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沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略八年级数学上学期开学摸底考试卷(沪教版)(原卷版+解析)
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这是一份沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略八年级数学上学期开学摸底考试卷(沪教版)(原卷版+解析)，共25页。
八年级数学上学期开学摸底考试卷（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试范围：七下全部内容一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN2．据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（ ）A．亿位 B．千万位 C．万分位 D．万位3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（ ）A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度4．下列四个图形中，∠1和∠2不符合同位角定义的是（ ）A． B． C． D．5．如图，在下列条件中，能判定AD∥BC的是（ ）A．∠CAD＝∠ACB B．∠BAD＝∠ACD C．∠ABC＝∠ADC D．∠ABC+∠BCD＝180°6．在平面直角坐标系xOy中，点A与点B（2，3）关于x轴对称，那么点A的坐标为（ ）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）填空题(本大题共12题,每题2分,满分24分)7．用幂的形式表示：＝ ．8．比较大小： ．（填“＞、＜、或＝”）9．36的平方根是 ．10．已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，那么∠A＝ 度．11．如图，已知DE∥BC，∠ABC＝70°，那么直线AB与直线DE的夹角等于 ．12．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点B表示的数为1，正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．将正方形ABCD在数轴上向右水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝a时，数轴上点B′表示的数是 （用含a的代数式表示）．13．三角形的三边分别为5，1﹣a，9，则a的取值范围为 ．14．若三角形三个内角∠A，∠B，∠C的关系满足∠A＞3∠B，∠C＜2∠B，则该三角形按角分类为 三角形．15．等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为 cm．16．经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线 ．17．如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝ ．18．已知点A（﹣2，﹣1），点B（a，b），直线AB∥y轴，且AB＝3，则点B的坐标是 ．三．解答题（共58分，共8小题）19．计算：．20．利用幂的运算性质计算：﹣×÷（结果用幂的形式表示）．21．计算：．22．如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．23．如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点．（1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由．（2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？24．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．（1）图中B点的坐标是 ．（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于x轴对称的点D的坐标是 ．（3）△ABC的面积是 ．（4）如果点E在x轴上，且S△ADE＝S△ABC，那么点E的坐标是 ．25．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由．（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？26．（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE+∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD+∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（ ）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝ ；（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．（4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒．①当t＝ 秒时，OF∥ED；②当t＝ 秒时，OF⊥BC；③当t＝ 秒时，点F恰好落在射线EB上． 八年级数学上学期开学摸底考试卷（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试范围：七下全部内容一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证即可．【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；B、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；C、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；D、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．2．据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（ ）A．亿位 B．千万位 C．万分位 D．万位【分析】根据近似数“14.1178亿”，可知最后的数字8在万位上，从而可以解答本题．【解答】解：近似数“14.1178亿”精确到万位，故选：D．【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（ ）A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度【分析】点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【解答】解：A选项：CB的长度是点B到AC的距离，故不合题意．B选项：AC的长度是点A到BC的距离，故不合题意．C选项：CD的长度是点C到AB的距离，故符合题意．D选项：AB是点A到点B的距离，故不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．4．下列四个图形中，∠1和∠2不符合同位角定义的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据同位角的定义结合具体的图形进行判断即可．【解答】解：根据同位角的定义，结合各个选项中的图形可知，选项A、选项B、选项C中的∠1、∠2是同位角，选项D中的∠1、∠2不是同位角，故选：D．【点评】本题考查同位角，掌握同位角的意义是正确判断的前提．5．如图，在下列条件中，能判定AD∥BC的是（ ）A．∠CAD＝∠ACB B．∠BAD＝∠ACD C．∠ABC＝∠ADC D．∠ABC+∠BCD＝180°【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．【解答】解：由∠CAD＝∠ACB根据“内错角相等，两直线平行”可判断AD∥BC，故A选项符合题意；由∠BAD＝∠ACD不可判断AD∥BC，故B选项不符合题意；由∠ABC＝∠ADC不可判断AD∥BC，故C选项不符合题意；由∠ABC+∠BCD＝180°根据“同旁内角互补，两直线平行”判断AB∥CD，不可判断AD∥BC，故D选项不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy中，点A与点B（2，3）关于x轴对称，那么点A的坐标为（ ）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．【解答】解：∵点A与点B（2，3）关于x轴对称，∴点A的坐标为（2，﹣3）．故选：D．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．二、填空题(本大题共12题,每题2分,满分24分)7．用幂的形式表示：＝ ．【分析】直接利用＝（m、n为正整数）得出结果即可．【解答】解：＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分数指数幂，解决本题的关键是熟记分数指数幂的性质．8．比较大小： ＜ ．（填“＞、＜、或＝”）【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．【解答】解：∵（）2＝12，（3）2＝18，而12＜18，∴2＜3．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．9．36的平方根是 ±6 ．【分析】根据平方根的定义求解即可．【解答】解：36的平方根是±6，故答案为：±6．【点评】本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．10．已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，那么∠A＝ 40 度．【分析】首先根据已知条件设出∠A＝2x，再表示出∠B，∠C，根据三角形内角和定理为180°列方程即可．【解答】解：设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝4x，根据三角形内角和为180°，可得2x+3x+4x＝180°，解得x＝20，则∠A＝2x＝40°，故答案为40．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是根据三个角的关系设出未知数，表示出各角的度数．11．如图，已知DE∥BC，∠ABC＝70°，那么直线AB与直线DE的夹角等于 70° ．【分析】先根据平行线的性质，求得∠AFE的度数，再根据邻补角的定义，即可得到∠AFD的度数．【解答】解：如图，直线AB和DE相交于点F，∵BC∥DE，∠ABC＝70°，∴∠AFE＝∠ABC＝70°，∴直线AB、DE的夹角是70°．故答案为：70°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．12．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点B表示的数为1，正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．将正方形ABCD在数轴上向右水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝a时，数轴上点B′表示的数是 a （用含a的代数式表示）．【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，当S＝a时得到AB′＝1，求出BB′，根据点B表示的数为1即可得到点B′表示的数．【解答】解：如图，∵正方形ABCD的面积为a2，∴正方形ABCD的边长为a，∵移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S，当S＝a时，a•AB′＝a，∴AB′＝1，∴BB′＝AB﹣AB′＝a﹣1，∵点B表示的数为1，∴点B′表示的数为1+a﹣1＝a，故答案为：a．【点评】本题考查了实数与数轴，根据重叠部分图形的面积S＝a得到AB′＝1是解题的关键．13．三角形的三边分别为5，1﹣a，9，则a的取值范围为 ﹣13＜a＜﹣3 ．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得9﹣5＜1﹣a＜9+5，再解不等式即可．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：9﹣5＜1﹣a＜9+5，解得﹣13＜a＜﹣3，故答案为：﹣13＜a＜﹣3．【点评】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．14．若三角形三个内角∠A，∠B，∠C的关系满足∠A＞3∠B，∠C＜2∠B，则该三角形按角分类为 钝角 三角形．【分析】在△ABC中，若∠A＞3∠B，可以得出∠B＜∠A，再根据∠B和∠C的关系，可得出∠C和∠A的关系．根据三角形内角和定理为180°，可以得出∠A的范围为大于90°．即可判断出△ABC为钝角三角形．【解答】解：根据题意∠A＞3∠B，即有∠B＜∠A，又∠C＜2∠B＜∠A，所以∠A+∠B+∠C＜∠A+∠A+∠A＝2∠A，故有180°＜2∠A，得∠A＞90°，即得△ABC为钝角三角形．故答案为：钝角．【点评】本题考查了三角形的内角和定理．解题的关键是能够找出三角形的三个角之间的大小关系，利用三角形的内角和为180°进行求解．15．等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为 9 cm．【分析】分为两种情况：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，再根据三角形三边关系定理确定答案即可．【解答】解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，所以三角形的第三边为9cm，故答案为：9．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，能够进行分类讨论是解决问题的关键．16．经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线 x＝2 ．【分析】过点（2，﹣3）且平行于y轴的直线上的点的横坐标与点的横坐标2相同．【解答】解：经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线x＝2，故答案为：x＝2．【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，本题涉及到的知识点为：平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．17．如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝ 60° ．【分析】由角平分线的定义及三角形的内角和定理可得∠CBF+∠BCF＝120°，进而利用平角定义和三角形的内角和定理求解．【解答】解：∵BF平分∠DBC，CF平分∠ECB，∴∠ECB＝2∠BCF，∠DBC＝2∠CBF，∵∠F＝60°，∴∠CBF+∠BCF＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECB+∠DBC＝2×120°＝240°，∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠ECB+∠DBC）＝360°﹣240°＝120°，∴∠A＝180°﹣120°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练应用外角和内角的关系．18．已知点A（﹣2，﹣1），点B（a，b），直线AB∥y轴，且AB＝3，则点B的坐标是 （﹣2，2）或（﹣2，﹣4） ．【分析】由AB∥y轴和点A的坐标可得点B的横坐标与点A的横坐标相同，根据AB的距离可得点B的横坐标可能的情况．【解答】解：∵A（﹣2，﹣1），AB∥y轴，∴点B的横坐标为﹣2，∵AB＝3，∴点B的纵坐标为﹣1+3＝2或﹣1﹣3＝﹣4，∴B点的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣4）．故答案为：（﹣2，2）或（﹣2，﹣4）．【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，平行于y轴的直线上的点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个三、解答题（共58分，共8题）19．计算：．【分析】根据分数指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式＝×÷＝4×÷＝22×÷＝＝2．【点评】本题考查分数指数幂，解题的关键是熟练运用分数指数幂的意义，本题属于基础题型．20．利用幂的运算性质计算：﹣×÷（结果用幂的形式表示）．【分析】直接利用分指数幂的性质以及同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣×（﹣）÷＝×÷＝＝．【点评】此题主要考查了分数指数幂的性质以及同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算，正确化简各数是解题关键．21．计算：．【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数的性质、分数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2+2++2＝2+2．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及负整数指数的性质、分数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．22．如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA推知△AOE≌△DOF，则OB＝OC；然后再根据全等三角形的判定定理ASA证得△AOB≌△DOC，则AB＝CD．【解答】证明：如图，∵AE∥DF，∴∠AEO＝∠DFO．在△AOE与△DOF中，．∴△AOE≌△DOF（ASA）．∴OD＝OA．在△AOB与△DOC中，．∴△AOB≌△DOC（ASA）．∴AB＝CD．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角（对顶角），必要时添加适当辅助线构造三角形．23．如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点．（1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由．（2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？【分析】（1）利用SAS定理证明△BDE≌△BCF，从而利用全等三角形的性质分析推理；（2）利用ASA定理证明△BDE≌△BCF，然后利用全等三角形的性质，并结合分类讨论思想列方程求解．【解答】解：（1）运动过程中∠EBF的大小不会发生变化，为定值60°，理由如下：由题意可得，BD＝BC＝AD＝CD＝6，∠BDA＝∠C＝∠CBD＝60°，DE＝DF，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴∠DBE＝∠CBF，∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE＝∠CBD＝60°；（2）当∠EBF＝60°时，∠EBF＝∠CBD＝60°，∴∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE，∴∠DBE＝∠CBF，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（ASA），∴DE＝CF，设点E的运动时间为t秒，则DE＝t，DF＝2t，CF＝6﹣2t，当0≤t≤3时，t＝6﹣2t，解得t＝2，当3＜t≤6时，t＝2t﹣6，解得t＝6，综上，当点E运动2秒或6秒时，∠EBF＝60°．【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握三角形全等的判定，利用分类讨论思想解题是关键．24．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．（1）图中B点的坐标是 （﹣2，3） ．（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 （2，﹣3） ；点A关于x轴对称的点D的坐标是 （0，﹣4） ．（3）△ABC的面积是 8 ．（4）如果点E在x轴上，且S△ADE＝S△ABC，那么点E的坐标是 （2，0）或（﹣2，0） ．【分析】（1）根据点B在平面直角坐标系的位置，即可解答；（2）根据关于原点对称，关于x轴对称点的点的坐标特征即可解答；（3）利用大矩形面积减去三个三角形的面积进行计算即可解答；（4）先求出AD的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：图中B点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）∵B与C关于原点对称，B（﹣2，3），∴C（2，﹣3），∵A与D关于x轴对称，A（0，4），∴D（0，﹣4），故答案为：（2，﹣3），（0，﹣4）；（3）如图：＝28﹣1﹣7﹣12＝8；（4）∵A（0，4），D（0，﹣4），∴AD＝4﹣（﹣4）＝4+4＝8，∵，∴，∴|xE|＝2，∴E（2，0）或（﹣2，0）．【点评】本题考查了关于原点对称，关于x轴、y轴对称点的点的坐标，三角形的面积，熟练掌握关于原点对称，关于x轴、y轴对称点的点的坐标特征是解题的关键．25．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由．（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？【分析】（1）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE＝ED，CF＝FD即可．（2）与（1）方法相同．【解答】（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD．又∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝ED，CF＝FD，∴EF＝ED+DF＝BE+CF．即：EF＝BE+CF．（2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下（如图）：∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝DE，DF＝CF，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形判定与性质等问题，解题的关键是上述知识点的综合应用．26．（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE+∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD+∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（ AAS ）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝ 50 ；（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．（4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒．①当t＝ 1 秒时，OF∥ED；②当t＝ 2 秒时，OF⊥BC；③当t＝ 4 秒时，点F恰好落在射线EB上．【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB；（2）利用（1）中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值；（3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC＝B′E＝4，根据面积公式可得结论；（4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t，①如图4，根据OP∥AE，得，代入可得t的值；②如图5，证明∠COP＝30°，则OC＝2PC，列方程：2＝2（3﹣t），则t＝2；③如图6，证明△PCO≌△OBF，则PC＝OB＝1＝t﹣3，可得t＝4．【解答】解：（1）在△AEC和△CDB中，∵，∴△AEC≌△CDB（AAS），故答案为：AAS；（2）∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°，由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3，∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD＝（4+6）×16﹣2×﹣2×＝80﹣18﹣12＝50，故答案为：50；（3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，由旋转得：AB＝AB′，∵∠BAB′＝90°，∴△AEB′≌△BCA，∴AC＝B′E＝4，∴S△AB′C＝AC•B′E＝＝8；（4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t，①如图4，∵OF∥ED，∴∠POF+∠OPC＝180°，∵∠POF＝120°，∴∠OPC＝60°，∵△BEC是等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠OPC，∴OP∥AE，∴，∴，2＝3﹣t，t＝1，即当t＝1秒时，OF∥ED；②如图5，∵OF⊥BC，∴∠FOC＝90°，∵∠FOP＝120°，∴∠COP＝30°，∴OC＝2PC，2＝2（3﹣t），t＝2，即当t＝2秒时，OF⊥BC；③如图6，∵∠FOP＝120°，∴∠FOB+∠COP＝60°，∵∠BCE＝60°，∴∠COP+∠OPC＝60°，∴∠FOB＝∠OPC，∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°，∴△PCO≌△OBF，∴PC＝OB＝1＝t﹣3，t＝4，即当t＝4秒时，点F恰好落在射线EB上．故答案为：①1；②2；③4．【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质、动点运动问题，明确动点运动的路程，并运用了类比的思想，与方程相结合，解决问题．
八年级数学上学期开学摸底考试卷（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试范围：七下全部内容一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN2．据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（ ）A．亿位 B．千万位 C．万分位 D．万位3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（ ）A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度4．下列四个图形中，∠1和∠2不符合同位角定义的是（ ）A． B． C． D．5．如图，在下列条件中，能判定AD∥BC的是（ ）A．∠CAD＝∠ACB B．∠BAD＝∠ACD C．∠ABC＝∠ADC D．∠ABC+∠BCD＝180°6．在平面直角坐标系xOy中，点A与点B（2，3）关于x轴对称，那么点A的坐标为（ ）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）填空题(本大题共12题,每题2分,满分24分)7．用幂的形式表示：＝ ．8．比较大小： ．（填“＞、＜、或＝”）9．36的平方根是 ．10．已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，那么∠A＝ 度．11．如图，已知DE∥BC，∠ABC＝70°，那么直线AB与直线DE的夹角等于 ．12．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点B表示的数为1，正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．将正方形ABCD在数轴上向右水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝a时，数轴上点B′表示的数是 （用含a的代数式表示）．13．三角形的三边分别为5，1﹣a，9，则a的取值范围为 ．14．若三角形三个内角∠A，∠B，∠C的关系满足∠A＞3∠B，∠C＜2∠B，则该三角形按角分类为 三角形．15．等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为 cm．16．经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线 ．17．如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝ ．18．已知点A（﹣2，﹣1），点B（a，b），直线AB∥y轴，且AB＝3，则点B的坐标是 ．三．解答题（共58分，共8小题）19．计算：．20．利用幂的运算性质计算：﹣×÷（结果用幂的形式表示）．21．计算：．22．如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．23．如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点．（1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由．（2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？24．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．（1）图中B点的坐标是 ．（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于x轴对称的点D的坐标是 ．（3）△ABC的面积是 ．（4）如果点E在x轴上，且S△ADE＝S△ABC，那么点E的坐标是 ．25．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由．（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？26．（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE+∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD+∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（ ）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝ ；（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．（4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒．①当t＝ 秒时，OF∥ED；②当t＝ 秒时，OF⊥BC；③当t＝ 秒时，点F恰好落在射线EB上． 八年级数学上学期开学摸底考试卷（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试范围：七下全部内容一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证即可．【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；B、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；C、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；D、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．2．据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（ ）A．亿位 B．千万位 C．万分位 D．万位【分析】根据近似数“14.1178亿”，可知最后的数字8在万位上，从而可以解答本题．【解答】解：近似数“14.1178亿”精确到万位，故选：D．【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（ ）A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度【分析】点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【解答】解：A选项：CB的长度是点B到AC的距离，故不合题意．B选项：AC的长度是点A到BC的距离，故不合题意．C选项：CD的长度是点C到AB的距离，故符合题意．D选项：AB是点A到点B的距离，故不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．4．下列四个图形中，∠1和∠2不符合同位角定义的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据同位角的定义结合具体的图形进行判断即可．【解答】解：根据同位角的定义，结合各个选项中的图形可知，选项A、选项B、选项C中的∠1、∠2是同位角，选项D中的∠1、∠2不是同位角，故选：D．【点评】本题考查同位角，掌握同位角的意义是正确判断的前提．5．如图，在下列条件中，能判定AD∥BC的是（ ）A．∠CAD＝∠ACB B．∠BAD＝∠ACD C．∠ABC＝∠ADC D．∠ABC+∠BCD＝180°【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．【解答】解：由∠CAD＝∠ACB根据“内错角相等，两直线平行”可判断AD∥BC，故A选项符合题意；由∠BAD＝∠ACD不可判断AD∥BC，故B选项不符合题意；由∠ABC＝∠ADC不可判断AD∥BC，故C选项不符合题意；由∠ABC+∠BCD＝180°根据“同旁内角互补，两直线平行”判断AB∥CD，不可判断AD∥BC，故D选项不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy中，点A与点B（2，3）关于x轴对称，那么点A的坐标为（ ）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．【解答】解：∵点A与点B（2，3）关于x轴对称，∴点A的坐标为（2，﹣3）．故选：D．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．二、填空题(本大题共12题,每题2分,满分24分)7．用幂的形式表示：＝ ．【分析】直接利用＝（m、n为正整数）得出结果即可．【解答】解：＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分数指数幂，解决本题的关键是熟记分数指数幂的性质．8．比较大小： ＜ ．（填“＞、＜、或＝”）【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．【解答】解：∵（）2＝12，（3）2＝18，而12＜18，∴2＜3．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．9．36的平方根是 ±6 ．【分析】根据平方根的定义求解即可．【解答】解：36的平方根是±6，故答案为：±6．【点评】本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．10．已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，那么∠A＝ 40 度．【分析】首先根据已知条件设出∠A＝2x，再表示出∠B，∠C，根据三角形内角和定理为180°列方程即可．【解答】解：设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝4x，根据三角形内角和为180°，可得2x+3x+4x＝180°，解得x＝20，则∠A＝2x＝40°，故答案为40．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是根据三个角的关系设出未知数，表示出各角的度数．11．如图，已知DE∥BC，∠ABC＝70°，那么直线AB与直线DE的夹角等于 70° ．【分析】先根据平行线的性质，求得∠AFE的度数，再根据邻补角的定义，即可得到∠AFD的度数．【解答】解：如图，直线AB和DE相交于点F，∵BC∥DE，∠ABC＝70°，∴∠AFE＝∠ABC＝70°，∴直线AB、DE的夹角是70°．故答案为：70°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．12．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点B表示的数为1，正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．将正方形ABCD在数轴上向右水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝a时，数轴上点B′表示的数是 a （用含a的代数式表示）．【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，当S＝a时得到AB′＝1，求出BB′，根据点B表示的数为1即可得到点B′表示的数．【解答】解：如图，∵正方形ABCD的面积为a2，∴正方形ABCD的边长为a，∵移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S，当S＝a时，a•AB′＝a，∴AB′＝1，∴BB′＝AB﹣AB′＝a﹣1，∵点B表示的数为1，∴点B′表示的数为1+a﹣1＝a，故答案为：a．【点评】本题考查了实数与数轴，根据重叠部分图形的面积S＝a得到AB′＝1是解题的关键．13．三角形的三边分别为5，1﹣a，9，则a的取值范围为 ﹣13＜a＜﹣3 ．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得9﹣5＜1﹣a＜9+5，再解不等式即可．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：9﹣5＜1﹣a＜9+5，解得﹣13＜a＜﹣3，故答案为：﹣13＜a＜﹣3．【点评】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．14．若三角形三个内角∠A，∠B，∠C的关系满足∠A＞3∠B，∠C＜2∠B，则该三角形按角分类为 钝角 三角形．【分析】在△ABC中，若∠A＞3∠B，可以得出∠B＜∠A，再根据∠B和∠C的关系，可得出∠C和∠A的关系．根据三角形内角和定理为180°，可以得出∠A的范围为大于90°．即可判断出△ABC为钝角三角形．【解答】解：根据题意∠A＞3∠B，即有∠B＜∠A，又∠C＜2∠B＜∠A，所以∠A+∠B+∠C＜∠A+∠A+∠A＝2∠A，故有180°＜2∠A，得∠A＞90°，即得△ABC为钝角三角形．故答案为：钝角．【点评】本题考查了三角形的内角和定理．解题的关键是能够找出三角形的三个角之间的大小关系，利用三角形的内角和为180°进行求解．15．等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为 9 cm．【分析】分为两种情况：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，再根据三角形三边关系定理确定答案即可．【解答】解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，所以三角形的第三边为9cm，故答案为：9．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，能够进行分类讨论是解决问题的关键．16．经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线 x＝2 ．【分析】过点（2，﹣3）且平行于y轴的直线上的点的横坐标与点的横坐标2相同．【解答】解：经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线x＝2，故答案为：x＝2．【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，本题涉及到的知识点为：平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．17．如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝ 60° ．【分析】由角平分线的定义及三角形的内角和定理可得∠CBF+∠BCF＝120°，进而利用平角定义和三角形的内角和定理求解．【解答】解：∵BF平分∠DBC，CF平分∠ECB，∴∠ECB＝2∠BCF，∠DBC＝2∠CBF，∵∠F＝60°，∴∠CBF+∠BCF＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECB+∠DBC＝2×120°＝240°，∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠ECB+∠DBC）＝360°﹣240°＝120°，∴∠A＝180°﹣120°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练应用外角和内角的关系．18．已知点A（﹣2，﹣1），点B（a，b），直线AB∥y轴，且AB＝3，则点B的坐标是 （﹣2，2）或（﹣2，﹣4） ．【分析】由AB∥y轴和点A的坐标可得点B的横坐标与点A的横坐标相同，根据AB的距离可得点B的横坐标可能的情况．【解答】解：∵A（﹣2，﹣1），AB∥y轴，∴点B的横坐标为﹣2，∵AB＝3，∴点B的纵坐标为﹣1+3＝2或﹣1﹣3＝﹣4，∴B点的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣4）．故答案为：（﹣2，2）或（﹣2，﹣4）．【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，平行于y轴的直线上的点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个三、解答题（共58分，共8题）19．计算：．【分析】根据分数指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式＝×÷＝4×÷＝22×÷＝＝2．【点评】本题考查分数指数幂，解题的关键是熟练运用分数指数幂的意义，本题属于基础题型．20．利用幂的运算性质计算：﹣×÷（结果用幂的形式表示）．【分析】直接利用分指数幂的性质以及同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣×（﹣）÷＝×÷＝＝．【点评】此题主要考查了分数指数幂的性质以及同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算，正确化简各数是解题关键．21．计算：．【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数的性质、分数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2+2++2＝2+2．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及负整数指数的性质、分数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．22．如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA推知△AOE≌△DOF，则OB＝OC；然后再根据全等三角形的判定定理ASA证得△AOB≌△DOC，则AB＝CD．【解答】证明：如图，∵AE∥DF，∴∠AEO＝∠DFO．在△AOE与△DOF中，．∴△AOE≌△DOF（ASA）．∴OD＝OA．在△AOB与△DOC中，．∴△AOB≌△DOC（ASA）．∴AB＝CD．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角（对顶角），必要时添加适当辅助线构造三角形．23．如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点．（1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由．（2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？【分析】（1）利用SAS定理证明△BDE≌△BCF，从而利用全等三角形的性质分析推理；（2）利用ASA定理证明△BDE≌△BCF，然后利用全等三角形的性质，并结合分类讨论思想列方程求解．【解答】解：（1）运动过程中∠EBF的大小不会发生变化，为定值60°，理由如下：由题意可得，BD＝BC＝AD＝CD＝6，∠BDA＝∠C＝∠CBD＝60°，DE＝DF，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴∠DBE＝∠CBF，∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE＝∠CBD＝60°；（2）当∠EBF＝60°时，∠EBF＝∠CBD＝60°，∴∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE，∴∠DBE＝∠CBF，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（ASA），∴DE＝CF，设点E的运动时间为t秒，则DE＝t，DF＝2t，CF＝6﹣2t，当0≤t≤3时，t＝6﹣2t，解得t＝2，当3＜t≤6时，t＝2t﹣6，解得t＝6，综上，当点E运动2秒或6秒时，∠EBF＝60°．【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握三角形全等的判定，利用分类讨论思想解题是关键．24．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．（1）图中B点的坐标是 （﹣2，3） ．（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 （2，﹣3） ；点A关于x轴对称的点D的坐标是 （0，﹣4） ．（3）△ABC的面积是 8 ．（4）如果点E在x轴上，且S△ADE＝S△ABC，那么点E的坐标是 （2，0）或（﹣2，0） ．【分析】（1）根据点B在平面直角坐标系的位置，即可解答；（2）根据关于原点对称，关于x轴对称点的点的坐标特征即可解答；（3）利用大矩形面积减去三个三角形的面积进行计算即可解答；（4）先求出AD的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：图中B点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）∵B与C关于原点对称，B（﹣2，3），∴C（2，﹣3），∵A与D关于x轴对称，A（0，4），∴D（0，﹣4），故答案为：（2，﹣3），（0，﹣4）；（3）如图：＝28﹣1﹣7﹣12＝8；（4）∵A（0，4），D（0，﹣4），∴AD＝4﹣（﹣4）＝4+4＝8，∵，∴，∴|xE|＝2，∴E（2，0）或（﹣2，0）．【点评】本题考查了关于原点对称，关于x轴、y轴对称点的点的坐标，三角形的面积，熟练掌握关于原点对称，关于x轴、y轴对称点的点的坐标特征是解题的关键．25．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由．（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？【分析】（1）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE＝ED，CF＝FD即可．（2）与（1）方法相同．【解答】（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD．又∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝ED，CF＝FD，∴EF＝ED+DF＝BE+CF．即：EF＝BE+CF．（2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下（如图）：∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝DE，DF＝CF，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形判定与性质等问题，解题的关键是上述知识点的综合应用．26．（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE+∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD+∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（ AAS ）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝ 50 ；（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．（4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒．①当t＝ 1 秒时，OF∥ED；②当t＝ 2 秒时，OF⊥BC；③当t＝ 4 秒时，点F恰好落在射线EB上．【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB；（2）利用（1）中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值；（3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC＝B′E＝4，根据面积公式可得结论；（4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t，①如图4，根据OP∥AE，得，代入可得t的值；②如图5，证明∠COP＝30°，则OC＝2PC，列方程：2＝2（3﹣t），则t＝2；③如图6，证明△PCO≌△OBF，则PC＝OB＝1＝t﹣3，可得t＝4．【解答】解：（1）在△AEC和△CDB中，∵，∴△AEC≌△CDB（AAS），故答案为：AAS；（2）∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°，由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3，∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD＝（4+6）×16﹣2×﹣2×＝80﹣18﹣12＝50，故答案为：50；（3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，由旋转得：AB＝AB′，∵∠BAB′＝90°，∴△AEB′≌△BCA，∴AC＝B′E＝4，∴S△AB′C＝AC•B′E＝＝8；（4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t，①如图4，∵OF∥ED，∴∠POF+∠OPC＝180°，∵∠POF＝120°，∴∠OPC＝60°，∵△BEC是等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠OPC，∴OP∥AE，∴，∴，2＝3﹣t，t＝1，即当t＝1秒时，OF∥ED；②如图5，∵OF⊥BC，∴∠FOC＝90°，∵∠FOP＝120°，∴∠COP＝30°，∴OC＝2PC，2＝2（3﹣t），t＝2，即当t＝2秒时，OF⊥BC；③如图6，∵∠FOP＝120°，∴∠FOB+∠COP＝60°，∵∠BCE＝60°，∴∠COP+∠OPC＝60°，∴∠FOB＝∠OPC，∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°，∴△PCO≌△OBF，∴PC＝OB＝1＝t﹣3，t＝4，即当t＝4秒时，点F恰好落在射线EB上．故答案为：①1；②2；③4．【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质、动点运动问题，明确动点运动的路程，并运用了类比的思想，与方程相结合，解决问题．
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