售价与当月的销售量各是多少?
某商店购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元售出,那么每月可售出500个,据销售经验,售价每提高1元,销售量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x元,那么销售每个篮球所获得的利润是_______元,这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示) (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是,说明理由,如果不是,请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元?
8000元不是每月最大利润,最大月利润为9000元,此时篮球的售价为70元.
1.某种商品每件的进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20 ≤x ≤30)出售,可卖出(300-20x)件,使利润最大,则每件售价应定为 元.
2.进价为80元的某件定价100元时,每月可卖出2000件,价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简).
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润?
w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)] =(10+2x)(84-4x) =-8x2+128x+840 =-8(x-8)2+1352.
解:设生产x档次的产品时,每天所获得的利润为w元, 则
当x=8时,w有最大值,且w最大=1352.
答:该工艺师生产第8档次产品,可使利润最大,最大利润为1352.
4. 某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75.其图象如图.(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
解:(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时,y值最大,最大值为25.即销售单价定为10元时,销售利润最大,为25元;
(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
(2)由对称性知y=16时,x=7和13.故销售单价在7 ≤x ≤13时,利润不低于16元.
1.某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件.(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为______件;(2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大?并求出最大利润.
解:(1)由题意得:200﹣10×(52﹣50)=200﹣20=180(件), (2)由题意得: y=(x﹣40)[200﹣10(x﹣50)] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10(x﹣55)2+2250∴每件销售价为55元时,获得最大利润;最大利润为2250元.
2.【2020·辽阳】超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元.在销售过程中发现,每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15,且x为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是多少元?
解:根据题意得w=(x-10)(-5x+150)=-5(x-20)2+500,∴当x<20时,w随x的增大而增大.∵10≤x≤15且x为整数,∴当x=15时,w有最大值,最大值为-5×(15-20)2+500=375.答:当每瓶洗手液的售价定为15元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润为375元.
3.【中考·毕节】某商店销售一款进价为每件40元的护肤品,调查发现,销售单价不低于40元且不高于80元时,该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,当销售单价为44元时,日销售量为72件;当销售单价为48元时,日销售量为64件.
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元),当销售单价为多少时,日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
【点拨】利用求二次函数最值的方法便可解出答案.
解:由题意得,W与x的函数关系式为W=(x-40)(-2x+160)=-2x2+240x-6 400=-2(x-60)2+800,当x=60时,W最大,是800,所以当销售单价为60元时,日销售利润最大,最大日销售利润是800元.
4.【2020·武汉】某公司分别在A、B两城生产同一种产品,共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx.当x=10时,y=400;当x=20时,y=1 000.B城生产产品的每件成本为70万元.
(2)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时,求A、B两城各生产多少件;
解:由(1)得y=x2+30x,设A、B两城生产这批产品的总成本的和为w万元,则w=x2+30x+70(100-x)=x2-40x+7 000=(x-20)2+6 600,
由二次函数的性质可知,当x=20时,w取得最小值,此时100-20=80.答:A城生产20件,B城生产80件.
(3)从A城把该产品运往C、D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件;从B城把该产品运往C、D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件,D地需要10件,在(2)的条件下,直接写出A、B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示).
解:当0<m≤2时,A、B两城总运费的和的最小值为(20m+90)万元;当m>2时,A、B两城总运费的和的最小值为(10m+110)万元.
5.【2020·鄂州节选】一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围);
(2)在销售过程中要求售价不低于进价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6 000件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少?
设这一周的利润为w元,根据题意得,w=(x-3)y=(x-3)(-500x+12 000)=-500x2+13 500x-36 000=-500(x-13.5)2+55 125,∵-500<0,∴当x<13.5时,w随x的增大而增大.
∵3≤x≤12,∴当x=12时,w取最大值,为-500×(12-13.5)2+55 125=54 000.答:这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元,售价为12元/件.
6.【2020·潍坊】因疫情防控需要,消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价50元,每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时,药店每天获得的利润最大,最大利润是多少元?(利润=销售价-进价)
解:设药店每天获得的利润为w元,由题意得,w=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)2+1 800,∵-2<0,∴当x=80时,w有最大值,最大值是1 800.答:每桶消毒液的销售价定为80元时,药店每天获得的利润最大,最大利润是1 800元.
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
涨价:要保证销售量≥0;降件:要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
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