初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数达标测试

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数达标测试，共27页。试卷主要包含了5，等内容，欢迎下载使用。

【名师点睛】
二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质
【典例剖析】
【例1】（2022·浙江台州·九年级期末）一条抛物线由抛物线y=2x2平移得到，对称轴为直线x=−1，并且经过点(1,1)．
(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；
(2)该抛物线由抛物线y=2x2经过怎样平移得到？
【例2】（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，设二次函数y=−12x−2m2+3−m（m是实数）．
(1)当m=2时，若点A8,n在该函数图象上，求n的值．
(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y=−12x+3上，你认为他的说法对吗？为什么？
(3)已知点P(a+1,c)，Q(4m−5+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c≤138．
【变式2】（2022·吉林吉林·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x−m2+mm>0的顶点为A，与y轴相交于点B．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为_______；（用含m的式子表示）
(2)当0≤x≤4时，设抛物线y=−x−m2+mm>0的最高点的纵坐标为n；
①当m=3时，n=______；当m=5时，n=______；
②求出n关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
③当抛物线的最高点到x轴的距离不大于2时，请直接写出m的取值范围．
【例3】（2019·河南·许昌市第一中学九年级期中）如果两个函数的图象关于原点对称，那么我们把这两个函数称为中心对称函数，如y＝（x﹣1）2＋2与y＝﹣（x＋1）2﹣2互为中心对称函数．根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：函数y＝﹣2（x＋4）2﹣1的中心对称函数为 ．
(2)若函数y＝3（x＋m）2﹣4与y＝a（x＋m）2＋n互为中心对称函数，请求出两函数顶点的距离d．
【满分训练】
一、单选题
1．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝﹣12（x+1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2
2．（2022·山西吕梁·九年级期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值3B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）
3．（2022·湖南郴州·中考真题）关于二次函数y=x−12+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是−1,5
C．该函数有最大值，是大值是5D．当x>1时，y随x的增大而增大
4．（2022·重庆巴蜀中学八年级期中）关于抛物线y=x−12+2，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点坐标为1,2C．当x=1时，y有最大值2D．对称轴是直线x=1
5．（2022·浙江丽水·一模）关于二次函数y=−3(x−2)2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2B．有最小值2C．有最大值5D．有最小值5
6．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m>2B．m>32C．m<1D．327．（2022·江西南昌·二模）已知抛物线y=−(x−m)2+2m过不同的两点A(a,n)，B(b,n)，则当点C(a+b,m)在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．±1
8．（2022·浙江金华·三模）若二次函数y=2(x−1)2−1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
9．（2022·全国·九年级）下列关于二次函数y=−x−m2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（ ）
A．当x>0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点0,1
C．该函数图象的顶点在函数y=x2+1的图象上D．该函数图象与函数y=−x2的图象形状相同
10．（2022·山东威海·一模）小明研究二次函数y=x−m2+m−1（m为常数）性质时，得出如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝x－1上；②存在两个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点Ax1,y1与点Bx2,y2在函数图象上，若x12m，则y1A．①B．②C．③D．④
二、填空题
11．（2020·黑龙江·集贤县第七中学九年级期中）抛物线y=−3(x−5)2+5的顶点坐标是____________．
12．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学三模）二次函数y=（x-1）2+2的最小值是__________．
13．（2022·江苏无锡·模拟预测）抛物线y=4(x+3)2−2的顶点坐标是______．
14．（2022·云南大理·九年级期末）若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为0,1，那么这个二次函数的解析式可以为_______．（只需写一个）
15．（2022·全国·九年级课时练习）将抛物线y=x−12−2先向左平移2个单位长度，再向上平移ℎ个单位长度．若得到的抛物线经过点−2,3，则ℎ的值是______．
16．（2022·广西河池·一模）已知A−2,y1，B2,y2，C2,y3三点在二次函数y=x−12+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______（用“＜”号表示）．
17．（2022·吉林·长春吉大附中力旺实验中学模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x−m2−m与正方形OABC有公共点时m的最大值是__________．
18．（2022·河北保定·二模）已知二次函数y=(x−2a)2+(a−1)（a为常数）．
（1）若a=2，则二次函数的顶点坐标为___________；
（2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=−1,a=0,a=1,a=2时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是___________．
三、解答
19．（2022·福建莆田·九年级期末）一抛物线以−1,9为顶点，且经过x轴上一点−4,0，求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点坐标．
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，从152m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．
21．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y=−14(x−2m)2+3−4m（m是实数）．
(1)小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点P(a−5,c)，Q(4m+3+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c≤15．
22．（2022·安徽·模拟预测）已知抛物线y=ax−ℎ2+k的顶点位于直线y=2x上，当该抛物线的顶点是原点时，则该抛物线经过点−2,2．
(1)当ℎ=−2时，求二次函数y=ax−ℎ2+k的解析式；
(2)当二次函数y=ax−ℎ2+k与x轴无交点时，求h的取值范围；
(3)二次函数y=ax−ℎ2+k与直线x=4交于点P，求点P到x轴距离的最小值．
23．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线y＝－（x－m）2＋1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C．
(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论．
(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)请你提出两个对任意的m值都能成立的正确命题．
【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题22.5二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质
【名师点睛】
二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质
【典例剖析】
【例1】（2022·浙江台州·九年级期末）一条抛物线由抛物线y=2x2平移得到，对称轴为直线x=−1，并且经过点(1,1)．
(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；
(2)该抛物线由抛物线y=2x2经过怎样平移得到？
【答案】(1)抛物线为y =2（x+1）2-7，顶点坐标是（-1，-7）；
(2)向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度
【解析】
【分析】
（1）根据平移的规律平移后的抛物线为y＝2（x+1）2+k，代入点（1，1），即可求出解析式；
（2）由抛物线的顶点式，根据左加右减，上加下减可得出答案．
(1)
解：设所求抛物线为y =2（x+1）2+k过（1,1）
则1 =2（1+1）2+k ，
解得k=-7，
∴所求抛物线为y =2（x+1）2-7.
顶点坐标是（-1，-7）
(2)
解：所求抛物线y =2（x+1）2-7是由抛物线y =2x2
向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．
【例2】．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，设二次函数y=−12x−2m2+3−m（m是实数）．
(1)当m=2时，若点A8,n在该函数图象上，求n的值．
(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y=−12x+3上，你认为他的说法对吗？为什么？
(3)已知点P(a+1,c)，Q(4m−5+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c≤138．
【答案】(1)-7
(2)对，理由见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）把m=2，点A（8，n）代入解析式即可求解；
（2）由抛物线解析式，得顶点是（2m，3−m），把x＝2m代入y=−12x+3，求出y值与3-m比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误；
（3）由点P（a+1，c），Q（4m-5+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x=a+1+4m−5+a2=a+2m-2，即可得出a+2m-2=2m，求得a=2，得到P（3，c），代入解析式即可得到 c=-12（3−2m）2+3-m＝-2m2+5m-32＝-2(m-54)2+138，根据二次函数的性质即可证得结论．
(1)
解：当m＝2时，y=-12（x-4）2+1
∵A（8，n）在函数图象上，
∴n=-12（8-4）2+1=-7
(2)
解：由题意得，顶点是（2m，3−m）
当x＝2m时，y=-12×2m+3=-m+3
∴顶点（2m，3−m）在直线y=-12x+3上
(3)
证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上
∴对称轴是直线x=a+1+4m-5+a2=a+2m-2
∴a+2m-2＝2m ，
∴a＝2，
∴P（3，c），
把P（3，c）代入抛物线解析式，得
∴c=-12（3−2m）2+3-m＝-2m2+5m-32＝-2(m-54)2+138，
∵-2<0，
∴c有最大值为138，
∴c≤138．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2】（2022·吉林吉林·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x−m2+mm>0的顶点为A，与y轴相交于点B．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为_______；（用含m的式子表示）
(2)当0≤x≤4时，设抛物线y=−x−m2+mm>0的最高点的纵坐标为n；
①当m=3时，n=______；当m=5时，n=______；
②求出n关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
③当抛物线的最高点到x轴的距离不大于2时，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)m,m，0,−m2+m
(2)①3，4；②当04时，n=−m2+9m−16；③0【解析】
【分析】
（1）根据抛物线顶点式直接写出顶点坐标，让x=0,求出函数值即可；
（2）①当m=3时，函数解析式为y=−x−32+3，当0≤x≤4时，即可求出最高点的纵坐标为n=3，当m=5时，y=−x−52+5，抛物线的对称轴为x=5，当0≤x≤4时，抛物线y=−x−52+5随着x的增大而增大，把x=4代入求函数值即可；
②分两种情况当00顶点为最高点，最高点纵坐标n=m；当m>4时，当0≤x≤4时，抛物线y=−x−m2+mm>0随x的增大而增大，当x=4时，最高点纵坐标n=−4−m2+m=−m2+9m−16．
③当00存在顶点，当抛物线的最高点到x轴的距离是m不大于2，列不等式组m≤2m＞0；当m>4时，当0≤x≤4时，抛物线y=−x−m2+mm>0随x的增大而增大，n=−4−m2+m=−m2+9m−16，x=4时，最高点纵坐标n=−4−m2+m=−m2+9m−16，列不等式组-2≤−m2+9m−16≤2m＞4，然后解不等式组即可．
(1)
解：∵抛物线y=−x−m2+mm>0为顶点式，
∴顶点A坐标为（m,m），
当x=0时，y=-m2+m，
∴与y轴相交于点B（0，-m2+m），
故答案为：m,m，0,−m2+m．
(2)
当m=3时，函数解析式为y=−x−32+3，当0≤x≤4时，抛物线y=−x−32+3的最高点的纵坐标为n=3，
当m=5时，y=−x−52+5，抛物线的对称轴为x=5，当0≤x≤4时，抛物线y=−x−52+5随着x的增大而增大，当x=4的最高点的纵坐标为n=4，
故答案为3，4；
②当00顶点为最高点，最高点纵坐标n=m；
当m>4时，当0≤x≤4时，y随x的增大而增大，当x=4时，最高点纵坐标n=−4−m2+m=−m2+9m−16．
③当00顶点为最高点，
∵当抛物线的最高点到x轴的距离是m不大于2，
∴m≤2m＞0，
∴0当m>4时，当0≤x≤4时，y随x的增大而增大，n=−4−m2+m=−m2+9m−16，
∴当x=4时，最高点纵坐标n=−4−m2+m=−m2+9m−16．
∵当抛物线的最高点到x轴的距离是m不大于2，
∴-2≤−m2+9m−16≤2m＞4，
当−m2+9m−16≤2−m2+9m−16≥−2，
解得m≤3,m≥62≤m≤7，
∴m≤3,m≥62≤m≤7m＞4，
不等式组的解集为6≤m≤7，
综上所述，当抛物线的最高点到x轴的距离不大于2时．m的取值范围为：0【点睛】
本题考查含有参数的抛物线问题，抛物线的解析式，抛物线性质，两轴交点坐标，利用最高点到x轴的距离列不等式组，解二次不等式，掌握含有参数的抛物线问题的解法，抛物线的解析式，抛物线性质，两轴交点坐标，利用最高点到x轴的距离列不等式组，解二次不等式是解题关键．
【例3】（2019·河南·许昌市第一中学九年级期中）如果两个函数的图象关于原点对称，那么我们把这两个函数称为中心对称函数，如y＝（x﹣1）2＋2与y＝﹣（x＋1）2﹣2互为中心对称函数．根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：函数y＝﹣2（x＋4）2﹣1的中心对称函数为 ．
(2)若函数y＝3（x＋m）2﹣4与y＝a（x＋m）2＋n互为中心对称函数，请求出两函数顶点的距离d．
【答案】(1)y＝2（x﹣4）2+1
(2)8
【解析】
【分析】
（1）根据中心对称函数的定义，两个函数形状相同，开口方向相反，顶点关于原点对称对称即可．
（2）根据中心对称函数的定义，得到二次函数的顶点，进而即可求得d的值．
(1)
根据“如果两个函数的图象关于原点对称，那么我们把这两个函数称为中心对称函数”可得，
函数y＝﹣2（x+4）2﹣1的中心对称函数为y＝2（x﹣4）2+1；
故答案为：y＝2（x﹣4）2+1．
(2)
∵函数y＝3（x+m）2﹣4与y＝a（x+m）2+n互为中心对称函数，
∴a=-3,m＝-m ，n＝4，
∴a=-3，m＝0 ，n＝4，
∴两个函数的顶点分别为（0，﹣4），（0，4），
∴两函数顶点的距离d为：4+4＝8．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，得出变换的规律是解题的关键．
【满分训练】
一、单选题
1．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝﹣12（x+1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
因为顶点式y=a（x-h）2+k，对称轴是直线x=h，所以抛物线y=（x+1）2+2的对称轴是直线x=-1．
【详解】
解：∵y=a（x-h）2+k，对称轴是直线x=h
∴抛物线y=（x+1）2+2的对称轴是直线x=-1
故选：B．
【点睛】
本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．
2．（2022·山西吕梁·九年级期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值3B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、C，令y＝0，解关于x的一元二次方程则可求得答案．
【详解】
解：A．当x＝1时，y有最大值4，该选项说法不正确，符合题意；
B．当x≥1时，y随x的增大而减小，该选项说法正确，不符合题意；
C．开口向下，该选项说法正确，不符合题意；
D．令y＝0，则−x−12+4=0，解得x1=−1，x2=3，所以函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），该选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数表达式与图象的关系是解答本题的关键．
3．（2022·湖南郴州·中考真题）关于二次函数y=x−12+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是−1,5
C．该函数有最大值，是大值是5D．当x>1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】
解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当x>1时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
4．（2022·重庆巴蜀中学八年级期中）关于抛物线y=x−12+2，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点坐标为1,2C．当x=1时，y有最大值2D．对称轴是直线x=1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax−ℎ2+k的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、因为1＞0，所以抛物线开口向上，故本选项正确，不符合题意；
B、抛物线y=x−12+2的顶点坐标为1,2，故本选项正确，不符合题意；
C、因为1＞0，所以当x=1时，y有最小值2，故本选项错误，符合题意；
D、抛物线y=x−12+2的对称轴是直线x=1，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次函数y=ax−ℎ2+k的图象和性质，熟练掌握二次函数y=ax−ℎ2+k（其中a≠0，h，k为常数）的图象和性质是解题的关键．
5．（2022·浙江丽水·一模）关于二次函数y=−3(x−2)2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2B．有最小值2C．有最大值5D．有最小值5
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】
解：∵二次函数y=−3(x−2)2+5，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5），
∴当x=2时，y有最大值为5；
∴选项A，B，D错误，C正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
6．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m>2B．m>32C．m<1D．32【答案】B
【解析】
【分析】
根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】
解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＞32，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
7．（2022·江西南昌·二模）已知抛物线y=−(x−m)2+2m过不同的两点A(a,n)，B(b,n)，则当点C(a+b,m)在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．±1
【答案】C
【解析】
【分析】
由Aa,n,Bb,n都在抛物线y=−(x−m)2+2m上，得到n=−a−m2+2mn=−b−m2+2m，进而得到a+b=2m,由C(a+b,m)也在抛物线上，m=−a+b−m2+2m,代入化简得到mm−1=0，解出即可得出结果．
【详解】
解：∵Aa,n，Bb,n都在抛物线y=−(x−m)2+2m上，
∴n=−a−m2+2mn=−b−m2+2m，
∴−a−m2+2m=−b−m2+2m，
∴a−m2−b−m2=0，
∴a+b−2ma−b=0，
∵A,B是不同的两个点，
∴a≠b，
∴a+b−2m=0，
∴a+b=2m，
∵Ca+b,m在抛物线的图象上，
∴m=−a+b−m2+2m，
∴m=−2m−m2+2m，
∴m=2m−m2，
∴m2−m=0，
∴mm−1=0，
∴m=0或m=1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键．
8．（2022·浙江金华·三模）若二次函数y=2(x−1)2−1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数解析式确定函数的顶点坐标，由此得到答案．
【详解】
由y=2(x−1)2−1可得，函数图象的顶点坐标为（1,-1），
由图可知，函数的顶点在线段CD上，
∴C、D的纵坐标为-1，D点的横坐标大于1，
∵由图可知B、D的横坐标相等，
∴B点的横坐标也大于1，
∴坐标原点只有可能是点A，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的性质及二次函数的图象，熟练确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级）下列关于二次函数y=−x−m2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（ ）
A．当x>0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点0,1
C．该函数图象的顶点在函数y=x2+1的图象上D．该函数图象与函数y=−x2的图象形状相同
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质一一判断即可．
【详解】
解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故选项错误，符合题意；
B．∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故选项正确，不符合题意；
C．∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，函数图像的顶点为（m，m2+1），
对于函数y＝x2+1，当x＝m时，y＝x2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故选项正确，不符合题意；
D．∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同， 故选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】
此题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于中考常考题型．
10．（2022·山东威海·一模）小明研究二次函数y=x−m2+m−1（m为常数）性质时，得出如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝x－1上；②存在两个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点Ax1,y1与点Bx2,y2在函数图象上，若x12m，则y1A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【详解】
解：二次函数y=x−m2+m−1（m为常数）
∴顶点坐标为（m， m-1）
把x=m代入y＝x－1，得：y=m-1，
∴这个函数图象的顶点始终在直线y=x-1上
故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
令y=0，得（x-m）2+m-1=0，其中m≤1
解得：x1=m+−m+1，x2=m−−m+1
∵顶点坐标为（m，m-1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴|m-1|=|m-（m-−m+1）|
解得：m=0或1，
当m=1时，二次函数y=（x-1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；
∴存在m=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②错误；
③∵x1+x2＞2m
∴x1+x22＞m
∵二次函数y=（x-m）2+m-1（m为常数）的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x1＜x2，且a=1>0
∴y1故结论③正确；
④当-1＜x＜3时，y随x的增大而减小，且a=1>0
∴m的取值范围为m≥3．
故结论④正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
二、填空题
11．（2020·黑龙江·集贤县第七中学九年级期中）抛物线y=−3(x−5)2+5的顶点坐标是____________．
【答案】（5，5）
【解析】
【分析】
根据顶点式解析式即可解答．
【详解】
解：抛物线y=−3(x−5)2+5的顶点坐标是（5，5），
故答案为：（5，5）．
【点睛】
此题考查了顶点式解析式的组成特点：y=a(x−ℎ)2+k中顶点坐标为（h，k）．
12．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学三模）二次函数y=（x-1）2+2的最小值是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次函数y=（x-1）2+2的性质得抛物线的开口向上，即当横坐标等于在对称轴的值时函数取得最小值．
【详解】
解：二次函数y=（x-1）2+2的展开式为：y=x2−2x+3，
∵a=1>0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x=−−22=1时，有最小值y=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
13．（2022·江苏无锡·模拟预测）抛物线y=4(x+3)2−2的顶点坐标是______．
【答案】−3,−2
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的顶点式解析式读取即可．
【详解】
解：∵y=4x+32−2，
∴顶点坐标为−3,−2，
故答案为：−3,−2．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式解析式，解题关键是掌握y=ax+ℎ2+ka≠0的顶点坐标为−ℎ,k．
14．（2022·云南大理·九年级期末）若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为0,1，那么这个二次函数的解析式可以为_______．（只需写一个）
【答案】y=−2x2+1（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向下，可知a为负数，取a= -2，再由顶点坐标为(0，1)，即可得出二次函数的解析式．
【详解】
∵二次函数的图象开口向下，
∴可知a为负数，取a= -2，
∵顶点坐标为(0，1)，
∴二次函数的解析式为：
y=-2(x-0)2+1=-2x2+1，
故答案为： y= -2x2 + 1(答案不唯一)．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握顶点式的特点是解决问题的关键．
15．（2022·全国·九年级课时练习）将抛物线y=x−12−2先向左平移2个单位长度，再向上平移ℎ个单位长度．若得到的抛物线经过点−2,3，则ℎ的值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】
解：∵抛物线y=x−12−2的顶点坐标为（1, -2），
先向左平移2个单位长度，再向上平移ℎ个单位长度
则平移后抛物线的顶点坐标为−1,−2+ℎ
∴平移后的抛物线解析式为y=x+12−2+ℎ，
∵平移后的抛物线经过点−2,3，∴3=−2+12−2+ℎ
解得ℎ=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
16．（2022·广西河池·一模）已知A−2,y1，B2,y2，C2,y3三点在二次函数y=x−12+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______（用“＜”号表示）．
【答案】y2【解析】
【分析】
二次函数开口朝上，图象上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，照此规律比较点与对称轴的远近即可求解．
【详解】
解：在二次函数y=x−12+m中，a=1>0，
∴二次函数开口朝上，对称轴为x=1，
∴当点距离对称轴越远时，其对应的函数值越大，
由1－（－2）=3>2－1>2－1，
得：y2故答案为：y2【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握利用点与对称轴远近比较函数值大小的方法是解题关键．
17．（2022·吉林·长春吉大附中力旺实验中学模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x−m2−m与正方形OABC有公共点时m的最大值是__________．
【答案】5+172
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点横纵坐标的关系得出抛物线顶点的运动轨迹，结合正方形的位置，则可得到当抛物线经过点B时m取最大值，依此列式求解即可．
【详解】
解：∵抛物线顶点坐标为m,−m ,
∴抛物线顶点在直线y= -x上移动，
∵四边形AOBC为正方形，点A（0，2），点C（2，0），
∴点B坐标为2,2，
如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，
将2,0代入y=x−m2−m中，
则2=2−m2−m，
解得m=5+172 或5−172（舍去），
故答案为：5+172．
【点睛】
本题考查二次函数图象和性质和图象平移的特点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系及图象平移的特点．
18．（2022·河北保定·二模）已知二次函数y=(x−2a)2+(a−1)（a为常数）．
（1）若a=2，则二次函数的顶点坐标为___________；
（2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=−1,a=0,a=1,a=2时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是___________．
【答案】 4,1 y=x2−1
【解析】
【分析】
本题给出的是二次函数的顶点式，可以推出二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），第一小问直接把a=2代入顶点坐标即可，第二小问要进行等量变换，具体见详解．
【详解】
①由题目所给二次函数顶点式可知，二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），当a=2时，二次函数顶点坐标为（4，1）；
②设顶点坐标为（x，y），则x=2a，可知，a=x2，则y=a-1=x2−1．
故答案为y=x2−1．
【点睛】
本题考查了根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标，第二问需要用等量变换，消掉a，得到y关于x的关系式．
三、解答题
19．（2022·福建莆田·九年级期末）一抛物线以−1,9为顶点，且经过x轴上一点−4,0，求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点坐标．
【答案】y=﹣x2-2x＋8；抛物线与y轴交点为0,8
【解析】
【分析】
知道顶点和抛物线上一点，可以用抛物线的顶点式求答；
【详解】
解：设抛物线解析式为y=ax−ℎ2+k，
依题意ℎ=−1，k=9，将−4,0代入y=ax+12+9中，
得0=9a+9，解得a=−1，
∴抛物线解析式为y=−x+12+9，即y=﹣x2-2x＋8；
令x=0，则y=8，
∴抛物线与y轴交点为0,8．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式；在知道顶点坐标的时候，利用顶点式求二次函数解析式十分方便．
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，从152m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．
【答案】水流落地点B离墙距离OB为5米
【解析】
【分析】
由题意可知M（1，8），A（0，152），且M为抛物线的顶点坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式，令y＝0即可求出OB的值；
【详解】
解：令OB为x轴，OA为y轴，向上，向右为正方向，建立坐标系，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8，
代入A（0，152）得152=a+8，
a＝﹣0.5，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
当y＝0时，0＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝5，
∴OB＝5米，
答：水流落地点B离墙距离OB为5米．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用；掌握二次函数的顶点式及性质是解题关键．
21．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y=−14(x−2m)2+3−4m（m是实数）．
(1)小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点P(a−5,c)，Q(4m+3+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c≤15．
【答案】(1)对的，理由见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据顶点坐标即可得到当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；
（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c=−14(−4−2m)2+3−4m =−(m−4)2+15 ，最后根据二次函数的性质即可证得结论．
(1)
解：设顶点坐标为（x，y）
∵已知二次函数y=−14(x−2m)2+3−4m（m是实数），
∴x=2m，y=3-4m，
∴2x+y=3，
即y=-2x+3，
∴当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，
故小明的说法是对的．
(2)
证明：点P(a−5,c)，Q(4m+3+a,c)都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线x=a−5+4m+3+a2=a+2m−1 ，
∴a+2m−1=2m ，
∴a=1，
∴点P坐标为（-4，c）
代入y=−14(x−2m)2+3−4m，得c=−14(−4−2m)2+3−4m=−(m−4)2+15
∴c≤15．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（2022·安徽·模拟预测）已知抛物线y=ax−ℎ2+k的顶点位于直线y=2x上，当该抛物线的顶点是原点时，则该抛物线经过点−2,2．
(1)当ℎ=−2时，求二次函数y=ax−ℎ2+k的解析式；
(2)当二次函数y=ax−ℎ2+k与x轴无交点时，求h的取值范围；
(3)二次函数y=ax−ℎ2+k与直线x=4交于点P，求点P到x轴距离的最小值．
【答案】(1)y=12x+22−4
(2)ℎ>0
(3)6
【解析】
【分析】
(1)首先由题意可得y=ax2，即可求得a=12，把（h，k）代入函数y=2x，得2ℎ=k，据此即可求得k，即可求得解析式；
(2)由题意可得y=12x2−ℎx+12ℎ2+2ℎ，再根据一元二次方程根的判别式，即可求得；
(3)把2ℎ=k，x=4代入，根据二次函数的性质即可求得．
(1)
解：当该抛物线的顶点是原点时，该抛物线的解析式为y=ax2，
将−2,2代入，得2=4a，解得a=12．
把（h，k）代入函数y=2x，得2ℎ=k，
当ℎ=−2时，得2ℎ=k=−4，h=-2，
∴二次函数y=ax−ℎ2+k的解析式为y=12x+22−4；
(2)
解：由题意，得k=2ℎ，由（1）得，a=12，
∴y=ax−ℎ2+k=12x−ℎ2+2ℎ=12x2−ℎx+12ℎ2+2ℎ．
∵12>0，二次函数y=ax−ℎ2+k与x轴无交点，
∴Δ=ℎ2−4×12×12ℎ2+2ℎ=ℎ2−ℎ2−4ℎ=−4ℎ<0，
∴ℎ>0；
(3)
解：当x=4时，y=ax−ℎ2+k=124−ℎ2+2ℎ=12ℎ2−4ℎ+8+2ℎ=12ℎ2−2ℎ+8=12ℎ−22+6，
故当ℎ=2时，y有最小值6，故点P到x轴距离的最小值为6．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
23．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线y＝－（x－m）2＋1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C．
(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论．
(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)请你提出两个对任意的m值都能成立的正确命题．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2，0），抛物线开口向下
(2)存在，2
(3)无论m为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点
【解析】
【分析】
（1）当m=1时，y=-（x-1）2+1，根据y=ax−ℎ2+k的性质写出三个结论即可；
（2）求得C（0，1-m2），根据点B在原点的右边，点C在原点的下方，可得m＞1，根据等腰三角形的性质可得1+m=m2-1，解方程求解即可；
（3）根据y=ax−ℎ2+k的性质，可知无论m为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点．
(1)
解：当m=1时，y=-（x-1）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
令y=0，-（x-1）2+1=0，
解得x1=0,x2=2，
抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2，0），
抛物线开口向下；
(2)
存在，理由如下：
令x=0，则y=1-m2，
∴C（0，1-m2），
令y=0，则x=1+m或x=m-1，
∴B（1+m，0），
∵点B在原点的右边，点C在原点的下方，
∴1+m＞0，1-m2＜0，
∴m＞1，
∵△BOC为等腰三角形，
∴1+m=m2-1，
解得m=2或m=-1（舍），
∴m=2；
(3)
无论m为何值，函数始终有最大值1；
无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点．
【点睛】
本题考查了y=ax−ℎ2+k的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，二次函数与坐标轴交点问题，掌握y=ax−ℎ2+k的性质是解题的关键．