初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆课后测评，共26页。试卷主要包含了1圆，5C．4，5°C．70°D．72°，5cm或2等内容，欢迎下载使用。
【名师点睛】
圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
【典例剖析】
【考点1】圆的有关概念
【例1】（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2021·广东·广州市番禺区市桥桥城中学九年级期中）下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2】弦的认识
【例2】（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】（2021·山东日照·九年级期中）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（ ）
A．4cmB．8cmC．16cmD．32cm
【考点3】圆中的最值问题
【例3】．（2021·浙江金华·九年级期中）点A，B的坐标分别为A (4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC﹦2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．22＋1B．22＋2C．42＋1D．42-2
【变式3】（2019·江苏镇江·九年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为 ( )
A．7B．3.5C．4.5D．3
【考点4】圆的周长与面积
【例4】（2021·广东·雷州市第八中学九年级期中）如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明，小红走过的路程分别为a，b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a=bB．abD．不能确定
【变式4】（2021·江苏·九年级专题练习）如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【考点5】圆的有关计算与证明
【例5】（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知MN为⊙O的直径，四边形ABCD，EFGD都是正方形，小正方形EFGD的面积为16，求圆的半径．
【变式5.2】（2021·全国·九年级课时练习）如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E，F在直径CD上，且CE=DF．求证：AF=BE．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022•路南区三模）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
2．（2019秋•肇源县月考）两个圆的周长不相等是因为它们的（ ）
A．圆的位置不同B．圆周率不同
C．半径不同D．圆心不同
3．如图，圆O的弦中最长的是（ ）
A．ABB．CDC．EFD．GH
4．（2020•资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
5．（2021秋•永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
6．（2021春•阳谷县期末）已知AB是⊙O的弦，⊙O的半径为r，下列关系式一定成立的是（ ）
A．AB＞rB．AB＜rC．AB＜2rD．AB≤2r
7．（2020秋•河东区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧．
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．（2022春•莘县期末）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．B．8C．6D．5
10．（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
二．填空题（共8小题）
11．一个圆的最大弦为12cm，则此圆面积为 ．
12．平面上一个点与某个圆上所有点的连线段中，最小的距离为4cm，最大的距离为9cm，则此圆的半径为 ．
13．如图， 是直径， 是弦，以E为端点的劣弧有 ，以A为端点的优弧有 ．
14．（2021秋•雷州市期中）如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有 条．
15．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为 ．
16．（2020秋•江阴市校级月考）有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是 （填序号）
17．（2022•铁岭三模）如图，数学知识在生产和生活中被广泛应用．下列实例所应用的最主要的几何知识为：
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
上述说法正确的是 ．（填序号）
18．（2021秋•延平区校级月考）如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a、b、c三者间的大小关系为 ．
三．解答题（共6小题）
19．（2018秋•如东县校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，求证：A，B，C，D四个点在同一个圆上．
20．（2021秋•崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
21．（2019秋•香坊区校级期中）按要求完成下列各题（结果保留π）
（1）求阴影部分的周长；
（2）求阴影部分的面积．
22．如图，△ABC，△ABD，△ABE都是以AB为斜边的直角三角形，
求证：（1）点A，D，B，C在同一个圆上；
（2）点A，E，D，B在同一个圆上．
23．（2017•龙湖区校级开学）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
24．已知MN为直径，ABCD，EFGD是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径．
【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题24.1圆
【名师点睛】
圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
【典例剖析】
【考点1】圆的有关概念
【例1】（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
【变式1】（2021·广东·广州市番禺区市桥桥城中学九年级期中）下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意；
②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是熟练掌握圆的有关定义及性质．
【考点2】弦的认识
【例2】（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义求解即可．
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
【变式2】（2021·山东日照·九年级期中）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（ ）
A．4cmB．8cmC．16cmD．32cm
【答案】B
【分析】根据直径是圆中最长的弦即可得到答案．
【详解】解：∵⊙O中，最长的弦长为16cm，即直径为16cm，
∴⊙O的半径是8cm，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆的弦的定义及理解圆中最长的弦，正确理解直径是圆中最长的弦是解题的关键．
【考点3】圆中的最值问题
【例3】．（2021·浙江金华·九年级期中）点A，B的坐标分别为A (4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC﹦2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．22＋1B．22＋2C．42＋1D．42-2
【答案】A
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD=OA=4，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是ΔACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=4，∠BOD=90°，
∴BD=42，
∴CD=42+2，
∴OM=12CD=12(42+2)=22+1，
即OM的最大值为22+1；
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．
【变式3】（2019·江苏镇江·九年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为 ( )
A．7B．3.5C．4.5D．3
【答案】B
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB=AC2+BC2=42+32=5
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=12AB=52
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=12AD=1
∴在△CEM中，52−1⩽CM⩽52+1
∴32⩽CM⩽72
故选：B
【点睛】本题考查了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【考点4】圆的周长与面积
【例4】（2021·广东·雷州市第八中学九年级期中）如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明，小红走过的路程分别为a，b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a=bB．abD．不能确定
【答案】A
【分析】根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径之和，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等．
【详解】解：设小明走的半圆的半径是R．
则小明所走的路程是πR．
设小红所走的两个半圆的半径分别是r1与r2，
则r1+r2=R，
小红所走的路程是πr1+πr2=π⋅r1+r2=πR，
∴a=b，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆的直径之和是大于半圆的直径．
【变式4】（2021·江苏·九年级专题练习）如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】B
【分析】由圆的旋转对称性，可知阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，据此解题．
【详解】解：根据题意，大圆、小圆都被两条互相垂直的直径平均分成4份，由圆的旋转对称性，可得阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，阴影部分面积：12π×22＝2π，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的旋转对称性等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【考点5】圆的有关计算与证明
【例5】（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知MN为⊙O的直径，四边形ABCD，EFGD都是正方形，小正方形EFGD的面积为16，求圆的半径．
【答案】r=45
【分析】连接OC，OF，设⊙O的半径为r，AD=2x，则DO=12AD=x，在Rt△COD和Rt△FOG中，分别根据勾股定理可得x2+(2x)2=x2+8x+32，解方程即可求解．
【详解】如图，连接OC，OF，
设⊙O的半径为r，AD=2x，则DO=12AD=x，
∵DO2+CD2=CO2，
∴x2+(2x)2=r2，
∵正方形EFGD的面积为16，
∴DG=FG=4，
∴OG=x+4，
又∵OF2=OG2+FG2，
∴r2=(x+4)2+42=x2+8x+32，
∴x2+(2x)2=x2+8x+32，
解得x1=4，x2=−2（不合题意，舍去），
∴r2=42+82=80，r=45．
【点睛】本题考查勾股定理的应用圆的认识和性质，解题的关键是熟练掌握在一个直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
【变式5。1】（2021·全国·九年级课时练习）△ABC中，∠C=90°．求证：A，B，C三点在同一个圆上．
【答案】见解析．
【分析】取AB的中点O，根据直角三角形的性质得到CO＝AO＝BO，故可求解．
【详解】如图所示，取AB的中点O，连接CO
在Rt△ABC中，
∵AO= BO，∠ACB= 90°，
∴CO＝12AB，即CO＝AO＝BO．
∴A，B，C三点在同一个圆上，圆心为点O．
【点睛】此题主要考查证明三点共圆，解题的关键是熟知圆的基本性质及直角三角形的特点．
【变式5.2】（2021·全国·九年级课时练习）如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E，F在直径CD上，且CE=DF．求证：AF=BE．
【答案】见解析
【分析】由于AB通过圆心O点，故OA=OB，再由对顶角相等，CE=DF推出OF=OE，从而证明△AOF≌△BOE(SAS)，最后由对应边相等得出AF=BE．
【详解】证明：∵AB，CD为⊙O中两条直径，
∴OA=OB，OC=OD，
∵CE=DF，
∴OE=OF，
在△AOF和△BOE中，
OA=OB∠AOF=∠BOEOF=OE，
∴△AOF≌△BOE(SAS)，
∴AF=BE．
【点睛】本题考查圆的性质和三角形全等的判定，掌握这些性质和判定是解出本题的关键．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022•路南区三模）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
【分析】在平面内与点P的距离为1cm的点在“以点P为圆心，1cm为半径为的圆”上．
【解析】在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，
故选：A．
2．（2019秋•肇源县月考）两个圆的周长不相等是因为它们的（ ）
A．圆的位置不同B．圆周率不同
C．半径不同D．圆心不同
【分析】根据圆的周长公式即可得到答案．
【解析】∵圆的周长＝2倍的圆的半径×π，
∴两个圆的周长不相等是因为它们的半径不同，
故选：C．
3．如图，圆O的弦中最长的是（ ）
A．ABB．CDC．EFD．GH
【分析】根据图示直接得到答案．
【解析】如图所示，圆O的弦中最长的是AB．
故选：A．
4．（2020•资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【解析】∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B．
5．（2021秋•永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故不符合题意；
（2）弦包括直径，故不符合题意；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故不符合题意；
（4）直径是圆中最长的弦，符合题意，
正确的只有1个，
故选：A．
6．（2021春•阳谷县期末）已知AB是⊙O的弦，⊙O的半径为r，下列关系式一定成立的是（ ）
A．AB＞rB．AB＜rC．AB＜2rD．AB≤2r
【分析】根据“直径是最长的弦”进行解答．
【解析】若AB是⊙O的直径时，AB＝2r．
若AB不是⊙O的直径时，AB＜2r，无法判定AB与r的大小关系．
观察选项，选项D符合题意．
故选：D．
7．（2020秋•河东区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】①圆中的线段是弦，错误，不符合题意；
②直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
③经过圆心的线段是直径，错误，不符合题意；
④半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意；
⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，不符合题意；
⑥弧不一定是半圆，但半圆是弧，故原命题错误，不符合题意，
正确的有2个，
故选：A．
8．（2022春•莘县期末）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解析】①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
9．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．B．8C．6D．5
【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．
【解析】如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
∴CD＝AB＝×10＝5．
故选：D．
10．（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
【分析】连接OD，如图，设∠C的度数为n，由于CD＝OA＝OD，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC＝n，则利用三角形外角性质得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形内角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，从而得到∠A的度数．
【解析】连接OD，如图，设∠C的度数为n，
∵CD＝OA＝OD，
∴∠C＝∠DOC＝n，
∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，
∴OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2n，
∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，
∴75°+n+2n＝180°，
解得n＝35°，
∴∠A＝2n＝70°．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．一个圆的最大弦为12cm，则此圆面积为 36πcm2 ．
【分析】根据圆的最长弦的长确定圆的直径，然后确定半径，从而计算面积即可．
【解析】∵一个圆的最大弦为12cm，
∴圆的半径为6cm，
∴圆的面积为62π＝36πcm2，
故答案为：36πcm2．
12．平面上一个点与某个圆上所有点的连线段中，最小的距离为4cm，最大的距离为9cm，则此圆的半径为 6.5cm或2.5cm ．
【分析】点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解析】分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离MB＝4cm，最大距离MA＝9cm，
∴直径AB＝4cm+9cm＝13cm，
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离MB＝4cm，最大距离MA＝9cm，
∴直径AB＝9cm﹣4cm＝5cm，
∴半径r＝2.5cm；
故答案为：6.5cm或2.5cm．
13．如图， AB 是直径， CD、EF、AB 是弦，以E为端点的劣弧有 、、、、 ，以A为端点的优弧有 、、、 ．
【分析】根据半径、直径、弦、劣弧和优弧的定义求解．
【解析】在⊙O中，AB是直径，CD、EF、AB是弦，以E为端点的劣弧有、、、、，以A为端点的优弧有、、、；
故答案为：AB；CD、EF、AB，、、、、，、、、．
14．（2021秋•雷州市期中）如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有 3 条．
【分析】根据弦的定义进行分析，即可得到答案．
【解析】图中的弦有弦AB、弦BC、弦CE共三条，
故答案为3．
15．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为 140° ．
【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA＝80°，∠OBC＝∠C＝60°，然后计算∠OBA+∠OBC即可．
【解析】连接OB，如图，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝60°，
∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝80°+60°＝140°．
故答案为140°．
16．（2020秋•江阴市校级月考）有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是 ②③ （填序号）
【分析】利用圆的有关定义进行判断后即可确定正确的答案．
【解析】①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；
②半圆是弧，弧不一定是半圆，正确；
③面积相等的两个圆是等圆，正确；
正确的结论有②③．
故答案为：②③．
17．（2022•铁岭三模）如图，数学知识在生产和生活中被广泛应用．下列实例所应用的最主要的几何知识为：
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
上述说法正确的是 ①② ．（填序号）
【分析】①根据两点确定一条直线进行判断．
②利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．
③根据菱形的性质进行判断．
④根据矩形的性质进行判断．
【解析】①在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故符合题意．
②因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，故符合题意．
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形四边相等和平行四边形的不稳定性”，故不符合题意；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故不符合题意．
故答案是：①②．
18．（2021秋•延平区校级月考）如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a、b、c三者间的大小关系为 a＝b＝c ．
【分析】连接OM、OD、OA，如图，利用圆的半径相等得到OM＝OD＝OA，再根据矩形的性质得OM＝NH，OD＝GF，OA＝BC，则有BC＝EF＝HN．
【解析】连接OM、OD、OA，如图，
∵点A、D、M在半圆上，
∴OM＝OD＝OA，
∵四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，
∴OM＝NH，OD＝GF，OA＝BC，
∴BC＝EF＝HN，即a＝b＝c．
故答案为a＝b＝c．
三．解答题（共6小题）
19．（2018秋•如东县校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，求证：A，B，C，D四个点在同一个圆上．
【分析】连接BD，取BD的中点O，连接OA，OC，只要证明OA＝OB＝OD＝OC即可；
【解答】证明：连接BD，取BD的中点O，连接OA，OC．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OD＝OC，
∴A，B，C，D四个点在同一个圆上．
20．（2021秋•崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
【分析】（1）由AB＝O得到AB＝BO，则∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∠1＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD．
【解析】（1）连OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∵∠2＝∠A+∠1，
∴∠2＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．
21．（2019秋•香坊区校级期中）按要求完成下列各题（结果保留π）
（1）求阴影部分的周长；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）阴影部分的周长为两个半圆的周长加上一个大半圆的周长，然后根据圆的周长公式计算；
（2）用一个矩形的面积分别减去2个圆的面积和一个半圆的面积．
【解析】（1）阴影部分的周长＝2π×（）+×2π×6＝12π（cm）；
（2）阴影部分的面积＝4×10﹣2×π×22﹣×π×22＝40﹣10π．
22．如图，△ABC，△ABD，△ABE都是以AB为斜边的直角三角形，
求证：（1）点A，D，B，C在同一个圆上；
（2）点A，E，D，B在同一个圆上．
【分析】（1）（2）如图，取AB的中点O，连接OD，OC，OE，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明．
【解答】证明：（1）如图，取AB的中点O，连接OD，OC．
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴OD＝OC＝AB＝OA＝OB，
∴A，D，B，C四点共圆．
（2）连接OE．
∵∠AEB＝∠ADB＝90°，OA＝OB，
∴OE＝OD＝AB＝OA＝OB，
∴A，E，D，B四点共圆．
23．（2017•龙湖区校级开学）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
【分析】由直径AB＝5cm，可得半径OC＝OA＝AB＝cm，分别利用勾股定理计算AD、AC的长．
【解析】连接OC，
∵AB＝5cm，
∴OC＝OA＝AB＝cm，
Rt△CDO中，由勾股定理得：DO＝＝cm，
∴AD＝﹣＝1cm，
由勾股定理得：AC＝＝，
则AD的长为1cm，AC的长为cm．
24．已知MN为直径，ABCD，EFGD是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径．
【分析】连接OC、OF，设AD＝2x，在直角△COD和△FOG中，分别表示r2，进而可得x2+（2x）2＝x2+8x+32，再解方程即可．
【解析】连接OC、OF，
设AD＝2x，
∵CO2＝DO2+CD2，
∴x2+（2x）2＝r2，
∵OF2＝OG2+FG2，
∴r2＝（x+4）2+42＝x2+8x+32，
∴x2+（2x）2＝x2+8x+32，
解得：x1＝4，x2＝﹣2（舍去），
∴r2＝5×42，
r＝4．