人教版（2024）九年级上册22.2二次函数与一元二次方程巩固练习

这是一份人教版（2024）九年级上册22.2二次函数与一元二次方程巩固练习，共44页。试卷主要包含了题型一，题型二，题型三，题型四，题型五，题型六，题型七等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc6335" 题型一：求抛物线与x轴/y轴的交点坐标 PAGEREF _Tc6335 \h 1
\l "_Tc2549" 题型二：已知二次函数的函数值求自变量的值 PAGEREF _Tc2549 \h 16
\l "_Tc15464" 题型三：图象法解一元二次不等式 PAGEREF _Tc15464 \h 22
\l "_Tc23996" 题型四：利用不等式求自变量或函数值的范围 PAGEREF _Tc23996 \h 29
\l "_Tc12006" 题型五：根据交点确定不等式的解集 PAGEREF _Tc12006 \h 33
\l "_Tc15975" 题型六：抛物线与x轴的交点问题 PAGEREF _Tc15975 \h 41
\l "_Tc24474" 题型七：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 PAGEREF _Tc24474 \h 44
一、题型一：求抛物线与x轴/y轴的交点坐标
1．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）抛物线与y轴的交点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查与y轴的交点的特征，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案．
【详解】解：与y轴的交点即，
，
故坐标是，
故选C．
2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数对称性是解题的关键．
利用二次函数对称性求解即可．
【详解】解：∵二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，，
∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：．
∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：．
故答案为：．
3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知函数的图像与坐标轴只有两个交点：则m的取值是
【答案】或或或
【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论和两种情况即可求解．
【详解】解：①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意；
②当时，为二次函数，
若图象经过原点，则，
解得：，
此时，，图象与轴还有一个交点，满足题意；
若函数的图象与轴只有一个交点，
∴，
整理得：
解得：或，
综上所述：或或或．
故答案为：或或或．
4．（2024·山东泰安·三模）将抛物线先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点，则新抛物线与y轴交点的坐标 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键．
设平移后新抛物线的表达式为，把点代入，即可确定函数关系式，再将代入函数关系式求解，即可．
【详解】设平移后新抛物线的表达式为，
∵新抛物线经过点，
∴，
解得：，，
∴新抛物线的表达式为：，或，
将代入，
得：；
将代入，
得：，
∴与y轴的交点坐标为，或．
故答案为：或．
5．（2024·广东深圳·模拟预测）【阅读理解】
我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点．
【问题解决】
(1)求二次函数的零点值；
(2)若二次函数有两个零点，则实数k的取值范围；
(3)若二次函数两个零点都是整数点，请直接写出整数k的值___________．
【答案】(1)和3
(2)
(3)或，
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系：
（1）求出当时，x的值即可得到答案；
（2）根据题意可得关于x的方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可；
（3）当时，则，解方程得到或，再根据二次函数的零点是整数推出或，最后利用判别式进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，
解得或，
∴二次函数的零点值为和3；
（2）解：∵二次函数有两个零点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
（3）解：当时，则，
解得或
∵二次函数两个零点都是整数点，
∴是整数，
∴或，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴或．
6．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线交与x轴于A、B两点，交y轴于点C．
(1)A点坐标为 ，B点坐标为 ；
(2)抛物线的顶点坐标是 ；
(3)当时，求y的取值范围；
(4)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)；
(4)或．
【分析】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，求二次函数的顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）求出当时，x的值即可求出A、B的坐标；
（2）把解析式化为顶点式即可求出顶点的坐标；
（3）先根据解析式求出当时，函数有最大值4，再分别求出和时的函数值即可得到答案；
（4）求得时，x的值；时，x的值，根据函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，则，
解得或，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标是；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴当时，函数有最大值4，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围是；
（4）解：在中，当时，则，即，
解得或，
当时，则，
解得或，
∴当时，x的取值范围是或．
7．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数．
(1)画出这个二次函数的图象；
(2)设二次函数图象与轴交于点，与轴交于点、（在左侧），求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】此题主要考查画出二次函数的图象，三角形面积的求法．
（1）列表，描点，连线，即可作出函数的图象；
（2）利用（1）的相关结论，进而可求三角形的面积．
【详解】（1）解：列表：
描点，连线，作出函数的图象如下：
；
（2）解：观察图象得，，
∴，，
∴．
8．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）若关于的方程的若干个解中，存在两个不相等的解，且这两个解为互为相反数，则称这两个解为这个方程的对称解，这个方程称为对称解方程．例如方程：和是方程的对称解，则为对称解方程．
(1)下列方程是对称解方程的有______；
①；
②；
③．
(2)已知关于的方程恰好是对称解方程，若函数与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，求的面积；
(3)已知为一元二次方程（为常数）的对称解，当．试求的值．
【答案】(1)①③
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，理解对称解方程的定义是解题的关键．
（1）分别求得各方程的解，即可判断；
（2）解方程，得，，利用对称解方程的定义求得，再求得函数与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）根据对称解方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系求得，得到，再利用完全平方公式计算即可求解．
【详解】（1）解：①，因式分解得，
即，
解得或或，
则为对称解方程；
②，因式分解得，
解得或，
则不是对称解方程；
③，解得或，
则为对称解方程；
故答案为：①③；
（2）解：解方程，得，，
的方程恰好是对称解方程．
又，即，
，
则函数为，
令，则，
解得或，
令，则，
函数与轴的交点为，，
与轴的交点为，
的面积为；
（3）解：为一元二次方程为常数）的对称解，
，，
，
，
，
，
．
9．（24-25九年级上·北京·阶段练习）【问题背景】解方程：；
【解决方法】建立函数，
(1)求：该函数与轴的交点及其顶点坐标
(2)设，则可以通过将抛物线的轴下部分沿轴翻折得到该函数，由图象可知，当的取值范围是_________时问题方程有个不同根的时候，所有根的和为_________．
【答案】(1)该函数与轴的交点坐标为：，；顶点坐标为：，
(2)，4．
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，根据二次函数的图象和性质求解即可．
（1）把二次函数化成顶点式，可求出顶点坐标，令，可求出函数与轴的交点坐标．
（2）画出函数图像可求解，根据函数图象可求解．
【详解】（1）解：，
∴该函数的顶点坐标为：，
令，则，
即，
解得：，，
∴该函数与轴的交点坐标为：，．
（2）∵，则可以通过将抛物线在轴下部分沿轴翻折得到该函数，如下图：
∵，
∴函数的顶点坐标为：，对称轴，
∴翻折后的顶点坐标变成，
令，根据函数与坐标轴的交点，，以及定点坐标结合函数图象可知当时，方程有个实数根．
由图象可知，当问题方程有个不同根的时候，由二次函数的对称性质以及对称轴可知，个不同根的和为，
故答案为：，4．
10．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1)________；
(2)如图，已知点A的坐标是．
①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；
②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．
【答案】(1)3
(2)①；②1或或
【分析】（1）当时，，即；
（2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或．
【详解】（1）解：当时，，即；
（2）解：①将点A代入
得，，
解得：，
∴解析式为：，
而，
∴对称轴为直线：，
当，且时，
∴y随着x的增大而减小，
∴当，，当时，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由题意得，，，
∴四边形为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，

∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
得：，
解得：或（舍），
∴；
当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
即；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，
∵
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点P代入，
得：，
解得：或，
而当时，，故舍，
∴，
综上：点P的横坐标为1或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、题型二：已知二次函数的函数值求自变量的值
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（ ）
A．米B．米C．3米D．6米
【答案】A
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式以及求二次函数的自变量，根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，设二次函数的解析式为：，用待定系数法求出抛物线解析式，把代入，求出x，根据题意选择合适得值即可．
【详解】解：根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，
设二次函数的解析式为：，
由∵，的中点O为原点建立平面直角坐标系，
∴，
把代入可得出：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
当时，
即
解得：，（舍去），
则此瓜农从点O沿向左最多能走．
故选：A．
12．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等腰三角形的性质．先计算出自变量为时所对应的二次函数值得到点坐标，则过中点与轴平行的直线为，再利用等腰三角形的性质得点为直线与抛物线的交点，然后解方程即可确定点坐标．
【详解】解：当时，，则，
是以为底的等腰三角形，
点为直线与抛物线的交点，
当时，，解得，，
点坐标为或．
故答案为：或．
13．（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
则方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解．
【详解】解：由表格可知抛物线经过，
抛物线解析式为：，
将代入可得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴，整理得：
因式分解可得：
解得：．
故答案为∶ ．
14．（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)若点与点在（1）中的抛物线上，且，．求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、与坐标轴的交点问题；
（1）先确定点的坐标，根据，在点的左侧，可得出点的坐标，将点坐标代入可得出抛物线解析式；
（2）由抛物线可知对称轴为x=1，因为点与点纵坐标相等，可得出两点关于抛物线对称轴对称，从而可得出的表达式，变形后代入即可得出答案；
【详解】（1）解：当 时， ，
∴与y轴交于点，
∵抛物线与轴交于、两点，，
∵点在点的左侧，a>0，
∴抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为 ；
（2），
抛物线的对称轴为直线 ，
在中的抛物线上，
，
轴
，
解得
∴
答：的值为4
15．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，二次函数与y轴交于点A．已知抛物线顶点的纵坐标为．点在此抛物线上．
(1)求出此抛物线的对称轴和解析式；
(2)当时，求n的取值范围；
(3)若此抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，抛物线的解析式为
(2)n的取值范围为
(3)
【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识与方法．
（1）由得出抛物线的顶点坐标为，从而得到，得出，即可得解；
（2）由点P在此拋物线上，其坐标为，得出，当时，，当时，，由（1）得抛物线的顶点坐标为，当点与抛物线的顶点重合时，则，由此即可得出答案；
（3）当点到轴的距离为2时，或，当时，则，得出，，当时，则，得出，，再结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线顶点纵坐标为，
，
，
抛物线的解析式为：；
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：点P在此拋物线上，其坐标为，
∴，
当时，，
当时，，
由（1）得抛物线的顶点坐标为，
∴当点与抛物线的顶点重合时，则，
∴当时，的最大值和最小值分别为0和，
∴的取值范围是；
（3）解：当点到轴的距离为2时，或，
当时，则，
解得：，，
当时，则，
解得：，，
如图，点，，，到轴的距离均为2，
，抛物线在点右侧部分（不包括点）恰有三个点到轴的距离为2，
的取值范围是．
三、题型三：图象法解一元二次不等式
16．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键．
当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④．
【详解】解：①当，时，则，，
∴，
∴若，则错误，故①错误；
②当，时，
∵，
∴，即，
∴，故②正确；
③∵，
当时，
，解得；
当时，
，解得；
当时，
，解得，舍去；
∴方程的解为或，故 ③错误；
④∵，
其图象为：
由图象可得：当时，，故④正确．
综上，正确的有②④，共2个，
故选：B．
17．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为，
由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点；
故答案为：或．
18．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知：方程，两根为，求的最大值与最小值
【答案】的最大值为，最小值为
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系和判别式得到，，再利用二次函数的图象求出，求出，根据一次函数的性质求出答案即可．
【详解】解：∵，两根为，
∴，
∴
由二次函数的图象可知，的解集为，
∵，
∴的值随着k的增大而增大，
∴当时，取最小值为，
当时，取最大值为，
∴的最大值为，最小值为．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、利用二次函数图象解不等式、一次函数的性质等知识，数形结合和求出是解题的关键．
19．（2024·贵州贵阳·一模）我们约定在二次函数（、、为常数，）中，若，则称该函数是“文昌函数”．例如“文昌函数”这里，，，其，即．
根据该约定，完成下列各题．
(1)填空：二次函数______“文昌函数”；（选填“是”或“不是”）
(2)求证：“文昌函数”（、、为常数，）的图象与直线总有两个不相同的交点；
(3)已知是“文昌函数”图象上的一个动点，且在直线的下方，求m，n的取值范围．
【答案】(1)是
(2)证明见解析
(3)且
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、一次函数的图象和性质，理解新定义和数形结合是解题的关键．
（1）由，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）两个函数的大致图象，设两个函数的交点为点A、B，当点P在AB下方时，满足题设条件，即可求解．
【详解】（1），
故二次函数是“文昌函数”，
故答案为：是；
（2），
联立2个函数表达式得：，
整理得：，
则，
故“文昌函数”，，为常数，的图象与直线总有两个不相同的交点；
（3），即，则，
则抛物线的表达式为：，
两个函数的大致图象如下：
设两个函数的交点为点A、B，
当点P在下方时，满足题设条件，
联立直线和抛物线的表达式得：，
解得：或，
即点A、B的坐标分别为：、，
而抛物线的顶点坐标为：，
则且
20．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示．
(1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线；
(2)或．
【分析】（）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；
（）利用对称性求出抛物线与轴的另外一个交点坐标，再观察函数图象即可求解；
本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与不等式，运用配方法把二次函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为1,4，对称轴为直线；
（2）解：根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，
观察函数图象知，当时，的取值范围为或．
四、题型四：利用不等式求自变量或函数值的范围
21．（2023·贵州贵阳·模拟预测）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，，其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用判别式的意义对①进行判断；利用x=1，可对②进行判断；利用，对③进行判断；根据时，可对④进行判断．
本题考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
【详解】解：抛物线与轴没有公共点，
，故①不符合题意；
，，
，
即，故②不符合题意；
，，
，
，故③不符合题意；
时，，
的解集为，故④不符合题意；
故选：．
22．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立，又时，，则b的值为（ ）
A．1B．C．2D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与不等式恒成立问题，由题干给出的条件可知两个条件都满足可以发现二次函数经过一个定点．就可以求出答案；
【详解】解：∵对任意实数x，都有，
∴当时，，
又当时，有，
∴当时，，
∴当时， ，
故二次函数经过点，
∴①，
又时，，
∴②，
有①②得：，
解得：，
故选：B．
23．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则a的取值范围为 ．
【答案】或．
【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键．利用作差法建立关于和的不等式，因为不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可．
【详解】由题得，，
，
，
，
①当时，，
或，
解得或，
，
或，
或，
，
；
②当时，，
或，
解得，
，
，解得，
综上，或．
故答案为：或．
24．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数（a是常数，且），
（1）若点在该函数的图象上，则a的值为 ；
（2）当时，若，则函数值y的取值范围是 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的对称轴，增减性，解不等式，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
（1）把代入函数解析式计算即可；
（2）根据抛物线开口向，结合对称轴，利用函数的增减性列出不等式计算即可．
【详解】解：（1）∵点在二次函数的图象，
∴，
解得；
（2）当时，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值4，
又当时，，
当时，．
∴当时，函数值y的取值范围是．
25．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标；
(2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围．
【答案】(1)y=x−12−1，顶点的坐标为
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）把点代入，即可求解；
（2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得：，
，
图象顶点的坐标为．
（2）解：一次函数的图象经过点，
，
，
，
点在一次函数的图象上，
．
点在二次函数y=x2−2x的图象上，
，
，
，即，
令，
当时，，
解得：，，
抛物线与轴交点为和，
抛物线开口向上，
的解为：或，
的取值范围是或．
五、题型五：根据交点确定不等式的解集
26．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，直线的解析式为．
(1)抛物线的解析式为______；
(2)当时，的取值范围是______；
(3)当时，x的取值范围是______；
(4)当时，x的取值范围是______；
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由图象可知该抛物线顶点坐标为，可得抛物线的解析式为，又由抛物线与x轴交于点，将点A坐标代入解析式，求出a的值，即可解答；
（2）求出当时，，当时，，根据抛物线的增减性即可求解；；
（3）根据求当时x的取值范围，即求抛物线在直线下方时，对应的x的取值范围，结合图象即可得解；
（4）根据抛物线的对称轴为，且与x轴交于点，求出抛物线与x轴的另一交点为，求当时x的取值范围，即求抛物线在x轴的上方对应的x的取值范围，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：由图象可得抛物线的顶点C为，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：
（2）解：当时，，
当时，，
由图象可得，当时，随x的增大而增大，当时，取得最大值，为，当时，随x的增大而减小，
∴当时，．
故答案为：
（3）解：∵抛物线与直线：交于点与点B，且点B在y轴上，
∴由图象可得，当时，或；
故答案为：或
（4）解：∵抛物线的对称轴为，且与x轴交于点，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∴由图象可得，当时，．
故答案为：
27．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于点、，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根：______；
(2)当x为何值时，？当x为何值时，?
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)当时，；当或时，
(3)
【分析】本题考查了抛物线的性质及二次函数与一元二次方程、不等式的关系．会读图用图是解决本题的关键．
（1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论；
（2）观察图象，在轴上方的部分总大于0；在轴下方的部分总小于0；
（3）根据抛物线与轴交点的坐标，确定对称轴方程，结合图象得结论．
【详解】（1）二次函数的图象与轴交于、，
的根为：，．
故答案为：，
（2）二次函数的图象与轴交于、，
观察图象可知：当时，图象总在轴的上方．
不等式的解集为：．
观察图象可知：当或时，图象总在轴的下方．
当或时，，
（3）二次函数的图象与轴交于、，
该图象的对称轴为直线，
图象开口向下，
当时，随的增大而减小．
即随的增大而减少时．
28．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”
(1)如图，若抛物线M经过和点和0,3，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由；
(2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围；
(3)求直线的最值点．
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答；
（2）结合图象即可求解；
（3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为，
∵抛物线M经过和点和0,3，
∴，解得
∴抛物线M的解析式为，
∴抛物线M的开口向上，对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，
∵，
由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大，
∴随x的增大而增大，即不存在最大值，
∴抛物线M上不存在最值点．
（2）解：∵直线交抛物线M于，两点，
∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为．
（3）解：对于直线，有
，
∴当时，有最大值，
此时，
∴直线的最值点为．
【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键．
29．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点，．

(1)求b，c的值；
(2)结合图象，直接写出当时x的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)当时，．
【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是结合图像进行解题．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求得抛物线与轴的交点，再观察函数图象，即可得出结论．
【详解】（1）解：将，代入中得：
，解得：，
∴，；
（2）解：由（1）抛物线的解析式为，
当时，；
解得或，

∴观察图象得，当时，．
30．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点（点在左边），交轴于点；设直线解析式为：．

(1)求两点的坐标；
(2)求直线的函数关系式；
(3)请直接写出时的自变量取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，二次函数与不等式之间的关系：
（1）求出当时，自变量的值即可得到答案；
（2）先求出点C坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：在中，当时，解得或，
∴；
（2）解：在中，当时，，
∴，
把B4,0，代入中得：，
∴，
∴直线的函数关系式；
（3）解：由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围为或，
∴当时，或．
六、题型六：抛物线与x轴的交点问题
31．（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点和点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了由二次函数的图象判断系数的符号，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．根据图象及二次函数的性质判断即可
【详解】解：根据题意可得：抛物线与y轴交于正半轴，故，故A错误；
抛物线对称轴在y轴右边或左边，故无法确定，故B错误；
抛物线一定经过第一、二、四象限，故抛物线与x轴有2个交点，
故，故C正确、D错误；
故选：C．
32．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A．11B．12C．15D．9
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．由题意可得，是方程的两个根，则有，，即，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可．
【详解】解：函数的图象上有两点和，
，
把代入得，，
函数的图象上有两点和，
，是方程的两个根，
，，
，
．
故选：B
33．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）无论取任何实数，代数式都有意义，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令，根据题意，得，解答即可．
本题考查了抛物线的应用，熟练掌握条件是解题的关键．
【详解】解：令，
由无论取任何实数，代数式都有意义，
故，
故的判别式
解得，
故答案为：.
34．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ．

【答案】或
【分析】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
分两种情形：如图，当直线过点B时和当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为1,4，
当时，，
解得，
则抛物线与x轴的交点为，，
把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，
∴开口方向相反，开口大小一样
∴二次项系数互为相反数，顶点坐标关于x轴对称
∴翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标，
如图，当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
∴，解得；
当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得，
所以b的值为或．
故答案为：或．
35．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
七、题型七：根据二次函数图象确定相应方程根的情况
36．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根为，则实数a、b、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程与二次函数的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，一元二次方程与二次函数的关系是解题的关键．设函数，当时，，可求或，当时，则，可知的两个根为，由二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：设函数，
当时，，
解得，或，
当时，，即，
由题意可知：的两个根为，
∵抛物线开口向上，
∴由抛物线的图象可知：，
故选：D．
37．（2024·山西大同·模拟预测）已知，若关于x的方程 的解为，关于x的方程 的解为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，
∵，若关于的方程的解为，关于的方程的解为，
∴，，，分别是的横坐标，
∴根据图象可知：，
故选：．
38．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：∵方程的解就是一次函数（）与二次函数（）两个函数的图象交点的横坐标，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．
∴的解为；
故答案为：．
39．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）二次函数的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与直线交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程有实数根，相当于与有交点，结合图象可得答案．
【详解】解：方程有实数根，相当于与有交点，
由图象可得：．
故答案为：．
40．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答：
(1)方程的解是______．
(2)方程的解是______．
(3)方程的解是______．
(4)方程的解的情况怎样？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)无解
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数与直线交点的橫坐标是一元二次方程的解，是解决问题的关键．
（1）看二次函数与x轴交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案；
（2）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案；
（3）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案；
（4）看二次函数与直线交点的情况，然后结合图象即可求出答案．
【详解】（1）由图象知，二次函数的图象交x轴于，两点，
∴方程的解为；
故答案为：；
（2）由图象知，直线与二次函数的图象交于，两点，
∴方程的解为；
故答案为：；
（3）由图象知，直线与二次函数的图象交于顶点，
∴方程的解为；
故答案为：；
（4）由图象知，直线与二次函数的图象无交点，
∴方程无解．
0
1
2
3
0
3
4
3
0
x
……
0
1
3
……
y
……
2
7
……