初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数习题

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这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数习题，共33页。

1.二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质
2. 二次函数y= ax²+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
【典例剖析】
【例1】（2022·福建省福州第一中学八年级期末）对于抛物线y=x2−2x−3．
(1)它与x轴交点的坐标为______，与y轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(3)当−2【例2】（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）已知抛物线y=ax2−2ax−2+a2a≠0．
(1)求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
(2)设点Pm,y1，Q4,y2在抛物线上，若y1【例3】（2022·河南许昌·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A−3,0，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2−2x+c与x轴的正半轴相交于点C．
(1)求k、c的值；
(2)求点C的坐标和抛物线y=−x2−2x+c的顶点坐标；
(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【例4】（2022·安徽合肥·九年级期末）已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y1=x+4x、y2=2x+8x、y3=3x+12x、……
(1)探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x=
(2)求二次函数yn的解析式及其顶点坐标；
(3)点（-2，-20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由．
【满分训练】
一、单选题
1．（2021·河南周口·九年级期中）抛物线y=−x2−2x的顶点是（）
A．(1，1)B．(−1，−1)C．(1，−1)D．(−1，1)
2．（2022·江苏扬州·九年级期末）对二次函数y＝x2﹣2x的图像性质描述，正确的是（）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．对称轴右侧图像呈下降趋势
3．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）二次函数y=x2−4x+5的最小值是（）
A．1B．3C．4D．5
4．（2022·浙江宁波·八年级期末）将抛物线y=x2−6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A．y=(x−4)2−6B．y=(x−1)2−3
C．y=(x−2)2−2D．y=(x−4)2−2
5．（2022·山东威海·九年级期末）抛物线y=x2+6x+5的对称轴为直线m，下列各点在直线m上的是（）
A．（3，－4）B．（－3，0）C．（3，4）D．（－4，0）
6．（2022·河南许昌·九年级期末）关于抛物线y=x2+4x−6的说法正确的是（）
A．开口向下B．抛物线过点0,6
C．抛物线与x轴有一个交点D．对称轴是x=−2
7．（2022·陕西西安·模拟预测）已知抛物线y=−x2+2x+k向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，则k的值为（）
A．3B．2C．1D．0
8．（2022·全国·九年级课时练习）如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（）
A．B．
C．D．
9．（2021·天津红桥·九年级期中）若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＞＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
10．（2022·福建莆田·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c图象b≤0经过点−2,4，0,−2，2,m，其中m≥−2．以下选项错误的是（）
A．a+b<32B．34≤a≤32C．2a+b≥0D．−2≤m≤4二、填空题
11．（2022·山东菏泽·九年级期末）抛物线y=−2(x−1)2的图象上有三个点A(−1,y1),B(1,y2),C(2,y3)，则y1,y2,y3的大小关系是__________．
12．（2022·湖南长沙·九年级期末）已知二次函数y=x2+m−3x+m+1，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
13．（2022·浙江杭州·九年级期末）某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式______．
14．（2022·山东德州·九年级期末）已知函数y＝x2﹣8x+9，当x＞___时，y随x的增大而增大．
15．（2022·山东枣庄·九年级期末）二次函数y=−x2−2x+3的图像的顶点坐标是_________．
16．（2022年江苏省盐城市中考数学真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
17．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知二次函数y=−x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是_____________．
18．（2021·吉林辽源·九年级期末）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，点A，B在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为________．
三、解答题
19．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知二次函数＝﹣x2+6x﹣8．
(1)求该二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
(2)求出这个二次函数的顶点坐标．
20．（2021·河南南阳·九年级期末）已知二次函数的解析式是y=x2−2x−3．
(1)用配方法将y=x2−2x−3化成y=ax−ℎ2+k的形式；
(2)在直角坐标系中，画出它的图象；
(3)当x为何值时，函数值y>0；
(4)当−321．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．
(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(3)若抛物线上存在两点Am−1,y1和Bm+2,y2，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．
22．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1的函数表达式．
(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
23．（2022·浙江·温州市第十四中学三模）已知二次函数y=−(x−1)(x−m)的对称轴为直线x=3．
(1)求m的值；
(2)记抛物线顶点为H，以点H为直角顶点作等腰Rt△HAB，使A，B两点落在抛物线上（B在A右侧），求点B的坐标．
24．（2022·河北保定·一模）如果两个二次函数图象的顶点相同、开口方向相反，则将这两个二次函数称为“共顶反向二次函数”．
(1)判断二次函数y＝x2﹣4x+3与y＝﹣2x2+8x﹣9是否为“共顶反向二次函数”．请说明理由．
(2)请写出两个为“共顶反向二次函数”的函数．
(3)y1、y2是两个关于x的二次函数，其中y1＝x2﹣2mx+m2+1、y2＝ax2+bx﹣2，且y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1为“共顶反向二次函数”，求y2的表达式．
x
…
…
y
…
…
【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题22.6二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质
【名师点睛】
1.二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质
2. 二次函数y= ax²+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
【典例剖析】
【例1】（2022·福建省福州第一中学八年级期末）对于抛物线y=x2−2x−3．
(1)它与x轴交点的坐标为______，与y轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(3)当−2【答案】(1)−1,0,3,0，0,−3，1,−4
(2)图象见详解
(3)−4≤y<5
【解析】
【分析】
（1）令y=0，x=0时可求出该抛物线与x轴、y轴的交点坐标，然后把二次函数解析式配成顶点式可求出顶点坐标；
（2）先完成题中的表格，然后再坐标系中描点连线即可；
（3）根据二次函数的性质与图象可进行求解．
(1)
解：令y=0时，则有0=x2−2x−3，解得：x1=−1,x2=3，
∴该二次函数与x轴的交点坐标为−1,0,3,0；
令x=0时，则有y=−3，
∴该抛物线与y轴交点的坐标为0,−3，
由y=x2−2x−3=x−12−4可知顶点坐标为1,−4；
故答案为−1,0,3,0，0,−3，1,−4；
(2)
解：表格如下所示：
则根据描点法可得如下图象：
(3)
解：如（2）中图象可知：当−2【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【例2】（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）已知抛物线y=ax2−2ax−2+a2a≠0．
(1)求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
(2)设点Pm,y1，Q4,y2在抛物线上，若y1【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=1；a=2或−1
(2)当a>0时，若y14
【解析】
【分析】
（2）先配方，再根据顶点的纵坐标为0建立方程计算求解即可．
（2）分a>0和a<0两种情况讨论计算即可．
(1)
∵抛物线y=ax2−2ax−2+a2=ax−12+a2−a−2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴a2−a−2=0，
解得a=2或−1．
(2)
当a>0时，抛物线开口向上，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴Q4,y2在对称轴的右侧，
当Pm,y1在对称轴的右侧时，根据抛物线的性质，对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且y1∴1＜m＜4；
当Pm,y1在对称轴的左侧时，根据抛物线的性质，对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴4+x02=1，
解得x0=−2，
∴Q4,y2的对称点坐标为Q'−2,y2，
∵y1∴m＞-2；
故−2当a<0时，抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴Q4,y2在对称轴的右侧，
当Pm,y1在对称轴的右侧时，根据抛物线的性质，对称轴的右侧，y随x的增大而减小，且y1∴m＞4；
当Pm,y1在对称轴的左侧时，根据抛物线的性质，对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴4+x02=1，
解得x0=−2，
∴Q4,y2的对称点坐标为Q'−2,y2，
∵y1∴m<−2
∴m<−2或m>4．
综上所述，当a>0时，若y14．
【点睛】
本题考查了抛物线的配方法求顶点坐标，抛物线的增减性，熟练掌握配方法和增减性是解题的关键．
【例3】（2022·河南许昌·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A−3,0，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2−2x+c与x轴的正半轴相交于点C．
(1)求k、c的值；
(2)求点C的坐标和抛物线y=−x2−2x+c的顶点坐标；
(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【答案】(1)c=3，k=1
(2)1,0，−1,4
(3)−8≤xM<−3或−3【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）令y=0，代入y=−x2−2x+3求出点C的坐标，把y=−x2−2x+3化成顶点式即可得出顶点坐标；
（3）数形结合，分情况讨论确定MN的位置，进而求出点M的横坐标xM的取值范围．
(1)
解：∵直线y=kx+3与x轴交于点A−3,0，
∴-3k+3=0，
解得∶k=1．
∵抛物线y=−x2−2x+c经过点A−3，0，
∴−−32−2×−3+c=0，
解得∶c=3．
(2)
解：在y=−x2−2x+3中，令y=0得
−x2−2x+3=0，
解得：x1=−3，x2=1；
∴点C的坐标为1,0．
∵y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴抛物线y=−x2−2x+3的顶点坐标为−1,4．
(3)
解：分情况讨论：
①当点M在点A的左侧时，设点M（m，m+3），此时点N（m+4，m+3）恰好在抛物线y=−x2−2x+3上，即
-(m+4)2-2(m+4)+3= m+3
解得：m1=-3，m2=-8
结合图象得：−8≤xM<−3时线段MN与抛物线有一个交点；
②当点M在A点时，点M（-3，0）向右移动4个单位得到的N点（1，0）恰好与C点重合，此时线段MN与抛物线有两个交点，
∴xM≠-3；
③当点M在线段AB上，且M不在A点时，
∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离3，故此时线段MN与抛线只有一个公共点，
∴-3④当点M在点B的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
综上所述，点M的横坐标xM的取值范围为−8≤xM<−3或−3【点睛】
此题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，解题的关键是数形结合，第（3）问要注意分情况讨论，不重不漏．
【例4】（2022·安徽合肥·九年级期末）已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y1=x+4x、y2=2x+8x、y3=3x+12x、……
(1)探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x=
(2)求二次函数yn的解析式及其顶点坐标；
(3)点（-2，-20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)-2
(2)yu=nx2+4nx、(−2,−4n)
(3)是，y5=5x2+20x，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）分别求出每个函数解析式的对称轴，即可得到答案；
（2）根据已知函数解析式得到规律，由此得到点n个函数解析式，化为顶点式即可得到顶点坐标；
（3）利用（2）得到-4n=-20，求出n值即可得到函数解析式．
(1)
解：y1=x+4x的图象对称轴为直线x=-42×1=−2，
y2=2x+8x的图象对称轴为直线x=−82×2=−2，
y3=3x+12x的图象对称轴为直线x=−122×3=−2，
……，
∴所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x=-2，
故答案为：-2；
(2)
∵第一个函数解析式为y1=x+4x，
第二个函数解析式为y2=2x+8x，
第三个函数解析式为 y3=3x+12x，
……，
∴第n个函数解析式为yu=nx2+4nx，
∵yu=nx2+4nx=nx+22−4n，
∴顶点坐标为：（-2，-4n）；
(3)
是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，利用如下：
∵“和谐二次函数”的顶点坐标为：（-2，-4n），n为正整数，
∴-4n=-20，
解得n=5，
∴“和谐二次函数”的解析式为y5=5x2+20x．
【点睛】
此题考查了规律探究问题，正确理解已知的定义得到解析式的规律并应用规律解决问题是解题的关键．
【满分训练】
一、单选题(共0分)
1．（2021·河南周口·九年级期中）抛物线y=−x2−2x的顶点是（）
A．(1，1)B．(−1，−1)C．(1，−1)D．(−1，1)
【答案】D
【解析】
【分析】
将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】
解：∵y=−x2−2x=−(x+1)2+1，
∴抛物线顶点坐标为(−1,1)，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数解析式之间的转化，根据抛物线顶点式求解．
2．（2022·江苏扬州·九年级期末）对二次函数y＝x2﹣2x的图像性质描述，正确的是（）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．对称轴右侧图像呈下降趋势
【答案】C
【解析】
【分析】
将抛物线解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】
解：y=x2-2x=（x-1）2-1，
A．由a=1＞0可知抛物线开口向上，此选项错误；
B．抛物线的对称轴为直线x=1，此选项错误；
C．当x=0时，y=0，即此抛物线经过原点，此选项正确；
D．由a＞0且对称轴为直线x=1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练根据抛物线的顶点式得出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等性质．
3．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）二次函数y=x2−4x+5的最小值是（）
A．1B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得抛物线的顶点坐标，然后得到顶点到x轴的距离．
【详解】
解：∵y=x2−4x+5＝（x-2）2+1，
∴其图象开口向上，顶点为（2，1）．
∴函数的最小值为1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键是会将函数的一般式化为顶点式得到顶点坐标．
4．（2022·浙江宁波·八年级期末）将抛物线y=x2−6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A．y=(x−4)2−6B．y=(x−1)2−3
C．y=(x−2)2−2D．y=(x−4)2−2
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解：y=x2−6x+5=(x−3)2−4，即抛物线的顶点坐标为(3，−4)，
把点(3，−4)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到点的坐标为(4，−2)，
所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x−4)2−2．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．（2022·山东威海·九年级期末）抛物线y=x2+6x+5的对称轴为直线m，下列各点在直线m上的是（）
A．（3，－4）B．（－3，0）C．（3，4）D．（－4，0）
【答案】B
【解析】
【分析】
先把抛物线y=x2+6x+5化成顶点式，求出对称轴直线m，即可作出判断．
【详解】
解：∵y=x2+6x+5
＝(x+3)2−4，
∴ 抛物线y=x2+6x+5的对称轴为直线m＝﹣3，
∴直线m＝﹣3上的点的横坐标是﹣3，
∴（－3，0）在直线m上．
故选：B
【点睛】
此题考查了二次函数的对称轴、二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式的方法是解题的关键．
6．（2022·河南许昌·九年级期末）关于抛物线y=x2+4x−6的说法正确的是（）
A．开口向下B．抛物线过点0,6
C．抛物线与x轴有一个交点D．对称轴是x=−2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的二次项系数，x=0处的函数值，一元二次方程x2+4x−6=0根的判别式，对称轴判断即可；
【详解】
解：∵二次项系数为1＞0，
∴函数开口向上；
∵当x=0时，y=-6，
∴抛物线不过点（0，6）；
∵一元二次方程x2+4x−6=0的Δ=16+24=40＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；
∵y=x2+4x−6=x+22−10，
∴抛物线对称轴是x=-2；
故选： D．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
7．（2022·陕西西安·模拟预测）已知抛物线y=−x2+2x+k向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，则k的值为（）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出原抛物线的顶点坐标为1，k+1，然后再根据平移得出新的抛物线顶点坐标为−1，k−1，再根据关于原点对称的两个点的特点，列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】
解：∵y=−x2+2x+k=−x−12+1+k，
∴抛物线的顶点坐标为：1，k+1，
将抛物线y=−x2+2x+k向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，新的抛物线的顶点坐标为：−1，k−1，
∵所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，
∴k+1+k−1=0，
解得：k=0，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移，关于原点对称点的特点，解一元一次方程，熟练掌握抛物线的平移特点，得出平移后抛物线的顶点坐标为−1，k−1，是解题的关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由a=2，b>0，c<0，推出-b2a<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断．
【详解】
解：∵a=2，b>0，c<0，
∴-b2a<0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2021·天津红桥·九年级期中）若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＞＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到A'的坐标表示，然后比较A'、B、C三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．
【详解】
解：由y=2x2+x−1知该函数图象开口向上，对称轴是直线x=−14，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大
∴点A对称的点A'的坐标为12，y1
∵0<12<1
∴y2故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．
10．（2022·福建莆田·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c图象b≤0经过点−2,4，0,−2，2,m，其中m≥−2．以下选项错误的是（）
A．a+b<32B．34≤a≤32C．2a+b≥0D．−2≤m≤4
【答案】A
【解析】
【分析】
将（-2，4），（0，-2）代入解析式可得a与b的等量关系，将（2，m）代入解析式可得m与a的等量，由b≤0，m≥-2可求a的取值范围，进而求解．
【详解】
解：将（-2，4），（0，-2）代入y=ax2+bx+c得
4=4a−2b+c−2=c，
解得b=2a−3c=−2，
∴y=ax2+2a−3x−2．
把（2，m）代入y=ax2+2a−3x−2得m=4a+22a−3−2=8a−8．
∵m≥−2，
∴8a−8≥−2，
∴a≥34．
∵b=2a−3≤0，
∴a≤32，
∴34≤a≤32，故选项B正确；
∵a+b=3a−3，
∴−34≤a+b≤32，故选项A错误；
∵2a+b=4a−3，
∴0≤2a+b≤3，故选项C正确；
∵−2≤8a−8≤4，
∴−2≤m≤4，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特点，掌握二次函数与方程的关系．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共0分)
11．（2022·山东菏泽·九年级期末）抛物线y=−2(x−1)2的图象上有三个点A(−1,y1),B(1,y2),C(2,y3)，则y1,y2,y3的大小关系是__________．
【答案】y1【解析】
【分析】
先判断A(−1,y1),B(1,y2),C(2,y3)与对称轴的距离，再根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵y=−2(x−1)2，-2＜0 ，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y=−2(x−1)2的图象上有三个点A（-1，y1），B（1，y2），C（2，y3），
而 |-1-1|=2，|1-1|=0，|2-1|=1，
∴y1故答案为：y1【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，比较二次函数值的大小，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（2022·湖南长沙·九年级期末）已知二次函数y=x2+m−3x+m+1，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
【答案】m≥1
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质利用对称轴构建不等式即可解决问题．
【详解】
解：∵二次函数y=x2+m−3x+m+1的对称轴是x=−m−32，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣m−32≤1，
∴m≥1．
故答案为：m≥1．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质．
13．（2022·浙江杭州·九年级期末）某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式______．
【答案】y=（x-1）2（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据当x≥1时，y随x的增大而增大，可以得到该函数的图象开口方向和对称轴x的取值范围，然后即可写出一个符合要求的函数解析式．
【详解】
解：∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴该函数图象开口向上，对称轴直线x≤1，
∴符合该条件的二次函数的表达式可以是y=（x-1）2，
故答案为：y=（x-1）2，（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，写出相应的函数解析式，注意本题答案不唯一．
14．（2022·山东德州·九年级期末）已知函数y＝x2﹣8x+9，当x＞___时，y随x的增大而增大．
【答案】4
【解析】
【分析】
把二次函数解析式化为顶点式，找出函数的对称轴，根据函数的性质判断即可．
【详解】
解：y=x2-8x+9=（x2-8x+16）-7=（x-4）2-7，
∵a=1＞0，对称轴x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而增大，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，关键是求出函数的对称轴．
15．（2022·山东枣庄·九年级期末）二次函数y=−x2−2x+3的图像的顶点坐标是_________．
【答案】（﹣1，4）
【解析】
【分析】
先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标是(−1,4)．
故答案为：(−1,4)．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．
16．（2022年江苏省盐城市中考数学真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
【答案】1≤n<10
【解析】
【分析】
先判断−2【详解】
解：∵点P到y轴的距离小于2，
∴−2∵点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，
∴n=m2+2m+2=m+12+1，
∴当m=−1时，n有最小值为1．
当m=2时，n=2+12+1=10，
∴n的取值范围为1≤n<10.
故答案为：1≤n<10
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
17．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知二次函数y=−x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】a≤1
【解析】
【分析】
由函数图象可得函数的增减性，即可得答案．
【详解】
解：∵由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴a≤1，
故答案为a≤1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2021·吉林辽源·九年级期末）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，点A，B在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为________．
【答案】（4，3）
【解析】
【分析】
根据A和B关于x=2对称，求得（0，3）关于x=2的对称点是关键．
【详解】
解：点A的坐标为（0，3），关于x=2的对称点是（4，3）．即点B的坐标为（4，3）．
故答案是（4，3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像的性质，理解A和B关于x=2对称是关键．
三、解答题(共0分)
19．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知二次函数＝﹣x2+6x﹣8．
(1)求该二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
(2)求出这个二次函数的顶点坐标．
【答案】(1)（2，0），（4，0）
(2)（3，1）
【解析】
【分析】
（1）令y=0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，可求出顶点坐标．
(1)
解：当y=0时，-x2+6x-8=0，
解得：x1=2，x2=4，
∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为（2，0），（4，0）．
(2)
y=-x2+6x-8=-（x2-6x）-8=-（x-3）2+1，
∴二次函数的顶点坐标为（3，1）．
【点睛】
本题考查的是二次函数基本性质，掌握二次函数顶点坐标的求法是关键．
20．（2021·河南南阳·九年级期末）已知二次函数的解析式是y=x2−2x−3．
(1)用配方法将y=x2−2x−3化成y=ax−ℎ2+k的形式；
(2)在直角坐标系中，画出它的图象；
(3)当x为何值时，函数值y>0；
(4)当−3【答案】(1)y=x−12−4
(2)见解析
(3)x<−1或x>3
(4)−4≤y<12
【解析】
【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
（3）根据（2）中函数图象求解即可；
（4）根据（2）中函数图象求解即可．
(1)
解：由题意得：y=x2−2x−3=x2−2x+1−4=x−12−4；
(2)
解：列表如下：
函数图象如下所示：
(3)
解：由（2）中函数图象可知当x<−1或x>3时，y>0；
(4)
解：由（2）中函数图象可知当−3【点睛】
本题主要考查了把二次函数化为顶点式，画二次函数图象，图象法解不等式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
21．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．
(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(3)若抛物线上存在两点Am−1,y1和Bm+2,y2，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．
【答案】(1)y＝x2﹣2x
(2)（m，−m2）
(3)m＞2或0＜m＜1．
【解析】
【分析】
（1）将（2，0）代入解析式求得m，即可得到解析式；
（2）由抛物线的顶点坐标公式即可求得；
（3）根据抛物线开口方向及点A，B到对称轴的距离可得y1＞0，y2＞0或y1＜0，y2＜0，将两点坐标代入解析式求解即可．
(1)
解：将（2，0）代入y=x2−2mx得0=22−2m×2，
解得m＝1，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x．
(2)
解：∵y=x2−2mx
=(x−m)2−m2，
∴这个二次函数的顶点坐标为（m，−m2）．
(3)
解：∵y=x2−2mx，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝−b2a=−−2m2×1=m，
∵m﹣（m﹣1）＝1，m+2﹣m＝2
∴m﹣（m﹣1）＜m+2﹣m，
∴点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离，
∴y1＜y2，
∵ m>0，
∴−m2＜0，
∴抛物线y=x2−2mx的顶点（m，−m2）在第四象限，
∵y1•y2＞0，
∴y1＜0，y2＜0或y1＞0，y2＞0，
将（m﹣1，y1）代入y＝x2﹣2mx得y1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1＜0，
解得m＜﹣1（舍去）或m＞1，
将（m+2，y2）代入y＝x2﹣2mx得y2＝（m+2）2﹣2m（m+2）＝﹣m2+4＜0，
解得m＜﹣2（舍去）或m＞2，
∴m＞2满足题意．
将（m﹣1，y1）代入y＝x2﹣2mx得y1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1＞0，
解得0＜m＜1，
将（m+2，y2）代入y＝x2﹣2mx得y2＝（m+2）2﹣2m（m+2）＝﹣m2+4＞0，
解得0＜m＜2，
∴0＜m＜1满足题意．
综上所述，m的取值范围m＞2或0＜m＜1．
【点睛】
此题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1的函数表达式．
(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)m的值为4
(3)n>3
【解析】
【分析】
（1）把A(1,0)代入y=a(x+1)2−4即可解得抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x−3；
（2）将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，顶点为(−1,−4+m)，关于原点的对称点为(1,4−m)，代入y=x2+2x−3可解得m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得抛物线L3为y=(x−n+1)2−4，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线L3上，当y1＞y2时，可得(2−n)2−4>(4−n)2−4，即可解得n的取值范围是n>3．
(1)
解：把A(1,0)代入y=a(x+1)2−4得：
a(1+1)2−4=0，
解得a=1，
∴y=(x+1)2−4=x2+2x−3；
答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x−3；
(2)
解：抛物线L1:y=(x+1)2−4的顶点为(−1,−4)，
将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为(−1,−4+m)，
而(−1,−4+m)关于原点的对称点为(1,4−m)，
把(1,4−m)代入y=x2+2x−3得：
12+2×1−3=4−m，
解得m=4，
答：m的值为4；
(3)
解：把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=(x−n+1)2−4，
∵点B(1,y1)，C(3,y2)都在抛物线L3上，
∴y1=(1−n+1)2−4=(2−n)2−4，
y2=(3−n+1)2−4=(4−n)2−4，
∵y1＞y2，
∴(2−n)2−4>(4−n)2−4，
整理变形得：(2−n)2−(4−n)2>0，
(2−n+4−n)(2−n−4+n)>0
−2×(6−2n)>0，
6−2n<0
解得n>3，
∴n的取值范围是n>3．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
23．（2022·浙江·温州市第十四中学三模）已知二次函数y=−(x−1)(x−m)的对称轴为直线x=3．
(1)求m的值；
(2)记抛物线顶点为H，以点H为直角顶点作等腰Rt△HAB，使A，B两点落在抛物线上（B在A右侧），求点B的坐标．
【答案】(1)m=5
(2)（4，3）
【解析】
【分析】
（1）先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线的对称性得到m的值；
（2）先将函数解析式化为顶点式，得到顶点H的坐标，过点H作HC⊥AB于点C，设AC＝BC＝HC＝a，则B的坐标为(3+a,4−a)，将B的坐标代入y=−x2+6x−5，求出a即可得到点B的坐标．
(1)
当y＝0时，0=−(x−1)(x−m)，
解得x1=1，x2=m，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（m，0），
∵对称轴直线x＝3，
∴m=5；
(2)
∵y=−(x−1)(x−5)=−x2+6x−5=−x−32+4，
∴顶点坐标H（3，4），
过点H作HC⊥AB于点C，
设AC＝BC＝HC＝a，则B的坐标为(3+a,4−a)，
将B的坐标代入y=−x2+6x−5，
得a2−a=0，
a1=0（舍去），a2=1，
∴B（4，3）．
【点睛】
此题考查了抛物线与坐标轴交点坐标，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，正确理解抛物线的对称性及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
24．（2022·河北保定·一模）如果两个二次函数图象的顶点相同、开口方向相反，则将这两个二次函数称为“共顶反向二次函数”．
(1)判断二次函数y＝x2﹣4x+3与y＝﹣2x2+8x﹣9是否为“共顶反向二次函数”．请说明理由．
(2)请写出两个为“共顶反向二次函数”的函数．
(3)y1、y2是两个关于x的二次函数，其中y1＝x2﹣2mx+m2+1、y2＝ax2+bx﹣2，且y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1为“共顶反向二次函数”，求y2的表达式．
【答案】(1)是“共顶反向二次函数”．理由见解析
(2)y=(x−1)2+2与y=−2(x−1)2+2
(3)y2=−2x2+4x−2.
【解析】
【分析】
（1）先把两个二次函数都化为顶点式，从而可得答案；
（2）根据“共顶反向二次函数”的函数的定义直接可得答案；
（3）利用待定系数法求解m的值，再化为顶点式，得到y1=(x−1)2+1,再表示y1+y2，再利用顶点坐标建立方程，解方程求解a，b的值，从而可得答案．
(1)
解：∵ y=x2−4x+3=(x−2)2−1,
∴ 抛物线的开口向上，顶点坐标为：(2,−1),
∵ y＝﹣2x2+8x﹣9=−2(x−2)2−1,
∴ 抛物线的开口向下，顶点坐标为：(2,−1),
所以根据“共顶反向二次函数”的定义可得：以上两个函数为“共顶反向二次函数”．
(2)
解：举例如下：
y=(x−1)2+2与y=−2(x−1)2+2是“共顶反向二次函数”．
(3)
解：∵ y1＝x2﹣2mx+m2+1=(x−m)2+1, 且y1的图象经过点（1，1）
∴(1−m)2+1=1, 解得：m1=m2=1,
∴y1=(x−1)2+1,
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为(1,1),
∵y1+y2=(a+1)x2+(b−2)x，且y1+y2与y1为“共顶反向二次函数”，
∴y1+y2=(a+1)(x−1)2+1,
∴ 顶点的横坐标为：−b−22(a+1)=1, 顶点的纵坐标为：−(b−2)24(a+1)=1,
∴ 解得：b1=2,b2=4,
当b=2时，y1+y2=(a+1)x2,不符合题意，舍去，
当b=4时，则−22(a+1)=1,解得：a=−2,
经检验，符合题意，
∴ y1+y2=−x2+2x,
∴y2=−x2+2x−(x2−2x+2)=−2x2+4x−2.
【点睛】
本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间的相互转化，考查了二次函数的性质，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解是解题的关键．
x
…
…
y
…
…
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
-3
-4
-3
0
…
x
…
-1
0
1
2
3
…
y=x2−2x−3
…
0
-3
-4
-3
0
…