沪科版八年级数学上册教案全集

这是一份初中数学沪科版八年级上册本册综合优秀教案，共110页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观，情感、态度和价值观，情感、态度及价值观，情感 、态度与价值观等内容，欢迎下载使用。


第11章　平面直角坐标系
　平面上点的坐标
第1课时　平面上点的坐标(一)
教学目标
【知识与技能】
1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原点等.
2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点.
3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置.
【过程与方法】
1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用.
2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置.
【情感、态度与价值观】
通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值.
重点难点
【重点】
认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标平面内描出点.
【难点】
理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系.
教学过程
一、创设情境、导入新知
师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说?
生甲:我在第3排第5个座位.
生乙:我在第4行第7列.
师:很好!我们买 的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来.
二、合作探究,获取新知
师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢?
生:3排5号.
师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢?
生:用一个有序的实数对来表示.
师:对.我们学过实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢?
生:可以.
教师在黑板上作图:

我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴.水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;竖直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴交点为原点.这样就构成了平面直角坐标系,这个平面叫做坐标平面.
师:有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序实数对来表示了.现在请大家自己动手画一个平面直角坐标系.
学生操作,教师巡视.教师指正学生易犯的错误.
教师边操作边讲解:
如图,由点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是5,我们就说P点的横坐标是3,纵坐标是5,我们把横坐标写在前,纵坐标写在后,(3,5)就是点P的坐标.在x轴上的点,过这点向y轴作垂线,对应的坐标是0,所以它的纵坐标就是0;在y轴上的点,过这点向x轴作垂线,对应的坐标是0,所以它的横坐标就是0;原点的横坐标和纵坐标都是0,即原点的坐标是(0,0).

教师多媒体出示:

师:如图,请同学们写出A、B、C、D这四点的坐标.
生甲:A点的坐标是(-5,4).
生乙:B点的坐标是(-3,-2).
生丙:C点的坐标是(4,0).
生丁:D点的坐标是(0,-6).
师:很好!我们已经知道了怎样写出点的坐标,如果已知一点的坐标为(3,-2),怎样在平面直角坐标系中找到这个点呢?
教师边操作边讲解:
在x轴上找出横坐标是3的点,过这一点向x轴作垂线,横坐标是3的点都在这条直线上;在y轴上找出纵坐标是-2的点,过这一点向y轴作垂线,纵坐标是-2的点都在这条直线上;这两条直线交于一点,这一点既满足横坐标为3,又满足纵坐标为-2,所以这就是坐标为(3,-2)的点.下面请同学们在方格纸中建立一个平面直角坐标系,并描出A(2,-4),B(0,5),C(-2,-3),D(-5,6)这几个点.
学生动手作图,教师巡视指导.
三、深入探究,层层推进
师:两个坐标轴把坐标平面划分为四个区域,从x轴正半轴开始,按逆时针方向,把这四个区域分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.注意:坐标轴不属于任何一个象限.在同一象限内的点,它们的横坐标的符号一样吗?纵坐标的符号一样吗?
生:都一样.
师:对,由作垂线求坐标的过程,我们知道第一象限内的点的横坐标的符号为+,纵坐标的符号也为+.你能说出其他象限内点的坐标的符号吗?
生:能.第二象限内的点的坐标的符号为(-,+),第三象限内的点的坐标的符号为(-,-),第四象限内的点的坐标的符号为(+,-).
师:很好!我们知道了一点所在的象限,就能知道它的坐标的符号.同样的,我们由点的坐标也能知道它所在的象限.一点的坐标的符号为(-,+),你能判断这点是在哪个象限吗?
生:能,在第二象限.
四、练习新知
师:现在我给出几个点,你们判断一下它们分别在哪个象限.
教师写出四个点的坐标:A(-5,-4),B(3,-1),C(0,4),D(5,0).
生甲:A点在第三象限.
生乙:B点在第四象限.
生丙:C点不属于任何一个象限,它在y轴上.
生丁:D点不属于任何一个象限,它在x轴上.
师:很好!现在请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系,在上面描出这些点.
学生作图,教师巡视,并予以指导.
五、课堂小结
师:本节课你学到了哪些新的知识?
生:认识了平面直角坐标系,会写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能描点,知道了四个象限以及四个象限内点的符号特征.
教师补充完善.
教学反思
物体位置的说法和表述物体的位置等问题,学生在实际生活中经常遇到,但可能没有想到这些问题与数学的联系.教师在这节课上引导学生去想到建立一个平面直角坐标系来表示物体的位置,让学生参与到探索获取新知的活动中,主动学习思考,感受数学的魅力.在教学中我让学生由生活中的实例与坐标的联系感受坐标的实用性,增强了学生学习数学的兴趣.


















第2课时　平面上点的坐标(二)
教学目标
【知识与技能】
进一步学习和应用平面直角坐标系,认识坐标系中的图形.
【过程与方法】
通过探索平面上的点连接成的图形,形成二维平面图形的概念,发展抽象思维能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生的合作交流意识和探索精神,体验通过二维坐标来描述图形顶点,从而描述图形的方法.
重点难点
【重点】
理解平面上的点连接成的图形,计算围成的图形的面积.
【难点】
不规则图形面积的求法.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们学习了平面直角坐标系的概念,也学习了已知点的坐标,怎样在平面直角坐标系中把这个点表示出来.下面请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系,并在上面标出A(5,1),B(2,1),C(2,-3)这三个点.
学生作图.
教师边操作边讲解:

二、合作探究,获取新知
师:现在我们把这三个点用线段连接起来,看一下得到的是什么图形?
生甲:三角形.
生乙:直角三角形.
师:你能计算出它的面积吗?
生:能.
教师挑一名学生:你是怎样算的呢?
生:AB的长是5-2=3,BC的长是1-(-3)=4,所以三角形ABC的面积是×3×4=6.
师:很好!
教师边操作边讲解:

大家再描出四个点:A(-1,2),B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2),并将它们依次连接起来看看形成的是什么图形?
学生完成操作后回答:平行四边形.
师:你能计算它的面积吗?
生:能.
教师挑一名学生:你是怎么计算的呢?
生:以BC为底,A到BC的垂线段AE为高,BC的长为4,AE的长为3,平行四边形的面积就是4×3=12.
师:很好!刚才是已知点,我们将它们顺次连接形成图形,下面我们来看这样一个连接成的图形:
教师多媒体出示下图:

师:如果我们取x轴正半轴上的点为起始点,按逆时针顺序,你能说出这个图形是由哪些点顺次连接成的吗?
生:能.(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4)……
师:很好!你怎样向另一个同学描述这样一个八角星,让他画出来呢?
生:在坐标系里画出点(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4),……,然后把它们顺次连接成一个封闭的图形.
三、练习新知
师:我们现在已经建立了点与图形之间的联系,能用点来表示图形了.我们来看这样一个例子,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(4,1),C(6,4),求△ABC的面积.
教师找一名学生板演,其余学生在下面做,然后集体订正得到:

由图可知,△ABC的面积S=×5×3=.
四、课堂小结
师:我们今天学习了哪些新知识?有什么收获?
生:我们今天学了由点连接成的图形,求封闭图形的面积.
教师补充完善.
教学反思
本节课开始时我给出三点的坐标,让学生自己建立平面直角坐标系,并且在其中描出这些点,既复习了上节课的内容,又引出了本节课所要讲的知识.在画出三角形和平行四边形后,我引导学生去利用网格计算封闭图形的面积.通过八角星的例子引导学生自己去学习找点的位置和它们的坐标之间的关系,形成数形结合的思想,用数字特征去描述它们之间的关系.














　图形在坐标系中的平移
教学目标
【知识与技能】
研究在同一坐标系中,图形的平移与点的坐标变化之间的关系,发展学生的数形结合思想和意识.
【过程与方法】
经历图形的平移过程,探究图形的平移与点的坐标变化之间的关系.
【情感、态度与价值观】
让学生体验探究图形的平移与坐标变化之间的关系,感受数学与图形的平移、物体的运动等有实际意义的事情之间的关联,体会数学在现实生活中的用途.
重点难点
【重点】
经历图形平移和坐标变化的过程,发展学生的数形结合思想和意识.
【难点】
归纳出图形平移与坐标变化之间的关系.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:在上一节课,我们把平面直角坐标系中的点连接成了封闭的图形,现在已知A(-2,4),B(-4,3),C(1,1),用线段把这三点连接成一个封闭图形,是什么形状的图形?
生:三角形.
师:对.这节课我们把这个图形在同一坐标系中平移,探究平移后的顶点坐标与原顶点坐标之间的关系.
教师板书课题.
二、合作探究,获取新知
教师边操作边讲解:我们把这个三角形在平面直角坐标系中向右平移2个单位,看看得到的图形与原图形的顶点坐标之间会有什么关系.
生:横坐标增加了2,纵坐标不变.
师:对.若是向左平移2个单位呢?坐标会有什么变化?
生:横坐标减2,纵坐标不变.
师:很好!若把这个三角形向上平移3个单位,这个三角形的顶点坐标又有什么改变?
生:横坐标不变,纵坐标加3.
师:对.向下平移3个单位呢?
生:横坐标不变,纵坐标减3.
师:同学们回答得很好!已知一个图形的顶点坐标和它发生的位移,即它移动的方向和距离,我们根据刚才得出的结论,可以写出它位移后的顶点的坐标,画出它位移后的图形.如果已知位移前的图形和位移后的图形,你能写出它的位移过程吗?
教师边操作边讲解:

已知平移前的三角形三个顶点的坐标分别是(-3,4),(-2,7),(1,2),平移后顶点的坐标是(0,2),(1,5),(4,0),请同学们写出它平移的过程.
教师找一名学生板演,其余同学在下面写.
师:我们可以分别看横、纵坐标的变化,横坐标都增加了3,所以在沿x轴方向上发生了怎样的位移?
生:向右平移了3个单位.
师:对,你们观察一下纵坐标的变化,说一说它在沿y轴方向上发生了怎样的位移?
生:纵坐标减少了2,向下平移了2个单位.
师:对.所以我们得出它位移的过程是先向右平移3个单位再向下平移2个单位,或者是先向下平移2个单位再向右平移3个单位.
三、例题讲解
【例】　如图,将△ABC先向右平移6个单位,再向下平移2个单位得到△A1B1C1.写出各顶点变动前后的坐标.

解:用箭头代表平移,则有:
A(-2,6)→(4,6)→A1(4,4),
B(-4,4)→(2,4)→B1(2,2),
C(1,1)→(7,1)→C1(7,-1).
教师多媒体出示:
点(x,y)向平移a(a>0)个单位⇔平移后的坐标为
师:任意一点(x,y)向某一个方向平移后点的坐标会是怎样的呢?请同学们思考以上四个小题.
学生思考交流后,得到结论:
点(x,y)向左平移a(a>0)个单位⇔平移后的坐标为(x-a,y);
点(x,y)向右平移a(a>0)个单位⇔平移后的坐标为(x+a,y);
点(x,y)向上平移a(a>0)个单位⇔平移后的坐标为(x,y+a);
点(x,y)向下平移a(a>0)个单位⇔平移后的坐标为(x,y-a).
四、练习新知
师:我们现在来做一道题目,练习一下.
教师多媒体出示:
已知三角形ABC,它的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-5,3),(-2,4),(0,2),它平移后的三角形为△A'B'C',A'点的坐标是(3,-1),求B'点和C'点的坐标.
教师找一名学生板演,其他同学在下面做,然后集体订正得到:
B'点的坐标为(6,0),C'的坐标为(8,-2).
五、课堂小结
师:你今天学习了哪些新知识?有什么收获?
生:学习了图形的平移和位移变化之间的关系.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
图形由静到动,静时我们用顶点坐标来描述它,动后我们也可以描述这个过程.在学生的前置性学习部分,通过让学生观察把一个已知的三角形向右平移后得到新的三角形,并比较平移前后三个顶点的坐标的变化,使学生亲身经历了知识的形成过程,不但改变了学生死记硬背的学习方式,还培养了他们自主探究、合作交流等学习习惯,进一步激发了学生学习数学的兴趣.本节课是在学生学习了平移的概念和性质的基础上,探究图形在坐标系内平移的变化规律的.主要是引导学生运用分类思想,依次经过点和图形的平移的观察、画图、猜想、验证、归纳、比较、分析等活动,最终探究出点的坐标变化与点平移的关系以及图形上各个点的坐标变化与图形平移的关系.















第12章　一次函数
　函　数
第1课时　函　数(一)
教学目标
【知识与技能】
1.掌握常量、变量的概念.
2.能辨别一个关系中的常量和变量、自变量和因变量.
3.能识别一个关系式是不是函数.
【过程与方法】
1.经历观察、分析、思考、总结的过程,发展观察推理能力和清晰地表达自己观点的能力.
2.感知变量对数学问题的描述、研究的作用.
3.理解一个简单的实际应用问题的数学表达方式,使学生将实际问题和数学相联系.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生共同思考实际生活中的例子让学生参与到教学活动中来,培养学生的集体意识.
2.让学生自己思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.
3.让学生感受数学与生活息息相关.
4.通过变量、常量概念的引入,让学生意识到数学是在不断发展的,意识到事物是不断发展变化的.
重点难点
【重点】
理解常量、变量的概念,判断一个数量关系是否是函数.
【难点】
理解函数的概念.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:你还记得汽车在匀速行驶时,路程和速度、时间之间的关系吗?
生:记得,路程=速度×时间.
师:好.我们现在来看这样一个问题.
教师多媒体出示(问题1):汽车以50千米/时的速度匀速行驶,它行驶的路程用s表示,时间用t表示,根据刚才那个公式,你能得到s和t的什么数量关系?
生:s=50t.
师:对.这里面有哪些量?
生:路程、速度和时间.
师:这道题中,速度是具体的一个量,是多少呢?
生:50.
师:对.这里面有三个量:路程、50和时间.
二、合作探究,获取新知
教师多媒体出示(问题2):
时间t/min
0
1
2
3
4
5
6
7
…
海拔高度h/m
1800
1830
1860
1890
1920
1950
1980
2010
…


同学们看这个图和相应的表格,上面反映的有几个量?
学生思考后回答:两个.
师:哪两个?
生甲:时间.
生乙:气球上升到达的海拔高度.
师:同学们回答得很好!你们再观察一下,热气球在这个上升过程中,平均每分钟上升了多少米?
生:30米.
师:你能计算出当t=3min和t=6min时热气球到达的海拔高度吗?
生:能,3分钟时为1 890米,6分钟时为1 980米.
师:很好.
教师多媒体出示(问题3):

师:在这个问题中,有哪几个量?
生:两个,时间和负荷.
师:你能说出这一天中任意一个时刻的负荷是多少吗?如果能的话,时和20h时的负荷分别是多少?
学生测量后回答:能.时是10×103兆瓦,20h时是17×103兆瓦.
师:用科学记数法怎样表示?
生:时是×104兆瓦,20h时是×104兆瓦.
师:同学们回答得很好!你们是怎么找到对应的数据的呢?
生:根据时间对应的负荷得到的.
师:很好!这一天的用电高峰和用电低谷时的负荷分别是多少?它们各是在什么时刻达到的?
学生测量后回答:用电高峰时的负荷是×104兆瓦,在时达到;用电低谷时的负荷是×104兆瓦,在时达到.
师:我们再来看这样一个例子.
教师多媒体出示(问题4):
汽车在行驶过程中由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住.某型号的汽车在路面上的刹车距离sm与车速vkm/h之间有下列经验公式:
s=
这个式子中涉及了哪几个量?
生甲:刹车距离、车速.
生乙:256.
师:当车速为60km/h时的刹车距离是多少呢?结果保留一位小数.
学生计算后回答:.
师:在第一个问题中,速度一直是50千米/时,我们把不变的50称为常量;变化的s和t称为变量,其中t是自变量,s是随着时间t的变化而变化的,s是因变量.下面我们看看其他三个问题中,哪些是常量,哪些是自变量,哪些是因变量?
生甲:第二个问题中,30是常量,时间是自变量,海拔高度是因变量.
生乙:第三个问题中,没有常量,时间是自变量,负荷是因变量.
生丙:第四个问题中,256是常量,车速是自变量,刹车距离是因变量.
师:很好!自变量和因变量之间有没有对应的关系呢?
生:有.
师:由前面的探究,我们能得出自变量和因变量在数量上有怎样的对应关系?
生:自变量取一个值,根据它们之间的关系,因变量就有相应的一个值.
师:很好!
教师板书并口述定义:
一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许的取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称x是自变量,y是x函数.
师:在这个定义中,我们要注意“唯一确定”这四个字,“唯一”要求只有一个,“确定”要求它们的关系是确定的,不能是未明确的、模糊的.根据函数的定义,你能说出以上四个问题中哪一个量是哪一个量的函数吗?
生甲;问题1中行驶路程s是行驶时间t的函数.
生乙:问题2中热气球到达的海拔高度h是时间t的函数.
生丙:问题3中负荷y是时间t的函数.
生丁:问题4中刹车距离s是车速v的函数.
师:大家回答得很好!
三、练习新知
师:我们现在来看这样一个例子.
教师多媒体出示并口述:
下列等式中,y是x的函数的有　　　　. 
①x+y=0;②y=;③y=x2;④x=y2;⑤y=|x|;⑥ x=|y|;⑦y=;⑧y2=4x.
学生思考后回答,然后集体订正.
y是x的函数的有①②③⑤⑦.
四、课堂小结
师:你今天学习了哪些新知识?有什么收获?
生:学习了常量、变量、自变量、因变量、函数.
教师补充完善.
教学反思
课程改革的关键是教师观念的改变,重视学生的主体作用,强调让学生经历学习的过程,让学生真正成为学习的主人.教师不应该仅仅是课程的实施者,而且应该成为课程的创造者和开发者.通过让学生回顾小学学过的一个公式,引入本节课,同时带领学生更深入地认识两个量之间的关系,并引入常量、变量、自变量、因变量等概念.而函数是两个变量之间的关系,它们之间是怎样的一种关系呢?对自变量取的一个值,因变量有唯一确定的值与之对应.这点要向学生讲清楚,学生理解了就能判断一个变量是不是另一个变量的函数.
























第2课时　函　数(二)
教学目标
【知识与技能】
1.会用列表法表示函数.
2.会将一个简单的实际应用问题抽象成函数.
3.会求函数自变量的取值范围.
4.给定自变量,能求出函数值.
【过程与方法】
1.经历用列表法和解析法表示函数的过程.
2.通过将一个简单的实际应用问题抽象成数学问题使学生将理论和实际相联系.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生选用合适的方法表示两个变量之间的关系,让学生发挥主观能动性,独立思考.
2.让学生参与到教学活动中来,激发学生的参与感和集体意识.
3.让学生观察、描述发现的问题,培养学生表述自己思想和归纳概括、收集信息的能力.
4.让学生思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.
重点难点
【重点】
用解析法表示函数,求函数自变量的取值范围.
【难点】
建立一个实际问题的数学模型.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课,我们学习了一个重要的概念——函数,同学们还记得它的内容吗?
学生回答.
师:大家说得很好,函数是一个重要的数学概念,这节课我们将更深入地研究它.
二、合作探究,获取新知
教师多媒体出示上节课的问题2:
上节课我们在问题2中用表格表示热气球上升到的海拔高度与时间数值之间存在的关系,这种通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
学生熟记.
教师多媒体出示上节课的问题4.
这是另一种表示函数的方法,是用s和v之间的函数关系式来表示的,这种用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.你从中读出了什么信息?你能把问题2中表格反映的情况用语言叙述一下吗?
学生思考后回答:能.热气球的初始海拔高度是1 800米,每分钟上升30米.
师:很好!它是匀速上升的吗?
生:是.
教师多媒体出示上节课中的问题1.
你能仿照这个匀速运动的例子写出热气球到达的海拔高度h和时间t之间的关系吗?注意:这里h是初始高度和上升高度的和,上升高度相当于热气球上升的路程.
学生思考后回答:能.h=1 800+30t.
师:很好!一般地,我们按自变量的降幂排列,就是写成h=30t+1 800.这说明同样一个问题,它的描述方式可以不止一种,我们可以选用适当的方式来表示,也可以把一种表示方式描述的问题用另一种表示方式来写.
教师多媒体出示上节课介绍的函数的定义:
一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.
师:同学们,这里要求在自变量的允许范围内,就是说自变量是有范围的,在哪些情况下自变量不是所有实数都可以取呢?谁能说说我们学习过的式子中哪些式子的取值有限制?
生:分母不能为零,开平方时被开方数应该大于等于零.
师:对.所以我们在用解析法表示时,要考虑自变量的取值范围.在实际应用中,除了要保证这个式子有意义,还要求它有实际意义.
三、练习新知
教师多媒体出示:
【例1】　求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=2x+4;　　　　(2)y=-2x2;
(3)y=; (4)y=.
解:(1)x为全实体实数.
(2)x为全实体实数.
(3)x≠2.
(4)x≥3.
【例2】　当x=3时,求下列函数的函数值:
(1)y=2x+4; (2)y=-2x2;
(3)y=; (4)y=.
解:(1)当x=3时,y=2x+4=2×3+4=10.
(2)当x=3时,y=-2x2=-2×32=-18.
(3)当x=3时,y===1.
(4)当x=3时,y===0.
【例3】　一个游泳池内有水300m3,现打开排水管以每小时25m3的排出量排水.
(1)写出游泳池内剩余水量Qm3与排水时间th间的函数关系式;
(2)写出自变量t的取值范围;
(3)开始排水后的第5h末,游泳池中还有多少水?
(4)当游泳池中还剩150m3时,已经排水多少小时?
解:(1)排水后的剩水量Q是排水时间t的函数,有Q=300-25t=-25t+300.
(2)由于池中共有300m3水,每小时排25m3,全部排完只需300÷25=12(h),故自变量t的取值范围是0≤t≤12.
(3)当t=5时,代入上式,得Q=-5×25+300=175(m3),即第5h末,池中还有水175m3.
(4)当Q=150时,由150=-25t+300,得t=6(h),池中还剩水150m3时,已经排水6小时.
四、课堂小结
师:今天你学习了什么新的内容?
生:学习了函数的两种表示方法、自变量的取值范围、求函数值.
教师补充完善.
教学反思
本节课通过让学生回顾上节课的两个例子,向学生介绍函数的两种表示方法:列表法和解析法.在解析法中强调了不是所有函数的自变量都可以取全体实数,特别是在应用题中,要考虑自变量的取值范围.还学习了已知自变量的一个值求相应的函数值.需要注意的是自变量取值范围的限制主要有分母不能为零和开平方时被开方数不能为负两种情况,有时两种情况会同时出现,这两个条件都要满足.教学设计中,始终把对知识的学习与师生的共同活动、交流相结合,把对知识的理解放置在具体情景中,采用了多种形式的学习活动,给学生提供足够的、自主的空间和活动机会,让学生动手、动脑进行探索.














第3课时　函　数(三)
教学目标
【知识与技能】
1.会用图象法表示函数.
2.知道画函数象的步骤,即列表、描点、连线.
【过程与方法】
经历用图象法表示函数的过程,提高作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过将函数用图象表示出来,将数和形结合起来,使本章内容和上一章的内容也结合起来,让学生体会到数形结合思想和上一章知识的关联及数学知识环环相扣的特点.
2.将函数用图象表示出来,使函数显得更生动形象,使学生易于接受.
重点难点
【重点】
用图象法表示函数.
【难点】
理解几个点的连接与函数图象之间的关系.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们上一节课学习了函数的两种表示法,你们还记得是什么吗?
生:记得,是列表法、解析法.
师:对.但有些函数关系很难写出它们的函数关系式,而数据又多,用列表法显得繁琐又不够形象,因此我们用图象来表示.本节课我们就来探究一种表示函数的方法——图象法.
二、合作探究,获取新知
师:我们用图象法除了可以表示列表法和解析法不能表示的函数关系外,还能表示出它们能表示的、不太复杂的函数关系.比如这样一个解析式y=2x,我们现在用图象把它表示出来.请大家先填写下表.
教师多媒体出示:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y








　　学生填表.
师:我们在上一章讲过,有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,且学习了已知点的坐标以及怎样把它在坐标平面上描出来,现在请大家在方格纸上描出这些点.
学生描点.
师:请同学们观察这些点,它们是怎样分布的呢?
生:大致在一条直线上.
师:很好,大家的观察能力很强!我们现在把它们连接起来,用直线还是线段呢?
生:直线.
师:为什么?
学生思考.
师:我提示一下,从自变量的取值范围去考虑.
生:自变量x的取值范围是全体实数,直线两端是无限延伸的,代表没有表示出来的还有很多点.
师:大家非常棒!
教师边操作边讲:
我现在用一条直线把这些点连接起来.
教师板书作图的过程:

师:现在我们画出了函数y=2x的图象.大家注意到没有?我们用几步完成了这个过程?
生:三步.
师:哪三步?同学们能不能把每步用两个字概括一下?
生:列表、描点、连线.
师:大家说得很好!描出的点越多,图象越精确,但一般我们只选取一部分点.现在我们作的图自变量取值范围是全体实数时,一般在原点左右各选取两三个点,加上原点,用这几个点来画图.
三、例题讲解
【例1】　画出函数s=的图象.
(1)列表:因为这里v≥0,我们分别取v=0、10、20、30、40,求出它们对应的s值,列成表格:
v/(km·h-1)
0
10
20
30
40
…
s/m
0




…

　　(2)描点:在坐标平面内描出(0,0),(10,,(20,,(30,,(40,等点.
(3)连线:将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接,就得到了s=的图象,如图所示.

【例2】　已知某弹簧的自然长度为5cm,已知它所挂物体的质量每增加1kg,弹簧就伸长,设所挂重物的质量为xkg,弹簧的长度为ycm,允许挂重物不超过10kg,求y关于x的函数表达式,并画出图象.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
教师多媒体出示:
y关于x的函数为:y=+5,0≤x≤10.图象为:

四、练习新知
如图,下列各曲线中哪些能够表示y是x的函数?你能说出其中的道理吗?

学生思考,讨论.
生甲:(1)不是.
生乙:(1)是.
师问生甲:(1)为什么不是函数?
生甲:(1)在x>0时没有图象.
师:没有图象表示此函数在x>0的范围内没有定义.而y是x的函数要求对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,就是说我们只看它有定义的部分.
生甲:哦,那么(1)是函数.
师:(2)是函数吗?
生:是.
师:(3)呢?
生:……
师:从函数的定义出发考虑.
生:不是.
师:为什么?
生:除了x轴上的两点,自变量取值范围内的其他的每一个x值都有两个y与它对应.
师:你回答得很好!(4)呢?这个图象对应的是不是函数?
生:不是.
师:为什么?
生:有一些x值有2个甚至更多个y值与它对应.
师:你回答得很好!
五、课堂小结
师:今天你学习了什么新的内容?
生:学习了函数表示法中的图象法、函数图象的画法.
师:画函数图象的步骤是什么?
生:列表、描点、连线.
教学反思
本节课通过让学生回顾本章第一节表示函数的另一种方法——图象法,还向学生介绍了这种表示方法的优点,并示范了作函数图象的过程,指出了图象法的三个步骤:列表、描点、连线,让学生掌握了表示函数关系的又一工具.在列表时要考虑到自变量的取值范围,在刻度的选取时要具体问题具体分析,有的起始值较大且变化量小时,前面一部分用折线表示;当x、y只取正值时就不画x轴及y轴的负半轴.















第4课时　函　数(四)
教学目标
【知识与技能】
能读出函数图象里的信息,会分析图象信息.
【过程与方法】
1.经历观察函数图象,读出图中信息,提高阅读和提取信息的能力.
2.体会和学习数形结合的数学思想.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生读出函数图象的信息,把数和形结合起来,将图象“说出来”,让学生体会到了数形结合思想.
2.通过“翻译”图象的过程,让学生体验了坐标系的用途和数学的重要性,提高学生学习的主动性.
重点难点
【重点】
读出图象里的信息
【难点】
分析函数图象中的信息.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:在上节课中,我们学习了函数图象的画法,你还记得有哪几个步骤吗?
生:记得.列表、描点、连线.
师:很好!如果给出了函数的图象,我们也要能读出其中的信息.
二、合作探究,获取新知
教师多媒体出示教材思考题中的图:

师:图中有哪两个变量?
生:时间和体温.
师:哪个是自变量?哪个是因变量?
生:时间是自变量,体温是因变量.
师:在这一天中此人的最高体温是多少?最低体温是多少?分别是在什么时刻达到的?
学生用刻度尺测量后回答.
生甲:最高体温是℃,在18h时达到.
生乙:最低体温是℃,在4h时达到.
教师多媒体课件出示课本上的几个练习题并找学生回答,共同纠正.
三、举例探讨,深化理解
教师多媒体出示:
一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输,只行驶一个来回,中间停靠丙港,下图是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化而变化的曲线.

学生观察图象.
师:轮船从甲港(O点)出发到达丙港(A点)用了多长时间?
生:1个小时.
师:从丙港(A点)到达乙港(C点)用了多长时间?
生:2个小时.
师:你们还能读出其他的信息吗?
生甲:轮船在乙港停留了1个小时.
生乙:轮船从乙港到丙港用了4个小时.
生丙:轮船从丙港到甲港用了2个小时.
师:很好!
教师多媒体出示:
(1)你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快,还是轮船返回时的平均速度快吗?
(2)如果轮船往返的速度是一样的,那么从甲港到乙港是顺水还是逆水?
师:你是怎样做第一个小题的?
生:因为往返轮船行驶的路程相同,所以只要比较去和返回时用的时间长短就行了.
师:往返的时间哪个长哪个短呢?
生:从甲港到乙港用了3个小时,从乙港到甲港用了6个小时,去时用的时间短,回来时用的时间长.
师:很好!由此你能得到什么结论?
生:说明去的时候速度快.
师:很好!现在请同学们看第二个问题.
学生看思考.
生:从甲港到乙港是顺水.
师:你怎么得到的呢?
生:因为由上题知从甲港到乙港时速度更快.
四、课堂小结
师:今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?
学生回答.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
在这个信息充斥的时代,我们身边有很多信息载体,例如文字和图象.本节课我带领学生去读信息,获取、分析图象上的信息.在第一个例题的讲解中,我向学生提出问题,引导他们去看图;在第二个问题中,我在提出两个问题后,让学生自己去说说看到了什么,让学生自己去想问题和答案,调动学生的积极性,锻炼他们的分析能力和语言表达能力.

















　一次函数
第1课时　一次函数(一)
教学目标
【知识与技能】
认识正比例函数,掌握正比例函数解析式的特点.
【过程与方法】
经历用图象法表示正比例函数的过程,利用数形结合思想分析问题.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生用图象法表示正比例函数使学生参与到探究正比例函数的过程中来,激发学生学习数学的积极性.
2.将函数用图象表示出来使函数显得更为生动形象,使学生易于接受.
重点难点
【重点】
正比例函数的解析式特点,正比例函数的图象表示法.
【难点】
由正比例函数的图象归纳其性质.
教学过程
一、创设情境,导入新知
教师多媒体出示:
s=50t;h=50t+500;Q=-25t+300;y=2x.
师:观察这些函数,你能发现它们的共同点吗?
生:能.它们的自变量的最高次数都是1.
师:很好!不难看出,这些函数都是用自变量的一次式表示的,可以写成y=kx+b的形式.因为它们有这一共同特征,我们把它们归为一类.
教师多媒体出示并口述:
一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,其中k叫做比例系数,b叫做常数.当b=0时,它会是怎样的呢?
生:当b=0时,它化简成了y=kx.
师:对.我们把有这一特征的函数也归为一类.一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
二、边讲边练,共同探究
师:请同学们根据刚才介绍的一次函数及正比例函数的形式来判断一下下列函数,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?
(1)y=-4x;(2)y=;(3)y=4x+8;(4)y=3x2-1;(5)y=-.
学生讨论后回答,集体纠正.
师:我们现在已经知道了正比例函数的解析式的特点,那么它的图象又有什么特点呢?在前面我们画了y=2x、s=-3t的图象,它们有什么共同点?
生:它们都是一条直线.
师:对.通常我们把正比例函数y=kx(k≠0)的图象叫做直线y=kx.
教师多媒体出示:
y=x,y=x,y=3x.
师:请大家在同一直角坐标系中画出下列正比例函数的图象.我们知道两点确定一条直线,所以要画y=kx的图象,找出两个点即可.在y=kx中,无论k取何值,x=0时y都为0,所以正比例函数的图象是一条经过原点的直线.我们再找一个容易计算的x的值,比如取x=1,求出相应的y的值.
教师找三名学生板演,其余同学在下面做,然后集体纠正得到:

三、继续探究,层层推进
师:它们除了都是正比例函数外,k都是大于0的.它们的图象除了是经过原点的直线外,还有什么共同点?
生:它们都经过一、三象限.
师:除此之外,随着x值的增大,y的值是怎样变化的?
学生观察后回答:增大.
师:很好!它们还有没有其他的共同之处?
学生继续观察,发现另一共同点:它们都是自左向右上升的.
教师多媒体出示:
y=-x,y=-x,y=-3x.
师:你们再画出这几个函数的图象,看看它们有什么共同点.
学生作图后回答.
生甲:它们都是过原点的一条直线.
生乙:它们都经过二、四象限.
生丙:y的值随着x的增大而减小.
生丁:它们都是自左向右下降的.
师:同学们回答得很好!我们由这两个例子得到如下结论:
在正比例函数y=kx中,当k>0时,y随x的增大而增大,图象经过一、三象限;当k<0时,y随x的增大而减小,图象经过二、四象限.
师:那么大家将前面的三个图象结合起来,看|k|的大小对y=kx的图象有什么影响?
生:|k|越大,图象越接近y轴;|k|越小,图象越接近x轴.
师:很好,大家观察得很仔细.我们现在来探究正比例函数的平移问题.
教师多媒体出示:
(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线　　　　. 
(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线　　　　. 
学生讨论.
教师找两名学生回答.
生甲:y=3x-2.
生乙:y=-x.
四、课堂小结
师:今天我们学习了哪些内容?
生甲:学习了一次函数和正比例函数的概念.
生乙:学习了正比例函数的性质.
师:很好,你能说说什么样的函数是一次函数、什么样的函数是正比例函数吗?
学生回答.
师:正比例函数有哪些性质呢?
教师找一名学生回答,让另一名学生补充,最后教师完善.
教学反思
本节课我给出几个例子,让学生自己去观察它们的共同点,即正比例函数的特征,锻炼他们观察、总结的能力和意识.我让学生自己动手作图,学生通过观察、分析图象来发现正比例函数的性质,增强了参与感和学习的热情,提高了类比、归纳和概括能力.在课程标准规定的几种具体函数中,一次函数是最基本的,教材中对一次函数的讨论出比较全面.正比例函数是一次函数的最简单的形式.通过一次函数的学习,学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解,从而能更好地掌握二次函数、反比例函数的学习方法.教学完后,对新教材有了一些更深的认识.









第2课时　一次函数(二)
教学目标
【知识与技能】
1.认识一次函数,掌握一次函数解析式的特点及系数的取值范围.
2.知道一次函数和正比例函数的联系和区别.
3.会画一次函数的图象.
4.理解并掌握一次函数的性质.
【过程与方法】
1.经历绘制一次函数图象的过程,类比对正比例函数的探究过程来研究一次函数的性质.
2.用数形结合的方法分析问题.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生类比对正比例函数性质的探究,画出一次函数,归纳出一次函数的性质,提高他们的类比、概括能力.
2.通过让学生积极思考、讨论来活跃课堂气氛,激发学生学习数学的兴趣,形成合作交流意识.
重点难点
【重点】
一次函数的解析式和画法,一次函数解析式与图象的联系.
【难点】
一次函数的解析式与图象的联系.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们上节课学习了一次函数的定义,你们还记得吗?
生:记得.一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.
师:同学们回答得很好.
教师多媒体出示:
已知气温随海拔高度的升高而变化,海拔每升高1km,气温下降6℃,若某地海平面的温度是15℃,设海拔高度为xkm位置的气温为y℃,求y与x之间的关系.
学生讨论后回答:y=15-6x,x≥0.你能求出海拔高度为2km个位置的气温吗?
生:能.把x=2代入y=-6x+15,得y=-6×2+15=3,所以海拔高度为2km位置处的气温为3℃.
师:对.上节课我们还学习了正比例函数,研究了它的解析式与它的图象的关系,这节课我们来看看一次函数的解析式和图象是否也有这种关系.
二、合作探究,获取新知
教师多媒体出示:
请在同一坐标系中画出y=2x和y=2x+3的图象.
教师让学生填写表格:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x
…





…
y=2x+3
…





…

　　学生填写.
师:通过填表你发现这两个函数之间有什么关系吗?
生:对于自变量x的同一个值,函数y=2x+3的值比函数y=2x的函数值大于3个单位.
师:对.现在请同学们描点、连线,看它们的图象有什么关系?
学生操作.

生甲:它们的图象是平行线.
生乙:它们之间的距离处处相等.
生丙:它们的倾斜程度相同,把y=2x的图象向上平移三个单位就得到y=2x+3的图象.
师:同学们观察得很认真.你们知道它们为什么会平行吗?
学生讨论.
师:你们再在这一直角坐标系中画出y=2x-1的图象,看看会是什么情况?
学生操作后回答:这三个图象都是直线,且互相平行.
师:它们的解析式有什么共同点呢?
生:函数自变量x前面的系数相同.
师:对.解析式y=kx+b中的k决定这条直线的倾斜程度,当两个一次函数的k值相同、b值不同时,它们的图象平行.那么b代表什么呢?当x=0时,y的值是多少?
生:b.
师:这说明了y=kx+b的图象经过(0,b)这一点,我们知道横坐标为零的点在y轴上,所以这个点是y=kx+b的图象与y轴的交点,我们把b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.现在我问大家一个问题,截距可以为0或负值吗?
学生思考,讨论.
生甲:不可以.
生乙:可以.
师:注意,截距不同于距离,截距可正可负,也可以为零.截距不同,图象与y轴的交点位置就不同.请大家指出以上三条直线的截距分别是多少?
生甲:直线y=2x+3的截距是3.
生乙:直线y=2x的截距是0.
生丙:直线y=2x-1的截距是-1.
师:大家回答得很好.
三、层层推进
师:我们知道了y=2x+3的图象可以由y=2x的图象向上平移3个单位得到,y=2x-1的图象也与y=2x的图象平行,是否也可以由它平移得到呢?
学生思考后回答:可以.
师:怎样平移呢?
生:向下平移1个单位.
师:对.所以直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到的,我们知道了平移的距离,平移的方向由什么确定呢?怎样确定呢?
学生思考.
教师提示:请同学们根据你作出的y=2x+3和y=2x-1的图象与y=2x的图象之间的关系来考虑.
生:y=2x+3的图象是由y=2x的图象向上平移3个单位得到的.
师:由此你能得到截距与y=kx+b的图象相对于y=kx的图象的平移方向之间有什么关系呢?
生:当b>0时,图象向上平移b个单位.
师:对.由y=2x-1的图象与y=2x的图象之间的关系,你能得到什么结论?
生:当b<0时,图象向下平移-b个单位.
师:很好.
四、分析图象,探索性质
师:我们在上节课正比例函数的学习中,由函数的解析式得到了它的哪些性质?
生:当k>0时,y随x的增大而增大,图象经过一、三象限;当k<0时,y随x的增大而减小,图象经过二、四象限.
师:对.一次函数是否也有这种性质呢?
教师多媒体出示:
请画出函数y=3x+1、y=-2x-3、y=x+4的图象.
学生操作.
教师多媒体出示:
x
0
2
y=3x+1
1
7
y=-2x-3
-3
7
y=x+4
4
5


师:一次函数的解析式y=kx+b(k、b是常数,k≠0)中,k的正负对图象会有什么影响呢?
学生观察图象后回答,集体纠正,得到如下结论:
当k>0时,y随x的增大而增大,图象是自左向右上升的,经过的象限中必有一、三象限;当k<0时,y随x的增大而减小,图象是自左向右下降的,经过的象限中必有二、四象限.
师:b的正负对y=kx+b的图象有什么影响呢?
学生观察分析图象后回答:当b>0时,图象与y轴的正半轴相交;当b<0时,图象与y轴的负半轴相交.
师:很好.那么k、b的正负情况结合在一起,它们的正负与图象经过的象限有什么关系呢?
教师在黑板上画出表格:
直线y=kx+b
经过的象限
b>0
b=0
b<0
k>0



k<0




　　教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
直线y=kx+b
经过的象限
b>0
b=0
b<0
k>0
一、二、三
一、三
一、三、四
k<0
一、二、四
二、四
二、三、四

　　师:我们知道了k、b的正负,就能知道直线y=kx+b经过的象限.同时也要能根据直线y=kx+b经过的象限判断k、b的正负,它们是互相对应的.
五、课堂小结
师:本节课你们学到了什么内容?
学生回答,教师补充完善.
教学反思
在本节课中,利用两个函数y=2x和y=2x+3的图象,让学生观察k值对函数图象的影响.学生看不出,我就加入一个函数y=2x-1,让他们再观察,这三个图象是互相平行的直线,它们的函数中的k值相同,这样让学生通过观察、总结规律得到结论.在总结结论时,我把图象的上升、下降情况放在它所经过的象限之前,是因为k值的正负直接决定的是图象的变化趋势,而不是经过的象限,由变化趋势我们能得到它经过哪几个象限.本节课中直线y=kx+b(b≠0)经过的象限也可由直线y=kx经过的象限和b的正负,将直线y=kx向上或向下平移得到.






















第3课时　一次函数(三)
教学目标
【知识与技能】
学会用待定系数法确定一次函数的解析式;用数形结合、看图找信息的方法求一次函数的解析式.
【过程与方法】
经历用待定系数法求解问题的过程,提高解决问题的能力;体验数形结合的思想,运用看图读信息的方法来解决问题.
【情感、态度与价值观】
通过让学生经历先设出未知数,根据题意列出方程再求解的过程,带领学生学习待定系数法,激发学生探索、总结数学方法的兴趣.
重点难点
【重点】
用待定系数法求一次函数的解析式.
【难点】
结合图象求解析式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们在前面学习了一次函数的解析式的形式,有了解析式我们可以画出一次函数的图象,可以知道它的一些性质.如果已知函数的图象或者仅仅知道函数图象上的两点,怎么求出这个函数的解析式呢?

二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
【例1】　已知一个一次函数,当自变量x=4时,函数值y=5;当x=5时,y=2.写出这个函数的解析式.
学生讨论.
师:一次函数的形式是什么?
生:y=kx+b(k、b是常数,k≠0).
师:现在我们先把这个函数的解析式设出来,再求出里面的k和b,怎么求k和b呢?将直线上的两点,也就是题中给出的两个条件代入,看能得到什么?
生:
师:这是一个二元一次方程组.你们还记得怎么解吗?
生:记得.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,最后得到:k=-3,b=17.
师:把它们代入所设的式子就得到这个函数的解析式为y=-3x+17.像这样,先设出关系式,根据条件列出方程,求解方程或方程组,解出关系式中的未知数的方法叫做待定系数法.
【例2】　已知有两个人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去,如图反映的是这两个人行驶过程中的时间和路程的关系,请根据图象回答下列问题:

(1)甲地与乙地相距多少千米?两个人分别用了几小时才到达乙地?谁先到达乙地?早到多长时间?
(2)分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态.
(3)求摩托车行驶的平均速度.
师:请同学们思考这几个问题.
思路点拔:两人行驶的路程s是时间t的函数,从图象可以看出骑自行车的先出发而后到达乙地,行驶的路程都是100千米.
教师找学生回答,并集体订正.
解:(1)甲地与乙地相距100千米,两个人分别用了2小时(骑摩托车)、6小时(骑自行车)到达乙地,骑摩托车的先到乙地,早到了1小时.
(2)骑自行车的先匀速行驶了2小时,行驶40千米后休息了1小时,然后用3小时到达乙地.骑摩托车的在自行车出发3小时后出发,行驶2小时后到达乙地.
(3)摩托车行驶的平均速度是50千米/时.
三、练习新知
教师多媒体出示:

请同学们根据这个图象写出这条直线所代表的一次函数的解析式.
学生讨论.
教师提示:由图象我们能看出图象经过了哪两个点?
生:(5,0)和(0,2)这两点.
教师找一名学生板演,其余学生在下面做,然后集体订正.
解:设这个一次函数的解析式为y=kx+2,因为函数图象经过(5,0)点,所以有5k+2=0,k=-.
∴一次函数的解析式为y=-x+2.
四、课堂小结
师:这节课我们学习了什么内容?
学生回答,教师补充完善.
教学反思
在看图读信息时,若截距b已知时,我们可以直接设成y=kx+b,其中的b就是截距,然后求出k即可.这点提示让学生能对特殊情形找出简便方法,不拘泥于一种方法.本节课用师生共同探究的方法来唤起学生的参与意识,培养学生的合作能力和自主学习能力.在例题讲解中以问题串的形式让不同的学生都能有所收获,有所成功,这也充分体现了新课程教学面向全体学生,让不同的学生在学习上都能得到发展的目的.






















第4课时　一次函数(四)
教学目标
【知识与技能】
学会用待定系数法求一次函数的解析式来解决实际问题,建立实际问题的函数模型.
【过程与方法】
经历对实际问题建立数学模型的过程,体验待定系数法的作用和一次函数模型的价值.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生经历用一次函数来解决实际问题、建立实际问题的函数模型的过程,使他们感受到数学的用途和与生活的紧密联系.
2.让学生参与到教学活动中,提高学习数学及运用数学的积极性.
重点难点
【重点】
用一次函数知识来解决实际问题.
【难点】
建立实际问题的数学模型.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们在上节课学习了待定系数法,大家还记得是怎么用的吗?
生:设出解析式,然后把已知点的坐标代入,解方程或方程组,解得系数值,进而得到解析式.
师:很好!我们这节课就用它来解决一些实际问题.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示.
【例】　为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8m3时,每立方米收取1元外加元的污水处理费;超过8m3时,超过部分每立方米收取元外加元的污水处理费.设一户每月用水量为xm3,应缴水费y元.
(1)给出y关于x的函数关系式.
(2)画出上述函数图象.
(3)该市一户某月若用水量为x=5m3或x=10m3时,求应缴水费.
(4)该市一户某月缴水费元,求该户这月用水量.
师:你能写出y与x的函数关系式吗?
学生讨论后回答.
生:用水量超过8m3时与不超过8m3时计算方法是不同的,所以要分类讨论.当不超过8m3时,每立方米收费为(1+元;当超过8m3时,超过部分每立方米收费+元.
教师提示:应分段表示,我们把这样的函数叫做分段函数,各个函数要注明取值范围.
师:应该怎样分情况讨论呢?
学生思考,讨论.
师:用水量不超过8m3和超过8m3时的收费方法是不同的,但是应怎样分段呢?
生:分为0≤x≤8和x>8两段.
师:哪位同学能写出这两种情况下的函数解析式?
学生举手.
教师找一名学生板演,然后集体订正得到:
y=
师:很好!你们能画出它的图象吗?
生:能.
教师找一名学生板演,其余同学在下面画,最后讨论纠正得到:

师:若一户某月的用水量为5m3,你怎样求他应该缴多少水费?
生:因为5<8,所以把x=5代入第一个式子.
师:对,你们求一下是多少?
学生计算后回答.
师:若一用户缴了元的水费,你能算出这户人家的用水量吗?
生:能.
师:你是怎样计算的?
生:因为>×8,所以用水量超过了8m3,把y=代入第二个式子,求出x.
师:对,现在请大家具体算一下.
学生计算后回答.
生:解得x=14,即这户本月用水14m3.
三、练习新知
教师多媒体出示:
小明步行离开家去上学,开始的速度是s,10分钟后发现快迟到了,加快了速度,以s的速度用5分钟走完了剩余的路程到达学校.
(1)求小明家离学校的大致距离和小明走路的平均速度.
(2)请用函数图象描述小明走路的过程.
教师引导学生思考、交流,然后找一名学生板演,其余同学在下面做,订正得到:
距离应为×10×60+×5×60=360+360=720(m),平均速度为720÷[(10+5)×60]=720÷900=(m/s).
教师多媒体出示图象:

其中,x表示小明离开家的时间,y表示小明离家的距离.
四、课堂小结
师:本节课我们学习了什么内容?
学生回答,教师总结:
1.知道分段函数的概念与特征.
2.会作分段函数的图象.
3.对于实际问题,初步了解如何根据函数解析式和图象描出它的现实意义.
教学反思
本节课介绍了分段函数,分段函数在实际生活中经常用到,因为一个函数不是在所有的自变量可以取到的范围内可以通用,所以经常需要对自变量的范围分段讨论对应的函数.分段函数的画法就是分别画出各个适用范围的一段.通过本节课的学习让学生进一步理解自变量的取值范围的意义,在做题特别是解应用题时养成分情况讨论的习惯和意识.















第5课时　一次函数(五)
教学目标
【知识与技能】
1.认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.
2.会用图象法解一元一次不等式和一元一次方程,会用数形结合的思想方法解决问题.
【过程与方法】
1.经历探索、思考等教学活动和思维过程,发展学生的合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述观点.
2.让学生体验并掌握数形结合的思想和解决问题的方法,提高解决问题的能力.
3.体会解决问题的多种途径,发散学生的思维.
【情感、态度与价值观】
在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神,增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣.
重点难点
【重点】
理解一次函数的图象与一元一次不等式、一元一次方程的关系,运用此关系求解问题.
【难点】
理解一元一次不等式、一元一次方程的图象解法.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:你会解一元一次方程-2x+8=0吗?
生:会,x=4.
师:我们现在看一次函数y=-2x+8.当x取什么值时,y为0?
生:当x=4时,y=0.
师:这个函数当x=4时,y=0,也就是这个函数的图象与x轴的交点坐标为(4,0),与x轴交点的横坐标为4.这个4一方面是方程的解,另一方面又是一次函数与x轴交点的横坐标,它们的数值是相同的,会不会是巧合,还是确实有联系?我们这节课就来研究这个问题.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
1.解方程:2x+6=0.
2.已知一次函数y=2x+6,问x取什么值时,y=0?
师:这两个问题有什么关系呢?
学生讨论后回答:第二个问题中,y=0,也就是2x+6=0时,就成了第一个问题,所以它们的实质是一样的.
师:大家回答得非常好!请大家画出y=2x+6的图象,看方程2x+6=0的解与这个图象又有什么关系.
学生作图,教师巡视指导.
教师多媒体出示:

生:方程的解等于图象与x轴交点的横坐标.
师:对.因为任何一个一元一次方程都可以写成y=kx+b的形式,所以解一元一次方程kx+b=0都可以转化成求函数y=kx+b中y=0时x的值,从图象上看,就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标.
三、层层推进,深入探究
师:根据上面你们画出的y=2x+6的图象,你能说出一元一次不等式2x+6>0与2x+6<0的解集吗?
学生合作交流
生:当2x+6>0时就是一次函数y=2x+6中y的值大于0,而y>0在坐标平面上表现的就是图象在x轴上方.
师:同学们回答得很好!那么x在什么范围时,图象在x轴的上方呢?
生:因为图象与x轴的交点坐标是(-3,0),由图象知,当x>-3时,y>0,即2x+6>0的解集是x>-3.
师:2x+6<0的解集呢?
生:它对应的是图象在x轴下方的部分,当x<-3时,图象在x轴下方,所以2x+6<0.
师:谁能总结一下呢?
生:一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解集,就是使一次函数y=kx+b取正值(或负值)时x的取值范围.
师:很好!从图象上看,kx+b>0的解集就是使直线y=kx+b位于x轴上方的部分相应的x的取值范围;kx+b<0的解集就是使直线y=kx+b位于x轴下方的部分相应的x的取值范围.
四、例题讲解
【例】　画出函数y=-3x+6的图象,结合图象:
(1)求方程-3x+6=0的解.
(2)求不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集.
解:(1)画出函数y=-3x+6的图象,如图所示,图象与x轴交点B的坐标为(2,0).
所以,方程-3x+6=0的解就是交点B的横坐标:x=2.
(2)结合图象可知,y>0时x的取值范围是x<2;y<0时x的取值范围是x>2.
所以,不等式-3x+6>0的解集是x<2,不等式-3x+6<0的解集是x>2.

五、课堂小结
师:今天你学到了什么新的内容?还有哪些疑问?
学生回答,教师补充完善.
教学反思
在导入课题时,我让学生解一元一次方程和一元一次不等式,他们不理解为什么让他们做这些七年级的题目,讲到后面时他们豁然开朗,为自己的发现欣喜不已.在学习了本节课后,我带领他们用数形结合的方法探索并归纳了一次函数的图象与一元一次方程、一元一次不等式的关系,一元一次方程、一元一次不等式的图象解法,使学生初步认识到了这些知识的关联.
















　一次函数与二元一次方程
教学目标
【知识与技能】
1.学会用函数图象来解二元一次方程组.
2.通过学习,了解方程组的解在坐标平面内的意义.
【过程与方法】
1.经历探索、思考等教学活动和思维过程,发展学生的合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述观点.
2.让学生体验数形结合的思想和解决问题的方法,提高解决问题的能力.
3.体会解决问题的多种途径,发散学生的思维,发展学生的创新能力和实践能力.
【情感、态度与价值观】
在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神,增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣.
重点难点
【重点】
用图象法解二元一次方程组.
【难点】
归纳用图象法解二元一次方程组的具体步骤.
教学过程
一、创设情境,导入新知
教师多媒体出示:
方程3x+2y=6的解有多少个?你能画出以这个方程的解为坐标的所有点组成的图形吗?
师:你能将方程3x+2y=6化成一次函数的形式吗?
生:能.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,最后订正得到方程3x+2y=6的一次函数形式是y=-x+3.
师:对于这个函数,前面我们讲过它的图象的画法,在画它的图象时,我们取两个满足这个关系式的点,但是不是上面的其余的点的坐标代入这个方程也是成立的呢?
学生思考.
教师多媒体出示:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x+3
…









　　学生填表.
师:对于表中每一对x、y的值代入方程3x+2y=6都成立,所以每组有序数对都是方程3x+2y=6的解.可见,二元一次方程3x+2y=6有无数多组解,以这些有序数对为坐标,请同学们在坐标平面内描点作图,就能得到二元一次方程3x+2y=6对应的函数图象.
学生描点作图,教师指导.
教师多媒体出示:

学生纠正.
师:由上可知,二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数y=-x+3的图象,它是一条直线.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
1.在平面直角坐标系内画出下列二元一次方程对应的图象:(1)x+y=0;(2)3x+y=6;(3)4x-5y+10=0.
师:我们平时画的是形如y=kx+b的一次函数的图象,对于上面这三种形式的图象应怎样画呢?
生:把它变成y=kx+b的形式,然后根据一次函数图象的画法来画.
师:很好!有没有其他方法来作出这些二元一次方程的图象呢?
生:不用变形,直接找出这条直线上两点的坐标.
师:你怎样找出这条直线上的两点呢?
生:对x取两个不同的值x1、x2分别代入等式,求出相应的两个y1、y2的值,这样得到的(x1,y1)(x2,y2)就是直线上不同的两点.
师:很好,现在请同学们从以上我们讨论得到的两种方法中选择一种作图.
学生作图,教师巡视指导,最后集体订正得到:
(1)x+y=0对应的函数图象为:

(2)3x+y=6对应的函数图象为:

(3)4x-5y+10=0对应的函数图象为:

2.下列有序数对,哪些是二元一次方程3x+y=6的解?
A(3,-3),B(6,-10),C(-3,15).
师:请大家判断一下.
生:A、C是,B不是.
师:对,你是怎样判断的呢?
生:把(3,-3)代入方程左边得3×3+(-3)=6,右边=6,左边=右边,所以A点的坐标是方程3x+y=6的解.把(6,-10)代入方程左边得3×6+(-10)=8,与方程右边不等,所以B点的坐标不是此方程的解.把(-3,15)代入方程左边,得3×(-3)+15=6,与方程右边相等,所以C点的坐标是此方程的解.
三、层层推进,深入探究
师:一般地,任何一个二元一次方程都可转化为一次函数的形式,所以每个二元一次方程的图象都是一条直线,这样,解二元一次方程组就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了.现在请大家建立一个直角坐标系,并在这个坐标系中画出方程x+2y=2的图象l1与方程2x-y=-6的图象l2.
学生作图,教师巡视指导,要求作图要精确,因为图象的精确性直接影响结果.
师:它们是否交于一点?
生:是.
师:这个交点的坐标是多少?
生:(-2,2).
师:请大家检验一下它是否是方程组的解.
学生检验后回答:是.
师:为什么呢?
生:直线l1是方程x+2y=2的图象,因此,直线l1上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解;同理,直线l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解.所以直线l1与l2的交点P的坐标是方程x+2y=2与2x-y=-6的公共解,也就是说,这个交点的坐标是二元一次方程组的解.
师:请同学们利用图象法解方程组
学生作图求解后回答,教师订正.
师:由上面的过程我们能总结出用图象法解二元一次方程组是这样一个过程:先在同一平面直角坐标系内画出每一个二元一次方程对应的直线,这两条直线若相交,其交点的坐标就是方程组的解.但是,二元一次方程组确定的两条直线是否必定会相交于一点呢?我们看看下面这个例子.
四、深入探究,强化理解
师:请同学们用图象法解方程组
学生作图.
师:你们作出的两个方程图象有什么关系?
生:两条直线互相重合.
师:这意味着什么呢?
学生小组讨论.
生:说明直线上每一个点的坐标都是原方程组的解,所以原方程组有无穷多组解.
师:对.大家再用图象法解这个方程组你们又有什么发现?
学生作图.
生:两条直线平行,它们没有交点.
师:这代表什么呢?
学生小组讨论.
生:这个方程组无解.
师:很好!通过上面几个例子和练习,我们可以得到二元一次方程组的解有三种情况.我们把方程组化成标准形式后,你比较一下两个方程中x的系数、y的系数与常数项的比,看它们的比值之间的关系对图象、方程组的解有什么影响?
学生讨论,教师参与.
生甲:如果x的系数之比与y的系数之比不相等,则两直线有一个交点,方程组有一组解.
生乙:如果x的系数之比与y的系数之比相等,但与常数项的比不等时,两直线没有交点,方程组无解.
生丙:如果x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者都相等,则两直线重合,方程组有无穷多组解.
师:同学们总结得很好.
教师板书得到的结论.
五、迁移巩固
师:请同学们把第53页练习做一下.
学生做题,然后集体订正.
(1)≠,所以方程组有一组解;
(2)原方程组可变形为
==,所以方程组有无数多组解;
(3)=≠,所以方程组无解:
(4)第二个方程可变形为:x-y=0.
≠,所以原方程组有一组解.
六、课堂小结
师:今天我们学习了什么内容?
生甲:学习了用图象法解二元一次方程组.
生乙:还学习了怎样根据二元一次方程组中的两个方程的系数关系判断方程组解的个数.
师:同学位回答得很好!你能说说怎样根据两个方程系数的关系来判断方程组解的个数吗?
学生回答,教师补充完善.
教学反思
通过本节课的学习,学生掌握了用图象法求解二元一次方程组的方法,这是用图象法解方程、不等式的延伸.学生通过观察、总结,自己得到怎样由x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者之间的关系与方程组的解的数量之间的联系,总结出规律,让他们享受探索求真的乐趣,培养发现问题、解决问题的能力.能力的培养,特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点,能力培养是以自主探究为平台.“自主”不是一盘散沙,“探究”不是漫无边际,要提高探究的质量,必须在教师的引导下进行.






















　综合与实践——一次函数模型的应用
教学目标
【知识与技能】
熟练运用一次函数知识建立实际问题的数学模型,提高解决实际问题的能力.
【过程与方法】
经历活动过程,让学生认识数学在现实生活中的用途,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
【情感、态度与价值观】
1.体会数学与生活的联系,了解数学的价值,加深对数学的理解和认识.
2.认识到数学是解决实际问题的重要工具,了解数与形的联系以及事物之间的关联.
重点难点
【重点】
根据题意写出函数关系式,建立实际问题的数学模型.
【难点】
运用一次函数解决实际问题.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:这一章我们在前面都学习了哪些内容?
生:在前面我们学习了一次函数的形式和画法,也学习了一次函数与二元一次方程的联系,学习了用一次函数的图象解二元一次方程组.
师:很好!这节课我们用这些知识来解决实际问题,学以致用.
二、共同探究,获取新知
【例】　奥运会每4年举办一次.奥运会的游泳成绩在不断地被刷新,如男子400m自由泳项目,1996年奥运冠军的成绩比1960年的提高了约30s.下面是该项目冠军的一些数据:
年份
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
2008
冠军成绩/s









　　根据上面的资料,能否预测2012年奥运会时该项目的冠军成绩?如何解决这个问题?
分析:题中给出的数据是每4年一次奥运会上男子400m自由泳的冠军成绩.如果设x表示1980年起举办奥运会的年份,y表示相应年份奥运会上男子400m自由泳的冠军成绩,那么,对于每个x、y有唯一确定值与之对应.这样,要估算2012年这项运动的冠军成绩,设法求出变量y与x的关系式是关键.
解:1.以1980年为零点,举办奥运会的年份的x值为横坐标、相应的y值为纵坐标,在坐标系中描出这些数据的点,如图:

2.观察图中描写的点的整体分布,它们基本上在一条直线附近波动.因此,y与x之间的关系可以近似地以一次函数去模拟,即设y=kx+b.
这里,我们选择点(0,及点(6,的坐标代入y=kx+b中得解方程组,得k=,b=.所以一次函数的解析式为
y=+.
=8代入上式,得
y=+=(s).
所以估计2012年奥运会男子400m自由泳冠军成绩约是.
师:通过上面的学习,我们可以知道建立两个变量之间的函数模型的具体步骤如下:
(1)将实验得到的数据在直角坐标系中描出;
(2)观察这些点的特征,确定选用的函数形式,并根据已知数据求出具体的函数表达式;
(3)进行检验;
(4)应用这个函数模型解决问题.
三、练习新知
教师多媒体出示:
某单位有职工几十人,想在节假日期间组织到外地H处旅游.当地有甲、乙两家旅行社,它们服务质量基本相同,到H地旅游的价格都是每人100元.经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后,给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社,使其支付的旅游总费用较少?
学生小组讨论.
师:假设该单位参加旅游的人数为x,按甲旅行社的优惠条件,应付费用多少元?
生:80x元.
师:按乙旅行社的优惠条件,应付费用多少元?
生:(60x+1000)元.
师:那么“选择哪个旅行社,使其支付的旅游总费用较少”的问题就转化成了什么问题?
生:转化成了“80x和60x+1000哪个式子的值小”的问题.
师:很好!那我们怎么比较它们的大小呢?
生:记y1=80x,y2=60x+1000,在同一直角坐标系内作出两个函数的图象,x的值相同时,y的值小的那部分的费用就低.
师:现在请大家在方格纸上建立坐标系,画出两个函数的图象并观察图象,看能得到什么结论.
学生作图,教师巡视指导,最后得到:

学生观察图象后作答:
当人数为50时,选择甲或乙旅行社费用都一样;
当人数小于50时,选择甲旅行社费用较少;
当人数大于50时,选择乙旅行社费用较少.
师:同学们回答得很好.还有没有其他的方法呢?
生:还可以这样做.设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y,则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000,画一次函数y=20x-1000的图象,由y的正负来判断y1与y2的大小.
师:现在请同学们画出这个图象,然后观察图象作答.
学生作图,得到:

学生观察图象后回答:
当x=50时,y=0,即y1=y2;
当x>50时,y>0,即y1>y2;
当x<50时,y<0,即y1 师:很好.
四、课堂小结
师:你今天学习了什么内容?
学生回答,教师补充完善.
教学反思
本节课我给出了一个生活中的例子,让学生来解决.学生各自发挥自己的能力,用自己的办法来解决问题,锻炼学生的主动性和积极性.我鼓励他们说出自己的意见,锻炼他们的语言表达能力.在大家的讨论中,加深学生对一次函数和一次函数的意义的理解.这节课涉及了用解析式表达函数之间的关系和由函数图象比较两个函数值的大小等知识,这是对学生函数应用能力和观察能力的考察和锻炼.
第13章　三角形中的边角关系、命题与证明
　三角形中的边角关系
第1课时　三角形中的边角关系(一)
教学目标
【知识与技能】
1.认识三角形,理解三角形的边角关系.
2.知道三角形的高、中线、角平分线等概念,并能作出三角形的一边上的高.
3.理解等腰三角形及其相关概念.
【过程与方法】
1.经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.
2.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.
【情感、态度与价值观】
1.带领学生探究三角形的边角关系问题,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲.
2.帮助学生树立几何知识源于生活并服务于生活的意识.
重点难点
【重点】
理解并掌握三角形的三边关系.

【难点】
已知三条线段能构成三角形,求表示线段长度的代数式中字母的取值范围.
教学过程
一、创设情境,导入新知
教师多媒体出示:
教师把事先收集的与三角形有关的生活图片运用多媒体播放,让学生对三角形有一个感性认识,如图所示.

教师活动:通过播放图片,引导学生认识三角形,并提出:图(b)中能找出几个三角形,这些三角形具有怎样的特性?
学生活动:回顾小学学过的三角形,与同桌交流,找出图(b)中的三角形.
教师归纳:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形.
教师多媒体出示:

师:你能指出这个三角形的顶点有几个吗?分别是什么?
生:这个三角形的顶点有三个,分别是A、B、C.
师:这个三角形的边呢?
生:边有三条,分别是AB、BC和CA.
师:对.我们把这个三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示.如边AB对着∠C,记作c;边BC对着∠A,记作a;边CA对着∠B,记作b.也就是说,一边可用两个大写字母或一个小写字母表示,角可用“∠”加上一个大写字母表示.
师:按边分类时,你知道的都有哪些三角形?
生:等边三角形.
师:等边三角形是三条边都相等的三角形.如果不是三条边都相等,比如两条边相等,这类三角形叫什么三角形呢?
生:等腰三角形.
师:对,等边三角形是等腰三角形的特例.如果三条边都不相等呢?
学生思考.
师:我们把这类三角形叫做不等边三角形.
教师多媒体出示:

教师板书:
三角形(按边分)

师:在等腰三角形中,你能区分哪条边是腰,哪条边是底吗?
生:相等的两边叫做腰,第三边叫做底边.
师:对.我们现在再来认识一下顶角和底角.两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.
二、共同探究,获取新知
师:请大家任意画出一个三角形,用刻度尺测量一下,并说说任意两边之和与第三边的关系.
学生操作.
生:任意两边之和大于第三边.
师:对,你有没有其他的方法来证明三角形的任意两边之各大于第三边呢?
生:由所有两点之间的连线中线段最短得到.
教师板书:
三角形中任何两边的和大于第三边.
师:对.根据不等式的性质,我们能得到三角形中任意两边的差小于第三边.(教师板书)如果三条线段要构成一个三角形,它们就要满足这两个条件,但是在实际计算中,需要验证六个不等式都成立吗?
学生思考,讨论.
师:不等式a+b>c,你把a移到不等式的右边,这个不等式如何表示?
生:b>c-a.
师:对,也就是c-a 学生思考.
生甲:同样的道理,由两个三角形两边之和大于第三边,可以得到两个三角形两边之差小于第三边.
生乙:我们只要验证“三角形中任何两边的和大于第三边”和“三角形中任何两边的差小于第三边”,因为第二个条件由第一个得到,所以我们只要满足第一个条件即可.下面请大家看一个例题.
教师多媒体出示:
【例】　等腰三角形中,周长为18cm.
(1)如果腰长是底边长的2倍,求各边长;
(2)如果一边长为4cm,求另外两边长.
师:请同学们思考后回答.
生:设等腰三角形的底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据题意,得
x+2x+2x=18,解方程得x的值,即底边长,然后求出腰长.
师:当已知一边长为4cm,但并未指明它是腰还是底时,应该怎么求另外两边的长呢?
生:要分4cm是腰长和底边长两种情况来讨论.
师:对.还要注意对得到的三条线段能否构成一个三角形进行讨论.
教师找两名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:(1)设等腰三角形的底边长为 xcm,则腰长为2xcm.根据题意,得
x+2x+2x=18.
解方程,得
x=.
所以三角形的三边长分别为、、.
(2)若底边长为4cm,设腰长为xcm,则有
2x+4=18.
解方程,得
x=7.
若一条腰长为4cm,设底边长为xcm,则有
2×4+x=18.
解方程,得
x=10.
因为4+4<10,所以,以4cm为一腰不能构成三角形.
所以,三角形的另外两边长都是7cm.
三、练习新知
师:请同学们判断用下列长度的三条线段能否组成一个三角形.
(1)1cm、2cm、3cm;
(2)2cm、3cm、4cm;
(3)4cm、5cm、6cm;
(4)5cm、6cm、10cm.
教师找四名同学回答,然后集体订正.
师:同学们可以总结出判断三条线段能否构成一个三角形的简便方法吗?
以题(2)为例,根据三角形任意两边的和大于第三边,我们要作几个判断?
生:三个.
师:哪三个?
生:2+3>4,2+4>3,3+4>2.
师:你能不能用一个判断的结果得到这三条线段能否构成三角形?
生:……
师:2+4一定大于3,3+4一定大于2,因为长度为4的这一条边长已经大于3了,同样的长度为3或4的一条边长已经大于2了.
生:只要看最长的一边是否小于其他两边之和.
师:很好.
四、课堂小结
师:今天我们又学习了什么内容?
生:我们学习了三角形的分类,等腰三角形的底边和腰,三角形三边的关系等.
教师补充完善.
教学反思
通过本节课的学习,使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并让学生知道怎样判断三条线段是否能构成三角形.在判断三条线段能否构成三角形时,我们不对任意两边之和是否大于第三边、任意两边之差是否小于第三边一一验证,因为后面的式子可由前面的变形得到.事实上,只要看最长的一边是否小于其他两边之和即可,因为当这个条件成立时,其他的两边之和大于第三边的式子也成立.通过这些方法的探讨使学生养成积极思考、简化计算的习惯.






第2课时　三角形中的边角关系(二)
教学目标
【知识与技能】
1.掌握三角形的内角和定理.
2.能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题.
【过程与方法】
经历实验探究,得出三角形的内角和定理.
【情感、态度与价值观】
1.通过带领学生探究三角形的角的数量关系,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲.
2.发展学生的合情推理能力,使学生养成独立思考的习惯.
重点难点
【重点】
三角形的内角和定理.
【难点】
三角形内角和定理的证明过程.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们把三角形按边来分类,并研究了三角形三边之间的关系,同学们还记得三角形的三边之间是什么关系吗?
生:记得.三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
师:对.那么如果按角来分类呢?
生:分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
师:你能说说它们分别是怎样定义的吗?
生:能.三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
师:在介绍等腰三角形时,我们对它的边进行了区分,分为腰和底边.直角三角形中,我们怎么对它的边长加以区分呢?
生:直角三角形中夹直角的两边叫做直角边,直角相对的边叫做斜边.
师:对.我们分别给它们取一个名字,这样以后就容易指出了.直角三角形可以写成“Rt△ABC”,我们把不是直角三角形的归为一类,称为斜三角形,所以斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形.
二、共同探究,获取新知
师:我们再回忆一下,在一个三角形中三个内角之间有什么关系?
生:三角形的三个内角和是180°.
师:你还记得在小学时,我们是怎样知道这个关系的吗?
生:用折叠和剪拼的方法得到的.
师:好.请同学们拿出一张纸,画出一个三角形,并将它剪下来.
学生交流讨论后操作.
师:将纸片三角形的一角折向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行,然后把另外两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点嵌合.
学生操作.
教师多媒体出示:

师:这样我们就得到了什么结论?
生:三角形的内角和是180°.
教师多媒体出示:

师:现在请同学们自己用剪拼的方法证明一下,看你们能不能得到这样的结果.
学生操作.
生:能得到同样的结论:三角形的内角和是180°.
师:很好!你们还有什么方法来证明这个结论吗?
生:用量角器量.
师:对,你们在纸上画出一个三角形,然后用量角器量它的三个内角,看它们有什么关系?
学生操作后回答.
师:同学们思考一下一个三角形中最多有几个钝角?
学生计论后回答:一个.
师:你是怎样得出的结论?
生:因为一个三角形的内角和是180°,钝角是大于90°的角,若有两个钝角,三个内角的和就超过180°了,所以至多有一个钝角.
师:最多有几个直角呢?
生:一个.
师:为什么呢?
生:与钝角情况类似,若有两个直角,它们的和就已经是180°了,再加上第三个角的度数,内角和就超过180°了.
师:你分析得很好!
三、巩固练习,加深理解
教师多媒体出示:
【例】　已知:如图所示,△ABC中,BD⊥AC,垂足为D,∠ABD=54°,∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.

师:怎么求∠A的大小?把它看作哪个三角形的内角求?
生:∠A是△ABD的内角,因为BD⊥AC,所以∠BDA=90°,∠ABD的度数已知,所以用三角形的内角和定理就可以求出∠A的大小.
师:很好!∠C的度数怎么求呢?把它作为哪个三角形的内角来求呢?
生:可以放在△ABC中求,也可以放在△DBC中求.
师:对.当∠C作为△ABC的内角时怎么求呢?
生:∠A+∠ABD+∠DBC+∠C=180°,所以∠C=180°-∠A-(∠ABD+∠DBC),然后把各个角的度数代入即可.
师:当∠C作为△DBC的内角时怎么求呢?
生:因为BD⊥AC,所以∠BDC=90°,∠BDC+∠DBC+∠C=180°,所以∠C=180°-∠BDC-∠DBC,然后把各角的度数代入即可.
教师板书计算过程.
解:由于BD⊥AC,(已知)
所以∠ADB=∠CDB=90°.
在△ABD中,
∠A+∠ABD+∠ADB=180°,(三角形的三个内角和等于180°)
∠ABD=54°,∠ADB=90°,(已知)
∠A=180°-∠ABD-∠ADB
=180°-54°-90°=36°.
在△ABC中,
∠C=180°-∠A-(∠ABD+∠DBC)
=180°-36°-(54°+18°)=72°.
四、课堂小结
师:我们今天学习了什么内容?
学生回答,教师补充完善.
师:你还有什么疑问吗?
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课学生通过自主探索、合作交流、认真探究,从而证明出三角形的内角和等于180°,并按照“探究性学习方式”的三个层次要素设计学生的学习过程:“回忆旧知、引入新知”,“分析交流、探索规律”,“学以致用、提高能力”,使整节课既有规律性又有艺术性.教学过程中,不浪费任何一个促使学生动手操作、实践获得真知的机会,以师生互动、生生互动使学生主动自觉地发现结果,找到方法,培养学生的操作、观察,分析能力和思维的全面性.
























第3课时　三角形中的边角关系(三)
教学目标
【知识与技能】
1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线.
2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
【过程与方法】
经历探究三角形的高、角平分线、中线的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.
【情感、态度与价值观】
1.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.
2.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识.
重点难点
【重点】
三角形的三条高、中线和角平分线的画法.
【难点】
钝角三角形三条高的画法.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们在上节课把三角形按角进行了分类,我请几个同学回答一下什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形.
生甲:在三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.
生乙:在三角形中,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
生丙:在三角形中,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
师:很好!我们上节课学习了一个重要的定理,大家还记得吗?
生:记得.三角形三个内角的和等于180°.
师:很好!这节课我们继续学习三角形的有关知识.
二、共同探究,获取新知
师:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此之外,同学们通过预习,知道它还有什么元素吗?
生:角平分线.
师:什么是角平分线呢?
生:三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
师:还有什么元素?
生:中线.
师:什么是中线呢?
生:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.
师:还有什么元素呢?
生:高.
师:什么是高呢?
生:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.
学生熟记定义.
师:你能根据这些线的定义作出这些线吗?
生:能.
师:现在请大家画一个三角形,并作出各个角的平分线.
学生操作,教师巡视.
教师在黑板上演示画一个角的平分线.

∠1=∠2,BD是∠ABC的平分线.
师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条中线.
学生操作,教师巡视.
教师在黑板上演示画一条中线.

BD=DC,AD是BC边上的中线.
师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条高.
学生操作,教师巡视.
教师在黑板上演示画三种类型的三角形的一条高线.

锐角三角形BC边上的高

直角三角形BC边上的高

钝角三角形BC边上的高
师:你能用折叠的方法作出一个角的平分线吗?
学生思考,交流.
生:能.
师:你是怎样做的?
生:先作出一个三角形,把它裁剪下来,我折叠要平分的这个角使它的两边重合,这样得到的折痕与这个角的对边有一个交点,连接这个角的顶点与这个交点得到的线段就是这个三角形的角平分线.
师:你太聪明了.大家现在都知道怎么作的吗?
生:知道.
师:那么请同学们动手做一做.
学生操作.
师:你能用折叠的方法作出三角形的一条中线吗?
学生思考,交流.
生:能.
师:你是怎么做的?
生:要作出三角形一边上的中线,我折叠这条边,使其两端点重合,折痕与这条边的交点,就是这条边的中点.连接这条边所对角的顶点与这个中点,所得的线段就是这条边上的中线.
师:现在请大家动手作出中线.
学生操作.
师:你能用折叠的方法作出三角形一边上的高吗?
学生讨论.
生:过这边所对角的顶点折叠三角形,使这条边的两段重合,这样就得到了三角形的高.
师:很好,请大家动手做一做.
学生操作,教师巡视指导.
三、作图练习,理解定义
师:三角形的角平分线的定义给出了角平分线的作法,请同学们在纸上画出一个三角形,并根据角平分线的定义,画出三个角的平分线.
学生操作,教师巡视指导.
师:请同学们再画出一个三角形,然后根据中线的定义,作出中线.
学生操作,教师巡视指导.
师:请同学们完成教材上“操作”的第1题.
学生操作,教师巡视指导,最后集体订正.
师:直角三角形的高中,有两条和边重合;钝角三角形的高中,有两条在三角形的外部.请同学们观察一下,你们作出的三条角平分线、三条中线和三条高,它们有什么特点?
生甲:三条角平分线交于一点.
生乙:三条中线交于一点.
生丙:三条高交于一点.
师:很好!之前学过的说明三角形意义的语句、本节中说明三角形角平分线意义的语句:“不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形”,“三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线”,分别是三角形、三角形角平分线的定义.七年级时我们也学过一些定义,如“整数和分数统称为有理数”是有理数的定义.前两个定义揭示了对象的特征性质,后一个定义明确了所指对象的范围.给出定义,就是在于明确研究对象是什么.
四、课堂小结
师:本节课我们学习了什么内容?
生:我们学习了三角形的角平分线、中线和高的定义以及画法.
师:对,我们由作图过程知道了三角形的三条角平分线、三条中线和三条高是交于一点的.
教学反思
本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形三个角的平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的这些线是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.通过实际动手得到的结论,他们的印象会更深刻,理解更透彻.这节课所讲授的三种线段中的两种,即三角形的角平分线和高线都是建立在以往旧知识的基础上的,学生对这两种线段已经有了一定的认识,学习起来更容易.强调三角形中的三种线是“线段”,而不是以往的“射线”.














　命题与证明
第1课时　命题与证明(一)
教学目标
【知识与技能】
1.理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念.
2.会判断一个命题的真假,能区分公理、定理和命题.
3.理解证明的含义,体验证明的必要性和数学推理的严密性.
【过程与方法】
1.通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑推理能力.
2.根据命题的证明需要,要求学生画出图形,写出已知、求证,训练学生将命题转化为数学语言的能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.
2.让学生积极参与数学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲,让学生认识数学与人类生活的密切联系,提高学生学习数学的积极性.
重点难点
【重点】
学习命题的概念和命题、公理、定理的区分.
【难点】
严密完整地写出推理过程.
教学过程
一、创设情境,导入新知
教师多媒体出示:
有一根比地球赤道长1m的铜线将地球赤道绕一圈,想一想,铜线与地球赤道之间的空隙有多大?能放进一颗枣吗?能放进一个苹果吗?
学生交流讨论后回答.
生甲:都放不进去.
生乙:枣能放进,苹果放不进.
生丙:都能放进.
师:我们现在用这个式子来算,设赤道的长为C,则铜线与地球赤道之间的间隙是-=≈(m),可见,枣和苹果都能放进去.通过这个例子,你们受到了什么启发?
生:有些东西想象的或感觉的不一定可靠,要具体分析.
师:对,我们要做到有理有据.
上一节研究三角形的性质时,我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是180°,但对这种方法,有的同学提出这样的疑问:
在剪拼时,发现三个内角难以拼成一个平角,只是接近180°的某个值;
度量三个角,然后相加,不一定能准确地得到180°.
这两种情况怎么解释呢?
学生思考、交流、讨论.
师:是这样的,研究几何图形时,从观察和实验得到的认识,有时会有误差,难以使人确信其结果一定正确.因此,就得在观察的基础上有理有据地说明理由,这就是说,要判断数学命题的真假,需要做必要的逻辑推理.
二、共同探究,获取新知
师:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断.
教师多媒体出示:
(1)长江是中国第一大河;
(2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等;
(3)2+3≠5;
(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.
教师找一名学生回答,然后集体订正.
师:在逻辑学中,凡是可以判断出真(即正确)、假(即错误)的语句叫做命题.上面的(1)、(2)、(4)都是正确的命题,我们称之为真命题;(3)是错误的命题,我们称之为假命题.如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断,那么它就不是命题,比如感叹句、疑问句、祈使句等.
教师多媒体出示:
(1)请关上窗户;
(2)你明天骑车来上学吗?
(3)天真冷啊!
(4)今天晚上不会下雨.
(5)昨天我们去旅游了.
师:请同学们判断一下哪些语句是命题?
学生讨论后回答,然后集体订正.
师:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时我们为了简便,省略关联词“如果”、“那么”,如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,可以写成“对顶角相等”.以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p,则q”,其中p是这个命题的条件(或假设),q是这个命题的结论(或题断).
三、边讲边练
教师多媒体出示:
【例1】　指出下列命题的条件与结论:
(1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行;
(2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.
生甲:(1)中“两条直线平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论.
生乙:“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论.
四、层层推进,深入探究
师:将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.我们在前面学习了命题都可以判断真假,当一个命题是真命题时,它的逆命题也是真命题吗?
学生交流讨论后发表意见.
师:我们可以看这样一个例子,“如果∠1与∠2是对顶角,那么∠1=∠2”是真命题,它的逆命题是什么?
生:它的逆命题是“如果∠1=∠2,那么∠1与∠2是对顶角”.
师:它是真命题还是假命题呢?
生:假命题.
师:你是怎么判断它是假命题的呢?
学生交流讨论后回答.
教师多媒体出示下图.

师:对.我们可以举一个例子,比如角平分线分成的两个角,∠1=∠2,但显然,这里∠1与∠2就不是对顶角.像这种符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.若要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.
五、练习新知,加深讨论
师:请同学们看教材中本节例1后练习的第2题.
教师找学生回答,然后集体订正得到:
(1)假命题.
反例:|-1|=|1|,但-1≠1.
(2)假命题.
反例:(-1)×(-1)>0,但-1是负数.
(3)真命题.
(4)假命题.
若两条不平行的直线与第三条直线相交,同位角不相等.
师:我们来看第3题.
教师找学生回答,然后集体订正得到:
(1)真命题,(2)真命题,(3)真命题.
师:在数学命题的研究中,为了确认某些命题是真还是假,需要对命题的正确性进行论证,在论证过程中,必须追本求源,真理不需要再作论证,其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题,作为判断其他命题真假的依据,这些作为原始根据的真命题称为公理.同学们想一下,我们学过哪些公理?
生甲:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.
生乙:两点之间的所有连线中,线段最短.
生丙:经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线,
师:对,这些都是公理.有些命题,它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.谁能举几个例子?
生甲:对顶角相等.
生乙:三角形的三个内角和等于180°.
生丙:等角的补角相等.
师:对.推理的过程叫做证明.下面,我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等,两直线平行”.
教师多媒体出示:
【例2】　已知:如图所示,直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2.
求证:a∥b.

师:若已知“同位角相等,两直线平行”这个定理,怎么证明“内错角相等,两直线平行”这个结论?
学生交流讨论,教师巡视指导.
学生口述,教师板书推理过程.
证明:∵∠1=∠2,(已知)
又∵∠1=∠3,(对顶角相等)
∴∠2=∠3.(等量代换)
∴a∥b.(同位角相等,两直线平行)
教师强调:证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、公理、已经学过的定理.
【例3】　已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.
求证:OE⊥OF.

证明:∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC(已知)
∴∠1=∠AOB,∠2=∠BOC.(角平分线的定义)
又∵∠AOB+∠BOC=180°,(已知)
∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)
=90°.(等式性质)
∴OE⊥OF.(垂直的定义)
六、课堂小结
师:我们今天学习了什么内容?
学生回答,教师补充完善.
教学反思
在这节课上,通过举反例判定一个命题是假命题,培养学生学会从反面思考问题的方法.通过强调正面的严密性,让学生理解证明的必要性和推理过程要步步有据.在教学方法上我主要采用“举一”,让学生独立思考、自由交流、集思广益,从而达到“反三”的目的.尽可能地调动更多学生主动参与、交流、沟通,通过自身思维碰撞构建新的认知结构,从而准确地判断命题的真假,对于假命题举出反例.对于命题的证明,要求学生能写出证明的一般步骤并能做到步步有据.











第2课时　命题与证明(二)
教学目标
【知识与技能】
1.掌握三角形内角和定理及其三个推论.
2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.
3.探索并理解三角形的内角和定理.
4.会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题.
【过程与方法】
1.经历探索并证明三角形内角和定理的过程.
2.让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论.
【情感、态度和价值观】
1.通过三角形内角和定理的证明,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途.
2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯.
3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.

重点难点
【重点】
三角形内角和定理的证明,三角形内角和定理及其推理.
【难点】
三角形内角和定理的证明.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:在前面我们学习了三角形的内角和定理,你还记得它的内容吗?
学生回答.
师:我们用什么方法证明过这个命题?
生:用折叠、剪拼和度量的方法.
师:很好!在上节课我们学习了定理的概念,大家还记得吗?
生:记得.它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
师:对.三角形的内角和定理是一个定理,它能够被证实,上节课我们还学习了简单命题的证明,现在我们来证明这个定理.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
【例1】　证明三角形内角和定理:三角形的三个内角和等于180°.
师:在证明命题时,要分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,首先,根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号;再结合图形,写出已知、求证.这个命题的条件和结论分别是什么?
生:条件是一个三角形,结论是它的内角和等于180°.
师:这个命题与图形有关吗?
生:有关.
师:那我们要画出什么图形?
生:一个三角形.
教师在黑板上画出一个三角形.
师:题目中没有已知、求证,我们自己要写出来.已知就是条件,求证的就是要证的结论.应该怎么写?
生:已知:△ABC,如图所示.求证:∠A+∠B+∠C=180°.

教师板书.
师:以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们以启发,现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明.
教师边操作边讲解:
在剪拼中我们可以把∠B剪下,放在这个位置,在证明中我们可以作出一个角与∠B相等,来代替这种操作.并且为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线.同学们看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题?
生:延长BC到D,以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B.
教师作图:

师:对.如果再知道什么条件就能得到结论了?
学生讨论后回答.
生:因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角,等于180°,如果∠A=∠1,那么就有∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠ACB=180°,这样就证出了结论.
师:对.现在我们看怎样证∠A=∠1?
学生交流讨论.
教师提示:∠A和∠1是什么角?
生:内错角.
师:怎么证两个内错角相等?
生:两直线平行,内错角相等.
师:在题中要证哪两条直线平行?怎么证它们平行?
生:证明CE∥BA,因为∠2=∠B,由同位角相等,两直线平行,就可以证出CE∥BA了.
师:很好!我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意,我们刚才是分析,可以由结论推条件,但在书写过程中,要先写条件,再写结论,这个顺序要理清.
学生口述,教师板书.
师:现在大家想一想,如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两个角的和会是多少?
生:90°.
师:对.两个角的和是90°,我们可以称它们之间是什么关系?
生:互余.
师:对.由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论.
教师板书:
推论1　直角三角形的两锐角互余.
三、边讲边练
师:三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能说出第一题的思路?
生:过点A作DE∥BC后,由两直线平行,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义就可证出了.
师:你们已经理清了思路,现在请大家将书上的证明过程补充完整.
学生完成练习第1题.
师:第二个练习的思路大家清楚吗?
学生交流讨论后回答.
生:过三角形一边上一点作两条平行线,然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组成平角的三个角分别相等,再由平角的定义证明它们的和是180°.
师:很好!请同学们把证明过程补充完整.
学生补充练习第2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正.
四、层层推进,深化理解
教师多媒体出示:

师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系?你能给出证明吗?
学生小组交流讨论后回答.
生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B.
师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系?
生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.
师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.
教师板书:
推论2　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论3　三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论2可以用来计算角的大小,推论3可以用来比较两个角的大小.
【例2】　已知:如图所示,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角.
求证:∠1+∠2+∠3=360°.


师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想一下,怎么证明这个命题?
学生交流讨论后回答,然后集体订正.
证明:∵∠1=∠ABC+∠ACB,
∠2=∠BAC+∠ACB,
∠3=∠BAC+∠ABC,
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理)
∴∠1+∠2+∠3=360°.
五、课堂小结
师:我们今天学习了哪些内容?你有什么收获?
学生发言,教师点评.
教学反思
本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.在证明三角形内角和定理的第一种证法中,我带领他们回顾了以前证明此定理的操作方法,并说明这两种方法的思想是一致的.一方面可以让他们学会把实际问题用数学形式表示出来,另一方面培养了他们建立相关事物之间的联系的意识,促进知识的迁移.在证明三角形内角和定理的练习中,我让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握,理清脉络.










第14章　全等三角形
　全等三角形
教学目标
【知识与技能】
1.了解全等三角形的概念,会用操作的方法判定两个三角形全等.
2.能找出两个全等三角形中的对应边和对应角.
3知道全等三角形的两个性质.

【过程与方法】
经历找全等三角形的对应边和对应角的过程,提高学生的识图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过实际操作,来判定两个三角形全等,锻炼学生的动手能力.
2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯.
3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.
重点难点
【重点】
全等三角形的性质.
【难点】
找两个全等三角形中的对应元素.
教学过程
一、创设情境、导入新知
教师多媒体出示图片:

教师演示把左边的图平移至与右边的图形重合.
师:你们观察到了什么?
生甲:每组图形的形状和大小都一样.
生乙:每组图形都能完全重合.
师:同学们说得很好!我们把这种能够完全重合的两个图形叫做全等形.
二、共同探究、获取新知
师;通过以上两组图,你能总结出怎样的两个图形会是全等的呢?
生:形状相同、大小相等.
师:很好!现在请同学们在纸上画两个形状相同、大小相等的三角形.
学生操作.
师:请把它们裁下来,叠放在一起.
学生操作.
师:你有什么发现?
生:它们完全重合.
师:我们把互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.两个全等的三角形的对应边有什么关系?对应角有什么关系?
生:它们的对应边相等,对应角相等.
师:你是怎么知道的呢?
生:因为它们是重合的.
教师多媒体出示下图.

师:请同学们指出这幅图中两个全等三角形的对应边,对应角和对应顶点.
学生交流讨论.
生甲:AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边.
生乙:∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角
生丙:A与D、B与E、C与F是对应顶点.
师:很好!记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,读作“△ABC全等于△DEF”.
三、练习新知
师:请同学们看课本练习第1题后回答问题.
学生观察后交流讨论,回答,然后集体订正得到:
另外两组对应角:∠A与∠ECD、∠BCA与∠D;
另外两组对应边:BA和EC,AC和CD.
师:下面我们来看第2题,请同学们思考一下.
学生观察并思考.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正得到:
△ABC≌△CDA,对应边:AB和CD,BC和DA,AC和CA;对应角:∠BAC和∠DCA,∠B和∠D,∠ACB和∠CAD.
四、课堂小结
师:今天你们学习了什么内容?
学生发言:教师点评.
教学反思
这节课根据学生现有的认知水平和能力水平,首先,展示教材上的图案以及制作的一些图案,激发学生兴趣,从图中去发现有形状与大小完全相同的图形,调动学生的学习积极性,让学生体会数学来源于生活,生活中存在数学美.对于找对应边、对应角、全等三角形的性质,要求学生熟记,并要对学生多作指导,以巩固基础知识,为后续的学习做好准备.















　三角形全等的判定
第1课时　三角形全等的判定(一)
教学目标
【知识与技能】
1.掌握边角边的判定方法,并且会用边角边的判定方法来证明两个三角形全等.
2.掌握作一个角等于已知角的方法,掌握已知两边和其夹角画三角形的方法.
【过程与方法】
1.从动手操作到理性证明,探索出三角形全等的边角边判定方法.
2.通过“边角边”的应用,掌握转化的数学方法.
3.通过作一个角等于已知角培养学生的识图能力和作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过问题情境,激发学生学习数学的热情和兴趣人,培养学生勇于创新、多方位审视问题的思想.
2.在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点难点
【重点】
掌握全等三角形“边角边”判定方法.
【难点】
掌握并灵活应用“边角边”的判定方法.
教学过程
一、创设情境、导入新知
师:上节课我们学习了全等三角形的两个性质,大家还记得是什么吗?
生:记得.全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
师:那么我们怎样判定两个三角形全等呢?三角形有六个基本元素——三条边和三个角,只给定其中的一个元素或两个元素,能够确定一个三角形的形状和大小吗?这节课我们就来研究这个问题.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
1.只给定一个元素:
(1)一条边长为4 cm;(2)一个角为45°.
2.只给定两个元素:
(1)两条边长分别为4 cm、5 cm;(2)一条边长为4 cm,一个角为45°;(3)两个角分别为45°、60°.
师:同学们可以试着画画,看根据这些已知的条件能不能确定一个三角形的形状和大小?
学生操作,并思考、讨论.
生:只给定三角形的一个或两个元素,不能完全确定一个三角形的形状和大小.
师:那么还需要增加什么条件才能确定一个三角形的形状和大小呢?
教师拿出一个圆规,边操作边说明:
圆规的两脚的交点记为B,我在圆规的两脚上各取一点A、C,自由转动其中一个角,△ABC的形状、大小随之改变,那么还需增加什么条件才可能确定△ABC的形状和大小呢?
学生交流讨论后回答.
生甲:给定边AC.
生乙:给定夹角∠ABC的大小.
师:对.
教师拿出两块三角板,边操作边讲解:
我把30°的这个角记为∠B,45°的这个角记为∠C,这两个直角三角形的斜边的交点记为点A,沿着B、C两点确定的直线l左右移动三角尺,△ABC的形状、大小随之改变,那么还需要增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢?
学生交流讨论,教师参与.
生甲:BC的长确定时.
生乙:AB的长确定时.
生丙:AC的长确定时.
师:对.同学们很聪明.下面,我们用尺规作图作出三角形,来研究三角形全等的条件,我们先画出一个三角形,并把它记为△ABC.
学生操作:
师:然后作一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠B'=∠B,B'C'=BC,因为A'B'和B'C'的夹角为∠B',所以我们可以先作一个角∠MB'N=∠B,这个作图过程的关键是作一个角等于已知角.
教师边操作边讲解:
我们先作一条射线B'N,然后以B为圆心,以小于BA且小于BC的长度为半径画弧,与BA、BC的交点分别记为D、E,然后再以B'为圆心,以与刚才同样的半径画弧,与B'N交于一点,记为E',然后E'为圆心,以DE的长度为半径画弧,交前面的一条弧于一点,记为D',连接B'D'并延长得射线B'M,这样我们就作出了∠MB'N=∠B.下面请同学们按这种方法作一个角等于你画出的三角形的一个角.
学生交流讨论后操作,教师巡视指导.
教师边操作边讲解:
然后在B'M上截取B'A'=BA,在B'N上截取B'C'=BC,然后连接A'C',则△A'B'C'就是所求作的三角形.
学生操作:
师:将你所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠,看看它们能否完全重合?
学生操作后回答:能.
师:由此你能等到什么结论?
生:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
师:对.我们把这个判定方法简记为“边角边”或“SAS”,其中S表示边,它是边的英文side的第一个字母,A表示角,它是角的英文angle的第一个字母.
三、例题讲解,加深理解
【例1】　如图所示,在湖泊的岸边有A、B两点,难以直接量出A、B两点间的距离.你能设计一种量出A、B两点之间距离的方案吗?说明你这样设计的理由.

师:请同学们思考一下这个问题.
学生交流讨论,教师参与.
师:我们不能直接量出A、B两点之间的距离,如果可以有两个三角形全等,我们可以量出AB的对应边的话,根据全等三角形的对应边相等,我们就可以知道A、B间的距离了.
学生交流.
教师边操作边讲解:
因此,我们在岸上取可以直接到A、B的一点C,连接AC,延长AC到点A',使A'C=AC;连接BC,并延长BC到点B',使B'C=BC.连接A'B',量出A'B'的长度,就是A、B两点间的距离.你能说出这样做的依据吗?

学生思考,交流讨论后,教师找一名学生回答.
生:由作图可知,AC=A'C,BC=B'C,又因为∠ACB和∠A'C'B是对顶角,所以它们相等,而它们分别是AC和BC、A'C和B'C的夹角,所以由边角边的判定方法可证得△ABC≌△A'B'C,再由全等三角形的对应边相等得A'B'=AB.
教师板书证明过程.
解:在岸上取可以直接到达A、B的一点C,连接AC,延长AC到A',使A'C=AC;连接BC,并延长BC到B',使B'C=BC,连接A'B',量出A'B'的长度,就是A、B两点间的距离.
理由:在△ABC与△A'B'C中,
∵
∴△ABC≌△A'B'C'.(SAS)
∴A'B'=AB.(全等三角形的对应边相等)
【例2】　已知:如图所示,AD∥BC,AD=BC.
求证:△ADC≌△CBA.

师:根据题意,你知道那些相等的条件?
学生观察后回答:AD和BC相等.
师:△ADC中AC边与△CBA的哪条边对应?
生:CA边.
师:它们相等吗?
生:相等,因为它们是公共边.
师:很好!那还有什么相等条件呢?
生:由AD∥BC得到∠DAC=∠BCA.
师:依据什么?
生:两直线平行,内错角相等.
师:对.这样,我们就找到了证明三角形全等的条件,用边角边的判定方法就能判定△ADC和△CBA全等了.
教师板书证明过程.
证明:∵AD∥BC,(已知)
∴∠DAC=∠BCA.(两直线平行,内错角相等)
在△ADC和△CBA中,
∵
∴△ACD≌△CBA.(SAS)
四、课堂小结
师:今天你们学习了什么新的知识?
生:用“边角边”的判定方法判定两个三角形全等.
师:你们有什么不懂的地方吗?
学生提出疑问,老师解答.
教学反思
本节课所讲的“边角边”的判定方法是探索三角形全等的判定方法之一,是后面几种判定方法的基础,也是本章的重点和难点.教材中的内容看似简单,仔细研究后才发现对八年级的学生来说有些困难,处理不好可能难以成功.备课时发现本节课的难点就是处理从确定一个三角形得到三角全等的方法这个环节,课上通过让学生动手操作和学生相互交流验证很好地解决了本节课的教学任务.




第2课时　三角形全等的判定(二)
教学目标
【知识与技能】
1.探索全等三角形的“角边角”、“角角边”的判定方法.
2.能运用“角边角”、“角角边”的判定方法进行三角形全等的判定.
【过程与方法】
1.通过动手画图、实验来理解和掌握“角边角”的判定方法.
2.通过“角边角”、“角角边”的判定方法的应用,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力.
3.通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过带领学生观察生活中的问题,使学生感受全等三角形在现实中的应用价值,通过自主学习发展学生的创新意识和能力.
2.在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点难点
【重点】
撑握全等三角形“角边角”、“角边角”的判定方法.
【难点】
“角边角”、“角角边”的判定方法的探究过程.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们学习了判定两个三角形全等的第一个定理,你还记得它的内容吗?
生:记得.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为“边角边”或“SAS”.
师:很好!除了这个定理我们还有没有其他的方法来判定两个三角形全等?这一节课我们进一步研究判定两个三角形全等的问题.
二、共同探究、获取新知
师:请同学们任意作一个三角ABC,然后作一个三角形A'B'C',使∠B'=∠B,B'C'=BC,∠C'=∠C.
学生交流讨论,教师参与.
教师边操作边讲解:
(1)作线段B'C'=BC;
(2)在B'C'的同侧,分别以B'、C'为顶点作∠MB'C'=∠B,∠NC'B'=∠C,B'M与C'N交于点A',则△A'B'C'就是所求作的三角形.
学生作图后比较两个图的大小.
生:△A'B'C'和△ABC重合.
师:重合说明了这样作出的△A'B'C'和△ABC是全等的.
师生共同得到结论:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA”.
三、讲解例题,加深理解
教师多媒体出示:
【例1】　已知:如图所示,要测量河两岸相对的两点A、B之间的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使BC=CD,再过点D作BF的垂DE,使点A、C、E在一条直线上,这时测得DE的长等于AB的长,请说明理由.

学生思考讨论.
师:这道题与上节课讲解到的例1类似.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体纠正.
解:∵AB⊥BD,ED⊥BD,(已知)
∴∠ABC=∠EDC=90°.(垂直的定义)
又∵BC=CD,(已知)
∠ACB=∠ECD,(对顶角相等)
∴△ABC≌△EDC.(SAS)
∴AB=DE.(全等三角形的对应边相等)
【例2】　已知:如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:DB=CB.

师:同学们思考一下,然后我提问.
学生交流讨论.
师:要证DB=CB,应证出什么?
生:先证△ABC≌△ACB.
师:怎样证呢?有哪些相等的条件?用什么判定方法?
生甲:∠1和∠2相等是已知的.
生乙:AB=AB是公共边,∠3和∠4相等.
生丙:根据等角的补角相等可以得到∠ABD=∠ABC.
师:大家分析得很好.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
证明:∵∠ABD与∠3互为邻补角,∠ABC与∠4互为邻补角(已知),
又∵∠3=∠4,(已知)
∴∠ABD=∠ABC.(等角的补角相等)
在△ADB与△ACB中,
∵
∴△ADB≌△ACB.(ASA)
∴DB=CB.(全等三角形的对应边相等)
四、乘胜追击
教师多媒体出示:
想一想,分别满足后面三组条件中任一组的两个三角形,即
(1)三外角分别相等;
(2)两边和其中一边的对角分别相等;
(3)两角和其中一角的对边分别相等;
能判定这两个三角形全等吗?
生:由条件(1)不能得到这组三角形全等.
师:为什么呢?你能举一个反例吗?
生:两个边长不等的等边三角形,它们的三个角分别对应相等,但它们不全等.
师:很好,下面请同学们通过作图,思考、看看由条件(2)能否推出两个三角形全等.
在条件(2)的探讨中,让学生自己动手作图,试试这样确定一个三角形.
师:很好!接下来我们看条件(3).
师:如图,在这个图中的△ABC和△ABD满足条件AB=AB,AC=AD,∠ABC=∠ABD,但它们也不全等.由此反例我们能得出什么结论?

生:已知两边和其中一边的对角分别相等不能得到两个三角形全等.
师生共同探究,在探究活动中得到:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为“角角边”或“AAS”.
五、课堂小结
师:今天你学到了什么知识?你有什么收获?
学生回答.
师:你还有什么疑惑的地方?
学生提出问题,教师解答.
教学反思
学生有了“边角边公理”的探究经历,本课的探究活动就能很顺利地展开了.我的教学意图是:根据要求能唯一的作出一个三角形,能够作为判定三角形全等的条件.在今天的教学中,我设计了一个作图题,让学生自己动手比较发现它们是重合的,得到边角的判定方法,加深他们对这个判定方法的理解和印象.









第3课时　三角形全等的判定(三)
教学目标
【知识与技能】
1.探索全等全三角形的“边边边”的判定方法.
2.能运用“边边边”的判定方法进行三角形全等的判定.
【过程与方法】
1.通过动手操作来理解和掌握“边边边”的判定方法.
2.通过“边边边”的判定方法的应用,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力.
3.通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力.
【情感、态度与价值观】
通过带领学生观察生活中的问题,使学生感受全等三角形的体验,在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点难点
【重点】
掌握全等三角形“边边边”的判定方法.
【难点】
“边边边”的判定方法的探究过程和书写格式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们学习了哪些判定两个三角形全等的定理?
生甲:边角边.
生乙:角边角.
生丙:角角边.
师:很好,这节课我们继续学习关于三角形全等的判定定理.
二、共同探究,获取新知
师:请大家任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'三边对应相等,即使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.
学生作图,教师巡视指导.
师:你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
学生剪下业,比较是否全等.
生:全等.
让学生充分交流后,在教师的引导下通过比较得出结论:三边对应相等的两个三角形全等.
三、合作交流、深化理解
教师多媒体出示图:

师:我们为什么在预制的木门杠(或木窗杠)上加两根木条,晃动了的椅子腿与坐板间钉一根木条构三角形?
生:为了让它稳定、结实.
师:为什么这样就会稳定、结实呢?
生:这样就构成了三角形,三角形具有稳定性.
师:三角形为什么具有稳定性呢?
生:因为只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了.
师:同学们说得很好,根据“边边边定理”我们可以得到三角形具有稳定性.
教师演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架,它的大小和形状是固定不变的.
四、举例应用,加深理解
【例】　已知:如图所示,点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
AB∥DE,AC∥DF.

学生思考、交流讨论.
师:要证AB∥DE,AC∥DF,最好用什么判定方法?
生:同位角相等,两直线平行.
师:具体是哪些角相等?
生:∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.
师:你怎么证它们相等?
学生思索后回答:因为BE=CF,它们加上相同的一段EC后还是相等的.题中已知的还有两组对应边相等,由“边边边”可以判定这两个全等的.
师:证出两个三角形全等后怎么证上面的两组对应角相等呢?
生:根据全等三角形的对应角相等得到.
师:同学们回答得很好.
教师板书解题过程.
证明:∵BE=CF,(已知)
∴BE+EC=CF+CE,(等式的性质)
即　BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∵∴△ABC≌△DEF.(SSS)
∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.(全等三角形的对应角相等)
∴AB∥DE,AC∥DF.(同位角相等,两直线平行)
五、课堂小结
师:今天你又学习了什么新的知识?你还有什么疑问?
生甲:学习了“边边边”定理证明一些问题.
师:很好,大家这堂课收获不小.
教学反思
边边边公理,是三角形全等的判定方法之一.本课在教学时有一个难点就是利用“边边边”判定全等推理的书写格式.这个难点的处理中,间接条件要推理到直接条件,这在写两个三角形中的前面就要做好书写说明;直接条件直接写;隐含条件要挖掘.从本课的教学情况看,学生的前置学习还需指导,学生对课本上作图的操作撑握得不是很熟练,课堂上需要教者认真示范引领,教给学生的不只是尺规作图的方法,更是严谨认真的精神.

























第4课时　三角形全等的判定(四)
教学目标
【知识与技能】
1.探索“斜边、直角边”的判定方法.
2.能运用“斜边、直角边”的判定方法进行两个直角三角形全等的判定.
【过程与方法】
1.通过动手画图操作来理解和掌握“斜边、直角边”的判定方法.
2.通过“斜边、直角边”的判定方法的应用,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力.
3.通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过带领学生观察生活中的问题使学生感受全等三角形在现实中的应用价值,通过自主学习发展自身的创新意识和能力.
2.在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点难点
【重点】
掌握直角三角形“斜边、直角边”的判定方法.
【难点】
三角形全等的判定方法的综合运用.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们都学习了哪些判定两个三角形全等的方法?
生甲:边角边.
生乙:角边角.
生丙:角角边.
生丁:边边边.
师:其实,在三角形的六个基本元素中选择三个元素对应相等,除了可以配成SAS、ASA、SSS外,还可以配成:AAA、SSA、AAS.
教师板书:
SAS、ASA、AAS、SSS、AAA、SSA
师:当时我们举出说明了两边和其中一边的对角分别相等以及AAA不能判定两个三角形全等,现在如果其中一边对的角是直角的话,这两个三角表什么 全等吗?
学生思考,讨论.
师:如果给你两条边,并且说明了一边对的是直角,这个三角形是确定的吗?
学生画图操作后回答:是确定的.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
已知:Rt△ABC,其中∠C为直角.
求作:Rt△A'B'C',使∠C'为直角,A'C'=AC,A'B'=AB.学生讨论作法,老师参与.
教师多媒体出示:
作法:
(1)作∠MC'N=∠C=90°;
(2)在C'M上截取C'A'=CA;
(3)以A'为圆心、AB长为半径画弧,交C'N于B';
(4)连接A'B'.
学生作图.
师:请同学们将画好的Rt△A'B'C'与Rt△ABC叠一叠,看看它们是否完全重合?
学生操作.
生:重合.
师:由此你能得到什么结论?
生:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
师:对,我们把这个判定方法简记为“斜边、直角边”或“HL”.
三、举例应用,加深理解
教师多媒体出示:
【例1】　已知:如图所示,∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB.求证:AB=DC.
学生思考、交流讨论.
师:要证两个三角形的两条边相等,先证什么?
生:先证它们所在的三角形全等.
师:你怎么证它们全等呢?
生:由它们都有直角得到它们是直角三角形,已知了一组对应的直角相等.又有一组斜边相等,所以由“斜边、直角边”可以判定它们全等.
师:很好!
老师找一名学生板演解题过程,其余学生在下面做,然后集体订正.

证明:∵∠BAC=∠CDB=90°,(已知)
∴△BAC、△CDB都是直角三角形.
又∵AC=DB,(已知)
BC=CB,(公共边)
∴Rt△ABC≌Rt△DCB.(HL)
∴AB=DC.(全等三角形的对应边相等)
师:我们一共学习了几种判定两个三角形全等的方法?
生:四种.
师:在实际应用中,问题会比较复杂,可能会用到两次甚至更多次的全等证明,所以大家要对这些方法深入理解,要能灵活运用.
【例2】　已知:如图所示,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF.求证:BF=DE.

学生思考并交流讨论.
师:要证BF=DE,需先证什么?
生甲:△BCF≌△DAE.
生乙:△ABF≌△CDE.
师:同学们回答得很好.我们先来看△BCF≌△DAE的证明,已经有的与这个结论的证明有关的条件有哪些?
生:BC=DA,AE=CF.
师:那我们还要加上一个什么条件就能证出两个三角形是全等的呢?
生甲:∠BCF=∠DAE,然后用边角边的判定方法判定.
生乙:BF=DE,然后用边边边的判定方法判定.
师:∠BCF=∠DAE可以,BF=DE不行,因为这是我们要证的最终结果,现在我们看怎么证∠BCF=∠DAE.这两个角除了分别是△BCF和△DAE的内角外,还是哪两个三角形的内角?
生:还分别是△BCA和△DAC的内角.
师:我们是不是可以证它们是全等的?
生:可以.
师:怎么证呢?
生:AB=CD,BC=DA是已知的,CA和AC是公共边,根据边边边的判定方法可以证出这两个三角形全等.
师:很好,我们现在把这个过程从前到后梳理一下,先根据边边边来证△BCA和△DAC全等,再根据全等三角形的对应角相等证得∠BCF=∠DAE,然后加上BC=DA,CF=AE,用边角边的判定方法证出它们全等,然后根据全等三角形的对应边相等,得到BF=DE.
教师找一名学生板书过程,其余学生在下面写,然后集体订正.
证明:在△ABC和△CDA中,
∵
∴△ABC≌△CDA.(SSS)
∴∠1=∠2.(全等三角形的对应角相等).
在△BCF与△DAE中,
∵
∴△BCF≌△DAE,(SAS)
∴BF=DE.(全等三角形的对应边相等)

四、练习新知,学以致用
教师多媒体出示:
【例3】　证明:全等三角形对应边上的高相等.
学生交流讨论,写出已知求证.
已知:如图所示.△ABC≌△A'B'C',AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高,求证:AD=A'D'.

教师找一名学生回答他解这道题的思路,再找一名学生补充完善.
教师找两名学生板演证明过程,然后教师和学生一起订正.
证明:∵△ABC≌△A'B'C'(已知)
∴AB=A'B',∠B=∠B'.(全等三角形的对应边,对应角相等)
∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高,
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.(垂直的定义)
在△ABD与△A'B'D'中,

∵
∴△ABD≌△A'B'D',(AAS)
∴AD=A'D'.(全等三角形的对应边相等)
五、课堂小结
师:今天你又学习了什么新的知识?
学生回答.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
在学习了三角形全等的四种判定方法后,我详细讲解了例题,目的是要求学生掌握三角形全等的四种判定方法,学会分析三角形全等条件的探究和证明思路的寻求,培养学生的发散思维能力.在学生自主复习整理四个判定判定方法后,我安排了证明全等的思路探究,让学生讨论已知三角形的两个元素,还要知道什么元素来得到.在讨论四种情形(两组边、边角相邻、边角相对和两个角)后,小组讨论应寻找的第三个条件,这是培养学生发散思维的很好的手段,虽然耗时,但取得的教学效果很好.

















第15章　轴对称图形与等腰三角形
　轴对称图形
第1课时　轴对称图形(一)
教学目标
【知识与技能】
1.在生活实例中认识轴对称,能画出简单轴对称图形的对称轴.
2.使学生了解轴对称图形和关于直线成轴对称的概念.
3.了解轴对称图形和轴对称的联系与区别.
【过程与方法】
1.通过实例认识轴对称,能够识别生活中的轴对称图形及其对称轴.
2.培养学生的观察能力、思维能力、动手能力、总结能力.
【情感、态度与价值观】
1.让学生体验到数学与生活的密切联系,发展学生的空间观念和审美观.
2.通过对对称的理解和轴对称性质的把握,发展学生发现美和鉴赏美的能力.
重点难点
【重点】
理解并掌握轴对称图形、轴对称的概念、画对称图形的对称轴.
【难点】
理解并掌握轴对称图形和两个图形成轴对称之间的关系.
教学过程
一、创设情境、导入新知
教师多媒体课件出示:

师:同学们认识这些图形吗?
生:认识.
师:你能说出它们的共同点吗?
学生观察后,思考并讨论交流.
生:它们的左右两边是一样的.
师:对,实际上它们的左右两边是对称的.自然界中,许多物体的平面图形都具有对称性.今天我们就来研究轴对称图形.
二、共同探究,获取新知
学生实验一
师:把一张纸对折,然后从折叠处剪出一个图形,想一想:展开后会是什么样的图形?位于折痕两侧的图案有什么关系?
学生分组活动,合作交流后选代表回答实验结果.
生甲:我们得到了一个美丽的图形:飞鸟,它有对称美.
生乙:我们得到的是大树和五角星,它们是对称的.
生丙:我们得到的是轴对称图形,位于折痕两部分的图案能够完全重合.
师:你们的发现真是了不起啊!那么你们能说说什么样的图形是轴对称图形吗?
生甲:能够完全重合的图形是轴对称图形.
生乙:不对!应该是沿着一条直线折叠后能完全重合的图形才是轴对称图形.
师:很好,如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.请同学们尽可能多地从你周围的环境中找出轴对称的物体.
学生畅所欲言.
教师提示:天上飞的、地上跑的、水里游的,还有已经学过的那些简单的图形、数字、字母等都可以.
生:我们组将这个平行四边形对折后,发现无论怎么对折,两边都无法重合,所以它不是一个轴对称图形.
师:有道理,其他同学有没有不同的想法?
生:我们组将这个平等四边形剪拼成一个长方形,而长方形对折后两边完全重合,所以我们认为它是一个轴对称图形.
师:听起来好像也有道理.
生甲:我们反对.因为在刚才的学习中,我们知道判断一个图形是不是轴对称图形关键是看对折后两边能否完全重合,而这个图形对折后显然无法重合.
生乙:(补充)而且你们将这个图形剪拼后,已经改变了这个图形的形状和性质,所以我们认为它原本不是一个轴对称图形.
师:(回到赞成“是的”一方)听了对方的阐述,再结合我们一开始探讨轴对称图形时的要求,你现在的观点是什么?
生:(沉默一会儿后)现在我也同意这个平行四边形不是轴对称图形了.
师:对,平行四边形不是轴对称图形.
学生实验二:折纸印墨迹
学生分组完成实验
教师提出问题1:你发现折痕两边的墨迹形状一样吗?为什么?
问题2:两边墨迹的位置与折痕有什么关系?
(让学生充分观察、讨论和交流,并指名汇报):
生甲:我们组发现两边的墨迹形状一样,因为它们折过去能完全重合.
生乙:我们组的发现和他们一样.
生丙:两边的墨迹关于折痕对称.
生丁:我想补充的是两边的墨迹是关于折痕成轴对称的.
师:同学们观察得真仔细啊!那你们能说说究竟什么样的两个图形成轴对称吗?
生甲:一个图形和另一个图形能完全重合,这两个图形成轴对称.
生乙:我不同意他的观点,应该是一个图形沿着某条直线折叠,如果它能和另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称.
师:你真是太聪明了!
动画演示,师生共同总结出轴对称、对称轴及对称点的概念.
教师用多媒体展示练习,学生独立思考后回答.
三、深入探究
师:通过刚才的学习,你们能说说轴对称与轴对称图形是否是一回事吗?
生齐答:不是.
师:那谁能说说它们的关系呢?
(见学生面有难色,让学生先思考交流)
生甲:轴对称是两个图形,轴对称图形是一个图形.
师:说得好,谁还想说?
生乙:它们都是沿着一条地线对折的,并且能重合.
生丙:如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,就是一个轴对称图形;如果把一个轴对称图形看成两个图形就是成轴对称.
师:怎样将一个轴对称图形看成两个图形呢?
生:哦,是将位于对称轴两旁的部分看成两个图形.
师:你可以当小老师了!各位同学的发现合起来就是轴对称与轴对称图形的区别与联系.
四、课堂小结
师:生活中处处有数学,我们只有学好了数学,才能更好地运用所学的知识去解决生活中的实际问题,谁想说说你今天收获得了什么?
生甲:我今天最大的收获是认识了轴对称图形和轴对称.
生乙:我通过观察发现了轴对称图形和轴对称的区别和联系.
生丙:通过欣赏图片,我感受到了对称图形的美.
生丁:通过找生活中的轴对称物体,我体会到数学就在我们身边,生活中处处有数学知识.
教学反思
在学习轴对称与轴对称图形的时候,充分让学生通过实验去感知、思考、探索知识,从更深层次上理解概念.在本节课中轴对称和轴对称图形是两个重要要概念且易混淆.在教学中充分地进行比较,这样不仅能帮助学生建立、理解概念,而且有利于学生在头脑中建立起事物与概念间的内在联系,达到事半功位的效果.



第2课时　轴对称图形(二)
教学目标
【知识与技能】
1.知道线段垂直平分线的概念.
2.知道成轴对称的两个图形全等,对称轴是对称点连线的垂直平分线.
【过程与方法】
1.探索并了解线段垂直平分线的有关性质,通过作对称轴提高学生的作图能力.
2.经历探索轴对称性质的活动,积累数学活动经验,进一步发展空间观念和表达能力.
【情感、态度与价值观】
1.让学生体验到数学与生活的密切联系,发展学生的空间观念和审美观.
2.通过对对称的理解和轴对称性质的把握,发展学生发现美和鉴赏美的能力.
重点难点
【重点】
会利用轴对称性质作对称点、轴对称图形等.
【难点】
根据题目要求画出轴对称图形.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于轴对称图形,而显得异常美丽,那么什么样的图形是轴对称图形呢?
学生思考回答:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
师:大家想一想,我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢?
生甲:正方形、矩形.
生乙:圆、等腰三角形.
生丙:角、线段.
师:刚才有人提出“线段是轴对称图形”,今天我们就来研究这个简单的轴对称图形(板书课题).
二、共同探究,获取新知
教师画出一条线段.
师:你能找出它的一条对称轴吗?
生甲:它的对称轴是与线段垂直的,且垂足是线段中点的直线.
教师画出一条线段AB,对折AB使点A、B重合,折痕与AB的交点为O.
师:OA=OB吗?
折痕与直线所成的两个角是多少度?
学生观察.
生:OA=OB,折痕与直线所成的两个解都是90°
师;折痕(即线段的对称轴)与线段有什么关系?
学生讨论交流.
教师小结:经过线段的中点并且垂直这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.线段是轴对称图形,它的对称图形就是线段的垂直平分线.
教师让学生任意画一条线段,然后用带有刻度的直角三角板画出线段的垂直平分线.
学生讨论做法,教师巡视指导.
三、合作交流,深化理解
教师多媒体出示:
如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,点A'B'C'分别是点A、B、C的对称点,连接AA',设AA'与直线l交于点O1.

师:直线l与线段AA'有怎样的位置关系?
生:垂直.
师:OA1与O1A'的长度有什么关系?
学生观察后回答:相等.
师:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;反过来,如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
四、练习新知
师:请同学们完成课本练习的第3题.


教师找三名学生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导,然后集体订正.
师:请同学们完成练习第4题.
教师找两名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订证.

五、课堂小结
师:今天你有什么收获你又学到了什么?
学生回答,教师补充完整.
教学反思
对称是一种最基本的图形变换,是学生学习空间与图形的必要基础,了解对称图形,对于帮助学生建立空间观念,培养学生的空间想象力都有着不可忽视的作用,这节课鼓励每个学生动手、动口、动脑,积极参与到数学的学习过程中来,注意发挥学生的主体性,给学生留下充分的时间与空间进行活动.上述的自主活动是整堂课的重点所在,通过活动既可充分发挥学生的理解能力、创造能力,又能在整个活动中对轴对称的概念从感性认识升华到理性认识.


















第3课时　轴对称图形(三)
教学目标
【知识与技能】
1.理解并掌握平面直角坐标系中,与已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律.
2.能作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形.
【过程与方法】
1.通过作图提高学生的实践能力.
2.通过现实情境的创设使学生体验到数学就在我们身边,从而培养审美感以及数学应用意识.
【情感、态度与价值观】
1.通过贴近生活的素材和问题情境,激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生勇于创新的意识及多方位审视问题的创造技巧.
2.在作图过程中使学生体验数形结合思想,体验学习的乐趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神.
重点难点
【重点】
用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标.
【难点】
找对称点的坐标之间的关系、规律.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:什么是轴对称图形?
生:如果一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫做轴对称图形.
师:什么是轴对称?
生:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称.
师:什么是线段的垂直平分线
生;经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
师:很好!这节课我们继续学习轴对称的有关知识.
老师板书课题.
二、共同探究,获取新知
师:已知点A和一条直线,你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?
教师多媒体出示:

学生作图,教师巡视指导,然后集体纠正.
教师边操作边讲解:

我们过A点作MN的垂线并延长,记垂线与MN的交点为O,然后在上面截取一段使OA'=AO,则A'点就是A点关于MN的对称点.
教师强调:不是题中要求作出的,比如我们作的这条垂线,它相当于辅助线,用虚线表示.
三、深入探究,层层推进
师:在平面直角坐标系里,如何作出图形的轴对称图形呢?下面只介绍以特殊直线(坐标轴)为对称轴的情形.
教师多媒体出示:如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3).

师:我请两名同学分别作出点A、B、C、D关于x轴和y轴对称的点,并写出它们的坐标.
学生思考.
教师找两名学生板演,其余同学在下面做.
教师出示表格.
已知点的坐标
A(1,1)
B(3,1)
C(3,3)
D(1,3)
关于x轴对应
点的坐标
A1(1,-1)
B1(3,-1)
C1(3,-3)
D1(1,-3)
关于y轴对应点
的坐标
A2(1,-1)
B2(-3,1)
C2(-3,3)
D2(-1,3)

　　师:观察上表,已知点与它关于x轴对称的点的坐标有什么关系?已知点与它关于y轴对称点的坐标呢?
学生观察表格,思考后回答.
生:关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的点纵坐标不变,横坐标互为相反数
师:很好!我们得到:一般地,已知点P(x,y),它关于x轴对应的点的坐标为P1(x,-y),它关于y轴对应的点的坐标P2(-x,y).
四、练习新知,加深理解
教师找一名学生完成课本练习第1题,然后集体订正.
点
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
A(-2,0)
(-2,0)
(2,0)
B(2,-3)
(2,3)
(-2,-3)
C(-4,-2)
(-4,2)
(4,-2)
D(-3,2)
(-3,-2)
(3,2)
E(0,-1)
(0,1)
(0,-1)
F(2,3)
(2,-3)
(-2,3)

教师找一名学生板演练习2,其余同学在下面做,老师巡视指导,然后集体订正.
五、课堂小结
师:今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?
生甲:我学习了一点关于x轴或y轴对称的点的坐标的求法.
生乙:我知道了一个图形关于x轴或y轴对称的图形的画法.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
上节课我们只是根据对称轴是两个图形对应点所连线段的垂直平分线作出一个图形关于一条对称轴对称的图形,在这节课上我们把图形放在坐标系里,来讨论这个图形上点的坐标和与它对应的点的坐标的关系,先让学生作出对应点,然后让他们自己分析关于两条坐标轴对称的两点坐标之间的关系.比较一个点和它的对应点和对称轴之间的关系,发挥了学生的主动性,让他们自己去发现规律,总结规律,提高他们的分析、归纳能力,同时也给他们提供表达自己观点的机会,提高他们表达问题的能力.





　线段的垂直平分线
教学目标
【知识与技能】
1.经历探究、猜想、验证的过程,进一步发展学生的推理论证能力.
2.培养学生的逻辑思维能力和数学语言表达能力.
3.已知底边及底边上的高,能应用尺规作出线段的垂直平分线.
【过程与方法】
在探究过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
【情感、态度及价值观】
1.积极参与数学学习活动,增强学生对数学的好奇心和求知欲.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
重点难点
【重点】
写出线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.
【难点】
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用上的区别和各自的应用.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?
生:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
师:什么是线段的垂直平分线呢?
学生思考抢答.
生:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.
师:很好!这节课我们继续学习线段的垂直平分线的有关内容(板书课题).
二、共同探究,获取新知
教师引导学生作图:作已知线段AB的垂直平分线.
学生讨论作法.
教师总结作法.
1.分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.

2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
学生作图.
师:你能说明为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线吗?
学生交流讨论.
师:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也可以用这种方法作线段的中点.线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.怎样证明这个结论呢?
学生交流讨论,教师参与.
师:这个命题的条件是什么?
生:一个点是线段垂直平分线上的点.
师:结论呢?
生:这个点与线段两端距离相等.
师:请同学们写出已知、求证,并证明.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
已知:如图,直线MN经过线段AB的中点O,且MN⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.

证明:∵MN⊥AB.(已知)
∴∠AOP=∠BOP=90°.(垂直定义)
在△AOP与△BOP中,
∵
∴△AOP≌△BOP.(SAS)
∴PA=PB.(全等三角形的对应边相等)
三、合作交流,深化理解
师:你能写出上面定理的逆命题吗?
生:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
师:它是真命题吗?
学生思考.
生:是.
师:你能证明这个定理吗?
学生思考证明,教师找学生板演,集体纠正.
四、乘胜追击,学以致用
教师出示课本第123页例题.
【例】　已知:如图所示,△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.

学生讨论证明方法,并板演,然后集体证正.
证明:连接PA、PB、PC.
∵点P在AB、AC的垂直平分线上.
∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC,∴点P在BC的垂直平分线上.
师:由此你能得出什么结论?
生:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.
师:很好!这个结论很有用,请大家记一下.
学生熟记.
五、迁移巩固,解决问题
1.教材该节练习的第1题,学生口述作法,独立完成.

作AB的垂直平分线,这条线与直线l的交点即为要确定的停靠站C的位置.
2.教材该节练习的第2题,学生小组合作,集体纠正.
C、D两点的位置可分为两点在线段AB同侧、一点在AB外一点在AB上、两点在AB异侧三种情况.下面就第一种情况进行证明,其余两种情况下的证明与此类似.

(1)证明:∵C、D是线段AB的垂直平分线上的两点,
∴CA=CB,DA=DB.(线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等)
∴△ABC、△ABD是等腰三角形.
(2)∵CA=CB,DA=DB,(已证)
CD=CD,(公共边)
∴△CAD≌△CBD.(SSS)
∴∠CAD=∠CBD.(全等三角形的对应角相等).
六、课堂小结
师:今天你学习了什么知识?你有哪些收获?
生:线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
师:你能叙述它们的内容吗?
生甲:线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.
生乙:与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课先复习线段垂直平分线的概念,然后用尺规作图画出垂直平分线,并让学生思考为什么用这种方法画出的就是垂直平分线,可以激发学生学习数学的兴趣.由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后我带领学生对这个定理进行了严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神.








　等腰三角形
第1课时　等腰三角形(一)
教学目标
【知识与技能】
1.寻找生活实例中的等腰三角形,给等腰三角形下定义,探求等腰三角形的轴对称性和它的相关性质.
2.培养学生自主、合作、探究的学习方式,亲身体验“再发现”过程.
【过程与方法】
在探究过程中,增强协作交流,培养学生多角度思考问题的习惯,提高学生分析问题和解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
经历探索等腰三角形的轴对称及相关性质的过程,进一步体验轴对称的特征,发展学生的空间意识.重点难点
【重点】
等腰三角形有关性质的探索和应用.
【难点】
等腰三角形性质的验证.
教学过程
一、创设情境,导入新知
教师出示学生熟悉的人字梁屋架:

师:图中的人字架屋架的外观结构形式是什么图形?
生:等腰三角形.
师:它有什么特点呢?
学生思考.
师:我们从这节课开始学习等腰三角形的有关知识(板书课题).
二、共同探究,获取新知
教师引导学生操作:
画一个等腰三角形ABC,把边AB叠合到边AC上,这时点B与点C重合,并出现折痕AD,如图

学生操作,教师巡视指导.
师:△ADB与△ADC有什么关系?
生:全等.
师:哪些线段或角相等?
学生思考,教师参与探究.
学生口答:AB与AC相等,DB与DC相等,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.
师:AD与BC垂直吗?
生:垂直.
师:由此你能得出什么结论?
学生小组讨论.
生:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
师:很好!这样也就是说等腰三角形的两个底角相等,简称“等边对等角”.
学生熟记.
师:你能证明这个性质定理吗?
学生交流讨论.
教师提示:你先把这个命题分解为条件和结论两部分,写出已知、求证,然后给出证明.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
已知:如图,△ABC中,AB=AC.
求证:∠B=∠C.

证明:取BC的中点D,连接AD.在△ABD和△ACD中,
∵
∴△ABD≌△ACD.(SSS)
∴∠B=∠C.(全等三角形的对应角相等)
三、合作交流,深化理解
师:通过全等可以看出AD和BC有什么关系呢?
生:AD垂直平分BC.
师:很好!等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边,∠BAD和∠CAD有什么关系呢?
生:相等.
师:综合上面的结论,你发现了什么?
学生思考.
共同总结:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线也是底边上的高(简称三线合一).
根据性质1,师生共同得到等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.
四、乘胜追击,学以致用
教师多媒体出示:
【例1】　已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E是底边上两点,且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数.

学生讨论方法.
教师巡视指导,然后集体订正.
解:∵AB=AC,(已知)
∴∠B=∠C.(等边对等角)
∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.
又∵BD=AD,(已知)
∴∠BAD=∠B=30°.(等边对等角)
同理∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE
=120°-30°-30°
=60°
【例2】　已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求∠A和∠C的度数.

师:由AB=AC,你能得到什么结论?
生:∠ABC=∠C.
师:由BD=BC=AD呢?
生:∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.
师:你能找出∠A与∠C的关系吗?你能找出∠A与∠BDC的关系吗?
生:能.∠BDC=∠A+∠ABD,又因为∠ABD=∠A,所以∠BDC=2∠A.
师:现在你知道∠A与∠C的关系吗?
生:知道.∠C=∠BDC=2∠A.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,(已知)
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD.(等边对等角)
设∠A=x°,
则∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°,
∴x+2x+2x=180.(三角形三个内角和等于180°)
得x=36.
∴∠A=36°,∠C=72°.
五、课堂小结
师:今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?
学生回答.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
等腰三角形是轴对称图形,可以借助轴对称变换来研究等腰三角形的一些特征.为此,我以轴对称图形为切入点,先让学生通过折纸、猜想、验证等腰三角形的性质,然后运用全等三角形的知识加以论证,使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎,层层展开,步步深入,从而实现教学目的.善于做解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩,再进一步做一题多变、一题多问、一题多解,挖掘例题的深度和广度,扩大例题的辐面,无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的.


第2课时　等腰三角形(二)
教学目标
【知识与技能】
1.掌握等腰三角形的判定定理及推论,并能够灵活应用它进行有关的论证和计算.
2.掌握等边三角形的判定定理,并能够 灵活应用它进行有关论证和计算.
【过程与方法】
1.在探究过程中,增强协作交流,培养学生多角度思考问题的习惯,提高学生分析问题和解决问题的能力.
2.通过观察等腰三角形和等边三角形的判定定理,培养学生的观察、分析能力,发展学生的形象思维能力.
【情感、态度与价值观】
1.发展学生的动手、归纳猜想能力,培养学生的文字表达能力和几何证明能力.
2.掌握归纳思维方法,领会数学的转化思想.
3.发展学生的独立思考、勇于探索的创新精神.
重点难点
【重点】
等腰三角形的判定定理及其应用.
【难点】
等腰三角形的性质定理与判定定理的区别.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:请同学们回顾一下,等腰三角形的性质有哪些?
生:等腰三角形的两底角相等,简写为“等边对等角”.
师:这个命题的逆命题是什么?
生:等角对等边.
师:这是个真命题吗?我们今天就来研究这个问题.
二、共同探究,获取新知
师:作出图形,根据图形,在△ABC中,∠C=∠B,AB=AC吗?

学生讨论交流、思考回答.
教师让学生作一个有两个角相等的三角形,量一量它们所对的边.
师:你发现了什么结论?
生:AB=AC.
师:为什么?
生:在△ABC中,过点A作∠A的平分线交BC于点D,则顶角被平分,又两底角相等,由三角形内和性质得∠ADB=∠ADC.沿直线AD折叠,点B与点C重合,因此AB=AC.
师:很好,这就是等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称等角对等边).
学生熟记.
师:大家想一下,三个角都相等的三角形是什么三角形?
学生思考,教师点拨:分别与邻边相等.
生:三个角都相等的三角形是等边三角形.
师:有一个角是60°的等腰三角形是什么三角形呢?
生:有一个角是60°的等腰三角形是等边三 角形.
师:在证明中,由△ABD≌△ACD我们能得到什么?
生:BD=DC,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.
师:这说明了什么?
学生思考后回答:说明AD既是中线,又是角平分线,还是高.
师:对,同学们观察得很仔细.所以我们能得到等腰三角形的又一性质:等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.换句话说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一.
学生熟记.
三、合作交流,深化理解
教师多媒体出示:

学生小组合作分析.
师:BC和BD是什么关系?
生:BC等于BD的一半.
师:BC和AB是什么关系呢?
生:BC等于AB的一半.
师:你可以得到什么结论?
生:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.
师:同学们能给出证明吗?
生:能,如上图所示,易证得△ACD≌△ACB,∴AD=AB,∠BAC=∠DAC=30°,∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB,BC=BD=AB,故得证.
师:很好!下面我们再来看一个题目.
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
已知:如图(1),在Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明:在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C',使点A和点A'、点C和点C'重合,点B和点B'在AC的两侧,如图(2).

　(1)　　　　　　　　　　(2)

∵∠BCB'=90°+90=180°,(等式性质)
∴B、C、B'三点在一条直线上.(平角的定义)
在△ABB'中,
∵AB=AB',(已知)
∴∠B=∠B'.(等边对等角)
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.(AAS)
四、讲解例题,加深认识
教师多媒体出示:
【例】　如图,一艘船从A处出发,以每小时10n mile(海里)的速度向正北航行,从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8:00从A处出发,10:00到达B处,从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.

学生交流讨论.
师:根据哪些信息来确定它的位置呢?
生:根据“在A处测得礁石C在北偏西30°的方向”和“从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上”这两句.
师:然后你怎样找出礁石C的位置呢?
生:以B为顶点,向北偏西60°作角,这角一边与AC交于点C,则C点就是礁石C的位置.
师:很好.
教师引导学生思考作答,然后集体订正.
五、课堂小结
师:今天你学习到了什么内容?有什么收获?
学生回答.
教学反思
本节课我先让学生复习了上节课学习的等腰三角形的性质定理,然后让他们说出它的逆定理,由判断它的真假引出本节课,增强学生的好奇心和求知欲.在教法设计上,我把重点放在了逐步展示知识的形成过程上,由个别现象到一般抽象,体现出了学生从感性认识到理性认识发生发展的认知过程.在教学过程中,注意引导学生对解题思路和方法进行总结,渗透化归思想与分类讨论数学思想,注意培养学生形成积极探索主动学习的态度,充分体现数学教学主要是数学活动的教学,促进学生之间的合作、交流意识,培养学生的语言表达能力,增强小组合作意识.









　角的平分线
教学目标
【知识与技能】
1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.
2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.
【过程与方法】
1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.
2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.
【情感 、态度与价值观】
1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.
2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.
重点难点
【重点】
角平分线的性质定理及其逆定理.
【难点】
理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:同学们知道怎样作出角的平分线吗?
生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.
生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.
师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.
作法:
1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).

2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).
3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线,如图(3).
师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”
由于这一点可能在直线上或直线外,这个作图要分两种情况:
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
已知:直线AB和AB上一点C,如图(1).
求作:AB的垂线,使它经过点C.
作法:
作平角ACB的平分线CF.
直线CF就是所求的垂线.

2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知:直线AB和AB外一点C,如图(2).
求作:AB的垂线,使它经过点C.
作示:
(1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁;
(2)以点C为圆心、CK长为半径作弧,交AB于点D和E;
(3)分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;
(4)作直线CF.
直线CF就是所求的垂线.
教师边操作边讲解:
用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?
学生操作.
师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么?
生:是这个角的平分线.
师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系?
生:一样长.
师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:

操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE;
(2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.
问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗?
学生思考后回答.
问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表:
图形
已知事项
由已知事项推出的事项

OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D、E
PD=PE

　　(推证定理1)
问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:
图形
已知事项
由已知事项推出的事项

DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分别为E、C,DE=DC.
∠DAE=∠DAC

　　问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项.
(推证定理2)
三、练习新知,加深理解
师:下面我们接着来探讨上面的问题3.
教师多媒体出示:
(1)∵AD平分∠BAC,
DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)
∴DC=DE.(　　)
(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)
∴点D在∠BAC的平分线上.(　　)
学生思考后抢答,教师板书.
第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.
教师多媒体出示:
【例1】　已知:如图所示,∠C=∠C'=90°,AC=AC'.

求证:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)
学生思考后交流讨论.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
证明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)
∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义)
又∵AC=AC',(已知)
∴点A在∠CBC'的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)
∴∠ABC=∠ABC'.
(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',
∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理)
即∠BAC=∠ABC'.
∵BC⊥AC,BC'⊥AC',
∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
【例2】　已知:如图,△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P.
求证:AP平分∠BAC.

证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q.
∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)
∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)
同理PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代换)
∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
四、课堂小结
师:你今天学习了什么知识?有什么新的收获?
学生回答,教师点评.
教学反思
本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程.