数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数导学案
展开第08讲 二次函数的实际应用(六大类型)
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题,培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识.
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程,深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
知识点1 :运动类
(1)落地模型
(2) 最值模型
知识点2 :经济类
销售问题常用等量关系 :
利润=收入-成本; 利润=单件利润×销量 ;
知识点13 :面积类
知识点4:拱桥类
一般步骤:(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;(5)利用关系式求解问题.
【题型1 运动类(1)落地模型】
【典例1】(2023•原平市一模)在2023年中考体育考试前,小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析,发现实心球飞行路线是一条抛物线,若不考虑空气阻力,实心球的飞行高度y(单位:米)与飞行的水平距离x(单位:米)之间具有函数关系y=﹣x2+x+,则小康这次实心球训练的成绩为( )
A.14米 B.12米 C.11米 D.10米
【答案】B
【解答】解:当y=0时,则﹣x2+x+=0,
解得x=﹣2(舍去)或x=12.
故选:B.
【变式1-1】(2022秋•罗山县期末)如图,一位运动员推铅球,铅球运行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=﹣.问:此运动员能把铅球推出多远?( )
A.12m B.10m C.3m D.4m
【答案】B
【解答】解:把y=0代入y=﹣x2+x+得:
﹣x2+x+=0,
解之得:x1=10,x2=﹣2.
又x>0,解得x=10.
故选:B.
【变式1-2】(2022秋•西岗区校级期末)小强在一次训练中,掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数,则小强此次成绩为( )
A.8米 B.9米 C.10米 D.12米
【答案】B
【解答】解:在函数中,当y=0时,﹣x2+x+3=0,
解得x1=﹣1(舍去),x2=9,
即小强此次成绩为9米,
故选:B.
【题型2 运动类(2)最值模型】
【典例2】(2022秋•任城区校级期末)飞机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是s=60t﹣1.5t2,则飞机着陆后滑行到停止下来,滑行的距离为( )
A.500米 B.700米 C.600米 D.800米
【答案】C
【解答】解:∵s=60t﹣1.5t2=﹣1.5(t﹣20)2+600,
∴当t=20时,s取得最大值,此时s=600,
即飞机着陆后滑行到停止下来的滑行距离为600米.
故选:C.
【变式2-1】(2023•郸城县一模)某市公园欲修建一个圆型喷泉池,在水池中垂直于地面安装一个柱子OP,安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,在过OP的任一平面上,建立平面直角坐标系(如图所示),水平距离x(m)与水流喷出的高度y(m)之间的关系式为,则水流喷出的最大高度是( )
A.5.5m B.5m C.4.5m D.4m
【答案】D
【解答】解:y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣3)2+4,
∵﹣<0,
∴当x=3时,y有最大值,最大值为4,
故选:D.
【变式2-2】(2023•泰兴市二模)某学校航模组设计制作的火箭升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式为h=﹣t2+12t+1.如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞,那么降落伞将在离地面 37 m处打开.
【答案】37.
【解答】解:h=﹣t2+12t+1=﹣(t﹣6)2+37,
∵a=﹣1<0,
∴点火升空的最高点距地面37m,
故答案为:37.
【变式2-3】(2023春•二道区校级月考)向空中发射一枚信号弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此信号弹在第8秒与第14秒时的高度相等,则在 11 秒时信号弹所在高度最高的.
【答案】11.
【解答】解:∵此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等,
∴抛物线的对称轴是直线,
∴炮弹位置达到最高时,时间是第11秒.
故答案为:11.
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【典例3】(2023•宝应县二模)某商家经营某种商品,该商品的进价为30元/件,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(单位:件)与销售价x(单位:元/件)(x为正整数)之间的关系绘制成函数图象如图所示.
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围);
(2)若某周该商品的销售量不少于800件,求这周该商家销售这种商品获得的最大利润;
(3)规定这种商品的销售价不超过进价的2倍,若商品的进价每件提高m元(m>0)时,该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大,请求出m的取值范围.
【答案】(1)y与x的函数关系式为:y=﹣10x+1500;
(2)最大利润为32000元;
(3)0<m≤20.
【解答】解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)
则有:,
解得:.
∴设y与x的函数关系式为:y=﹣10x+1500
(2)∵商品该商品的销售量不少于800件,
由(1)得:y与x的函数关系式为:y=﹣10x+1500,
∴﹣10x+1500≥800,
解得:0≤x≤70,
设该商家销售这神蔏品获得的最大利润w元,
∴w=(x﹣30)⋅y=(x﹣30)(﹣10x+1500)=﹣10x2+1800x﹣45000=﹣10(x﹣90)2+36000,
∵a=﹣10<0,对称轴为直线x=90,
∴当0≤x≤70时,由二次函数的性质可知,在对称轴的左侧w随x的增大而增大,
当x=70时,w取得最大值,最大值为32000元;
(3)∵商品的销售价不超过进价的2倍,商品的进价每件提高m元(m>0)时,
∴x≤2(m+30),
此时利润w=(x﹣30﹣m)⋅y
=(x﹣30﹣m)(﹣10x+1500)
=﹣10x2+(1800+10m)x﹣(45000+1500m),
∴对称轴为,
∵该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大,
∴,
∴m≤20,
∵m>0,
∴0<m≤20.
【变式3-1】(2023•长阳县一模)某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜,销往零售超市,已知这种蔬菜的标价为45元/箱,实际售价不低于标价的八折.批发商通过分析销售情况,发现这种蔬菜的销售量y(箱)与当天的售价x(元/箱)满足一次函数关系,如表是其中的两组对应值.
售价x(元/箱)
…
35
38
…
销售量y(箱)
…
130
124
…
(1)若某天这种蔬菜的售价为42元/箱,则当天这种蔬菜的销售最为 116 箱;
(2)该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元?若能,请求出当天的销售价;若不能,请说明理由.
(3)批发商搞优惠活动,购买一箱这种蔬菜,赠送成本为6元的土豆,这种蔬菜的售价定为多少时,可获得日销售利润最大,最大日销售利润是多少元?
【答案】(1)116;
(2)不能,理由见详解;
(3)这种蔬菜的售价为45元,可获得最大日利润为1650元.
【解答】解:(1)设y与x之间的函数关系为y=kx+b,
根据题意得:,
解得:,
∴y=﹣2x+200,
∴当x=42时,y=﹣2×42+200=116,
∴当天这种蔬菜的销售量为116箱;
故答案为116;
(2)根据题意得:(﹣2x+200)(x﹣24)=1320,
解得x1=34,x2=90,
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36,且不高于45,
∴36≤x≤45,
∴34,90都不满足题意,
所以该批发商销售这种蔬菜不能在某天获利1320元;
(3)设日获得利润为w元,
则w=(﹣2x+200)(x﹣24﹣6)=﹣2(x﹣65)2+2450,
∵a=﹣2<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x<65时,w的值随x值的增大而增大,
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36,
∴36≤x≤45,
∴当x=45时,(元),
答:这种蔬菜的售价为45元,可获得最大日利润为1650元.
【变式3-2】(2023•太康县一模)五一”黄金周期间,丹尼斯百货计划购进A、B两种商品.已知购进3件A商品和2件B商品,需1200元;购进2件A商品和3件B商品,需1300元.
(1)A、B两种商品的进货单价分别是多少?
(2)设A商品的销售单价为x(单位:元/件),在销售过程中发现:当220≤x≤380时,A商品的日销售量y(单位:件)与销售单价x之间存在一次函数关系,x、y之间的部分数值对应关系如表:
销售单价x(元/件)
220
380
日销售量y(件)
180
20
请写出当220≤x≤380时,y与x之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,设A商品的日销售利润为w元,当A商品的销售单价x(元/件)定为多少时,日销售利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件;
(2)y=﹣x+400(220≤x≤380);
(3)A商品的销售单价定为300元/件时,日销售利润最大,最大利润是10000元.
【解答】解:(1)设A、B两种商品的进货单价分别是a、b元/件,由题意得:,
解得:,
∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件;
(2)设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1,将(220,180),(380,20)代入得:,
解得:,
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+400(220≤x≤380);
(3)由题意得:
w=(﹣x+400)(x﹣200)
=﹣x2+600x﹣80000
=﹣(x﹣300)2+10000(220≤x≤380),
∴当x=300时,w取得最大值10000,
∴当A商品的销售单价定为300元/件时,日销售利润最大,最大利润是10000元.
【变式3-3】(2023•岳麓区校级二模)从2020年开始,越来越多的商家向线上转型发展,“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段.某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足y=﹣10x+400,设销售这种商品每天的利润为W(元).
(1)求W与x之间的函数关系式;
(2)该商家每天想获得1250元的利润,又要减少库存,应将销售单价定为多少元?
(3)若销售单价不低于28元,且每天至少销售50件时,求W的最大值.
【答案】(1)W=﹣10x2+500x﹣4000,0<x≤40;
(2)销售单价应定为15元;
(3)W的最大值为2160元.
【解答】解:(1)根据题意,有:W=y×(x﹣10)=(﹣10x+400)×(x﹣10),
化简,得:W=﹣10x2+500x﹣4000,
根据,解得:x>10,
即函数关系为:W=﹣10x2+500x﹣4000,x>10;
(2)令W=1250,可得:﹣10x2+500x﹣4000=1250,
解得:x=15,或者x=35,
当x=15时,销量:y=﹣10x+400=250(件);
当x=35时,销量:y=﹣10x+400=50(件);
销量越高,越有利于减少库存,
即为了减少库存,将销售单价应定为15元;
(3)根据题意有:,解得:28≤x≤35,
将W=﹣10x2+500x﹣4000化为顶点式为:W=﹣10(x﹣25)2+2250,
∵﹣10<0,
∴当x>25时,函数值随着x的增大而减小,
∵28≤x≤35,
∴当x=28时,函数值最大,最大为:W=﹣10(28﹣25)2+2250=2160.
答:此时W的最大值为2160元.
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】
【典例4】(2023•黄石一模)某商品的进价为每件40元,当售价为每件50元时,每个月可卖出210件,如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元),设每件商品的售价上涨x元,每个月的销售量为y件.
(1)则y与x的函数关系式为: y=210﹣10x ,自变量x的取值范围是: 0<x≤15 ;
(2)每件商品的售价定为多少元时(x为正整数),每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)若在销售过程中每一件商品都有a(a>0)元的其它费用,商家发现当售价每件不低于58元时,每月的销售利润随x的增大而减小,请直接写出a的取值范围: 3<a≤5 .
【答案】(1)y=210﹣10x,0<x≤15;
(2)当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元;
(3)3<a≤5.
【解答】解:(1)由题意知,y与x的函数关系式为y=210﹣10x,
∵每件售价不能高于65元,
∴50+x≤65,
解得x≤15,
∴0<x≤15,
故答案为:y=210﹣10x,0<x≤15;
(2)设月利润为w,w=(210﹣10x)(50+x﹣40)
=﹣10x2+110x+2100
=﹣10(x﹣5.5)2+2402.5,(0<x≤15且x为正整数),
∵a=﹣10<0,
∴当x=5.5时,w有最大值2402.5,
∵0<x≤15且x为正整数,
当x=5时,50+x=55,w=﹣10×(5﹣5.5)2+2402.5=2400(元),
当x=6时,50+x=56,w=﹣10×(6﹣5.5)2+2402.5=2400(元),
∴当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元;
(3)由题意得:w=(210﹣10x)(50+x﹣40﹣a)=﹣10(x﹣21)(x+10﹣a),
∴函数图象的对称轴为:,
售价每件不低于58元时,即x≥58﹣50=8,又0<x≤15且x为整数,
∴8≤x≤15,且x为整数,w随x的增大而减小,
∴,
解得3<a≤5,
∴a的取值范围为3<a≤5.
故答案为:3<a≤5.
【变式4-1】(2023•南海区校级模拟)因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好,深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一.深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶,每杯成本价为5元,根据销售经验,在旅游旺季,若每杯定价25元,则平均每天可销售300杯;若每杯价格降低1元,则平均每天可多销售30杯.店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动,设每杯奶茶降价为x元时,每天可销售y杯.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x为多少时,能让店家获得最大利润额?最大利润额为多少?
【答案】(1)y=﹣30x+1050;(2)x=20时,能让店家获得最大利润额,最大利润额为6750元.
【解答】解:(1)由题意得:y=300+30(25﹣x)=﹣30x+1050;
即y与x之间的函数关系式为y=﹣30x+1050;
(2)设最大利润额为W,
由题意得:W=(x﹣5)(﹣30x+1050)
=﹣30x2+1200x﹣5250
=﹣30(x﹣20)2+6750,
∴x=20时,能让店家获得最大利润额,最大利润额为6750元.
答:x=20时,能让店家获得最大利润额,最大利润额为6750元.
【变式4-2】(2023•阳信县二模)2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目,冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓,成为热销产品.某商家以每套32元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件.若该产品每套的售价是48元时,每天可售出200套;若每套售价提高2元,则每天少卖4套.
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时,求该商品销售量y与x之间的函数关系式;
(2)求每套售价定为多少元时,每天销售套件所获利润W最大,最大利润是多少元?
(3)如果每天的利润要达到6080元,并且尽可能的让利于顾客,则每套的售价应该定为多少元?
【答案】(1)y=﹣2x+296
(2)当x=90时,W最大值=6728;
(3)每套的售价应该定为72元.
【解答】解:(1)根据题意,得=﹣2x+296,
∴y与x之间的函数关系式:y=﹣2x+296;
(2)根据题意,得:W=(x﹣32)(﹣2x+296)=﹣2(x﹣90)2+6728,
∵a=﹣2<0,
∴抛物线开口向下,W有最大值,
当x=90时,W最大值=6728;
(3)﹣2(x﹣90)2+6728=6080,x1=108或x2=72,
因为要尽可能让利于顾客,所以每套的售价应该定为72元.
【变式4-3】(2023•建昌县二模)某纪念品的进价为每件40元,售价为每件50元,每星期可卖出200个.经市场调查发现:以不低于现售价的价格销售该商品,售价每上涨1元,则每星期少卖4个(每件售价不高于68元),设每件商品销售单价为x(元),每星期销售量为y(个).
(1)求y与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)将该纪念品的销售单价定为多少元时,每星期销售这种产品获得的利润最大?最大利润是多少元?
【答案】(1)y=﹣4x+400,50≤x≤68.
(2)单价定为68元时,每星期销售这种产品获得的利润最大,最大利润是3584元.
【解答】解:(1)由题意得:
y=200﹣4(x﹣50)
=﹣4x+400.
自变量x的取值范围为50≤x≤68.
(2)设每星期销售这种产品获得的利润为w元,
由题意得:
w=(x﹣40)(﹣4x+400)
=﹣4x2+560x﹣16000
=﹣4(x﹣70)2+3600,
∵a=﹣4<0,50≤x≤68,
∴当x=68时,w取得最大值,最大值为:﹣4(68﹣70)2+3600=3584,
答:单价定为68元时,每星期销售这种产品获得的利润最大,最大利润是3584元.
【变式4-4】(2023•东莞市校级三模)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.
(1)若每个房间的定价为每天200元时,宾馆的利润是多少?
(2)房价定为多少时,宾馆利润取得最大值?
【答案】(1)每个房间的定价为每天200元时,宾馆的利润是8640元;
(2)房价定为350元时,宾馆利润取得最大值.
【解答】解:(1)依题意得:元,
即每个房间的定价为每天200元时,宾馆的利润是8640元;
(2)设每个房间定价增加x元,
依题意得:所获利润=,
∴当x=170元时,利润最大,
∴180+170=350(元),
即房价定为350元时,宾馆利润取得最大值.
【题型5 面积类】
【典例5】(2023•越秀区校级一模)如图,有长为12m的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度a为5m),设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围;
(2)要围成面积为9m2的花圃,AB的长是多少米?
(3)当AB的长是多少米时,围成的花圃面积最大?
【答案】(1)S=﹣3x2+12x,;
(2)3米;
(3)m.
【解答】解:(1)由题意,得:BC=12﹣3x,
∴S=AB⋅BC=x(12﹣3x)=﹣3x2+12x;
∵0<BC≤5,
即0<12﹣3x≤5,
解得:,
∴x值的取值范围为:;
(2)当S=9时,
即﹣3x2+12x=9,
解得:x1=1,x2=3,
∵,
∴x=3,
即AB的长是3米;
(3)S=﹣3x2+12x=﹣3(x﹣2)2+12,
∵a=﹣3<0,抛物线开口向下,
∴抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小,
∵,
∴当时,S取的最大值,
∴当AB的长是m时,围成的花圃面积最大.
【变式5-1】(2023•锦江区校级模拟)用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框,设矩形窗框的宽为x米,窗框的透光面积为S平方米.(铝合金型材宽度不计)
(1)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)求S的最大值.
【答案】(1)S=﹣x2+6x(0<x≤);
(2)S的最大值为6m2.
【解答】解:(1)设窗框的宽为xm,则长为(12﹣3x)m,
根据题意可得:S=x××(12﹣3x)=﹣x2+6x;
∵0<x≤(12﹣3x),
∴0<x≤.
(2)∵S=﹣x2+6x=﹣(x﹣2)2+6,
∴当x=2时,S的最大值为6;
故S的最大值为6m2.
【变式5-2】(2023•东莞市校级二模)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形,已知栅栏的总长度为24m.
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求BD长度;
(2)求矩形养殖场的总面积最大值为多少.
【答案】(1)2;
(2)m2.
【解答】解:(1)设BD=xm,
根据题意知:较大矩形的宽为2xm,长为=(8﹣x) m,
∴(x+2x)×(8﹣x)=36,
解得x=2或x=6,
经检验,x=6时,3x=18>13不符合题意,舍去,
∴x=2,
答:此时BD的值为设BD长度为2m,
(2)设矩形养殖场的总面积是ym2,
∵墙的长度为13m,
∴0<x≤,
根据题意得:y=(x+2x)×(8﹣x)=﹣3x2+24x=﹣3(x﹣4)2+48,
∵﹣3<0,
∴当x=时,y取最大值,最大值为﹣3×(﹣4)2+48=(m2),
答:当x=时,矩形养殖场的总面积最大,最大值为m2.
【变式5-3】(2023•凉山州模拟)2022年5月,教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中,要求以丰富开放的劳动项目为载体,培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校为此规划出矩形苗圃ABCD,苗圃的一面靠墙(墙最大可用长度为12米),另三边用木栏围成,中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域,并在如图所示的两处各留1米宽的门(门不用木栏),修建所用木栏总长28米,设矩形ABCD的一边CD长为x米.
(1)矩形ABCD的另一边BC长为 30﹣3x 米(用含的代数式表示);
(2)若矩形ABCD的面积为63m2,求x的值;
(3)当x为何值时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为多少平方米?
【答案】(1)30﹣3x;
(2)7;
(3)当x=6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为72平方米.
【解答】解:(1)∵修建所用木栏总长28米,且两处各留1米宽的门(门不用木栏),
∴BC=2+28﹣3x=(30﹣3x)米,
故答案为:30﹣3x;
(2)∵墙最大可用长度为12米,
∴2<BC≤12,即2<30﹣3x≤12,
解得:6≤x<,
根据图形可列方程得:x(30﹣3x)=63,
解得:x1=3(舍),x2=7,
∴x的值为7;
(3)设矩形的面积为S平方米,
则S=x(30﹣3x)
=﹣3x2+30x
=﹣3(x﹣5)2+75,
∵﹣3<0,且6≤x<,
∴当x=6时,S有最大值,最大值为72,
答:当x=6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为72平方米.
【题型6 拱桥类】
【典例6】(2023•武功县模拟)在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线,如图,已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米,距地面均为1米,绳的最高点距离地面的高度为4米,以水平地面为x轴,垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)身高为1.57米的小明此时进入跳绳,他站直时绳子刚好通过他的头顶,小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离,求小明离甲的水平距离.
【答案】(1);
(2)0.3m.
【解答】解:(1)由题意知,抛物线经过点,,(0,4),即(﹣3,1),(3,1),(0,4),
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c,
则,
解得:,
∴抛物线的函数表达式为;
(2)将y=1.57代入,得,
解得x=±2.7,
∵小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离,
∴x=﹣2.7,﹣2.7﹣(﹣3)=0.3(m),
∴小明离甲的水平距离为0.3m.
【变式6-1】(2023•会昌县模拟)卡塔尔世界杯完美落幕.在一场比赛中,球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射(把球高高地挑过守门员的头顶,射入球门),假如球飞行的路线是一条抛物线,在离球门14米时,足球达到最大高度8米.如图所示,以球员甲所在位置O点为原点,球员甲与对方球门所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
(1)求满足条件的抛物线的函数表达式;
(2)如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处,C罗跳起后最高能达到2.88米,那么C罗能否在空中截住这次吊射?
【答案】(1)y=﹣(x﹣16)2+8;
(2)能.
【解答】解:(1)由题意可得,足球距离点O(30﹣14)=16米时,足球达到最大高度8米,
设抛物线解析式为:y=a(x﹣16)2+8,
把(0,0)代入解析式得:0=a(0﹣16)2+8,
解得:a=﹣,
故抛物线解析式为:y=﹣(x﹣16)2+8;
(2)当x=3时,y=﹣(3﹣16)2+8=2.71875<2.88,
故C罗能在空中截住这次吊射.
【变式6-2】(2023•仁和区二模)掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目.如图1是一名女生投实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示,掷出时起点处高度为m,当水平距离为3m时,实心球行进至最高点3m处.(1)求y关于x的函数表达式;(2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生),投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m,此项考试得分为满分15分.该女生在此项考试中是否得满分,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣(x﹣3)2+3.
(2)该女生在此项考试中没有得满分,理由见解答.
【解答】解:(1)设y关于x的函数表达式为y=a(x﹣3)2+3,
把(0,)代入上式得,
a(0﹣3)2+3=,
解得a=﹣,
∴y=﹣(x﹣3)2+3.
(2)该女生在此项考试中没有得满分.
理由:令y=0,即﹣(x﹣3)2+3=0,
解得x1=7.5,x2=﹣1.5(舍去),
∴实心球从起点到落地点的水平距离为7.5米,小于7.80米,
∴该女生在此项考试中没有得满分.
【变式6-3】(2023•碑林区校级模拟)为培养学生劳动实践能力,某学校在校园内开辟出一块劳动实践基地,搭建了一个横截面为抛物线型的大棚,如图建立平面直角坐标系,使抛物线对称轴为y轴,AB=6m,CO=3m.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)大棚的门是一个矩形EFGH,要求点E、F在抛物线上,门的高度FG与宽度EF的比为2:3,那么门的宽度EF应设计成多少米(不考虑材料厚度)?(结果保留根号)
【答案】(2﹣4)m.
【解答】解:(1)由图可设抛物线的解析式为:y=ax2+3,
由图知抛物线与x轴正半轴的交点为B(3,0),则:a•32+3=0,
∴a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3;
(2)∵门的高度FG与宽度EF的比为2:3,E,F关于y轴对称,
∴=,
设FG=4t,FM=3t,则EF=6t,
∴F(3t,4t),
∵点F在抛物线上,
∴4t=﹣×(3t)2+3,
解得t=(舍去负值),
∴EF=(2﹣4)(m).
答:门的宽度EF应设计成(2﹣4)m.
1.(2022•新疆)如图,用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为 32 m2.
【答案】32.
【解答】解:设与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一边长为(16﹣2x)m,
∴矩形围栏的面积为x(16﹣2x)=﹣2x2+16x=﹣2(x﹣4)2+32,
∵﹣2<0,
∴当x=4时,矩形有最大面积为32m2,
故答案为:32.
2.(2022•襄阳)在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中,我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止,已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线,设她与跳台边缘的水平距离为xm,与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym,y与x的函数关系式为y=x2+x+2(0≤x≤20.5),当她与跳台边缘的水平距离为 8 m时,竖直高度达到最大值.
【答案】8.
【解答】解:y=x2+x+2=﹣(x﹣8)2+4,
∵﹣<0,
∴当x=8时,y有最大值,最大值为4,
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时,竖直高度达到最大值.
故答案为:8.
3.(2022•黔西南州)如图,是一名男生推铅球时,铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直角坐标系,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=﹣x2+x+,则铅球推出的水平距离OA的长是 10 m.
【答案】10.
【解答】解:∵y=﹣x2+x+,
∴当y=0时,0=﹣x2+x+,
解得x1=﹣2,x2=10,
∴OA=10m,
故答案为:10.
4.(2022•聊城)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元(利润=总销售额﹣总成本).
【答案】见试题解答内容
【解答】解:当10≤x≤20时,设y=kx+b,把(10,20),(20,10)代入可得:
,
解得,
∴每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的函数解析式为y=﹣x+30,
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元,
w=(x﹣8)y=(x﹣8)(﹣x+30)=﹣x2+38x﹣240=﹣(x﹣19)2+121,
∵﹣1<0,
∴当x=19时,w有最大值为121,
故答案为:121.
5.(2022•连云港)如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线y=﹣0.2x2+x+2.25运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m.
【答案】4.
【解答】解:当y=3.05时,3.05=﹣0.2x2+x+2.25,
x2﹣5x+4=0,
(x﹣1)(x﹣4)=0,
解得:x1=1,x2=4,
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m.
故答案为:4.
6.(2022•威海)某农场要建一个矩形养鸡场,鸡场的一边靠墙,另外三边用木栅栏围成.已知墙长25m,木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口(另选材料建出入门).求鸡场面积的最大值.
【答案】288m2.
【解答】解:设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一边长为(47﹣2x+1)m,由题意可得:
y=x(47﹣2x+1),
即y=﹣2(x﹣12)2+288,
由题意,
解得11.5≤x<24,
∵﹣2<0,
∴当x=12时,y有最大值为288,
当x=12时,47﹣x﹣(x﹣1)=24<25(符合题意),
∴鸡场的最大面积为288m2.
7.(2022•湘潭)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙,围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池,且需保证总种植面积为32m2,试分别确定CG、DG的长;
(2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问BC应设计为多长?此时最大面积为多少?
【答案】(1)8m,4m;
(2)m,m2.
【解答】解:(1)∵(21﹣12)÷3=3(m),
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3=36(m2),
设水池的长为am,则水池的面积为a×1=a(m2),
∴36﹣a=32,
解得a=4,
∴DG=4m,
∴CG=CD﹣DG=12﹣4=8(m),
即CG的长为8m、DG的长为4m;
(2)设BC长为xm,则CD长度为21﹣3x,
∴总种植面积为(21﹣3x)•x=﹣3(x2﹣7x)=﹣3(x﹣)2+,
∵﹣3<0,
∴当x=时,总种植面积有最大值为m2,
即BC应设计为m总种植面积最大,此时最大面积为m2.
8.(2023•南充)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价m元/件(m为常数,且4≤m≤6,售价8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价12元/件,售价20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2.
(1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润.(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.
【利润=(售价﹣成本)×产销数量﹣专利费】
【答案】(1)w1=(8﹣m)x﹣30,(0≤x≤500);w2=﹣0.01x2+8x﹣80,(0≤x≤300).
(2)A产品:(﹣500m+3970)元;B产品:1420元.
(3)当m=5.1时,选择A,B产品产销均可;
当4≤m<5.1时,选择A种产品产销;
当5.1<m≤6时,选择B种产品产销.
【解答】解:(1)根据题意,得w1=(8﹣m)x﹣30,(0≤x≤500).
w2=(20﹣12)x﹣(80+0.01x2)
=﹣0.01x2+8x﹣80,(0≤x≤300).
(2)∵8﹣m>0,∴w1随x的增大而增大,又0≤x≤500,
∴当x=500时,w1有最大值,即w最大=﹣500m+3970(元).
∵w2=﹣0.01x2+8x﹣80=﹣0.01(x﹣400)2+1520.
又∵﹣0.01<0.对称轴x=400.
∴当0≤x≤300时,w2随x的增大而增大,
∴当x=300时,w2最大=﹣0.01×(300﹣400)2+1520=1420(元).
(3)①若w1最大=w2最大,即﹣500m+3970=1420,解得m=5.1,
②若w1最大>w2最大,即﹣500m+3970>1420,解得m<5.1,
③若w1最大<w2最大,即﹣500m+3970<1420,解得m>5.1.
又4≤m≤6,综上可得,为获得最大日利润:
当m=5.1时,选择A,B产品产销均可;
当4≤m<5.1时,选择A种产品产销;
当5.1<m≤6时,选择B种产品产销.
答:当A产品成本价为5.1元时,工厂选择A或B产品产销日利润一样大,当A产品4≤m<5.1时,工厂选择A产品产销日利润最大,当5.1<m≤6时,工厂选择B产品产销日利润最大.
9.(2022•无锡)某水果店出售一种水果,每箱定价58元时,每周可卖出300箱.试销发现:每箱水果每降价1元,每周可多卖出25箱;每涨价1元,每周将少卖出10箱.已知每箱水果的进价为35元,每周每箱水果的平均损耗费为3元.
(1)若不进行价格调整,这种水果的每周销售利润为多少元?
(2)根据以上信息,你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多?
【答案】(1)若不进行价格调整,这种水果每周销售利润为6000元;
(2)当每箱水果定价为54元时,这种水果的每周销售利润最大为6400元.
【解答】解:(1)∵58﹣35﹣3=20,20×300=6000(元),
∴若不进行价格调整,这种水果每周销售利润为6000元;
(2)若每箱水果降价x元,这种水果的每周销售利润为y元,
根据题意得:y=(58﹣35﹣3﹣x)(300+25x)=﹣25(x﹣4)2+6400,
由二次函数性质可知,当x=4时,y的最大值为6400元;
若每箱水果涨价x'元,这种水果的每周销售利润为y'元,
根据题意得:y'=(58﹣35﹣3+x')(300﹣10x')=﹣10(x'﹣5)2+6250,
由二次函数性质可知,当x'=5时,y'的最大值为6250元;
综上所述,当每箱水果定价为54元时,这种水果的每周销售利润最大为6400元.
10.(2022•朝阳)某商店购进了一种消毒用品,进价为每件8元,在销售过程中发现,每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15,且x为整数).当每件消毒用品售价为9元时,每天的销售量为105件;当每件消毒用品售价为11元时,每天的销售量为95件.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润,则每件消毒用品的售价为多少元?
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元),当每件消毒用品的售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为:y=﹣5x+150;
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润,则每件消毒用品的售价为13元;
(3)每件消毒用品的售价为15元时,每天的销售利润最大,最大利润是525元.
【解答】解:(1)设每天的销售量y(件)与每件售价x(元)函数关系式为:y=kx+b,
由题意可知:,
解得:,
∴y与x之间的函数关系式为:y=﹣5x+150;
(2)(﹣5x+150)(x﹣8)=425,
解得:x1=13,x2=25(舍去),
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润,则每件消毒用品的售价为13元;
(3)w=y(x﹣8),
=(﹣5x+150)(x﹣8),
w=﹣5x2+190x﹣1200,
=﹣5(x﹣19)2+605,
∵8≤x≤15,且x为整数,
当x<19时,w随x的增大而增大,
∴当x=15时,w有最大值,最大值为525.
答:每件消毒用品的售价为15元时,每天的销售利润最大,最大利润是525元.
11.(2022•鄂尔多斯)某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件,第一批花了6600元,第二批花了8000元,第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍,且第二批比第一批多购进50个.
(1)求第二批每个挂件的进价;
(2)两批挂件售完后,该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件,经市场调查发现,当售价为每个60元时,每周能卖出40个,若每降价1元,每周多卖10个,由于货源紧缺,每周最多能卖90个,求每个挂件售价定为多少元时,每周可获得最大利润,最大利润是多少?
【答案】(1)第二批每个挂件的进价为40元.
(2)当每个挂件售价定为55元时,每周可获得最大利润,最大利润是1350元.
【解答】解:(1)设第二批每个挂件的进价为x元,则第一批每个挂件的进价为1.1x元,
根据题意可得,+50=,
解得x=40.
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合实际意义,
∴1.1x=44.
∴第二批每个挂件的进价为40元.
(2)设每个售价定为y元,每周所获利润为w元,
根据题意可知,w=(y﹣40)[40+10(60﹣y)]=﹣10(y﹣52)2+1440,
∵﹣10<0,
∴当x≥52时,w随y的增大而减小,
∵40+10(60﹣y)≤90,
∴w≥55,
∴当y=55时,w取最大,此时w=﹣10(55﹣52)2+1440=1350.
∴当每个挂件售价定为55元时,每周可获得最大利润,最大利润是1350元.
12.(2022•兰州)掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一名学生投实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示,掷出时起点处高度为m,当水平距离为3m时,实心球行进至最高点3m处.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准,投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m,此项考试得分为满分10分.该生在此项考试中是否得满分,请说明理由.
图1来源:《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=﹣(x﹣3)2+3;
(2)该女生在此项考试中是得满分,理由见解答.
【解答】解:(1)根据题意设y关于x的函数表达式为y=a(x﹣3)2+3,
把(0,)代入解析式得:=a(0﹣3)2+3,
解得:a=﹣,
∴y关于x的函数表达式为y=﹣(x﹣3)2+3;
(2)该生在此项考试中是得满分,理由:
令y=0,则﹣(x﹣3)2+3=0,
解得:x1=7.5,x2=﹣1.5(舍去),
∵7.5>6.70,
∴该生在此项考试中是得满分.
1.(2023•东莞市校级模拟)飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数解析式是s=﹣1.5t2+60t,那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来( )
A.10s B.20s C.30s D.40s
【答案】B
【解答】解:∵a=﹣1.5<0,
∴函数有最大值,
当t=﹣=﹣=20(秒),
即飞机着陆后滑行20秒能停下来,
故选:B.
2.(2022秋•潼南区期末)小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形,若实心球运动的抛物线的表达式为,其中y是实心球飞行的高度,x是实心球飞行的水平距离,则小明此次掷球过程中,实心球的最大高度是( )
A.3m B.m C.m D.m
【答案】B
【解答】解:在y=﹣(x﹣3)2+中,
当x=3时,y有最大值,
∴小明此次掷球过程中,实心球的最大高度是m,
故选:B.
3.(2022秋•牡丹区校级期末)校运动会上,某运动员掷铅球时,他所掷的铅球的高h(m)与水平距离x(m)之间的函数关系满足h=﹣x2+x+,则该运动员掷铅球的成绩是( )
A.6m B.10m C.8m D.12m
【答案】B
【解答】解:由题意可知,把y=0代入解析式得:
﹣x2+x+=0,
解方程得x1=10,x2=﹣2(舍去),
即该运动员的成绩是10米.
故选:B.
4.(2021秋•鄄城县期末)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为( )
A.﹣20m B.10m C.20m D.﹣10m
【答案】C
【解答】解:根据题意B的纵坐标为﹣4,
把y=﹣4代入y=﹣x2,
得x=±10,
∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),
∴AB=20m.
即水面宽度AB为20m.
故选:C.
5.(2022秋•红桥区期末)如图,计划用总长为43m的篱笆(图中虚线部分)围成一个矩形鸡舍ABCD,其中一边AB是墙(可利用的墙的长度为21m),中间共留两个1m的小门,设篱笆BC长为xm.
(1)AB的长为 45﹣3x (m)(用含x的代数式表示);
(2)若矩形鸡舍ABCD的面积为150m2,求篱笆BC的长;
(3)求矩形鸡舍ABCD面积的最大值及此时篱笆BC的长.
【答案】(1)45﹣3x;
(2)当矩形鸡舍ABCD的面积为2150m2时,篱笆BC的长为10m;
(3)矩形鸡舍ABCD面积的最大值为168m2,此时篱笆BC的长为8m.
【解答】解:(1)由题意可得,
AB的长为:43﹣3x+2=(45﹣3x)m,
故答案为:45﹣3x;
(2)由图可得,
矩形鸡舍ABCD的面积为:AB•BC=(45﹣3x)•x=﹣3x2+45x,
由题意得:﹣3x2+45x=150,
解得x1=5,x2=10,
当x=5时,AB=45﹣3×5=30>21,不合题意,舍去;
当x=10时,AB=45﹣3×10=15<21,符合题意;
答:当矩形鸡舍ABCD的面积为150m2时,篱笆BC的长为10m;
(3)设矩形鸡舍ABCD面积为Sm2,
由题意可得:S=﹣3x2+45x=﹣3(x﹣)2+,
,
解得8≤x≤14,
∴当x=8时,S取得最大值,此时S=168,
即矩形鸡舍ABCD面积的最大值为168m2,此时篱笆BC的长为8m.
6.(2023•葫芦岛一模)某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元,市场调查发现,在一段时间内,销售量y(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化,具体关系如图所示,设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w(元).解答下列问题:
(1)求y与x的函数关系式:
(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克,公司想要在这段时内获得2000元的销售利润,销售单价应定为多少元?
(3)求销售单价为多少时销售利润最大?最大为多少元?
【答案】(1)y与x的函数关系式为y=﹣2x+240;
(2)销售单价应定为70元;
(3)销售单价为85元时销售利润最大,最大为2450元.
【解答】解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
把(50,140),(80,80)代入解析式得:,
解得,
∴y与x的函数关系式为y=﹣2x+240;
(2)根据题意得:(x﹣50)(﹣2x+240)=2000,
整理得:x2﹣170x+7000=0,
解得x1=70,x1=100,
∵物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克,
∴x=70,
答:销售单价应定为70元;
(3)设销售利为w元,
根据题意得:w=(x﹣50)•y
=(x﹣50)•(﹣2x+240)
=﹣2x2+340x﹣12000
=﹣2x2+340x﹣12000
=﹣2(x﹣85)2+2450,
∵﹣2<0,
∴当x=85时,w的值最大,最大值为2450元,
答:销售单价为85元时销售利润最大,最大为2450元.
7.(2023•金乡县三模)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件,通过市场调查发现,每件小商品售价每降低1元,日销售量增加2件.
(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该商品,每件售价应定为多少元?
(2)每件售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)每件售价应定为50元;
(2)每件售价定为55元时,日销售利润450元.
【解答】解:(1)设每件售价应定为x元,则每件的销售利润为(x﹣40)元,日销售量为20+(60﹣x)×2=(140﹣2x)件,
依题意得:(x﹣40)(140﹣2x)=(60﹣40)×20,
整理得:x2﹣110x+3000=0,
解得:x1=50,x2=60(不合题意,舍去).
答:每件售价应定为50元;
(2)设利润为w,
w=(x﹣40)(140﹣2x)
=﹣2x2﹣220x﹣5600,
=﹣2(x﹣55)2+450.
每件售价定为55元时,每件的销售利润为55﹣40=15(元),日销售利润=15×(140﹣2×55)=450(元).
8.(2023•会昌县模拟)卡塔尔世界杯完美落幕.在一场比赛中,球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射(把球高高地挑过守门员的头顶,射入球门),假如球飞行的路线是一条抛物线,在离球门14米时,足球达到最大高度8米.如图所示,以球员甲所在位置O点为原点,球员甲与对方球门所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
(1)求满足条件的抛物线的函数表达式;
(2)如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处,C罗跳起后最高能达到2.88米,那么C罗能否在空中截住这次吊射?
【答案】(1)y=﹣(x﹣16)2+8;
(2)能.
【解答】解:(1)由题意可得,足球距离点O(30﹣14)=16米时,足球达到最大高度8米,
设抛物线解析式为:y=a(x﹣16)2+8,
把(0,0)代入解析式得:0=a(0﹣16)2+8,
解得:a=﹣,
故抛物线解析式为:y=﹣(x﹣16)2+8;
(2)当x=3时,y=﹣(3﹣16)2+8=2.71875<2.88,
故C罗能在空中截住这次吊射.
9.(2023•攀枝花模拟)为应对近年冬季出现的寒冷天气,农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术.大棚横截面为抛物线型,一端固定在距离地面1m的墙体A处.另一端固定在对面墙体上距离地面2m的B处,现建立平面直角坐标系(如图所示).已知大棚上某处离地面的高度y(单位:m)与其离墙体OA的水平距离x(单位:m)之间的关系满足:y=﹣+bx+c,两墙体之间的距离OC=6m.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)现打算在大棚顶部最高处安装照明设备,试计算设备安装位置距离地面的高度;
(3)为了避免大雪压垮顶棚,现打算加装一根长度为tm的支撑立柱(立柱位于墙体OA和墙体BC之间),立柱距离两边墙体的水平距离不少于2m,直接写出立柱长度t的范围.
【答案】(1);
(2);
(3)≤t≤.
【解答】解:(1)由题意可得,A(0,1),B(6,2),
将A(0,1),B(6,2)代入得,
,
解得:,
∴;
(2)∵,
∴顶点坐标为,
∵,图象开口向下,
∴函数有最大值,
∴设备安装位置距离地面的高度为;
(3)∵立柱距离两边墙体的水平距离不少于2m,
∴当x=2时,,
当x=4时,,
∵<3,
∴≤t≤.
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