人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题21.4一元二次方程的解法：因式分解法特训(原卷版+解析)

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2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题21.4一元二次方程的解法：因式分解法【名师点睛】（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．【典例剖析】【例1】（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）解下列一元二次方程：(1)x2−4x−5=0；(2)2x(x+3)=x2+8x．【变式1】（2022·全国·九年级）用适当方法解下列方程：(1)(3x﹣1)2＝1；(2)2(x+1)2＝x2﹣1．【例2】．（2021春•西城区校级期中）阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，①解得：　 　．②综上，原方程的根是 　．③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是　 　．【变式2】（2022春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．（1）判断方程的根的情况；（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•岑溪市期中）方程x2﹣4x＝0的解是（　　）A．x＝4 B．x＝2 C．x1＝4，x2＝0 D．x＝02．（2022•红桥区模拟）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝23．（2022•平定县模拟）方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）A．x＝5 B．x1＝5，x2＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x＝24．（2022•东阳市模拟）方程x（x﹣1）＝2x的解是（　　）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝05．（2022•南海区校级一模）已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2﹣10x+9＝0的两根，则等腰三角形周长是（　　）A．11 B．19 C．11或19 D．不能确定6．（2022•南平模拟）已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（　　）A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣57．（2021秋•绵竹市期末）解方程4（3x+2）2＝3x+2，较恰当的解法是（　　）A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法8．（2021秋•无锡期末）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a※b＝a2b，则方程（x+1）※2＝（3⊕x）﹣2的解是（　　）A．x1＝，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝ C．x1＝﹣，x2＝2 D．x1＝1，x2＝﹣9．（2021秋•洛阳期末）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数，a2+3b﹣4，例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+3×（﹣5）﹣4＝﹣15．现将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数6，则m的值为（　　）A．﹣10 B．﹣1 C．10或﹣1 D．﹣10或110．（2021•菏泽二模）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（　　）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3二．填空题（共6小题）11．（2022春•温州期中）一元二次方程x2＝7x的解是 　 　．12．（2021秋•藁城区期末）一元二次方程x（2x﹣5）＝4x﹣10的根是 　 　．13．（2022•德城区一模）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根，则该直角三角形的面积是 　 　．14．（2022春•十堰月考）对任意实数，a，b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x+1）＝7，则x的值为 　 　．15．（2021•阳信县模拟）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为　 　．16．（2021秋•澄海区期末）定义：关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0（a1≠0）与a2x2+b2x+c2＝0（a2≠0），如果满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．若关于x的方程3x2+（m2﹣2m+3）x﹣4＝0与﹣3x2+2x+n＝0互为“对称方程”，则（m﹣n）2的值为　 　．三．解答题（共4小题）17．（2022•仙居县校级开学）解方程：（1）x2＝x；（2）x2﹣3x﹣4＝0．18．（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0．19．（2022春•沂源县期中）（1）配方法解方程：x（x﹣4）＝2﹣8x；（2）因式分解法解方程：x2﹣4x＝0；（3）公式法解方程：2x（x+4）＝1．20．（2022•萧山区一模）以下是婷婷解方程x（x﹣3）＝2（x﹣3）的解答过程：解：方程两边同除以（x﹣3），得：x＝2，∴原方程的解为x＝2．试问婷婷的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题21.4一元二次方程的解法：因式分解法【名师点睛】（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．【典例剖析】【例1】（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）解下列一元二次方程：(1)x2−4x−5=0；(2)2x(x+3)=x2+8x．【答案】(1)x1=5，x2=−1；(2)x1=0，x2=2．【解析】【分析】（1）运用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先去括号，然后移项合并同类项，最后利用因式分解法解方程即可．(1)解：x2−4x−5=0，（x-5）(x+1)=0，∴x1=5，x2=−1；(2)解：2xx+3=x2+8x2x2+6x=x2+8xx2−2x=0x(x-2)=0∴x1=0，x2=2．【点睛】题目主要考查应用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程方法是解题关键．【变式1】（2022·全国·九年级）用适当方法解下列方程：(1)(3x﹣1)2＝1；(2)2(x+1)2＝x2﹣1．【答案】(1)x1＝23，x2＝0(2)x1＝﹣1，x2＝﹣3【解析】【分析】（1）用直接开平方法解方程；（2）用因式分解法解方程．(1)解：直接开平方，得3x﹣1＝±1，∴3x﹣1＝1或3x﹣1＝﹣1．∴x1＝23，x2＝0；(2)解：原方程可变形为2(x+1)2﹣(x+1)(x﹣1)＝0，(x+1)(2x+2﹣x+1)＝0，即(x+1)(x+3)＝0，∴x+1＝0或x+3＝0．∴x1＝﹣1，x2＝﹣3．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．【例2】．（2021春•西城区校级期中）阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，①解得：　 　．②综上，原方程的根是 　．③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是　 　．【分析】去掉绝对值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：①当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解这个方程，x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．故答案为：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．②综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2；故答案为：x1＝2，x2＝﹣2；③当x≥3时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1（均不合题意，舍）．当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．∴原方程的根为x1＝2，x2＝﹣3．故答案为：x1＝2，x2＝﹣3．【变式2】（2022春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．（1）判断方程的根的情况；（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△＝4＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长．【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）x＝＝m±1，∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17；综上所述，△ABC的周长为13或17．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•岑溪市期中）方程x2﹣4x＝0的解是（　　）A．x＝4 B．x＝2 C．x1＝4，x2＝0 D．x＝0【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程分解得：x（x﹣4）＝0，所以x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝4，x2＝0．故选：C．2．（2022•红桥区模拟）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝2【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：x2+x﹣2＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣2，x2＝1，故选：A．3．（2022•平定县模拟）方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）A．x＝5 B．x1＝5，x2＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x＝2【分析】先移项得到（x﹣2）2＝3（x﹣2），然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（x﹣2）2＝3（x﹣2），（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣3＝0，所以x1＝2，x2＝5．故选：B．4．（2022•东阳市模拟）方程x（x﹣1）＝2x的解是（　　）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：x（x﹣1）＝2x，x（x﹣1）﹣2x＝0，x（x﹣1﹣2）＝0，x（x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3，故选：C．5．（2022•南海区校级一模）已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2﹣10x+9＝0的两根，则等腰三角形周长是（　　）A．11 B．19 C．11或19 D．不能确定【分析】利用因式分解法求出已知方程的解，确定出等腰三角形的边长，求出周长即可．【解答】解：方程x2﹣10x+9＝0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣9）＝0，所以x﹣1＝0或x﹣9＝0，解得：x1＝1，x2＝9，∵等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣10x+9＝0的两根，∴当腰长为1时，三边为1，1，9，不能构成三角形，舍去；当腰长为9时，三边为9，9，1，此时周长为9+9+1＝19，则等腰三角形的周长为19．故选：B．6．（2022•南平模拟）已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（　　）A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5【分析】把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则利用方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4得到x+1＝2或x+1＝﹣4，然后解一次方程即可．【解答】解：把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，∵方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，∴x+1＝2或x+1＝﹣4，解得x＝1或x＝﹣5，∴方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解为x1＝1，x2＝﹣5．故选：B．7．（2021秋•绵竹市期末）解方程4（3x+2）2＝3x+2，较恰当的解法是（　　）A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法【分析】方程右边移项至左边，再提取公因式3x+2，从而进一步求解即可．【解答】解：解方程4（3x+2）2＝3x+2，较恰当的解法是因式分解法，故选：B．8．（2021秋•无锡期末）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a※b＝a2b，则方程（x+1）※2＝（3⊕x）﹣2的解是（　　）A．x1＝，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝ C．x1＝﹣，x2＝2 D．x1＝1，x2＝﹣【分析】根据新定义把原方程变形，化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可．【解答】解：原方程变形为：2（x+1）2＝2×3+x﹣2，整理得：2x2+3x﹣2＝0，因式分解，得（2x﹣1）（x+2）＝0，解得：x1＝，x2＝﹣2，故选：A．9．（2021秋•洛阳期末）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数，a2+3b﹣4，例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+3×（﹣5）﹣4＝﹣15．现将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数6，则m的值为（　　）A．﹣10 B．﹣1 C．10或﹣1 D．﹣10或1【分析】根据放入实数对得到a2+3b﹣3列式计算即可．【解答】解：∵将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数6，∴m2﹣9m﹣4＝6，∴m2﹣9m﹣10＝0，解得：m＝﹣1或10，故选：C．10．（2021•菏泽二模）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（　　）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3【分析】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．【解答】解：∵函数y＝x3，方程y'＝9x，∴3x2＝9x，3x2﹣9x＝0，3x（x﹣3）＝0，3x＝0，x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故选：C．二．填空题（共6小题）11．（2022春•温州期中）一元二次方程x2＝7x的解是 　x1＝0，x2＝7　．【分析】先移项得到一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x2﹣7x＝0，x（x﹣7）＝0，x＝0或x﹣7＝0，所以x1＝0，x2＝7．故答案为：x1＝0，x2＝7．12．（2021秋•藁城区期末）一元二次方程x（2x﹣5）＝4x﹣10的根是 　x1＝，x2＝2　．【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10，x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，（2x﹣5）（x﹣2）＝0，2x﹣5＝0或x﹣2＝0，所以x1＝，x2＝2．故答案是：x1＝，x2＝2．13．（2022•德城区一模）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根，则该直角三角形的面积是 　6或　．【分析】求出方程的解确定出直角三角形的两边，进而求出两直角边，得出面积即可．【解答】解：方程x2﹣7x+12＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x＝3或x＝4，当4是直角边时，两直角边为3，4，面积为×3×4＝6；当4是斜边时，根据勾股定理得：＝，两直角边为3，，面积为×3×＝，综上所示，该直角三角形的面积是6或．故答案为：6或．14．（2022春•十堰月考）对任意实数，a，b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x+1）＝7，则x的值为 　﹣3或2　．【分析】根据已知可得x2+（x+1）2﹣x（x+1）＝7，然后化简整理可得x2+x﹣6＝0，再利用因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：∵x⊗（x+1）＝7，∴x2+（x+1）2﹣x（x+1）＝7，∴x2+x2+2x+1﹣x2﹣x＝7，∴x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴x的值为：﹣3或2，故答案为：﹣3或2．15．（2021•阳信县模拟）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为　24　．【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．【解答】解：x2﹣9x+20＝0，（x﹣4）（x﹣5）＝0，x﹣4＝0或x﹣5＝0，∴x1＝4，x2＝5，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∵菱形的另一条对角线长＝2×＝6，∴菱形的面积＝×6×8＝24．故答案为：24．16．（2021秋•澄海区期末）定义：关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0（a1≠0）与a2x2+b2x+c2＝0（a2≠0），如果满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．若关于x的方程3x2+（m2﹣2m+3）x﹣4＝0与﹣3x2+2x+n＝0互为“对称方程”，则（m﹣n）2的值为　9　．【分析】根据“对称方程”的定义可得，解方程可得m、n的值，再代入可得代数式的值．【解答】解：根据“对称方程”的定义可得，，解得，∴（m﹣n）2＝（1﹣4）2＝9．故答案为：9．三．解答题（共4小题）17．（2022•仙居县校级开学）解方程：（1）x2＝x；（2）x2﹣3x﹣4＝0．【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用因式分解方法求出解即可．【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，所以x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1；（2）方程分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，所以x﹣4＝0或x+1＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1．18．（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0．【分析】（1）等式左边可提取公因式（x+4），转化为（x+4）（x﹣1）＝0求解；（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x+3）（x﹣5）＝0，由此可得同解方程x+3＝0或x﹣5＝0，据此求解．【解答】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0，即x+4＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1．（2）x2﹣2x﹣15＝0，将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣3，x2＝5．19．（2022春•沂源县期中）（1）配方法解方程：x（x﹣4）＝2﹣8x；（2）因式分解法解方程：x2﹣4x＝0；（3）公式法解方程：2x（x+4）＝1．【分析】（1）方程整理后，利用配方法求出解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝2，配方得：x2+4x+4＝6，即（x+2）2＝6，开方得：x+2＝±，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）分解因式得：x（x﹣4）＝0，所以x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4；（3）方程整理得：2x2+8x﹣1＝0，这里a＝2，b＝8，c＝﹣1，∵Δ＝64+8＝72＞0，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．20．（2022•萧山区一模）以下是婷婷解方程x（x﹣3）＝2（x﹣3）的解答过程：解：方程两边同除以（x﹣3），得：x＝2，∴原方程的解为x＝2．试问婷婷的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【分析】利用因式分解法解方程可判断婷婷的解答过程是否有错误．【解答】解：婷婷的解答过程有错误；正确的解答过程为：移项得x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣2）＝0，x﹣3＝0或x﹣2＝0，所以x1＝3，x2＝2．