数学人教版24.1.3 弧、弦、圆心角课后复习题

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24.1.3 弧、弦、圆心角


弧、弦、圆心角定义
　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．　　　　　　　　　　　　　　　
定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
注意：
　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
题型1：弧、弦、圆心角的概念
1.1．下列命题中，正确的命题是（　　）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定重直于弦
D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等
【答案】A
【解析】【解答】解：A、符合外心的定义，故原命题正确；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
C、平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦，故原命题错误；
D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故原命题错误.
故答案为：A.
【分析】根据外心的定义、确定一个圆的条件，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系逐一判断即可.
【变式1-1】下列语句中，正确的有(　　)
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中.
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等.
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧.
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.正确.
故答案为：A.
【分析】根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等可判断A；根据弦所对的弧有两条可判断B；根据等弧的概念可判断C；根据圆的对称性可判断D.

【变式1-2】下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等.其中正确的有（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
【答案】B
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，选项正确，符合题意；
②如果平分的弦是直径的话，平分这条弦的直径不一定垂直于弦，选项错误，不符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角不一定相等，选项错误，不符合题意；
④同弧或等弧所对的弦相等，选项正确，符合题意.
∴正确的有：①④.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可判断①②；根据弧、圆周角的关系可判断③；根据弧、弦的关系可判断④.

题型2：弧、弦、圆心角求角度
2.如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则 BC 的度数为(　　)

A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠C＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴BC 的度数为50°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝25°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC＝50°，据此可得BC的度数.

【变式2-1】如图， AB 为⊙O的直径，点C、D是 BE 的三等分点， ∠AOE=60° ，则 ∠BOD 的度数为（　　）

A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴BE 的度数是120°，
∵C、D是 BE 上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故答案为：C．

【分析】先利用平角求出∠BOE=180°-∠AOE=120°，再根据C、D是 BE 上的三等分点，得到弧CD与弧BC的度数都是40度，即可得到答案。
【变式2-2】如图，在⊙O中， AC=BD ，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【解析】【解答】 ∵AC=BD ，
∴AC−BC=BD−BC ，
∴AB=CD ，
∴∠AOB=∠COD ．
∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，
∴∠AOB=12×(150°−80°)=35° ，
故答案为：D．
【分析】先求出AB⌢=CD⌢ ，利用等弧所对的圆心角相等可得∠AOB=∠COD，利用角的和差即可求解.

题型3：弧、弦、圆心角求线段
3.如图，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求CB的长度．

【解题思路】根据AB=CD，得到BC=AD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到CB＝AD．
【解答过程】解：∵AB=CD，
∴AB−AC=CD−AC，即BC=AD，
∴CB＝AD＝3．
【变式3-1】如图，已知 ⊙O 的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）

A．3 B．4 C．32 D．42
【答案】C
【解析】【解答】作 OF⊥CD，OE⊥AB

∵AB=CD
∴OE=OF
在 RtΔOBE 中， OB=5，BE=4
∴OE=52−42=3
∴OF=PE=3
∴OP=32
故答案为：C.
【分析】作OF⊥CD，OE⊥AB，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，在RtΔOBE中，用勾股定理可求OE的长，则OF=OE可求，根据有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形可得OFPE是正方形，所以可得PF=OF，用勾股定理可求得OP的长。


【变式3-2】如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．2
【解题思路】连接OB、OB′，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB′＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答过程】解：连接OB、OB′，
∵点A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON＝60°，
∵点B是AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∵点B'是点B关于MN的对称点，
∴∠B′ON＝30°，
∴∠AOB′＝90°，
∴AB′=12+12=2，
故选：B．


题型4：弧、弦、圆心角与比较问题
4.如图，在同圆中，弧 AB 等于弧 CD 的 2 倍，试判断 AB 与 2CD 的大小关系是（　　）

A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】连接OA、OB、OC、OD，取弧AB的中点E，连接AE、BE

∴弧AE=BE
∵弧 AB =弧 CD×2
∴∠AOB=2∠COD
∴弧AE=弧BE=弧CD
∴AE= BE=CD
∵AE+BE>AB
∴2CD>AB
∴AB<2CD
故答案为：B
【分析】先画图，再根据弧、弦、圆心角的关系得出∠AOB=2∠COD，取弧AB的中点E，连接AE、BE,根据三角形的三边关系定理可得出AB< AE+BE,从而得出AB<2CD．
【变式4-1】如图，在⊙O中，AB=2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB　 　2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．

【答案】=
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，

∴AF=BF，AE=12AB
∵AB=2AC
∴∠AOF=∠AOC
∵AD⊥OC，AE⊥OE
∴AD=AE=12AB
即AB=2AD
故答案为：=
【分析】先求出∠AOF=∠AOC，再求出AD=AE=12AB，最后求解即可。
【变式4-2】如图， AC=BC ，D、E分别是半径OA和OB的中点，试判断CD与CE的大小关系，并说明理由.

【答案】解：CD=CE.
理由：连接OC，

∵D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD= 12 OA，OE= 12 OC，
∵OA=OB，
∴OD=OE，
又∵AC=BC，
∴∠DOC=∠EOC，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△CDO≌△CEO（SAS），
∴CD=CE.
【解析】【分析】首先连接OC，由 AC=BC ，根据弧与圆心角的关系，可得∠COD=∠COE，又由D、E分别是半径OA和OB的中点，可得OD=OE，则可利用SAS，判定△COD≌△COE，继而证得结论.

题型5：弧、弦、圆心角与证明问题
5.如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．

【答案】证明：∵ ⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD，
∴AB=CD，
∴AB−BD=CD−BD，
∴AD=BC，
∴AD=BC.
【解析】【分析】先求出AB⌢−BD⌢=CD⌢−BD⌢， 再证明求解即可。

【变式5-1】如图，A，B是⊙O上的两点，C是 AB 的中点．求证： ∠A=∠B ．

【答案】证明：连接OC．

∵ C是 AB 的中点，
∴AC=BC ，
∴ ∠AOC=∠BOC，
∵ OA=OB，OC=OC，
∴ △AOC ≌ △BOC（SAS），
∴ ∠A=∠B．
【解析】【分析】先求出 AC=BC ， 再利用SAS证明三角形全等，最后求解即可。

【变式5-2】如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E，且EA＝EC．求证：AB＝CD．

【答案】证明：如图，连接AC，

∵EA＝EC，
∴∠A=∠C，
由圆周角定理，由AD=BC，
∴AD−BD=BC−BD，
即AB=CD，
∴AB=CD
【解析】【分析】利用圆周角定理可得AD=BC，再利用弧的运算可得AB=CD，再利用弧和弦的关系可得AB=CD。
题型6：弧、弦、圆心角综合问题
6.如图， MB ， MD 是 ⊙O 的两条弦，点 A，C 分别在 MB ， MD 上，且 AB=CD ， M 是 AC 的中点.

求证：
（1）MB=MD .
（2）过 O 作 OE⊥MB 于点 E .当 OE=1 ， MD=4 时，求 ⊙O 的半径.
【答案】（1）证明：∵M 为 AC 的中点

∴AM=CM ，
∵AB=CD ，
∴AB=CD
∴AM+AB=CM+CD ，
∴BM=DM
∴MB=MD

（2）解：连接OM，

∵OE⊥MB ， MB=MD=4
∴ME=12MB=2 ，
∵OE=1
根据勾股定理得： OM=ME2+OE2=5
∴半径为 5
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AM=CM，根据弦、弧的关系可得 AB=CD，进而推出 BM=DM，据此证明；
（2）连接OM，由垂径定理可得ME=12MB=2，利用勾股定理求出OM，据此可得半径.

【变式6-1】如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．

求证：
（1）弧BC=弧AF；
（2）AM=BN．
【答案】（1）解：连接OC、OF，

∵AC=BF，
∴∠COA=∠BOF，
∴∠COB=∠FOA．
∴弧BC=弧AF
（2）解：∵∠COA=∠BOF，OC=OF=OA=OB
∴∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，
∴∠BFC=∠ACF．
∵CD∥EF，
∴∠AMC=∠ANE．
又∵∠BNF=∠ANE．
∴∠AMC =∠BNF．
在△AMC和△BNF中
∠A＝∠B∠AMC＝∠BNFAC=BF
∴△AMC≌△BNF（AAS）
∴AM=BN．
【解析】【分析】（1）连接OC、OF，利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可证得∠COA=∠BOF，从而可证得∠COB=∠FOA，就可得出它们所对的弧相等。
（2）利用等边对等角及等量代换，可证得∠BFC=∠ACF．再利用平行线的性质及等量代换证明∠AMC =∠BNF，然后利用全等三角形的判定和性质，可证得结论。
【变式6-2】如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.

（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长.
【答案】（1）证明：如图，∵AD=BC，
∴AD = BC ，
∴AD ﹣ BD = BC ﹣ BD ，即 AB = CD ，
∴AB=CD；
（2）解：如图，过 O 作 OF⊥AD 于点 F，作 OG⊥BC 于点 G，连接 OA、OC.

则 AF=FD，BG=CG.
∵AD=BC，
∴AF=CG.
在 Rt△AOF 与 Rt△COG 中， AF=CGOA=OC ，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG，
∴四边形 OFEG 是正方形，
∴OF=EF.
设 OF=EF=x，则 AF=FD=x+1，
在直角△OAF 中.由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52， 解得 x=5.
则 AF=3+1=4，即 AE=AF+3=7.
【解析】【分析】（1）根据弧、弦的关系可得AD=BC，进而推出AB=CD，据此证明；
（2）过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC，则AF=FD，BG=CG，利用HL证明Rt△AOF≌Rt△COG，得到OF=OG，推出四边形OFEG是正方形，得到OF=EF，设OF=EF=x，则AF=x+1，在Rt△OAF中，由勾股定理可得x，进而得到AF、AE的值.


弧、弦、圆心角练习
一、单选题
1．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么 AB 与 CD 的关系是（　　）
A．AB = CD B．AB ＞ CD
C．AB ＜ CD D．不能确定
【答案】D
【解析】【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可知，题目中缺少了条件“在同圆或等圆中”。
2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么 AB 与 CD 的数量关系是（　　）

A．AB = CD B．AB ＞ CD
C．AB ＜ CD D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】证明：连接AC，

∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AB^ = CD^ ．
故答案为：A．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ACB，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等进行判断。
3．如图所示，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=

A．150° B．75° C．60° D．15°
【答案】B
【解析】【分析】∵在⊙O中，弧AB=弧AC，∴AB=AC。∴∠B=∠C。
又∵∠A=30°，∴根据三角形内角和定理，得∠B=180°−30°2=75°。
故选B。　
4．下列说法正确的个数有（　　）
①一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．③同弦或等弦所对的圆周角相等④方程x2＝x的解是x＝1．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：①一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），所以①不符合题意；
②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以②不符合题意；
③同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，所以③不符合题意；
④方程x2＝x的解是x＝1或x＝0，所以④不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据有关性质与定理，分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
5．如图，在⊙O中，AB∧=2CD∧，则下列结论正确的是（　　）

A．AB＞2CD B．AB=2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
【答案】C
【解析】【解答】取AB∧的中点E，连接AE，BE，∵在⊙O中，AB∧=2CD∧，∴AE∧=BE∧=CD∧，∴AE=BE=CD，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故选C．

【分析】首先取AB∧的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中，AB∧=2CD∧，可证得AE∧=BE∧=CD∧，即可得AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系，求得答案．
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=40°
∴∠BOC=180°-40°-40°=100°
∴∠A=100°÷2=50°
故答案为：B.

【分析】根据圆的半径相等，由三角形的内角和定理，即可得到∠O的度数，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到答案。
二、填空题
7．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝　 　．

【答案】68°
【解析】【解答】∵∠AOE=78°，∴劣弧 AE 的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧 BE 的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE=23× 102°=68°．
故答案为：68°．
【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧 AE 的度数，得到劣弧 BE 的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
8．如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC　 　2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）

【答案】＜
【解析】【解答】解：连接AB、BC，如图，

∵AB=BC=CD ，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC＞AC，
∴2CD＞AC，
即AC＜2CD．
故答案为：＜．

【分析】连接AB、BC，根据题意知：ABBCCD，又由三角形三边得到AB+BC>AC得到：AC＜2CD．
9．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是　 　．
【答案】140°
【解析】【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，
得出方程2x+4x+5x+7x=360，
解得：x=20，
故7×20°=140°．
故答案为：140°
【分析】将一个圆分成四个扇形，可知道四个圆心角的度数之和为360°，根据它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，设未知数建立方程，求解即可知道最大圆心角的度数。
10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，AC∧，BC∧的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AB的长是　 　 ．

【答案】10.5
【解析】【解答】解：连接OP，OQ，
∵AC∧，BC∧的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI=12（AC+BC）=152，
∵MH+NI=AC+BC=15，MP+NQ=12，
∴PH+QI=15﹣12=3，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=152+3=212，
故答案为：10.5．

【分析】连接OP，OQ，根据AC∧，BC∧的中点分别是P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=12（AC+BC）=152和PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．
三、解答题
11．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．

【答案】证明：∵AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB−BD=CD−BD，
∴AD=BC，
∴AD=BC．
【解析】【分析】根据同圆中等弦所对的优弧与劣弧分别相等得 AB=CD，然后根据弧的和差关系得出 AD=BC， 最后再根据等弧所对的弦相等，则可证得结论．
12．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：BE＝CF.

【答案】证明：连接DB、DF，

∵∠A的平分线AD交圆于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DBE＝∠DFC＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中， DE=DFDB=DC
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF.
【解析】【分析】连接DB、DF，然后根据角平分线的性质可以得到DE和DF的关系，弦DB和DC的关系，再根据三角形全等的知识可以得到BE和CF的关系.
13．如图，∠AOB=90°，C、D是AB∧的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD．

【答案】证明：连接AC，
∵∠AOB=90°，C、D是AB∧的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=30°，
∴AC=CD，又OA=OC，
∴∠ACE=75°，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AE=AC，
∴AE=CD．

【解析】【分析】连接AC，根据题意证明AE=AC，由AC=CD得到答案．
14．如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD.

（1）求证AP＝BP；
（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，连接 AB ，

∵AC=BD ，
∴AC=BD ，
∴AC−CD=BD−CD ，即 AD=BC ，
∴∠ABD=∠BAC ，
∴AP=BP ；
（2）解：连接 PO ，并延长交 AB 于点 E ，连接 OA，OB ，过 O 作 OF⊥AC 于点 F ，

∴AF=12AC ，
∵AP=BP，OA=OB ，
∴PE 是 AB 的垂直平分线，
∴PE⊥AB，AE=12AB=4 ，
∵AB=8，BP=5，DP=3，AC=BD ，
∴AC=BD=AB=8，AP=5 ，
∴AF=4=AE，PF=AP−AF=1，PE=AP2−AE2=3 ，
在 Rt△AOE 和 Rt△AOF 中， AE=AFOA=OA ，
∴Rt△AOE≅Rt△AOF(HL) ，
∴OE=OF ，
设 OE=OF=x(x>0) ，则 OP=PE−OE=3−x ，
在 Rt△POF 中， OF2+PF2=OP2 ，即 x2+12=(3−x)2 ，解得 x=43 ，
在 Rt△AOE 中， OA=AE2+OE2=42+(43)2=4103 ，
即 ⊙O 的半径为 4103 .
【解析】【分析】（1）连接AB，根据弧、弦的关系可得AC⌢=BD⌢，推出AD⌢=BC⌢，根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠BAC，据此证明；
（2）连接PO，并延长交AB于点E，连接OA、OB，过O作OF⊥AC于点F，易得PE为AB的垂直平分线，则AE=4，易得AC=BD=AB=8，AP=5，AF=AE=4，PF=1，利用勾股定理求出PE，利用HL证明△AOE≌△AOF，得到OE=OF，设OE=OF=x，则OP=3-x，在Rt△POF中，由勾股定理可得x，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理就可求出OA，据此可得⊙O的半径.
15．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径.连结BD，若AC⌢=BD⌢

（1）求证：∠1=∠2
（2）当AD=42，BC=4时，求△ABD的面积.
【答案】（1）证明：∵AC⌢=BD⌢
∴AB⌢+BC⌢=CD⌢+BC⌢
∴AB⌢=CD⌢
∴∠1=∠2
（2）解：过O点作OE⊥BC于点E

∴BE=CE= 12BC=2
∵AD为⊙O的直径
∴OB= 12AD=22
∴OE=OB2−BE2=(22)2−22=2
∴SΔABD=12AD•OE=12×42×2=42
【解析】【分析】（1）根据题意得出AB⏜=CD⏜，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得出∠1=∠2；
（2） 过O点作OE⊥BC于点E， 根据垂径定理得出BE=CE=2，根据勾股定理求出OE的长，再根据三角形面积公式进行计算，即可得出△ABD的面积.