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初中数学人教版（2024）九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程练习
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这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程练习，共18页。试卷主要包含了3一元二次方程的解法等内容，欢迎下载使用。
【名师点睛】
利用公式法解一元二次方程：
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b²-4ac≥0）叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．
【典例剖析】
【知识点1】求根公式的理解
【例1】（2022·全国·九年级）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1=−b+b2+42,x2=−b−b2+42，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝1D．ca=−1
【知识点2】判定方程解的个数
【例2】（2022·广西·藤县教学研究室八年级期中）下列方程中，无解的是（ ）
A．x2−1=3B．(x−1)2−4=0
C．x2+x−1=0D．x2+x+1=0
【变式2】（2022·四川广安·二模）一元二次方程3x2-2x+4=0，它的根的情况为（ ）
A．两根之和为-23B．两根之积为43
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
【知识点3】根据解的情况求参数
【例3】（2022·青海海东·九年级期末）若关于x的方程x2−x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．2B．1C．14D．−2
【变式3】（2021·贵州·凯里市第四中学九年级期中）一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≠0C．k⩽43且k≠0D．k＜2
【知识点4】利用公式法解方程
【例4】（2022·全国·九年级）解一元二次方程：x−1x−2=5．
【变式4】（2022·全国·九年级）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•峨眉山市期末）用公式法解方程x2+x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝2B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
C．a＝1，b＝1，c＝﹣2D．a＝1，b＝﹣1，c＝2
2．（2021秋•永年区期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
3．（2021秋•龙岗区校级期中）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
4．（2021秋•洪洞县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（ ）
A．x＝1B．x1＝0，x2＝1C．x＝2D．x1＝﹣1，x2＝2
5．（2021秋•青县月考）若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（ ）
A．x1＝，x2＝﹣B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
6．（2021秋•信都区月考）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
7．（2021秋•高邑县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，方程ax2﹣bx＝2的解是（ ）
A．x＝1B．x₁＝0，x₂＝1C．x＝2D．x₁＝‒1，x₂＝2
8．（2021•沂源县二模）问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（ ）
A．4y2+y﹣15＝0B．4y2+y+15＝0C．15y2+y﹣4＝0D．15y2﹣y﹣4＝0
9．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
10．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k≤C．k＞4D．k≤且k≠0
二．填空题（共6小题）
11．（2022•乳山市模拟）一元二次方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解为 ．
12．（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为 ．
13．（2021秋•长安区期末）写出方程x2+x﹣1＝0的一个正根 ．
14．（2021秋•临海市期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
15．（2022春•衡阳期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： ．
16．（2022•利州区一模）定义新运算“*”，规则：a*b＝，如3*1＝3，（﹣）*＝，若x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝ ．
三．解答题（共6小题）
17．（2022•平度市校级开学）按要求解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；（配方法）
（2）2x2+4x﹣3＝0．（公式法）
18．（2021秋•霸州市期末）（1）用配方法解方程：x2+4x﹣1＝0；
（2）用公式法解方程：．
19．（2021•石景山区一模）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
20．（2020春•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程3x2+bx﹣2＝0．
（1）若b＝6，请你求出这个方程的解；
（2）若b为任意数，请判断此时这个方程的根的情况．
21．（2020秋•南安市期中）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．
22．（2021秋•柘城县期中）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．
（1）若b＝2m﹣1，m+c＝﹣6，判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的非零实数根，且b2﹣c2﹣4＝0，求此时方程的根．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
…
6
2
0
0
2
6
…
x
‒2
‒1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
6
2
0
0
2
6
…
2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题21.3一元二次方程的解法：公式法
【名师点睛】
利用公式法解一元二次方程：
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b²-4ac≥0）叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．
【典例剖析】
【知识点1】求根公式的理解
【例1】（2022·全国·九年级）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1=−b+b2+42,x2=−b−b2+42，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝1D．ca=−1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的求根公式可得答案．
【详解】
解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−b+b2+42，x2=−b−b2+42，
∴2a=2，4ac=−4
∴a=1,c=−1,
∴则ac=−1，ca=−1，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．
【变式】（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程3x−1−2x2=0在用求根公式x=−b±b2−4ac2a求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2B．―2，―1，3C．―2，3，1D．―2，3，―1
【答案】D
【解析】
【分析】
先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【详解】
∵3x−1−2x2=0，
∴−2x2+3x−1=0，
则a =-2，b =3，c =-1,
故选： D ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【知识点2】判定方程解的个数
【例2】（2022·广西·藤县教学研究室八年级期中）下列方程中，无解的是（ ）
A．x2−1=3B．(x−1)2−4=0
C．x2+x−1=0D．x2+x+1=0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式逐个检验即可求解．
【详解】
解：A. x2−1=3，x2−4=0，x1=2,x2=−2，故该选项有解，不符合题意；
B. (x−1)2−4=0，x−1=±2，x1=3,x2=−1，故该选项有解，不符合题意；
C. x2+x−1=0，Δ=1+4=5>0，故该选项有解，不符合题意；
D. x2+x+1=0，Δ=1−4=−3<0，，故该选项无解，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，以上知识是解题的关键．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
【变式2】（2022·四川广安·二模）一元二次方程3x2-2x+4=0，它的根的情况为（ ）
A．两根之和为-23B．两根之积为43
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中所给一元二次方程，得到根的判别式Δ=b2−4ac<0即可得出结论．
【详解】
解：∵一元二次方程3x2-2x+4=0中a=3,b=−2,c=4，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×3×4=4−48=−44<0，
∴一元二次方程3x2-2x+4=0无实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握利用根的判别式的符号确定一元二次方程根的情况是解决问题的关键．
【知识点3】根据解的情况求参数
【例3】（2022·青海海东·九年级期末）若关于x的方程x2−x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．2B．1C．14D．−2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用根的判别式意义解答：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根Δ=b2−4ac，当Δ<0，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根．
【详解】
解：根据题意得，Δ=b2−4ac>0
∴1−4m>0
∴m<14
m=−2符合条件
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式3】（2021·贵州·凯里市第四中学九年级期中）一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≠0C．k⩽43且k≠0D．k＜2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，列出不等式，即可解得k的范围．
【详解】
解：∵一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，
∴k≠0且Δ≥0，
即16-12k≥0，
解得k≤43，
故k的取值范围是k≤43且k≠0．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念及根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有实数根的条件Δ≥0．
【知识点4】利用公式法解方程
【例4】（2022·全国·九年级）解一元二次方程：x−1x−2=5．
【答案】x1=3+212，x2=3−212
【解析】
【分析】
先把方程整理成一般形式，再用公式法解方程即可．
【详解】
解：x−1x−2=5，
整理得，x2−3x−3=0，
∵△=−32−4×1×−3=21，
∴x=3±212，
∴x1=3+212，x2=3−212．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题关键．
【变式4】（2022·全国·九年级）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【答案】x1=1+136，x2=1−136
【解析】
【分析】
直接通过公式法求解即可，步骤：先算根的判别式，再代入求解．
【详解】
解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，
∴x=−b±Δ2a=1±136，
∴x1=1+136，x2=1−136．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•峨眉山市期末）用公式法解方程x2+x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝2B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
C．a＝1，b＝1，c＝﹣2D．a＝1，b＝﹣1，c＝2
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．
【解答】解：将方程整理得：x2+x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣2，
故选：C．
2．（2021秋•永年区期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；
故选：D．
3．（2021秋•龙岗区校级期中）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】先得出a、b、c的值，再计算出判别式的值，继而代入求根公式即可．
【解答】解：∵a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣3）＝192＞0，
∴y＝＝＝，
故选：C．
4．（2021秋•洪洞县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（ ）
A．x＝1B．x1＝0，x2＝1C．x＝2D．x1＝﹣1，x2＝2
【分析】由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，从而得出答案．
【解答】解：∵ax2﹣bx﹣2＝0，
∴ax2﹣bx＝2，
由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，
∴ax2﹣bx＝2的解为x1＝﹣1，x2＝2，
故选：D．
5．（2021秋•青县月考）若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（ ）
A．x1＝，x2＝﹣B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【分析】先找出方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再得出方程1+2m+（﹣3）＝0，求出m，再求出方程的解即可．
【解答】解：方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2m，﹣3，
∵方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，
∴1+2m+（﹣3）＝0，
解得：m＝1，
即方程为x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
故选：B．
6．（2021秋•信都区月考）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
【分析】观察小明解方程过程，找出出错的步骤即可．
【解答】解：小明解方程过程开始出错的步骤是第三步，求根公式用错．
故选：C．
7．（2021秋•高邑县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，方程ax2﹣bx＝2的解是（ ）
A．x＝1B．x₁＝0，x₂＝1C．x＝2D．x₁＝‒1，x₂＝2
【分析】由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，从而得出答案．
【解答】解：由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，
∴ax2﹣bx＝2的解为x1＝﹣1，x2＝2，
故选：D．
8．（2021•沂源县二模）问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（ ）
A．4y2+y﹣15＝0B．4y2+y+15＝0C．15y2+y﹣4＝0D．15y2﹣y﹣4＝0
【分析】设所求方程的根为y，则y＝﹣x，据此知x＝﹣y，再将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝0，化简可得答案．
【解答】解：设所求方程的根为y，则y＝﹣x，
所以x＝﹣y，
将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝0，得：4×（﹣y）2﹣（﹣y）﹣15＝0，
化简，得：4y2+y﹣15＝0，
故选：A．
9．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
故选：C．
10．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k≤C．k＞4D．k≤且k≠0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+2k）≥0，
解得：k≤．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2022•乳山市模拟）一元二次方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解为 x1＝，x2＝ ．
【分析】先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．
【解答】解：（2x+3）（x﹣1）＝1，
化为一般形式得：2x2+x﹣4＝0，
Δ＝12﹣4×2×（﹣4）＝33，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝，
故答案为：x1＝，x2＝．
12．（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为 x1＝0，x2＝6 ．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：x2﹣2x＝4x，
整理得：x2﹣6x＝0，
分解因式得：x（x﹣6）＝0，
所以x＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝0，x2＝6．
故答案为：x1＝0，x2＝6．
13．（2021秋•长安区期末）写出方程x2+x﹣1＝0的一个正根 ．
【分析】找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可得到结果．
【解答】解：这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵△＝1+4＝5，
∴x＝，
则方程的一个正根为．
故答案为：．
14．（2021秋•临海市期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 9 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
15．（2022春•衡阳期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： m≤7且m≠3 ．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣4（m﹣3）×1≥0且m﹣3≠0，
解得：m≤7且m≠3．
故答案为：m≤7且m≠3．
16．（2022•利州区一模）定义新运算“*”，规则：a*b＝，如3*1＝3，（﹣）*＝，若x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝ ．
【分析】先用公式法解一元二次方程x2+x﹣1＝0，再根据新运算“*”求解即可．
【解答】解：x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝1﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵＞，
根据题意，得x1*x2＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．（2022•平度市校级开学）按要求解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；（配方法）
（2）2x2+4x﹣3＝0．（公式法）
【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，计算即可求出解；
（2）方程利用求根公式计算即可求出．
【解答】解：（1）方程移项得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4，
开方得：x+1＝±2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3；
（2）这里a＝2，b＝4，c＝﹣3，
∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
18．（2021秋•霸州市期末）（1）用配方法解方程：x2+4x﹣1＝0；
（2）用公式法解方程：．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：x2+4x＝1，
配方得：x2+4x+4＝5，即（x+2）2＝5，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）这里a＝2，b＝﹣，c＝，
∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×
＝2﹣2
＝0，
∴x＝＝，
解得：x1＝x2＝．
19．（2021•石景山区一模）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
【分析】（1）先计算出判别式的值得到Δ＝（k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先解方程得到x1＝﹣3，x2＝﹣k，则根据题意得到﹣k＞1，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+3）2﹣4×3k
＝k2+6k+9﹣12k
＝（k﹣3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵（x+3）（x+k）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣k，
∵该方程有一个根大于1，
∴﹣k＞1，解得k＜﹣1，
即k的范围为k＜﹣1．
20．（2020春•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程3x2+bx﹣2＝0．
（1）若b＝6，请你求出这个方程的解；
（2）若b为任意数，请判断此时这个方程的根的情况．
【分析】（1）b＝6时，原方程为3x2+6x﹣2＝0，然后利用公式法解一元二次方程；
（2）先计算出判别式的值得到Δ＝b2+24＞0，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】解：（1）b＝6时，原方程为3x2+6x﹣2＝0，
∵Δ＝62﹣4×3×（﹣2）＝60＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵Δ＝b2﹣4×3×（﹣2）＝b2+24，
而b2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
21．（2020秋•南安市期中）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．
【分析】（1）先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用求根公式得到x1＝1，x2＝m﹣2，则m﹣2＞6，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝m2﹣2m+1﹣4m+8
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有实数根；
（2）由求根公式得x＝＝，
∴x1＝1，x2＝m﹣2，
∵方程有一根大于6，
∴m﹣2＞6，解得m＞8．
22．（2021秋•柘城县期中）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．
（1）若b＝2m﹣1，m+c＝﹣6，判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的非零实数根，且b2﹣c2﹣4＝0，求此时方程的根．
【分析】（1）由m+c＝﹣6，可得出c＝﹣m﹣6，根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝4m2+25，结合m2≥0可得出Δ＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝4c，结合b2﹣c2﹣4＝0可得出b，c的值，再解一元二次方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵m+c＝﹣6，
∴c＝﹣m﹣6，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×（﹣m﹣6）＝4m2+25．
∵m2≥0，
∴4m2+25＞0，即Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c．
∵b2﹣c2﹣4＝0，
∴b＝±2，c＝2，
当b＝﹣2，c＝2时，原方程为x2﹣2x+2＝0，
解得：x1＝x2＝；
当b＝2，c＝2时，原方程为x2+2x+2＝0，
解得：x3＝x4＝﹣．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
…
6
2
0
0
2
6
…
x
‒2
‒1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
6
2
0
0
2
6
…
【名师点睛】
利用公式法解一元二次方程：
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b²-4ac≥0）叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．
【典例剖析】
【知识点1】求根公式的理解
【例1】（2022·全国·九年级）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1=−b+b2+42,x2=−b−b2+42，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝1D．ca=−1
【知识点2】判定方程解的个数
【例2】（2022·广西·藤县教学研究室八年级期中）下列方程中，无解的是（ ）
A．x2−1=3B．(x−1)2−4=0
C．x2+x−1=0D．x2+x+1=0
【变式2】（2022·四川广安·二模）一元二次方程3x2-2x+4=0，它的根的情况为（ ）
A．两根之和为-23B．两根之积为43
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
【知识点3】根据解的情况求参数
【例3】（2022·青海海东·九年级期末）若关于x的方程x2−x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．2B．1C．14D．−2
【变式3】（2021·贵州·凯里市第四中学九年级期中）一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≠0C．k⩽43且k≠0D．k＜2
【知识点4】利用公式法解方程
【例4】（2022·全国·九年级）解一元二次方程：x−1x−2=5．
【变式4】（2022·全国·九年级）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•峨眉山市期末）用公式法解方程x2+x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝2B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
C．a＝1，b＝1，c＝﹣2D．a＝1，b＝﹣1，c＝2
2．（2021秋•永年区期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
3．（2021秋•龙岗区校级期中）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
4．（2021秋•洪洞县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（ ）
A．x＝1B．x1＝0，x2＝1C．x＝2D．x1＝﹣1，x2＝2
5．（2021秋•青县月考）若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（ ）
A．x1＝，x2＝﹣B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
6．（2021秋•信都区月考）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
7．（2021秋•高邑县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，方程ax2﹣bx＝2的解是（ ）
A．x＝1B．x₁＝0，x₂＝1C．x＝2D．x₁＝‒1，x₂＝2
8．（2021•沂源县二模）问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（ ）
A．4y2+y﹣15＝0B．4y2+y+15＝0C．15y2+y﹣4＝0D．15y2﹣y﹣4＝0
9．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
10．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k≤C．k＞4D．k≤且k≠0
二．填空题（共6小题）
11．（2022•乳山市模拟）一元二次方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解为 ．
12．（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为 ．
13．（2021秋•长安区期末）写出方程x2+x﹣1＝0的一个正根 ．
14．（2021秋•临海市期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
15．（2022春•衡阳期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： ．
16．（2022•利州区一模）定义新运算“*”，规则：a*b＝，如3*1＝3，（﹣）*＝，若x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝ ．
三．解答题（共6小题）
17．（2022•平度市校级开学）按要求解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；（配方法）
（2）2x2+4x﹣3＝0．（公式法）
18．（2021秋•霸州市期末）（1）用配方法解方程：x2+4x﹣1＝0；
（2）用公式法解方程：．
19．（2021•石景山区一模）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
20．（2020春•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程3x2+bx﹣2＝0．
（1）若b＝6，请你求出这个方程的解；
（2）若b为任意数，请判断此时这个方程的根的情况．
21．（2020秋•南安市期中）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．
22．（2021秋•柘城县期中）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．
（1）若b＝2m﹣1，m+c＝﹣6，判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的非零实数根，且b2﹣c2﹣4＝0，求此时方程的根．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
…
6
2
0
0
2
6
…
x
‒2
‒1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
6
2
0
0
2
6
…
2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题21.3一元二次方程的解法：公式法
【名师点睛】
利用公式法解一元二次方程：
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b²-4ac≥0）叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．
【典例剖析】
【知识点1】求根公式的理解
【例1】（2022·全国·九年级）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1=−b+b2+42,x2=−b−b2+42，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝1D．ca=−1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的求根公式可得答案．
【详解】
解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−b+b2+42，x2=−b−b2+42，
∴2a=2，4ac=−4
∴a=1,c=−1,
∴则ac=−1，ca=−1，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．
【变式】（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程3x−1−2x2=0在用求根公式x=−b±b2−4ac2a求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2B．―2，―1，3C．―2，3，1D．―2，3，―1
【答案】D
【解析】
【分析】
先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【详解】
∵3x−1−2x2=0，
∴−2x2+3x−1=0，
则a =-2，b =3，c =-1,
故选： D ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【知识点2】判定方程解的个数
【例2】（2022·广西·藤县教学研究室八年级期中）下列方程中，无解的是（ ）
A．x2−1=3B．(x−1)2−4=0
C．x2+x−1=0D．x2+x+1=0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式逐个检验即可求解．
【详解】
解：A. x2−1=3，x2−4=0，x1=2,x2=−2，故该选项有解，不符合题意；
B. (x−1)2−4=0，x−1=±2，x1=3,x2=−1，故该选项有解，不符合题意；
C. x2+x−1=0，Δ=1+4=5>0，故该选项有解，不符合题意；
D. x2+x+1=0，Δ=1−4=−3<0，，故该选项无解，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，以上知识是解题的关键．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
【变式2】（2022·四川广安·二模）一元二次方程3x2-2x+4=0，它的根的情况为（ ）
A．两根之和为-23B．两根之积为43
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中所给一元二次方程，得到根的判别式Δ=b2−4ac<0即可得出结论．
【详解】
解：∵一元二次方程3x2-2x+4=0中a=3,b=−2,c=4，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×3×4=4−48=−44<0，
∴一元二次方程3x2-2x+4=0无实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握利用根的判别式的符号确定一元二次方程根的情况是解决问题的关键．
【知识点3】根据解的情况求参数
【例3】（2022·青海海东·九年级期末）若关于x的方程x2−x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．2B．1C．14D．−2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用根的判别式意义解答：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根Δ=b2−4ac，当Δ<0，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根．
【详解】
解：根据题意得，Δ=b2−4ac>0
∴1−4m>0
∴m<14
m=−2符合条件
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式3】（2021·贵州·凯里市第四中学九年级期中）一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≠0C．k⩽43且k≠0D．k＜2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，列出不等式，即可解得k的范围．
【详解】
解：∵一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，
∴k≠0且Δ≥0，
即16-12k≥0，
解得k≤43，
故k的取值范围是k≤43且k≠0．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念及根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有实数根的条件Δ≥0．
【知识点4】利用公式法解方程
【例4】（2022·全国·九年级）解一元二次方程：x−1x−2=5．
【答案】x1=3+212，x2=3−212
【解析】
【分析】
先把方程整理成一般形式，再用公式法解方程即可．
【详解】
解：x−1x−2=5，
整理得，x2−3x−3=0，
∵△=−32−4×1×−3=21，
∴x=3±212，
∴x1=3+212，x2=3−212．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题关键．
【变式4】（2022·全国·九年级）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【答案】x1=1+136，x2=1−136
【解析】
【分析】
直接通过公式法求解即可，步骤：先算根的判别式，再代入求解．
【详解】
解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，
∴x=−b±Δ2a=1±136，
∴x1=1+136，x2=1−136．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•峨眉山市期末）用公式法解方程x2+x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝2B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
C．a＝1，b＝1，c＝﹣2D．a＝1，b＝﹣1，c＝2
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．
【解答】解：将方程整理得：x2+x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣2，
故选：C．
2．（2021秋•永年区期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；
故选：D．
3．（2021秋•龙岗区校级期中）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】先得出a、b、c的值，再计算出判别式的值，继而代入求根公式即可．
【解答】解：∵a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣3）＝192＞0，
∴y＝＝＝，
故选：C．
4．（2021秋•洪洞县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（ ）
A．x＝1B．x1＝0，x2＝1C．x＝2D．x1＝﹣1，x2＝2
【分析】由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，从而得出答案．
【解答】解：∵ax2﹣bx﹣2＝0，
∴ax2﹣bx＝2，
由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，
∴ax2﹣bx＝2的解为x1＝﹣1，x2＝2，
故选：D．
5．（2021秋•青县月考）若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（ ）
A．x1＝，x2＝﹣B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【分析】先找出方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再得出方程1+2m+（﹣3）＝0，求出m，再求出方程的解即可．
【解答】解：方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2m，﹣3，
∵方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，
∴1+2m+（﹣3）＝0，
解得：m＝1，
即方程为x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
故选：B．
6．（2021秋•信都区月考）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
【分析】观察小明解方程过程，找出出错的步骤即可．
【解答】解：小明解方程过程开始出错的步骤是第三步，求根公式用错．
故选：C．
7．（2021秋•高邑县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，方程ax2﹣bx＝2的解是（ ）
A．x＝1B．x₁＝0，x₂＝1C．x＝2D．x₁＝‒1，x₂＝2
【分析】由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，从而得出答案．
【解答】解：由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，
∴ax2﹣bx＝2的解为x1＝﹣1，x2＝2，
故选：D．
8．（2021•沂源县二模）问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（ ）
A．4y2+y﹣15＝0B．4y2+y+15＝0C．15y2+y﹣4＝0D．15y2﹣y﹣4＝0
【分析】设所求方程的根为y，则y＝﹣x，据此知x＝﹣y，再将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝0，化简可得答案．
【解答】解：设所求方程的根为y，则y＝﹣x，
所以x＝﹣y，
将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝0，得：4×（﹣y）2﹣（﹣y）﹣15＝0，
化简，得：4y2+y﹣15＝0，
故选：A．
9．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
故选：C．
10．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k≤C．k＞4D．k≤且k≠0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+2k）≥0，
解得：k≤．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2022•乳山市模拟）一元二次方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解为 x1＝，x2＝ ．
【分析】先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．
【解答】解：（2x+3）（x﹣1）＝1，
化为一般形式得：2x2+x﹣4＝0，
Δ＝12﹣4×2×（﹣4）＝33，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝，
故答案为：x1＝，x2＝．
12．（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为 x1＝0，x2＝6 ．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：x2﹣2x＝4x，
整理得：x2﹣6x＝0，
分解因式得：x（x﹣6）＝0，
所以x＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝0，x2＝6．
故答案为：x1＝0，x2＝6．
13．（2021秋•长安区期末）写出方程x2+x﹣1＝0的一个正根 ．
【分析】找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可得到结果．
【解答】解：这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵△＝1+4＝5，
∴x＝，
则方程的一个正根为．
故答案为：．
14．（2021秋•临海市期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 9 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
15．（2022春•衡阳期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： m≤7且m≠3 ．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣4（m﹣3）×1≥0且m﹣3≠0，
解得：m≤7且m≠3．
故答案为：m≤7且m≠3．
16．（2022•利州区一模）定义新运算“*”，规则：a*b＝，如3*1＝3，（﹣）*＝，若x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝ ．
【分析】先用公式法解一元二次方程x2+x﹣1＝0，再根据新运算“*”求解即可．
【解答】解：x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝1﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵＞，
根据题意，得x1*x2＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．（2022•平度市校级开学）按要求解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；（配方法）
（2）2x2+4x﹣3＝0．（公式法）
【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，计算即可求出解；
（2）方程利用求根公式计算即可求出．
【解答】解：（1）方程移项得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4，
开方得：x+1＝±2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3；
（2）这里a＝2，b＝4，c＝﹣3，
∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
18．（2021秋•霸州市期末）（1）用配方法解方程：x2+4x﹣1＝0；
（2）用公式法解方程：．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：x2+4x＝1，
配方得：x2+4x+4＝5，即（x+2）2＝5，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）这里a＝2，b＝﹣，c＝，
∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×
＝2﹣2
＝0，
∴x＝＝，
解得：x1＝x2＝．
19．（2021•石景山区一模）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
【分析】（1）先计算出判别式的值得到Δ＝（k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先解方程得到x1＝﹣3，x2＝﹣k，则根据题意得到﹣k＞1，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+3）2﹣4×3k
＝k2+6k+9﹣12k
＝（k﹣3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵（x+3）（x+k）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣k，
∵该方程有一个根大于1，
∴﹣k＞1，解得k＜﹣1，
即k的范围为k＜﹣1．
20．（2020春•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程3x2+bx﹣2＝0．
（1）若b＝6，请你求出这个方程的解；
（2）若b为任意数，请判断此时这个方程的根的情况．
【分析】（1）b＝6时，原方程为3x2+6x﹣2＝0，然后利用公式法解一元二次方程；
（2）先计算出判别式的值得到Δ＝b2+24＞0，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】解：（1）b＝6时，原方程为3x2+6x﹣2＝0，
∵Δ＝62﹣4×3×（﹣2）＝60＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵Δ＝b2﹣4×3×（﹣2）＝b2+24，
而b2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
21．（2020秋•南安市期中）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．
【分析】（1）先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用求根公式得到x1＝1，x2＝m﹣2，则m﹣2＞6，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝m2﹣2m+1﹣4m+8
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有实数根；
（2）由求根公式得x＝＝，
∴x1＝1，x2＝m﹣2，
∵方程有一根大于6，
∴m﹣2＞6，解得m＞8．
22．（2021秋•柘城县期中）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．
（1）若b＝2m﹣1，m+c＝﹣6，判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的非零实数根，且b2﹣c2﹣4＝0，求此时方程的根．
【分析】（1）由m+c＝﹣6，可得出c＝﹣m﹣6，根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝4m2+25，结合m2≥0可得出Δ＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝4c，结合b2﹣c2﹣4＝0可得出b，c的值，再解一元二次方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵m+c＝﹣6，
∴c＝﹣m﹣6，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×（﹣m﹣6）＝4m2+25．
∵m2≥0，
∴4m2+25＞0，即Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c．
∵b2﹣c2﹣4＝0，
∴b＝±2，c＝2，
当b＝﹣2，c＝2时，原方程为x2﹣2x+2＝0，
解得：x1＝x2＝；
当b＝2，c＝2时，原方程为x2+2x+2＝0，
解得：x3＝x4＝﹣．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
…
6
2
0
0
2
6
…
x
‒2
‒1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
6
2
0
0
2
6
…
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