初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数练习，共14页。试卷主要包含了题型一，题型二，题型三，题型四，题型五，题型六等内容，欢迎下载使用。

目录TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc22761" 题型一：线段周长问题 PAGEREF _Tc22761 \h 1
\l "_Tc9643" 题型二：面积问题 PAGEREF _Tc9643 \h 3
\l "_Tc7425" 题型三：角度问题 PAGEREF _Tc7425 \h 5
\l "_Tc18334" 题型四：特殊三角形问题 PAGEREF _Tc18334 \h 7
\l "_Tc22943" 题型五：特殊四边形问题 PAGEREF _Tc22943 \h 9
\l "_Tc25347" 题型六：其他问题 PAGEREF _Tc25347 \h 11
一、题型一：线段周长问题
1．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为 ．
2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ．
3．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；
(2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值．
4．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线的函数解析；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围______．
(3)是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限内时，求线段长度的最大值．
5．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
二、题型二：面积问题
6．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为．
(1)求点A，C的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标．
8．（22-23九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
9．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标；
10．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴正半轴交于点，与轴于点，且过点，连接．
(1)求的面积；
(2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标．
三、题型三：角度问题
11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线经过点，，．
(1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标．
12．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标．
(3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
13．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
AI
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标；
(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由．
14．（2024·山西朔州·一模）综合与探究
如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线经过A，C两点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为)，，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积．
15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标；
(3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值．
四、题型四：特殊三角形问题
16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为．
(1)分别求直线和这条抛物线的解析式；
(2)若，求此时点的坐标；
(3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A1,0， 两点，与x轴交于点B．
(1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
20．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标．
(3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标．
五、题型五：特殊四边形问题
21．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
22．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积；
(3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标；
(3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
24．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标；
(3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
25．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为．
(1)分别求出点，的坐标（用表示）；
(2)证明：函数与的图象相交于，两点；
(3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值．
六、题型六：其他问题
26．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点C0,−3．
(1)求的值及点的坐标；
(2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标．
27．（2024·贵州遵义·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，通常先求出的顶点坐标，再根据的顶点坐标，可发现其图象的平移过程．请根据你对函数图象平移的理解，完成下列问题．
【初步感知】
（1）将抛物线向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度可得的图象；
【深入探究】
（2）将的图象平移，使得平移后的图象始终过点0,1，且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，则最多将的图象向右平移多少个单位长度？
【拓展提升】
（3）将的图象平移后得到的图象，且使得的图象与直线在轴上方只有一个交点，直接写出的取值范围．
28．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且．
(1)求a的值；
(2)点D为抛物线的顶点，点P在第三象限的抛物线上，轴，交直线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，连接、，交y轴于点E，连接、，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，射线交y轴于点K，当时，求点P的坐标．
29．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于点A−2,0，点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时；
①取的中点，求点运动轨迹的函数的解析式；
②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；则函数的解析式为 （用含n的式子表示）．
③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，直接写出m的取值范围．
30．（2024·湖南岳阳·模拟预测）我们定义：平面直角坐标系中点到x轴的距离称为点P的偏离距离，如的偏离距离为2．已知抛物线 与直线相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为点 B的坐标为 其中a，b，c，m，n为实数， 且a，m不为0．
(1)求c的值；
(2)设抛物线 上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为和，求的值；
(3)若函数图象在上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数 在 上的最大偏离距离 求抛物线在上的最大偏离距离d的最小值．